Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

16Equações diferenciais

O primeiro ano resolveu as equações lineares que admitem fórmulas. Este capítulo fornece o que as fórmulas não conseguem: o teorema de Cauchy–Lipschitz — existência e unicidade para $y' = f(t, y)$ — demonstrado com o teorema do ponto fixo de Banach, exatamente como prometido no Capítulo 4; e depois a teoria completa dos sistemas lineares $X' = A(t)X + B(t)$ , com a exponencial de matriz e o wronskiano como motores de cálculo.

16.1 O teorema de Cauchy–Lipschitz

Teorema 16.1 (Cauchy–Lipschitz, versão globalmente lipschitziana)

Seja $I$ um segmento e $f \colon I \times \R^n \to \R^n$ contínua e lipschitziana na segunda variável, uniformemente na primeira: $\norm{f(t, y) - f(t, z)} \leq k\,\norm{y - z}$ para todos $t \in I$ . Então, para todo $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$ , o problema de Cauchy

y' = f(t, y), \qquad y(t_0) = y_0

tem exatamente uma solução $y \colon I \to \R^n$ de classe $C^1$ .

Demonstração. Reformulação. Uma $y$ contínua resolve o problema se e somente se satisfaz a equação integral

y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\,\dd s =: T(y)(t)

(teorema fundamental do cálculo nos dois sentidos; uma solução contínua da equação integral é automaticamente $C^1$ ).

Uma contração, após renormar. No espaço de Banach $E = C(I, \R^n)$ com a norma ponderada

N(y) = \sup_{t \in I}\; \eu^{-2k\abs{t - t_0}}\,\norm{y(t)} ,

(equivalente à norma do sup: o peso é majorado e minorado no segmento $I$ , de modo que $E$ continua completo), estime para $y, z \in E$ e, digamos, $t \geq t_0$ :

\norm{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t} k\,\norm{y(s) - z(s)}\,\dd s \leq k\,N(y - z)\int_{t_0}^{t} \eu^{2k(s - t_0)}\dd s \leq \frac{N(y-z)}{2}\,\eu^{2k(t - t_0)} .

Multiplicando por $\eu^{-2k(t - t_0)}$ e tomando o sup (o caso $t < t_0$ é simétrico): $N\bigl(T(y) - T(z)\bigr) \leq \frac12 N(y - z)$ : $T$ é uma $\frac12$ -contração do completo $(E, N)$ . O teorema do ponto fixo de Banach (Teorema 4.12) fornece um único ponto fixo: a única solução. ∎

Observação 16.2

Para $f$ apenas $C^1$ (localmente lipschitziana), o teorema vale localmente, com solução maximal num intervalo aberto maximal; as soluções podem explodir em tempo finito ( $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : $y(t) = \frac{1}{1-t}$ , desaparecida em $t = 1$ ). A hipótese globalmente lipschitziana é o que compra o segmento inteiro. Duas consequências que vale a pena gravar: as curvas solução de uma EDO com campo lipschitziano nunca se cruzam; e a função nula é a única solução que se anula em algum ponto de uma equação linear homogênea.

Exemplo 16.3 (A unicidade é um teorema: um campo que vaza)

Considere $y' = 2\sqrt{\abs y}$ com $y(0) = 0$ . A função nula a resolve; e também

y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0,\\ t^2 & t \geq 0, \end{cases}

que é $C^1$ (as duas peças têm derivada $0$ no ponto de colagem) e satisfaz $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ para $t > 0$ — de fato, atrasar a decolagem dá uma solução para cada instante de largada $c \geq 0$ : infinitas soluções pelos mesmos dados iniciais. Nenhuma contradição com o Teorema 16.1: perto de $y = 0$ ,

\frac{\abs{2\sqrt y - 2\sqrt z}}{\abs{y - z}} = \frac{2}{\sqrt y + \sqrt z} \longrightarrow +\infty ,

o campo não é lipschitziano em $y$ , e o teorema se cala. Lição final: a leitura física é um balde esvaziando sob gravidade, rodado ao contrário — a partir do estado vazio, não se consegue dizer quando ele começou a encher; o determinismo das EDOs é exatamente a condição lipschitziana, não uma lei da natureza.

16.2 Sistemas lineares

Teorema 16.4 (Estrutura dos sistemas lineares)

Sejam $A \colon I \to \mathcal{M}_n(\R)$ e $B \colon I \to \R^n$ contínuas num intervalo $I$ . Para todo $(t_0, X_0)$ o problema

X' = A(t)X + B(t), \qquad X(t_0) = X_0

tem exatamente uma solução em todo o $I$ . As soluções do sistema homogêneo ( $B = 0$ ) formam um espaço vetorial $\mathcal{S}_H$ de dimensão exatamente $n$ , e a avaliação $X \mapsto X(t_0)$ é um isomorfismo $\mathcal{S}_H \to \R^n$ ; solução geral $=$ particular $+$ homogênea.

Demonstração. Em todo segmento $J \subseteq I$ que contenha $t_0$ : $f(t, X) = A(t)X + B(t)$ é contínua e lipschitziana em $X$ com constante $k = \sup_J \vertiii{A(t)}$ (finita: contínua num segmento): o Teorema 16.1 se aplica em $J$ ; fazendo $J$ esgotar $I$ , a unicidade cola as soluções numa só em $I$ . A linearidade do conjunto solução e da aplicação avaliação é clara; a avaliação é bijetiva por existência (sobrejetiva) e unicidade (injetiva): $\dim \mathcal{S}_H = n$ . A estrutura afim é o argumento do primeiro ano, palavra por palavra. ∎

Exemplo 16.5 (O isomorfismo de avaliação, concretamente)

Para $y'' + y = 0$ , visto como o sistema $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ com $X = (y, y')$ : o teorema diz que o espaço de soluções é um plano e que $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ é um isomorfismo sobre $\R^2$ . As soluções $\cos$ e $\sin$ avaliam em $(1, 0)$ e $(0, 1)$ — a base canônica de $\R^2$ — de modo que elas formam uma base do espaço de soluções, e toda solução é

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

com os coeficientes lidos diretamente nos dados iniciais, sem sistema linear a resolver. Lição final: escolher o sistema fundamental cujos valores iniciais são a base canônica (aqui $\cos, \sin$ ) é exatamente escolher as colunas de $\eu^{tA}$ ; o isomorfismo de avaliação é a razão pela qual as condições iniciais parametrizam as trajetórias — o conteúdo geométrico de “dinâmica determinística” para equações lineares.

Definição 16.6 (Wronskiano)

Para soluções $X_1, \dots, X_n$ do sistema homogêneo, o wronskiano é $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ . Pelo isomorfismo acima, ou $W$ se anula identicamente (a família é ligada) ou nunca se anula (um sistema fundamental); quantitativamente, $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ , de modo que

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(fórmula de Liouville)}.

Exemplo 16.7 (Liouville conferido numa equação de Euler)

Em $\intoo{0}{\infty}$ , a equação $t^2y'' + ty' - y = 0$ tem as soluções $y_1(t) = t$ e $y_2(t) = \frac1t$ (substitua). Seu wronskiano:

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

nunca nulo: um sistema fundamental. Confira agora Liouville: na forma normalizada $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ , a matriz companheira $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ tem traço $-\frac1t$ , logo

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

Lição final: Liouville prevê a forma do wronskiano antes de qualquer solução ser conhecida — aqui, que $W$ tem de ser $\frac{c}{t}$ ; é isso que move o método de redução de ordem (Proposição 16.15), em que conhecer $y_1$ e a forma do wronskiano determina $y_2$ por uma quadratura.

Demonstração da fórmula de Liouville. $W(t) = \det M(t)$ com $M' = AM$ . Derivando o determinante como função multilinear das colunas,

W'(t) = \sum_j \det(X_1, \dots, X_j', \dots, X_n) = \sum_j \det(X_1, \dots, AX_j, \dots, X_n) .

