Qu'est-ce que « forme différentielle » ?

Soit $U \subseteq \R^n$ ouvert. Une forme différentielle de degré $k$ sur $U$ est une application lisse $\omega\colon U \to \Lambda^k(\R^n)^*$ ; dans la base de la Proposition 21.4 (en écrivant $\dd x_i$ pour $e_i^*$),

avec des coefficients lisses $a_I \in \mathcal C^\infty(U)$. Leur espace est $\Omega^k(U)$ ; $\Omega^0(U) = \mathcal C^\infty(U)$. Une $0$-forme est une fonction ; une $1$-forme est un champ de formes linéaires (p.ex. la différentielle $\dd f$ d’une fonction) ; une $n$-forme est $a\,\dd x_1\wedge\dots\wedge\dd x_n$, l’intégrande naturelle du Chapitre 11.