Wat is affiene ruimte?

Voorbeeld 17.2 (Een affiene ruimte zonder natuurlijke oorsprong)

Het oplossingsvlak $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ is geen vectordeelruimte ($0 \notin \mathcal E$), maar wel een affiene ruimte gericht door $E = \{x + y + z = 0\}$: voor $A, B \in \mathcal E$ belandt het verschil $\vect{AB} = B - A$ in $E$ (de sommen heffen elkaar op), Chasles wordt van $\R^3$ geërfd, en $B \mapsto \vect{AB}$ is bijectief op $E$. Geen enkel punt van $\mathcal E$ is onderscheiden — elke keuze van een “oorsprong” $O \in \mathcal E$ werkt even goed, en alle identificaties $M \mapsto \vect{OM}$ verschillen slechts met translaties. Dit is de typische toestand: oplossingsverzamelingen van inhomogene lineaire problemen (lineaire stelsels, lineaire differentiaalvergelijkingen in Hoofdstuk 16) zijn affien, nooit lineair, en de leuze “particuliere oplossing plus kern” is precies de uitspraak $\mathcal F = A + F$ van de volgende definitie.