Ora, a aplicação $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \sum_j \det(C_1, \dots, AC_j, \dots, C_n)$ é $n$ -linear e alternada (com duas colunas iguais $C_i = C_k$ , os termos $j \notin \{i, k\}$ se anulam de saída, e os termos $j = i$ e $j = k$ se cancelam aos pares após uma troca de colunas): pelo teorema de unicidade (Teorema 2.14) ela vale $c \cdot \det$ , com $c$ lido nas colunas canônicas: $c = \sum_j \det(e_1, \dots, Ae_j, \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A$ . Logo $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)W$ : uma EDO linear escalar, resolvida pela fórmula do primeiro ano. ∎

16.3 Coeficientes constantes: a exponencial de matriz

Teorema 16.8

Para $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ (ou $\C$ ), a exponencial $\eu^{tA} = \sum_k \frac{(tA)^k}{k!}$ (Exemplo 5.22) satisfaz: $t \mapsto \eu^{tA}$ é $C^1$ (na verdade $C^\infty$ ) com

\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A , \qquad \eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\,\eu^{tA}, \qquad (\eu^{A})^{-1} = \eu^{-A} ;

e $\eu^{A + B} = \eu^A\eu^B$ quando $AB = BA$ . O problema de Cauchy $X' = AX$ , $X(0) = X_0$ tem a única solução $X(t) = \eu^{tA}X_0$ ; com um termo fonte, vale a fórmula de variação das constantes:

X(t) = \eu^{(t - t_0)A}X_0 + \int_{t_0}^{t} \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s .

Demonstração. Diferenciabilidade: a série $\sum \frac{t^kA^k}{k!}$ e sua série derivada termo a termo $\sum \frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!} = A\sum \frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ convergem normalmente em todo segmento (normas $\leq \frac{(\abs t\,\vertiii A)^k}{k!}$ ): derive termo a termo (Teorema 10.11, com valores vetoriais). As duas ordens $A\eu^{tA}$ e $\eu^{tA}A$ coincidem, pois toda soma parcial comuta com $A$ .

Lei de grupo: para $A, B$ que comutam, o produto de Cauchy das duas séries exponenciais se reorganiza pelo binômio de Newton exatamente como no Exemplo 7.15 (a convergência absoluta na álgebra de Banach o justifica): $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ ; com $B = sA$ isso dá a lei de grupo a um parâmetro, e $B = -A$ a inversa.

Problema de Cauchy: $X(t) = \eu^{tA}X_0$ o resolve (derive); a unicidade pelo Teorema 16.4. Variação das constantes: ponha $Y(t) = \eu^{-tA}X(t)$ ; derivando, $Y' = \eu^{-tA}(X' - AX) = \eu^{-tA}B(t)$ ; integre de $t_0$ a $t$ e multiplique de volta por $\eu^{tA}$ . ∎

Método 16.9 (Calcular $\eu^{tA}$ )

Reduza $A$ (Capítulo 3): se $A = PDP^{-1}$ é diagonal, $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}P^{-1}$ com $\eu^{tD}$ diagonal de $\eu^{t\lambda_i}$ ; em geral use Dunford $A = D + N$ (que comutam): $\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}$ com $\eu^{tN}$ um polinômio em $t$ (a nilpotência trunca a série). Os autovalores complexos se emparelham em blocos rotação vezes exponencial (Exercício 16.5).

Observação 16.10 (Armadilhas comuns)

(i) $\eu^{A+B} \neq \eu^A\eu^B$ sem comutação: tome $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . Então $\eu^A = I + A$ , $\eu^B = I + B$ (nilpotência), logo

\eu^A\eu^B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad\text{enquanto}\qquad \eu^{A+B} = \cosh(1)\,I + \sinh(1)\,(A + B) = \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1 \end{pmatrix},

usando $(A+B)^2 = I$ ; e $\cosh 1 \approx 1.54 \neq 2$ . A lei de grupo do Teorema 16.8 carrega uma hipótese de verdade. (ii) Intuição não linear em terreno linear: as soluções de um sistema linear com coeficientes contínuos vivem no intervalo inteiro (Teorema 16.4) — se uma candidata a solução explode dentro de $I$ , ou a equação não era linear ou o cálculo está errado; reciprocamente, para equações não lineares nunca prometa globalidade sem argumento ( $y' = y^2$ ). (iii) Dividir pela incógnita: separar variáveis em $y' = y(1-y)$ descarta silenciosamente as soluções constantes $0$ e $1$ — exatamente as que organizam a reta de fase (Exercício 16.3); liste primeiro as soluções constantes. (iv) Dados iniciais fixam vetores, não escalares: uma equação escalar de ordem $n$ precisa de $n$ condições ( $y, y', \dots$ em $t_0$ ); casar apenas $y(t_0)$ deixa uma família a $(n-1)$ parâmetros, fonte clássica de constantes “perdidas”.

Exemplo 16.11 (Uma exponencial $3\times3$ por Dunford)

Resolva $X' = AX$ para $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$ . Dunford por blocos: $A = D + N$ com $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ e $N = E_{12}$ , que comutam ( $N$ vive dentro do bloco de autovalor $2$ ) e $N^2 = 0$ :

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN} = \begin{pmatrix} \eu^{2t} & t\,\eu^{2t} & 0\\ 0 & \eu^{2t} & 0\\ 0 & 0 & \eu^{3t} \end{pmatrix} .

A solução geral se lê coluna a coluna: $X(t) = \bigl(\eu^{2t}(x_0 + ty_0),\ \eu^{2t}y_0,\ \eu^{3t}z_0\bigr)$ . Verificações de bom senso: em $t = 0$ a matriz é $I$ ; seu determinante vale $\eu^{7t} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ , como Liouville exige; e o fator $t$ aparece exatamente onde o autovalor $2$ é defeituoso. Lição final: polinômios vezes exponenciais não são um chute a decorar — são as séries truncadas $\eu^{tN}$ , e seu grau é limitado pelo índice de nilpotência, nunca mais.

Método 16.12 (Resolver $X' = AX + B(t)$ , do começo ao fim)

Espectro de $A$ ; depois $\eu^{tA}$ pelo Método 16.9 (diagonalize; ou Dunford, como no Exemplo 16.11; ou um truque polinomial como o do $A^2 = -I$ ).
Uma solução particular: a variação das constantes $\int_{t_0}^t\eu^{(t-s)A}B(s)\dd s$ sempre funciona; para $B$ do tipo exponencial vezes polinômio, um palpite da mesma forma (com grau elevado em caso de ressonância, Exercício 16.10) é mais rápido.
Solução geral $= \eu^{(t-t_0)A}X_0 +$ particular; case os dados iniciais por último, na fórmula completa.
Verificações de bom senso: $X(t_0)$ correto; o crescimento da parte homogênea casa com as partes reais dos autovalores (Exercício 16.8); e o $\det$ de uma matriz fundamental obedece a Liouville.

Exemplo 16.13 (Um retrato de fase)

$X' = AX$ com $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$ : $A^2 = -I$ , de modo que a série se separa em

\eu^{tA} = (\cos t)\,I + (\sin t)\,A = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} :

as trajetórias são círculos percorridos no sentido horário — o oscilador harmônico $x'' + x = 0$ em roupagem de primeira ordem. Autovalores $\pm\iu$ no eixo imaginário: um centro. Mais geralmente, as partes reais dos autovalores de $A$ decidem o crescimento ou o decaimento de $\norm{X(t)}$ (Exercício 16.8).

Dois retratos de fase lineares. À esquerda: um centro (autovalores ±) — órbitas circulares fechadas do oscilador harmônico. À direita: um nó estável (autovalores -1, -2) — todas as trajetórias caem na origem tangencialmente à direção própria lenta. — Dois retratos de fase lineares. À esquerda: um *centro* (autovalores $\pm\iu$ ) — órbitas circulares fechadas do oscilador harmônico. À direita: um *nó estável* (autovalores $-1, -2$ ) — todas as trajetórias caem na origem tangencialmente à direção própria lenta.

