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Matemáticas · Glosario

¿Qué es espacio afín?

Definición 17.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 17 — Espacios afines

Un espacio afín dirigido por un espacio vectorial real EE es un conjunto no vacío E\mathcal{E} dotado de una aplicación (A,B)↦AB→∈E(A, B) \mapsto \vect{AB} \in E que cumple

AB→+BC→=AC→(Chasles),para cada A, B↦AB→ es una biyeccioˊn E→E.\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC} \quad \text{(Chasles)}, \qquad \text{para cada } A,\ B \mapsto \vect{AB} \text{ es una biyección } \mathcal{E} \to E .

Se escribe B=A+uB = A + u para el único punto con AB→=u\vect{AB} = u. La dimensión de E\mathcal{E} es dim⁡E\dim E. Todo espacio vectorial es un espacio afín sobre sí mismo (AB→=B−A\vect{AB} = B - A), y toda elección de un origen O∈EO \in \mathcal{E} identifica E\mathcal{E} con EE mediante M↦OM→M \mapsto \vect{OM}.

Ejemplos

Ejemplo 17.2 (Un espacio afín sin origen natural)

El plano de soluciones E={(x,y,z)∈R3:x+y+z=1}\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\} no es un subespacio vectorial (0∉E0 \notin \mathcal E), pero sí es un espacio afín dirigido por E={x+y+z=0}E = \{x + y + z = 0\}: para A,B∈EA, B \in \mathcal E, la diferencia AB→=B−A\vect{AB} = B - A cae en EE (las sumas se cancelan), Chasles se hereda de R3\R^3 y B↦AB→B \mapsto \vect{AB} es biyectiva sobre EE. Ningún punto de E\mathcal E está distinguido: cualquier elección de “origen” O∈EO \in \mathcal E sirve igual de bien, y todas las identificaciones M↦OM→M \mapsto \vect{OM} difieren en traslaciones. Esta es la situación típica: los conjuntos de soluciones de los problemas lineales no homogéneos (sistemas lineales, ecuaciones diferenciales lineales del Capítulo 16) son afines, nunca lineales, y el lema “solución particular más núcleo” es exactamente el enunciado F=A+F\mathcal F = A + F de la definición siguiente.

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