11Medidas produto, Fubini, mudança de variáveis

Demonstração. (a) Bons conjuntos: $\{E : E_x \in \mathcal B\ \forall x\}$ é uma $\sigma$-álgebra (as seções comutam com complementos e reuniões enumeráveis) que contém os retângulos. Para $f$: $(f_x)^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x$. (b) ($\subseteq$) Retângulos de borelianos: basta que os blocos aberto$\times$aberto sejam borelianos em $\R^{m+n}$ (eles são abertos) e que os retângulos borelianos gerais sejam limites — de novo os bons conjuntos: $\{A : A\times\R^n \in \mathcal B(\R^{m+n})\}$ é uma $\sigma$-álgebra que contém os abertos; intersecte duas dessas. ($\supseteq$) Todo aberto de $\R^{m+n}$ é uma reunião enumerável de blocos abertos racionais $U\times V$: está contido na $\sigma$-álgebra produto. ∎

Demonstração. Mensurabilidade de $x \mapsto \nu(E_x)$. Suponha primeiro $\nu$ finita. A classe $\mathcal D$ dos $E$ para os quais a aplicação é mensurável contém os retângulos ($\nu((A\times B)_x) = \nu(B)\mathbf 1_A(x)$) e é um $\lambda$-sistema: para $E \subseteq F$ em $\mathcal D$, $\nu((F\setminus E)_x) = \nu(F_x) - \nu(E_x)$ (finitude); para $E_n \uparrow E$, $\nu((E_n)_x) \uparrow \nu(E_x)$ (continuidade por baixo), e limites monótonos de funções mensuráveis são mensuráveis. Os retângulos formam um $\pi$-sistema: Dynkin (Teorema 9.4) dá $\mathcal D = \mathcal A\otimes\mathcal B$. Se $\nu$ é $\sigma$-finita, escreva $Y = \bigcup Y_k$, $Y_k \uparrow$, $\nu(Y_k) < \infty$: $\nu(E_x) = \lim_k\nu_k(E_x)$ com $\nu_k = \nu(\cdot\cap Y_k)$ finitas.

Medida. A $\sigma$-aditividade de $E \mapsto \int\nu(E_x)\dd\mu$ decorre do Corolário 10.7 (as seções de conjuntos disjuntos são disjuntas). Nos retângulos, ela dá $\mu(A)\nu(B)$. Unicidade: dois candidatos coincidem no $\pi$-sistema dos retângulos; a $\sigma$-finitude fornece retângulos $X_k\times Y_k \uparrow X\times Y$ de medida finita: Teorema 9.7. Simetria: a construção na outra ordem também é uma medida que coincide nos retângulos — única, logo a mesma. ∎

Demonstração. A máquina padrão. Para $f = \mathbf 1_E$, isso é o Teorema 11.3 (e sua forma simétrica). Por linearidade, vale para $f \geq 0$ simples. Para $f \geq 0$ geral: tome $s_n \nearrow f$ simples (Teorema 10.4); então $\int_Y(s_n)_x \dd\nu \nearrow \int_Y f_x\dd\nu$ para cada $x$ (convergência monótona em $Y$), de modo que os membros esquerdos convergem por convergência monótona em $X$, ao passo que $\int s_n\,\dd(\mu\otimes\nu) \nearrow \int f$ por convergência monótona no produto. ∎

Demonstração. Tonelli aplicado a $\abs f$ mostra que $\varphi(x) = \int\abs{f_x} \dd\nu$ tem integral finita e, portanto, é finita q.t.p.: $f_x \in L^1(\nu)$ para q.t.p. $x$. Separe $f = f^+ - f^-$ (caso real; o complexo, por componentes): Tonelli calcula cada integral iterada de $f^\pm$ como $\int f^\pm\dd(\mu\otimes\nu) < \infty$, e a diferença, definida q.t.p., integra-se na diferença. Simetricamente para a outra ordem. ∎