O plano traço–determinante para X' = AX em dimensão 2: abaixo do eixo horizontal, selas; entre o eixo e a parábola = 2/4, nós; dentro da parábola, espirais; no semieixo positivo de , centros. O problema de fim de semana demonstra essa classificação e segue uma reta vertical dela — o oscilador amortecido — até a ressonância. — O plano traço–determinante para $X' = AX$ em dimensão $2$ : abaixo do eixo horizontal, selas; entre o eixo e a parábola $\delta = \tau^2/4$ , nós; dentro da parábola, espirais; no semieixo positivo de $\delta$ , centros. O problema de fim de semana demonstra essa classificação e segue uma reta vertical dela — o oscilador amortecido — até a ressonância.

Observação 16.14 (Onde isso é usado)

Os sistemas lineares são o modelo local de tudo o que é não linear: perto de um equilíbrio, um campo de vetores suave se comporta (nos casos hiperbólicos) como sua linearização, cujo retrato o plano traço–determinante classifica. O problema de fim de semana trabalha a história do oscilador por inteiro — amortecimento, forçamento, ressonância e os teoremas de comparação de Sturm para coeficientes variáveis — a matemática por trás de amortecedores, circuitos de corrente alternada e lacunas espectrais. O volume do terceiro ano de graduação volta com a teoria qualitativa (fluxos, estabilidade, integrais primeiras) em variedades.

16.4 Segunda ordem com coeficientes variáveis

Proposição 16.15

A equação $y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)$ ( $a, b, c$ contínuas em $I$ ) é o sistema $X' = A(t)X + B(t)$ para $X = (y, y')$ : as soluções existem e são únicas em todo o $I$ para quaisquer dados iniciais $(y(t_0), y'(t_0))$ ; as soluções homogêneas formam um plano. Se uma solução homogênea $y_1$ que não se anula é conhecida, uma segunda independente acha-se por redução de ordem: pôr $y = y_1 z$ transforma a equação homogênea numa equação de primeira ordem para $z'$ , resolvida por quadraturas.

Demonstração. A forma de sistema e o Teorema 16.4 dão tudo o que é estrutural. Redução: substituindo $y = y_1z$ ,

y_1 z'' + (2y_1' + a y_1)z' + \underbrace{(y_1'' + ay_1' + by_1)}_{=\,0}\,z = 0 :

uma equação linear de primeira ordem em $u = z'$ , resolúvel pela fórmula do primeiro ano; integrar $u$ dá $z$ , logo $y_2 = y_1 z$ , independente de $y_1$ sempre que $z$ não é constante. ∎

Exemplo 16.16

$t^2y'' - 2y = 0$ em $\intoo{0}{\infty}$ : $y_1 = t^2$ é uma solução. Substitua $y = t^2z$ : de $y' = t^2z' + 2tz$ e $y'' = t^2z'' + 4tz' + 2z$ ,

t^2y'' - 2y = t^4 z'' + 4t^3z' = 0, \qquad\text{i.e.}\qquad \frac{z''}{z'} = -\frac4t :

$z' = t^{-4}$ (a menos de constante), $z = -\frac{1}{3t^3}$ e $y_2 = t^2z = -\frac{1}{3t}$ . Solução geral: $y = \alpha t^2 + \frac{\beta}{t}$ .

16.5 Exercícios

Exercício 16.1 ★

Resolva $X' = AX$ , $X(0) = (1, 0)^{\mathsf T}$ , para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ (diagonalize) e $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (Dunford).

Solução

Solução de Exercício 16.1.

Primeira matriz: autovalores $1, 2$ , autovetores $(1,0)$ e $(1,1)$ . Decomponha $X_0 = (1,0) = 1\cdot(1,0) + 0\cdot(1,1)$ : a solução é

X(t) = \eu^{t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} .

(O vetor inicial é ele próprio um autovetor.)

Segunda: $A = 2I + N$ , $N = E_{12}$ , $N^2 = 0$ : $\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN)$ , logo

X(t) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} = \eu^{2t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.

Exercício 16.2 ★

Quais problemas de Cauchy têm solução global única em $\R$ pelo Teorema 16.1? $y' = \sin(ty)$ ; $\;y' = y^2$ ; $\;y' = \abs y$ . Para o último, resolva explicitamente com $y(0) = 0$ e $y(0) = 1$ .

Solução

Solução de Exercício 16.2.

$y' = \sin(ty)$ : $\abs{\sin(ty) - \sin(tz)} \leq \abs t\,\abs{y - z}$ — lipschitziana em $y$ uniformemente em todo segmento de tempos: soluções globais únicas em $\R$ (aplique o teorema em cada segmento).

$y' = y^2$ : apenas localmente lipschitziana; sem teorema global e, de fato, $y(0) = 1$ explode em $t = 1$ .

$y' = \abs y$ : $\abs\cdot$ é $1$ -lipschitziana: existência e unicidade globais. Com $y(0) = 0$ : $y \equiv 0$ (unicidade!). Com $y(0) = 1$ : $y$ permanece positiva (não pode cruzar a solução nula), logo $y' = y$ : $y = \eu^t$ .

Exercício 16.3 ★

Prove que duas soluções maximais distintas de $y' = f(t,y)$ ( $f$ lipschitziana em $y$ ) nunca assumem o mesmo valor no mesmo instante, e deduza que as soluções de $y' = y(1 - y)$ que começam em $\intoo{0}{1}$ permanecem em $\intoo{0}{1}$ para sempre.

Solução

Solução de Exercício 16.3.

Se $y(t_1) = z(t_1)$ em algum instante, então $y$ e $z$ resolvem o mesmo problema de Cauchy em $t_1$ : a unicidade força $y = z$ em seu intervalo comum — soluções distintas nunca se encontram.

Para $y' = y(1-y)$ : as constantes $0$ e $1$ são soluções. Uma solução que começa em $\intoo{0}{1}$ nunca pode atingir $0$ nem $1$ (ela colidiria com uma solução constante): ela permanece em $\intoo{0}{1}$ e portanto é global (limitada: sem explosão — por exemplo, pelo critério do Exercício 16.9, ou porque o campo de vetores é limitado na faixa em que fica presa).

Exercício 16.4 ★★

Calcule $\eu^{tA}$ para $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ (Dunford: $(A - 2I)^2 = 0$ ) e resolva $X' = AX + \begin{pmatrix} \eu^{2t}\\ 0\end{pmatrix}$ , $X(0) = 0$ , por variação das constantes.

Solução

Solução de Exercício 16.4.

$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = 0$ : Dunford com $D = 2I$ , $N = A - 2I$ :

\eu^{tA} = \eu^{2t}\,(I + tN) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 + t & t\\ -t & 1 - t\end{pmatrix}.

Variação das constantes com $B(s) = (\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T}$ :

X(t) = \int_0^t \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s = \eu^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix} 1 + (t-s)\\ -(t-s) \end{pmatrix}\dd s = \eu^{2t}\begin{pmatrix} t + \frac{t^2}{2}\\[2pt] -\frac{t^2}{2} \end{pmatrix},

usando $\eu^{(t-s)A}B(s) = \eu^{2(t-s)}(I + (t-s)N)\,(\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T} = \eu^{2t}\bigl(1 + (t-s),\, -(t-s)\bigr)^{\mathsf T}$ . (Confira: $X(0) = 0$ ; $X' - AX = (\eu^{2t}, 0)^{\mathsf T}$ por derivação.)

Exercício 16.5 ★★

Para $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ , prove que $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos\beta t & -\sin\beta t\\ \sin\beta t & \cos\beta t\end{pmatrix}$ — trajetórias em espiral — de duas maneiras: pela série (escreva $A = \alpha I + \beta J$ , $J^2 = -I$ ) e pela identificação complexa $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ .

Solução

Solução de Exercício 16.5.

