O que é forma diferencial? — Matemática

Definição 21.7 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 21 — Formas diferenciais e o teorema de Stokes

Seja $U \subseteq \R^n$ aberto. Uma $k$ -forma diferencial em $U$ é uma aplicação suave $\omega\colon U \to \Lambda^k(\R^n)^*$ ; na base da Proposição 21.4 (escrevendo $\dd x_i$ para $e_i^*$ ),

\omega = \sum_{\abs I = k} a_I\,\dd x_I, \qquad \dd x_I = \dd x_{i_1} \wedge \dots \wedge \dd x_{i_k},

com coeficientes suaves $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$ . Seu espaço é $\Omega^k(U)$ ; $\Omega^0(U) = \mathcal C^\infty(U)$ . Uma $0$ -forma é uma função; uma $1$ -forma é um campo de formas lineares (por exemplo, a diferencial $\dd f$ de uma função); uma $n$ -forma é $a\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$ , o integrando natural do Capítulo 11.

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