Demonstração. Aplique Tonelli a $\mathbf 1_{\{(x,t) : 0 < t < f(x)\}}$ em $X \times \intoo0{+\infty}$ (mensurável: trata-se de $\{(x,t): f(x) - t > 0\}\cap\{t > 0\}$, uma combinação de tipo boreliano da função mensurável $(x,t)\mapsto f(x) - t$): integrando primeiro em $t$ obtém-se $\int f\,\dd\mu$; integrando primeiro em $x$, $\int_0^\infty\mu(f > t)\dd t$. Quanto a $f^p$: substitua $t = s^p$ em $\int\mu(f^p > t) \dd t$, isto é, aplique a primeira fórmula a $f^p$ e mude de variável na integral unidimensional ($\{f^p > s^p\} = \{f > s\}$). ∎

Demonstração. $(x, y) \mapsto f(x-y)g(y)$ é mensurável ($(x,y)\mapsto x - y$ é contínua; componha e multiplique). Tonelli:

(invariância por translação de $\lambda_d$ na integral interna). Logo a integral dupla é finita; Fubini dá a convergência absoluta q.t.p. e a cota de norma $\norm{f*g}_1 \leq \norm f_1\norm g_1$. Comutatividade: substitua $y \mapsto x - y$ (invariância por translação e por reflexão — a invariância por reflexão vale nos blocos e, portanto, em toda parte, por unicidade). Associatividade: Tonelli–Fubini em uma integral tripla. ∎

Demonstração. A medida $\mu_T(A) = \lambda_d(T(A))$ é uma medida de Borel (os homeomorfismos preservam borelianos, Problema 9.1), invariante por translações ($T(A + x) = T(A) + Tx$) e finita no bloco unitário: pela caracterização da medida de Lebesgue (Exercício 9.6, cuja demonstração funciona literalmente em $\R^d$ com cubos diádicos), $\mu_T = c(T)\lambda_d$ com $c(T) = \lambda_d(T(\intco01^d))$. A aplicação $T \mapsto c(T)$ é multiplicativa ($c(ST) = c(S)c(T)$, por composição), de modo que basta calcular $c$ em geradores de $GL_d$: as matrizes elementares. Diagonal $\operatorname{diag}(a, 1, \dots, 1)$: leva o cubo unitário em um bloco de volume $\abs a$: $c = \abs a = \abs\det$. Transposição de coordenadas: permuta o cubo: $c = 1 = \abs\det$. Transvecção $T(x) = x + \alpha x_2e_1$: a imagem do cubo unitário é um prisma cisalhado; por Tonelli, sua medida é $\int\lambda_1(\text{seção})\dd x_2 \cdots \dd x_d = 1$, sendo cada seção em $x_1$ um intervalo de comprimento $1$: $c = 1 = \abs{\det}$. Toda matriz inversível é um produto dessas (eliminação gaussiana), e tanto $c$ quanto $\abs\det$ são multiplicativas: $c(T) = \abs{\det T}$. A fórmula integral decorre pela máquina padrão (indicadoras, funções simples, convergência monótona). ∎

Demonstração. Escreva $J(x) = \abs{\det D\Phi(x)}$. O coração da demonstração é a desigualdade

A etapa 4 abaixo eleva $(*)$ — aplicada tanto a $\Phi$ quanto a $\Phi^{-1}$ — à igualdade do enunciado. Note que $\Phi^{-1}$ é, ela própria, um difeomorfismo $\mathcal C^1$ de jacobiano $\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = J(\Phi^{-1}y)^{-1}$ (regra da cadeia em $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$).

Etapa 1: $(*)$ para cubos, com um fator de distorção. Fixe um cubo fechado $Q \subseteq U$ de centro $x_0$ e lado $2r$ (bola para a norma do supremo). Afirmação: para todo $\varepsilon > 0$, se $\Phi$ é derivável em $Q$ com $\norm{D\Phi(x) - D\Phi(x_0)} \leq \varepsilon$ em $Q$ (norma de operador para a norma do supremo), então

pois, para $x \in Q$, a desigualdade do valor médio aplicada a $\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x - x_0)$ dá $\norm{\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x-x_0)}_\infty \leq \varepsilon\norm{x - x_0}_\infty \leq \varepsilon r$, e $D\Phi(x_0)^{-1}$ absorve esse defeito em um alargamento de $\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\,r$ do cubo. Pelo Teorema 11.10,