Série: $A = \alpha I + \beta J$ com $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , $J^2 = -I$ ; as duas parcelas comutam, de modo que $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\,\eu^{\beta tJ}$ , e a série de $\eu^{\beta t J}$ se separa nas potências pares e ímpares em $\cos(\beta t)I + \sin(\beta t)J$ : a matriz de rotação com escala enunciada.

Complexo: identifique $(x, y) \in \R^2$ com $z = x + \iu y$ ; o sistema $X' = AX$ lê-se $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ , cuja solução $z(t) = \eu^{\alpha t}\eu^{\iu\beta t}z_0$ é exatamente a espiral: módulo $\eu^{\alpha t}$ , argumento avançando com velocidade $\beta$ .

Exercício 16.6 ★★

(Lema de Gronwall) Seja $u$ contínua não negativa com $u(t) \leq C + k\int_{t_0}^{t} u(s)\,\dd s$ em $\intco{t_0}{T}$ . Prove que $u(t) \leq C\,\eu^{k(t - t_0)}$ (derive $v(t) = \eu^{-kt}\int_{t_0}^t u$ ). Deduza de novo a unicidade em Cauchy–Lipschitz e a dependência contínua $\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0}\,\eu^{k\abs{t - t_0}}$ para duas soluções com dados iniciais diferentes.

Solução

Solução de Exercício 16.6.

Seja $v(t) = \eu^{-k(t - t_0)}\int_{t_0}^t u$ . Então

v'(t) = \eu^{-k(t-t_0)}\Bigl(u(t) - k\int_{t_0}^t u\Bigr) \leq C\,\eu^{-k(t-t_0)},

pela hipótese. Integrando de $t_0$ a $t$ ( $v(t_0) = 0$ ): $v(t) \leq \frac{C}{k}\bigl(1 - \eu^{-k(t - t_0)}\bigr)$ , isto é, $k\int_{t_0}^t u \leq C\bigl(\eu^{k(t-t_0)} - 1\bigr)$ ; reinjetando isso na hipótese: $u(t) \leq C\eu^{k(t-t_0)}$ .

Unicidade/dependência: duas soluções $y, z$ da equação integral satisfazem

\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0} + k\int_{t_0}^{t}\norm{y - z},

e Gronwall com $C = \norm{y_0 - z_0}$ dá a cota exponencial; $C = 0$ dá a unicidade.

Exercício 16.7 ★★

Sabendo que $y_1(t) = \frac{\sin t}{t}$ resolve $ty'' + 2y' + ty = 0$ em $\intoo{0}{\pi}$ , ache uma segunda solução independente por redução de ordem e dê a solução geral.

Solução

Solução de Exercício 16.7.

Substitua $y = y_1 z$ com $y_1 = \frac{\sin t}{t}$ : a fórmula geral de redução (Proposição 16.15) dá, para $u = z'$ ,

y_1 u' + \Bigl(2y_1' + \frac{2}{t}\,y_1\Bigr)u = 0

(com a equação normalizada como $y'' + \frac2t y' + y = 0$ ). Calcule $2y_1' + \frac2t y_1 = 2\,\frac{t\cos t - \sin t}{t^2} + \frac{2\sin t}{t^2} = \frac{2\cos t}{t}$ : assim

\frac{u'}{u} = -\frac{2\cos t}{t}\cdot\frac{t}{\sin t} = -2\cot t \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1}{\sin^2 t} \quad (\text{a menos de constante}),

e $z = -\cot t$ , dando $y_2 = y_1 z = -\frac{\cos t}{t}$ . Solução geral em $\intoo{0}{\pi}$ :

y(t) = \alpha\,\frac{\sin t}{t} + \beta\,\frac{\cos t}{t} .

(Essas são as funções esféricas de Bessel de ordem zero.)

Exercício 16.8 ★★★

Seja $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ com todos os autovalores de parte real (estritamente) negativa. Prove que toda solução de $X' = AX$ tende a $0$ quando $t \to +\infty$ , com taxa exponencial: $\norm{X(t)} \leq C\,\eu^{-\alpha t}$ para algum $\alpha > 0$ . (Triangularize; trate o sistema triangular da última linha para cima, ou use Dunford: $\eu^{tA} = \eu^{tD}\eu^{tN}$ com $\norm{\eu^{tD}} \leq \eu^{-\alpha' t}$ e $\eu^{tN}$ polinomial em $t$ .)

Solução

Solução de Exercício 16.8.

Dunford: $A = D + N$ comutando, $D$ diagonalizável com os mesmos autovalores, $N$ nilpotente, de modo que

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}, \qquad \eu^{tN} = \sum_{k < n} \frac{t^kN^k}{k!} \ \text{(um polinômio matricial em } t).

Seja $-2\alpha = \max_i \Re\lambda_i < 0$ . Numa base que diagonaliza $D$ , $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-2\alpha t}$ (entradas $\eu^{t\lambda_i}$ de módulo $\eu^{t\Re\lambda_i}$ ); normas em bases diferentes diferem por constantes. Logo

\norm{X(t)} \leq \vertiii{\eu^{tA}}\,\norm{X_0} \leq C'\,\eu^{-2\alpha t}\,(1 + t)^{n-1}\,\norm{X_0} \leq C\,\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} ,

absorvendo o polinômio num fator exponencial ( $\eu^{-\alpha t}(1+t)^{n-1} \to 0$ , logo limitada).

Exercício 16.9 ★★★

(Sem fuga em tempo finito para crescimento linear) Suponha $f$ contínua com $\norm{f(t, y)} \leq a\norm y + b$ em $\intco{0}{\infty} \times \R^n$ e localmente lipschitziana em $y$ . Usando Gronwall (Exercício 16.6) na forma integral, prove que as soluções maximais são globais (definidas em todo o $\intco{0}{\infty}$ ).

Solução

Solução de Exercício 16.9.

Seja $y$ uma solução maximal em $\intco{0}{T}$ , $T \leq \infty$ , e suponha $T < \infty$ . A forma integral dá, para $t < T$ ,

\norm{y(t)} \leq \norm{y_0} + \int_0^t \bigl(a\norm{y(s)} + b\bigr)\dd s \leq \bigl(\norm{y_0} + bT\bigr) + a\int_0^t\norm{y(s)}\,\dd s ,

e Gronwall majora $\norm{y(t)} \leq (\norm{y_0} + bT)\,\eu^{aT} =: M$ em $\intco{0}{T}$ : a solução permanece numa bola compacta. Então $y' = f(t, y)$ é limitada perto de $T$ , de modo que $y$ é lipschitziana perto de $T$ e se estende continuamente a $T$ (critério de Cauchy); resolver o problema de Cauchy em $(T, y(T))$ prolonga $y$ além de $T$ , contradizendo a maximalidade. Logo $T = \infty$ : sem fuga em tempo finito sob crescimento linear.

Exercício 16.10 ★

Resolva $y'' - 3y' + 2y = \eu^{t}$ : soluções homogêneas e depois uma solução particular da forma $\alpha t\,\eu^{t}$ (por que o palpite ingênuo $\alpha\eu^t$ falha?); solução geral e a solução com $y(0) = y'(0) = 0$ .

Solução

Solução de Exercício 16.10.

Raízes características de $r^2 - 3r + 2$ : $1$ e $2$ , de modo que as soluções homogêneas são $a\eu^t + b\eu^{2t}$ . O palpite $\alpha\eu^t$ falha porque $\eu^t$ já resolve a equação homogênea (a raiz $r = 1$ “entra em ressonância” com o membro da direita). Com $y = \alpha t\,\eu^t$ : $y' = \alpha(1 + t)\eu^t$ , $y'' = \alpha(2 + t)\eu^t$ , e

y'' - 3y' + 2y = \alpha\eu^t\bigl(2 + t - 3 - 3t + 2t\bigr) = -\alpha\,\eu^t :

$\alpha = -1$ , $y_p = -t\,\eu^t$ . Solução geral: $y = a\eu^t + b\eu^{2t} - t\eu^t$ . Dados iniciais $y(0) = y'(0) = 0$ : $a + b = 0$ e $a + 2b - 1 = 0$ : $b = 1$ , $a = -1$ :

y(t) = \eu^{2t} - (1 + t)\,\eu^{t} .

