O que é espaço conexo?

Exemplo 4.28

$GL_n(\R)$ não é conexo: $\det$ é contínuo (um polinômio nas entradas) sobre $\R^*$, que não é conexo; as imagens inversas de $\R_+^*$ e de $\R_-^*$ repartem $GL_n(\R)$. (Cada peça é de fato conexa por caminhos — um exercício agradável, além das nossas necessidades.) Em contraste, $GL_n(\C)$ é conexo por caminhos: Exercício 4.10.

Exemplo 4.29 (Um ponto fixo só pela conexidade)

Toda $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ contínua tem um ponto fixo — sem hipótese de contração, sem iteração. Considere $g(x) = f(x) - x$, contínua no conexo $\intcc01$:

e o teorema do valor intermediário (Teorema 4.27 (2)) entrega um zero de $g$, isto é, um ponto fixo de $f$. Contraste com Banach (Teorema 4.12): aqui a existência é topológica e gratuita, mas a unicidade e o algoritmo se perdem — $f = \mathrm{id}$ tem todo ponto fixo, e a iteração de uma $f$ não contrativa pode ciclar para sempre. Os dois teoremas de ponto fixo deste capítulo respondem a perguntas diferentes com moedas diferentes.

Exemplo 4.30 ($\R$ e $\R^2$ não são homeomorfos)

A conexidade é uma impressão digital topológica. Suponha que $h \colon \R^2 \to \R$ fosse um homeomorfismo (uma bijeção contínua de inversa contínua). Retire um ponto $a \in \R^2$: a restrição $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ continua sendo um homeomorfismo. Mas $\R^2$ menos um ponto é conexo por caminhos — ligue dois pontos quaisquer por um segmento, desviando por um segundo segmento através de um ponto auxiliar se $a$ bloquear o caminho direto — logo conexo (Teorema 4.27 (3)); ao passo que $\R$ menos um ponto se reparte em duas semirretas abertas não vazias: não é conexo. A conexidade é preservada por aplicações contínuas: contradição. O plano e a reta são genuinamente diferentes como espaços topológicos — um fato que a cardinalidade sozinha (bijeções ao estilo Exercício 1.3 realmente existem!) é grosseira demais para enxergar.

Exemplo 6.22 (A curva seno do topólogo)

Sejam $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ e $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo ponto $(0, y)$, com $\abs y \leq 1$, é limite de pontos de $\Gamma$: resolva $\sin\frac1x = y$ perto de $0$). Então $S$ é conexo — fecho do conexo $\Gamma$, imagem contínua de $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — mas não é conexo por caminhos: um caminho de $(1, \sin 1)$ até $(0,0)$ teria de percorrer abscissas $\to 0$ enquanto a ordenada oscila entre $\pm1$; o Exercício 6.9 torna isso rigoroso. Conexidade e conexidade por caminhos diferem de verdade.