O que é aplicação contínua?

Exemplo 6.11

O quociente $\R/\Z$ (identificando $x$ e $x + n$) é homeomorfo ao círculo $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$: a aplicação $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ passa a uma bijeção contínua $\R/\Z \to S^1$ (Proposição 6.10(b)); sua inversa é contínua pelo argumento de compacidade do Corolário 6.14 abaixo (o Exercício 6.5 detalha tudo, inclusive por que $\R/\Z$ é de Hausdorff e compacto). Do mesmo modo, $[0,1]$ com as extremidades coladas é $S^1$, o quadrado com os lados opostos colados é o toro, e colar é, enfim, um teorema, não um desenho.

Exemplo 6.22 (A curva seno do topólogo)

Sejam $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ e $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo ponto $(0, y)$, com $\abs y \leq 1$, é limite de pontos de $\Gamma$: resolva $\sin\frac1x = y$ perto de $0$). Então $S$ é conexo — fecho do conexo $\Gamma$, imagem contínua de $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — mas não é conexo por caminhos: um caminho de $(1, \sin 1)$ até $(0,0)$ teria de percorrer abscissas $\to 0$ enquanto a ordenada oscila entre $\pm1$; o Exercício 6.9 torna isso rigoroso. Conexidade e conexidade por caminhos diferem de verdade.