Exercício 16.11 ★★

Calcule $\eu^{tA}$ para o bloco de Jordan

A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix},

e descreva todas as soluções de $X' = AX$ : exponenciais vezes vetores polinomiais, com graus até $2$ . De onde vem o grau polinomial?

Solução

Solução de Exercício 16.11.

$A = \lambda I + N$ com $N = E_{12} + E_{23}$ : $N^2 = E_{13}$ , $N^3 = 0$ , e $\lambda I$ comuta com $N$ :

\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr) = \eu^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2}\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Soluções: $X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(X_0 + tNX_0 + \frac{t^2}2N^2X_0\bigr)$ — cada componente é $\eu^{\lambda t}$ vezes um polinômio de grau $\leq 2$ . A cota do grau é o índice de nilpotência menos um: a série de $\eu^{tN}$ trunca em $N^2$ .

Exercício 16.12 ★★★

(Forçamento periódico, resposta periódica) Sejam $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ e $B \colon \R \to \R^n$ contínua e $T$ -periódica.

Mostre que uma solução de $X' = AX + B(t)$ é $T$ -periódica se e somente se $X(T) = X(0)$ (compare $X(\cdot + T)$ e $X$ ).
Mostre que os autovalores de $\eu^{TA}$ são os $\eu^{T\lambda}$ , $\lambda \in \operatorname{Sp}A$ (triangularize sobre $\C$ ). Deduza: se nenhum autovalor de $A$ está em $\frac{2\iu\pi}{T}\Z$ , então $I - \eu^{TA}$ é invertível.
Sob essa hipótese, prove que o sistema tem exatamente uma solução $T$ -periódica, com

$X(0) = \bigl(I - \eu^{TA}\bigr)^{-1} \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s .$

A que corresponde o caso excluído, para o oscilador harmônico? (O problema de fim de semana responde: ressonância.)

Solução

Solução de Exercício 16.12.

Se $X(T) = X(0)$ , então $Y(t) = X(t + T)$ resolve $Y' = AY + B(t + T) = AY + B(t)$ com $Y(0) = X(0)$ : a unicidade (Teorema 16.4) dá $Y = X$ , isto é, $X$ é $T$ -periódica. A recíproca é trivial.
Triangularize sobre $\C$ : $A = PT'P^{-1}$ com $T'$ triangular superior, de diagonal $(\lambda_i)$ . Toda potência de uma matriz triangular é triangular com diagonal $(\lambda_i^k)$ , logo $\eu^{TA} = P\eu^{TT'}P^{-1}$ é triangular na mesma base com diagonal $(\eu^{T\lambda_i})$ : esses são os autovalores. Então $I - \eu^{TA}$ é invertível se e somente se $\eu^{T\lambda} \neq 1$ para todo autovalor, isto é, se e somente se $T\lambda \notin 2\iu\pi\Z$ , que é a hipótese enunciada.
Variação das constantes: $X(T) = \eu^{TA}X(0) + \int_0^T\eu^{(T-s)A}B(s)\dd s$ , de modo que $X(T) = X(0)$ se lê

$\bigl(I - \eu^{TA}\bigr)X(0) = \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s ,$

que tem solução única $X(0)$ sob a hipótese de invertibilidade: exatamente uma solução $T$ -periódica. Para o oscilador harmônico ( $\lambda = \pm\iu\omega$ ), o caso excluído é $\omega T \in 2\pi\Z$ : forçamento cujo período é múltiplo do período natural — ressonância, como o problema de fim de semana quantifica.

16.6 Problema: oscilações, ressonância e os teoremas de comparação de Sturm

Problema 16.1

Uma equação governa o mundo mecânico e elétrico:

x'' + 2\zeta\omega\,x' + \omega^2 x = F(t), \qquad \omega > 0,\ \zeta \geq 0 .

Este problema a estuda por completo — pela classificação traço–determinante dos sistemas lineares planos, os três regimes de amortecimento, a resposta em regime permanente ao forçamento periódico com seu pico de ressonância e a catástrofe de ressonância — e depois deixa os coeficientes constantes pelos teoremas de separação e comparação de Sturm, que controlam os zeros das soluções de $y'' + q(t)y = 0$ sem fórmula alguma.

Parte I — O plano traço–determinante. Sejam $A \in \mathcal M_2(\R)$ , $\tau = \operatorname{tr}A$ , $\delta = \det A$ , $\Delta = \tau^2 - 4\delta$ .

Mostre que os autovalores de $A$ são $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ e classifique: dois autovalores reais de sinais opostos se e somente se $\delta < 0$ ; autovalores reais de mesmo sinal se e somente se $\delta > 0$ , $\Delta \geq 0$ (sinal de $\tau$ ); par conjugado não real se e somente se $\Delta < 0$ (parte real $\frac\tau2$ ).
(Sela, $\delta < 0$ ) Com autovalores $\mu < 0 < \lambda$ e autovetores $v_\pm$ , escreva a solução geral e descreva as trajetórias: duas semirretas estáveis e duas instáveis, e todas as demais órbitas assintóticas a ambas. Por que nenhuma solução além de $0$ pode permanecer limitada em todo o $\R$ ?
(Nós, $\delta > 0$ , $\Delta > 0$ ) Para $\mu < \lambda < 0$ : mostre que toda solução não nula tende a $0$ e que todas as órbitas, exceto as do eixo rápido, chegam tangentes à direção própria lenta (compare $\eu^{\mu t}$ e $\eu^{\lambda t}$ ).
(Espirais e centros, $\Delta < 0$ ) Escrevendo os autovalores $\alpha \pm \iu\beta$ , use Exercício 16.5 (após uma mudança de base real, admitida nessa generalidade ou demonstrada para os sistemas da Parte II, que são os usados adiante) para descrever as órbitas: espirais convergentes para $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , divergentes para $\tau > 0$ , curvas fechadas (centro) para $\tau = 0$ .
(Casos de fronteira) Para um autovalor duplo ( $\Delta = 0$ ): mostre que $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ com $N = A - \lambda I$ nilpotente, e distinga a estrela ( $N = 0$ ) do nó impróprio ( $N \neq 0$ ). Resuma a Parte I no retrato traço–determinante da figura deste capítulo.

Parte II — O oscilador amortecido. Agora $F = 0$ : $x'' + 2\zeta\omega x' + \omega^2x = 0$ , isto é, $X' = AX$ com $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega\end{pmatrix}$ .

Calcule $\tau, \delta, \Delta$ e situe os três regimes no plano traço–determinante: subamortecido $0 < \zeta < 1$ (espiral estável), criticamente amortecido $\zeta = 1$ (autovalor duplo), superamortecido $\zeta > 1$ (nó estável); $\zeta = 0$ é o centro.
Resolva os três regimes explicitamente:

$\zeta < 1:\ \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_d t + b\sin\omega_dt\bigr),\ \omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}; \qquad \zeta = 1:\ (a + bt)\,\eu^{-\omega t};$

$\zeta > 1$ : duas exponenciais reais. Defina o pseudoperíodo $\frac{2\pi}{\omega_d}$ e mostre que a razão entre máximos sucessivos de $\abs x$ é a constante $\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ (o decremento logarítmico).
(O princípio da mola de porta) Para $\zeta \geq 1$ a taxa de decaimento é governada pelo autovalor mais lento $\lambda_{\mathrm{slow}} = -\omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr)$ . Mostre que $\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ é função decrescente de $\zeta \geq 1$ : o amortecimento crítico $\zeta = 1$ dá o retorno ao repouso mais rápido sem oscilação.
(Energia) Seja $E(t) = \frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$ . Prove que $E' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ e deduza que, para $\zeta > 0$ , a equação não tem solução periódica não nula (um período forçaria $E$ constante, logo $x' \equiv 0$ ).
Explique em duas frases por que o centro $\zeta = 0$ é estruturalmente frágil: qualquer $\zeta > 0$ , por menor que seja, destrói a periodicidade — e onde isso aparece no plano traço–determinante (a reta dos centros tem interior vazio).