Etapa 2: $(*)$ para cubos compactos, por subdivisão. Sejam $Q \subseteq U$ um cubo compacto e $\varepsilon > 0$. Em $Q$, $D\Phi$ é uniformemente contínua e $\norm{D\Phi^{-1}}$ é limitada (compacidade); subdivida $Q$ em $2^{kd}$ subcubos $Q_i$ suficientemente pequenos para que a oscilação de $D\Phi$ em cada um seja $\leq \varepsilon$. A etapa 1 em cada subcubo (de centro $x_i$):

a última passagem porque $\sum_i\abs{\det D\Phi(x_i)}\mathbf 1_{Q_i} \to J$ uniformemente em $Q$ (continuidade de $\det D\Phi$) — comparação com somas de Riemann. Faça $\varepsilon \to 0$: $(*)$ vale para cubos compactos.

Etapa 3: $(*)$ para todo boreliano $A$. A função de conjunto $A \mapsto \lambda_d(\Phi(A))$, nos borelianos de $U$, é uma medida ($\Phi$ é uma bijeção sobre $V$ que preserva borelianos e disjunção enumerável), e $A \mapsto \int_AJ$ também é. Todo aberto de $U$ é uma reunião enumerável de cubos diádicos compactos quase disjuntos (decomposição diádica padrão: tome os cubos diádicos maximais contidos no aberto), e ambas as medidas são aditivas sobre eles (as fronteiras dos cubos são $\lambda_d$-nulas, e suas imagens por $\Phi$ são nulas pela etapa 2 aplicada a coberturas das faces por cubos finos): $(*)$ passa dos cubos aos abertos. Para $A$ boreliano geral: exaura $U$ por compactos $K_m \uparrow U$ com $K_m \subseteq \mathring K_{m+1}$, e fixe $m$; em $\mathring K_{m+1}$, $J$ é limitada por algum $M_m$. Pela regularidade exterior de $\lambda_d$ (demonstração como no Teorema 9.13, com blocos), escolha abertos $O_n$ com $A \cap K_m \subseteq O_n \subseteq \mathring K_{m+1}$ e $\lambda_d\bigl(O_n \setminus (A\cap K_m)\bigr) \to 0$. Então

Faça $m \to \infty$: continuidade por baixo à esquerda, convergência monótona à direita. Isso estabelece $(*)$.

Etapa 4: igualdade e fórmula integral. Primeiro, estenda $(*)$ dos conjuntos às integrais: para toda $g \geq 0$ mensurável em $V$,

Com efeito, para $g = \mathbf 1_B$ isso é $(*)$ com $A = \Phi^{-1}(B)$; a linearidade estende a $g$ simples, e a convergência monótona a toda $g \geq 0$ (a máquina padrão). Aplique agora $(**)$ duas vezes: primeiro a $g$ e, em seguida — para o difeomorfismo $\Phi^{-1}$ —, à função $x \mapsto g(\Phi(x))J(x)$:

já que $J(\Phi^{-1}y)\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = \abs{\det\bigl( D\Phi(\Phi^{-1}y)\,D\Phi^{-1}(y)\bigr)} = 1$ (regra da cadeia em $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$). Todas as desigualdades são igualdades: a fórmula vale para $g \geq 0$ e, por decomposição, para funções $L^1$. ∎

Demonstração. Calcule $I = \int_{\R^d}\eu^{-\norm x_2^2}\dd\lambda_d$ de duas maneiras. Por Tonelli, ela se fatora: $I = G^d = \pi^{d/2}$. Pela fórmula do bolo de camadas (Proposição 11.8) com $f = \eu^{- \norm x^2}$, cujos conjuntos de nível são bolas: $\{f > t\} = B\bigl(0, \sqrt{-\ln t}\bigr)$ para $0 < t < 1$, de medida $v_d(-\ln t)^{d/2}$ (a dilatação por $\rho$ reescala $\lambda_d$ por $\rho^d$: Teorema 11.10), de modo que

Iguale. (Os valores: $\Gamma(\frac32) = \frac{\sqrt\pi}2$, $\Gamma(2) = 1$, etc.) Note que $v_d \to 0$ quando $d \to \infty$ — o problema de fim de semana quantifica com que rapidez, via Stirling. ∎