Parte III — Oscilações forçadas e ressonância. Agora $F(t) = F\cos(\gamma t)$ com $F, \gamma > 0$ .

( $\zeta > 0$ : o regime permanente) Procure $x_p = \Re\bigl(z\,\eu^{\iu\gamma t}\bigr)$ : mostre que

$z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma}, \qquad A(\gamma) := \abs z = \frac{F}{\sqrt{(\omega^2 - \gamma^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\gamma^2}} ,$

e escreva $x_p = A(\gamma)\cos(\gamma t - \varphi)$ com $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2-\gamma^2}$ .
Mostre que toda solução é $x_p$ mais um transiente da Parte II, que tende a $0$ : quaisquer que sejam os dados iniciais, o sistema se trava no regime permanente — amplitude $A(\gamma)$ , atraso de fase $\varphi$ .
(A curva de ressonância) Maximize $A$ : mostre que $A(\gamma)$ tem máximo interior se e somente se $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ , em

$\gamma_* = \omega\sqrt{1 - 2\zeta^2}, \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1-\zeta^2}} ,$

e que, para $\zeta$ pequeno, o pico amplifica a resposta estática $A(0) = \frac F{\omega^2}$ pelo fator $\approx \frac{1}{2\zeta}$ .
( $\zeta = 0$ , fora da ressonância) Para $\gamma \neq \omega$ , mostre que a solução com $x(0) = x'(0) = 0$ é

$x(t) = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2}\bigl(\cos\gamma t - \cos\omega t\bigr) = \frac{2F}{\omega^2-\gamma^2} \sin\frac{(\omega-\gamma)t}{2} \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2} :$

limitada, com batimentos — uma oscilação rápida sob um envelope lento — quando $\gamma$ está próximo de $\omega$ .
( $\zeta = 0$ , ressonância) Para $\gamma = \omega$ , mostre que $x_p(t) = \frac{F}{2\omega}\,t\sin(\omega t)$ é solução e recupere-a como limite da questão 14 quando $\gamma \to \omega$ : a amplitude cresce linearmente para sempre — a catástrofe de ressonância.
(Elo com Fourier) Um forçamento periódico geral se decompõe em harmônicos (o capítulo de Fourier); por linearidade, o regime permanente é a soma das respostas harmônicas. Para um oscilador não amortecido de frequência $\omega = 3$ forçado pela onda quadrada do tipo Exercício 14.1 (harmônicos em todos os inteiros ímpares), qual harmônico entra em ressonância? Uma frase sobre por que os engenheiros temem ondas quadradas.

Parte IV — Os teoremas de Sturm. Considere $y'' + q(t)\,y = 0$ num intervalo $I$ , com $q$ contínua. (Toda equação $y'' + ay' + by = 0$ reduz-se a essa forma normal pela substituição $y = u\exp\bigl(-\frac12\int a\bigr)$ ; a questão 21 mostra uma variante do truque em ação.)

Para duas soluções $y_1, y_2$ , mostre que o wronskiano $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ é constante, nulo se e somente se as soluções são proporcionais; e que uma solução não nula tem apenas zeros simples e isolados.
(Separação de Sturm) Sejam $y_1, y_2$ soluções independentes e $a < b$ dois zeros consecutivos de $y_1$ . Prove que $y_2$ se anula exatamente uma vez em $\intoo{a}{b}$ (avalie a constante $W$ em $a$ e $b$ : $W = y_1'y_2$ aí, e $y_1'(a)$ , $y_1'(b)$ têm sinais opostos): os zeros de soluções independentes se intercalam.
(Comparação de Sturm) Sejam $q_1 \leq q_2$ em $I$ , $y \neq 0$ com $y'' + q_1y = 0$ , $z \neq 0$ com $z'' + q_2z = 0$ , e $a < b$ zeros consecutivos de $y$ . Mostre que $z$ se anula em $\intcc{a}{b}$ — estritamente dentro se $q_1 < q_2$ em algum ponto de $\intoo ab$ (se $z \neq 0$ em $\intoo ab$ , estude $(yz' - y'z)' = (q_1 - q_2)yz$ com sinais fixos para $y, z$ e compare os valores de bordo).
Deduza as cotas de espaçamento: se $0 < m^2 \leq q(t) \leq M^2$ em $I$ , então dois zeros consecutivos $a < b$ de uma solução não nula de $y'' + qy = 0$ satisfazem

$\frac{\pi}{M} \;\leq\; b - a \;\leq\; \frac{\pi}{m}$

(compare com $u'' + M^2u = 0$ e $u'' + m^2u = 0$ , cujos zeros distam $\frac\pi M$ e $\frac\pi m$ ). Confira no oscilador harmônico.
Transforme $ty'' + 2y' + ty = 0$ (Exercício 16.7) por $u = ty$ em $u'' + u = 0$ , recupere instantaneamente suas soluções $\frac{\sin t}t$ , $\frac{\cos t}{t}$ e conclua que os zeros de toda solução não nula distam exatamente $\pi$ : a visão de mundo de Sturm — os zeros são controlados pelo coeficiente $q$ , com fórmula ou sem.

Parte V — Duhamel e a fronteira da limitação.

(Duhamel para o oscilador) Mostre que, para $F$ contínua, a solução de $x'' + \omega^2x = F(t)$ com $x(0) = x'(0) = 0$ é

$x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin\bigl(\omega(t - s)\bigr)F(s)\,\dd s ,$

e rededuza dela a solução ressonante da questão 15 com $F(s) = F\cos(\omega s)$ (produto-soma).
( $\zeta > 0$ : entrada limitada, saída limitada) Mostre que, para $\zeta > 0$ e qualquer $F$ contínua limitada, toda solução da equação amortecida é limitada em $\intco{0}{\infty}$ (variação das constantes mais o decaimento exponencial $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ de Exercício 16.8).
( $\zeta = 0$ ) Mostre que, sem amortecimento, um forçamento periódico limitado mantém todas as soluções limitadas exceto exatamente na ressonância ( $\gamma = \omega$ , questão 15 contra questão 14): o amortecimento é o que transforma a fronteira da limitação em estabilidade uniforme.
Síntese. Uma frase para cada: (i) como o plano traço–determinante organiza as Partes I–II e onde o forçamento (Parte III) o deixa; (ii) o significado físico de $\gamma_*$ , $A(\gamma_*)$ e do fator $\frac1{2\zeta}$ ; (iii) o que os teoremas de Sturm dizem que as fórmulas explícitas não conseguem dizer; (iv) quais dois resultados deste problema o resto do livro vai reutilizar em silêncio (os wronskianos de constante de Liouville; a estabilidade com entrada limitada).

Solução

Solução de Problema 16.1.

1. O polinômio característico é $\lambda^2 - \tau\lambda + \delta$ , de raízes $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ . Se $\delta < 0$ , então $\Delta = \tau^2 - 4\delta > 0$ e as duas raízes reais têm produto $\delta < 0$ : sinais opostos. Se $\delta > 0$ e $\Delta \geq 0$ : raízes reais de produto $> 0$ e soma $\tau$ : ambas do sinal de $\tau$ . Se $\Delta < 0$ : par conjugado $\alpha \pm \iu\beta$ com $\alpha = \frac\tau2$ , $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}2$ .

2. $X(t) = a\,\eu^{\mu t}v_- + b\,\eu^{\lambda t}v_+$ . As órbitas com $a = 0$ (resp. $b = 0$ ) correm ao longo da reta própria instável (resp. estável); todas as demais têm $\norm X \to \infty$ nas duas direções do tempo, assintóticas a $\R v_+$ quando $t \to +\infty$ e a $\R v_-$ quando $t \to -\infty$ : o retrato da sela. A limitação em todo o $\R$ força $b = 0$ (senão há explosão em $+\infty$ ) e $a = 0$ (em $-\infty$ ): só a origem.

3. Com $\mu < \lambda < 0$ , as duas exponenciais decaem: $X(t) \to 0$ . Se $b \neq 0$ , ponha $\eu^{\lambda t}$ em evidência:

X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(b\,v_\lambda + a\,\eu^{(\mu - \lambda)t}v_\mu\bigr), \qquad \eu^{(\mu-\lambda)t} \to 0 :

a direção de $X(t)$ tende a $\R v_\lambda$ , a direção própria lenta — todas as órbitas exceto as do eixo rápido chegam tangentes a ela (o painel direito dos retratos de fase do capítulo).

4. Na base em que $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ (Exercício 16.5; para os sistemas do oscilador da Parte II essa forma é atingida por uma mudança de base real explícita), a solução é $\eu^{\alpha t}$ vezes uma rotação de ângulo $\beta t$ : espirais logarítmicas, contraindo quando $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , expandindo quando $\tau > 0$ , e curvas fechadas (elipses nas coordenadas originais) quando $\tau = 0$ : o centro.

5. $\Delta = 0$ dá o autovalor duplo $\lambda = \frac\tau2$ ; por Cayley–Hamilton (Teorema 3.21), $(A - \lambda I)^2 = 0$ , de modo que $N = A - \lambda I$ é nilpotente, comuta com $\lambda I$ , e $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ . Se $N = 0$ : $A = \lambda I$ , e todas as semirretas são órbitas (nó estrela). Se $N \neq 0$ : $X(t) = \eu^{\lambda t}(X_0 + tNX_0)$ e, para $NX_0 \neq 0$ , a direção converge para a única direção própria $\operatorname{im}N$ : nó impróprio. Isso completa o retrato traço–determinante.

6. $\tau = -2\zeta\omega$ , $\delta = \omega^2 > 0$ , $\Delta = 4\omega^2(\zeta^2 - 1)$ . Assim: $0 < \zeta < 1$ dá $\Delta < 0$ , $\tau < 0$ : espiral estável; $\zeta = 1$ : $\Delta = 0$ : nó estável degenerado; $\zeta > 1$ : $\Delta > 0$ , $\tau < 0$ , $\delta > 0$ : nó estável; $\zeta = 0$ : $\tau = 0$ , $\delta > 0$ : centro. Uma viagem vertical no plano em $\delta = \omega^2$ .

7. Raízes $r = -\zeta\omega \pm \omega\sqrt{\zeta^2-1}$ . Para $\zeta < 1$ : $r = -\zeta\omega \pm \iu\omega_d$ , $\omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}$ :

x(t) = \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_dt + b\sin\omega_dt\bigr) = R\,\eu^{-\zeta\omega t}\cos(\omega_dt - \varphi) .

Para $\zeta = 1$ : $x = (a + bt)\eu^{-\omega t}$ . Para $\zeta > 1$ : $x = a\eu^{r_-t} + b\eu^{r_+t}$ , com as duas taxas negativas. Os máximos sucessivos de $\abs x$ no caso subamortecido ocorrem em instantes separados pelo pseudoperíodo $\frac{2\pi}{\omega_d}$ (mesma fase do cosseno), e sua razão é $\eu^{-\zeta\omega\cdot2\pi/\omega_d} = \eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ : o decremento logarítmico, um medidor de amortecimento legível num osciloscópio.

8. Racionalizando,

\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr) = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} ,

cujo denominador cresce com $\zeta \geq 1$ : a taxa de decaimento é máxima em $\zeta = 1$ , onde vale $\omega$ . Uma porta superamortecida fecha sem bater, mas devagar; o amortecimento crítico é o ótimo do engenheiro.

9. $E' = x'x'' + \omega^2xx' = x'\bigl(-2\zeta\omega x' - \omega^2x\bigr) + \omega^2xx' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ . Se $x$ fosse periódica e não constante, $E$ seria periódica e não crescente, logo constante, forçando $x' \equiv 0$ : $x$ constante, e então $\omega^2x = 0$ : $x \equiv 0$ . Assim, para $\zeta > 0$ , a única solução periódica é o repouso: o amortecimento mata todo ciclo.

10. O centro $\zeta = 0$ mora na reta $\tau = 0$ do plano traço–determinante — um conjunto de interior vazio: uma perturbação arbitrariamente pequena da matriz (qualquer amortecimento físico) tira $\tau$ do zero e transforma as órbitas fechadas em espirais. A periodicidade do oscilador não amortecido é, portanto, um fenômeno de fio de navalha, não robusto.

11. Substituindo $x_p = \Re(z\eu^{\iu\gamma t})$ na equação:

\bigl(-\gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma + \omega^2\bigr)z = F \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma},

logo $x_p = \abs z\cos(\gamma t - \varphi)$ com $\varphi = \arg(\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma)$ , isto é, $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2 - \gamma^2}$ , e o $A(\gamma) = \abs z$ enunciado.

12. A diferença de duas soluções resolve a equação homogênea, que para $\zeta > 0$ decai a $0$ (questão 7): toda solução é $x_p$ mais um transiente que se anula no infinito. O regime permanente é um atrator global: as condições iniciais são esquecidas, restam apenas $A(\gamma)$ e o atraso de fase $\varphi$ .

13. Minimize $g(u) = (\omega^2 - u)^2 + 4\zeta^2\omega^2u$ em $u = \gamma^2 \geq 0$ : $g'(u) = -2(\omega^2 - u) + 4\zeta^2\omega^2 = 0$ em $u = \omega^2(1 - 2\zeta^2)$ , interior se e somente se $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ . Aí

g(u_*) = 4\zeta^4\omega^4 + 4\zeta^2\omega^4(1 - 2\zeta^2) = 4\zeta^2\omega^4(1 - \zeta^2), \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1 - \zeta^2}} .

Contra a resposta estática $A(0) = \frac{F}{\omega^2}$ : amplificação $\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \approx \frac{1}{2\zeta}$ para $\zeta$ pequeno — um sistema pouco amortecido perto de $\gamma_* \approx \omega$ multiplica a entrada cem vezes quando $\zeta = 0.005$ .

14. O $x$ enunciado satisfaz $x(0) = x'(0) = 0$ e

x'' + \omega^2 x = \frac{F(\omega^2 - \gamma^2)\cos\gamma t}{\omega^2 - \gamma^2} = F\cos\gamma t

(as partes $\cos\omega t$ se cancelam). A forma de produto decorre de $\cos p - \cos q = 2\sin\frac{q+p}{2}\sin\frac{q-p}2$ com $p = \gamma t$ , $q = \omega t$ . Para $\gamma$ próximo de $\omega$ , o fator $\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2$ é um envelope lento que modula a oscilação rápida $\sin\frac{(\omega+\gamma)t}2$ : batimentos, de amplitude $\frac{2F}{\abs{\omega^2-\gamma^2}}$ — grande, mas limitada.

15. Para $x_p = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ :

x_p'' = \frac{F}{2\omega}\bigl(2\omega\cos\omega t - \omega^2t\sin\omega t\bigr) = F\cos\omega t - \omega^2x_p :

é solução. E, com $t$ fixo, fazendo $\gamma \to \omega$ na questão 14:

\frac{2F\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2 \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2}} {(\omega-\gamma)(\omega+\gamma)} \longrightarrow \frac{2F\cdot\frac{(\omega-\gamma)t}2\big/(\omega-\gamma) \cdot\sin\omega t}{2\omega} = \frac{F\,t\sin\omega t}{2\omega} .

A amplitude cresce linearmente sem limite: a catástrofe de ressonância — a razão pela qual soldados quebram o passo em pontes.

16. A onda quadrada carrega harmônicos em toda frequência ímpar $n = 1, 3, 5, \dots$ ; por linearidade, cada harmônico $n$ é amplificado pela resposta do oscilador em $\gamma = n$ . Para $\omega = 3$ , o terceiro harmônico atinge a ressonância exatamente. Os engenheiros temem entradas quadradas (e dente de serra) porque elas excitam todos os harmônicos ímpares de uma vez: qualquer que seja a frequência natural da estrutura, algum harmônico está à espera dela.

17. $W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 = -qy_1y_2 + qy_1y_2 = 0$ : $W$ é constante (Liouville com uma matriz companheira de traço nulo). $W = 0$ num ponto torna os dados iniciais de $y_2$ proporcionais aos de $y_1$ , logo $y_2$ proporcional a $y_1$ (unicidade); $W \neq 0$ se e somente se independentes. Se $y(t_0) = y'(t_0) = 0$ , então $y \equiv 0$ (unicidade): uma solução não nula tem zeros simples, e um zero simples é isolado ( $y'$ de sinal fixo por perto).

18. Entre zeros consecutivos $a < b$ , $y_1$ mantém um sinal, digamos $y_1 > 0$ em $\intoo ab$ : então $y_1'(a) > 0$ e $y_1'(b) < 0$ (zeros simples). Avaliando a constante $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ em $a$ e $b$ :

W = -y_1'(a)\,y_2(a) = -y_1'(b)\,y_2(b) ,

de modo que $y_2(a)$ e $y_2(b)$ têm sinais opostos ( $W \neq 0$ proíbe que qualquer um se anule): $y_2$ se anula em $\intoo ab$ (valores intermediários). Ela não pode se anular duas vezes ali: dois zeros de $y_2$ ladeariam um zero de $y_1$ pelo mesmo argumento com os papéis trocados, contradizendo o fato de serem consecutivos: exatamente um zero — intercalação.

19. Suponha que $z$ não tenha zero em $\intoo ab$ ; substituindo $y, z$ por seus opostos, suponha $y > 0$ e $z > 0$ em $\intoo ab$ . Ponha $\varphi = yz' - y'z$ : $\varphi' = yz'' - y''z = (q_1 - q_2)\,yz \leq 0$ em $\intoo ab$ : $\varphi$ é não crescente. Mas $\varphi(a) = -y'(a)z(a) \leq 0$ (pois $y'(a) > 0$ , $z(a) \geq 0$ ) e $\varphi(b) = -y'(b)z(b) \geq 0$ (pois $y'(b) < 0$ , $z(b) \geq 0$ ): uma função não crescente que vai de $\leq 0$ a $\geq 0$ anula-se identicamente, logo $(q_1 - q_2)yz \equiv 0$ em $\intoo ab$ . Se $q_1 < q_2$ em algum ponto de $\intoo ab$ , isso é absurdo ( $y, z > 0$ ali): $z$ tem de se anular estritamente dentro. Em geral ( $q_1 \leq q_2$ ), ou $z$ se anula em $\intoo ab$ , ou $\varphi \equiv 0$ força $z$ proporcional a $y$ , que se anula em $a$ e $b$ : em todos os casos $z$ tem zero em $\intcc ab$ .

20. Cota superior: compare $y$ (coeficiente $q \geq m^2$ ) com $u(t) = \sin(m(t - a))$ (coeficiente $m^2 \leq q$ , de modo que $y$ faz o papel de $z$ na questão 19): se $y$ não tivesse zero em $\intoc{a}{a + \pi/m}$ , os zeros $a$ e $a + \frac\pi m$ de $u$ seriam consecutivos com $y \neq 0$ entre eles, contradizendo a questão 19: os zeros consecutivos de $y$ estão a distância $\leq \frac\pi m$ . Cota inferior: se dois zeros consecutivos $a < b$ de $y$ tivessem $b - a < \frac\pi M$ , então $z(t) = \sin(M(t-a))$ (coeficiente $M^2 \geq q$ ) teria de se anular em $\intcc ab \subset \intoo{a}{a + \pi/M} \cup\{a\}$ , onde seu único zero é o próprio $a$ — mas a questão 19 aplicada em $\intoo{a}{b}$ com estrita nas extremidades dá um zero em $\intcc ab$ , e $z > 0$ em $\intoc ab$ : contradição. Logo $\frac\pi M \leq b - a \leq \frac\pi m$ ; para $q \equiv \omega^2$ as duas cotas colapsam no espaçamento exato $\frac\pi\omega$ do oscilador harmônico.

21. Com $u = ty$ : $u'' = ty'' + 2y'$ , logo $ty'' + 2y' + ty = u'' + u = 0$ : $u = A\sin t + B\cos t = R\sin(t + \varphi)$ , e $y = \frac{u}{t}$ recupera $\frac{\sin t}t$ e $\frac{\cos t}t$ (Exercício 16.7) sem redução de ordem. Os zeros de qualquer solução não nula são os de $R\sin(t + \varphi)$ : espaçados exatamente de $\pi$ — a filosofia de Sturm em ação: o coeficiente $q \equiv 1$ dita os zeros, com fórmula ou sem.

22. Ponha $x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s$ . Então $x(0) = 0$ ;

x'(t) = \frac1\omega\sin(0)F(t) + \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s = \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s ,

logo $x'(0) = 0$ ; e $x''(t) = F(t) - \omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s = F(t) - \omega^2x(t)$ (derivação de uma integral com parâmetro de limite variável, como no capítulo de integração). Com $F(s) = F\cos\omega s$ , produto-soma dá

\int_0^t\sin(\omega(t-s))\cos(\omega s)\dd s = \frac12\int_0^t\bigl(\sin\omega t + \sin(\omega t - 2\omega s)\bigr)\dd s = \frac{t}{2}\sin\omega t ,

(a segunda peça integra zero), logo $x = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ : a questão 15 de novo, agora por Duhamel.

23. Na forma de sistema $X' = AX + (0, F(t))^{\mathsf T}$ com $\operatorname{Sp}A$ de partes reais negativas ( $\zeta > 0$ ): a variação das constantes e Exercício 16.8 ( $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ) dão

\norm{X(t)} \leq C\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} + \int_0^t C\eu^{-\alpha(t-s)}\norm{F}_\infty\dd s \leq C\norm{X_0} + \frac{C\norm F_\infty}{\alpha} :

entrada limitada, saída limitada — uniformemente nos dados iniciais após o transiente.

24. Para $\zeta = 0$ e $\gamma \neq \omega$ , a solução da questão 14 é limitada, e somar qualquer solução homogênea (limitada: as órbitas do centro são círculos) a mantém limitada; em $\gamma = \omega$ , a questão 15 cresce linearmente. Assim, para o oscilador não amortecido, a limitação sob forçamento periódico falha em exatamente uma frequência — a ressonância — enquanto a questão 23 mostra que qualquer amortecimento positivo restaura a limitação para todas as entradas limitadas.

25. (i) O plano traço–determinante classifica toda dinâmica linear plana autônoma, e o oscilador da Parte II percorre uma reta vertical dele; o forçamento deixa o plano (não autônomo), e Duhamel assume. (ii) $\gamma_*$ é a frequência que o sistema prefere, $A(\gamma_*)$ o preço de excitá-la, e $\frac{1}{2\zeta}$ o fator de amplificação — a agudeza da ressonância que os engenheiros chamam de fator de qualidade. (iii) Os teoremas de Sturm leem a oscilação a partir do sinal e do tamanho de $q$ apenas: eles governam equações (Bessel, Schrödinger) cujas soluções não têm fórmulas elementares. (iv) Os wronskianos constantes (questão 17, via Liouville) e a estabilidade com entrada limitada (questão 23) são reutilizados em silêncio sempre que o livro encontra equações de coeficientes variáveis ou sistemas perturbados.