21Formas diferenciais e o teorema de Stokes

Demonstração. Geração. Sejam $\alpha \in \Lambda^kE^*$ e $\beta = \sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, em que $\alpha(e_I)$ abrevia $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Ambos os lados são $k$-lineares e alternados, de modo que coincidem assim que coincidam em todas as $k$-uplas $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ com $j_1 < \dots < j_k$ (a multilinearidade reduz a uplas de vetores da base; a alternância, às estritamente crescentes). E $e_I^*(e_{j_1}, \dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: para $I = J$ a matriz é a identidade; para $I \neq J$ alguma linha é nula. Logo $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ para todo $J$: $\beta = \alpha$. Independência. Se $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, avaliar em $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ dá $c_J = 0$. ∎

Demonstração. Ambas as propriedades se verificam nos elementos da base e se estendem por bilinearidade. Associatividade: as duas maneiras de parentesear $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ dão o produto exterior da família concatenada de $1$-formas, pela fórmula do determinante da Definição 21.3 (desenvolvimento de Laplace por blocos). A regra de sinais: mover cada um dos $\ell$ fatores de $\beta$ além dos $k$ fatores de $\alpha$ custa um sinal por transposição adjacente (uma troca de duas linhas do determinante), logo $(-1)^{k\ell}$ ao todo. ∎

Demonstração. As identidades funtoriais são imediatas das definições (para a regra do produto, verifique em produtos exteriores de $1$-formas com a fórmula do determinante — $\det(\ell_i(uv_j)) = \det((u^*\ell_i)(v_j))$ — e estenda por bilinearidade). (1) $u^*$ leva o espaço unidimensional $\Lambda^nE^*$ (Proposição 21.4) nele mesmo, de modo que $u^*\alpha = c\,\alpha$ com $c$ independente de $\alpha \neq 0$; testando em $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ e $(v_j) = (e_j)$ obtém-se $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Para $v_1, \dots, v_k \in E$, os vetores $u(v_1), \dots, u(v_k)$ estão na imagem de $u$, de dimensão $< k$: eles são linearmente dependentes, e uma forma alternada se anula em uma família dependente (expanda o vetor dependente ao longo dos demais). ∎

Demonstração. (a) Por bilinearidade, basta tratar $\omega = a\,\dd x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$. Então $\omega \wedge \eta = ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ e

e mover a $1$-forma $\dd b$ além dos $k$ fatores de $\dd x_I$ custa $(-1)^k$ (Definição 21.5): o segundo termo é $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Para uma função: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j} \frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge \dd x_i$. O coeficiente é simétrico em $(i,j)$ pelo teorema de Schwarz sobre derivadas parciais mistas (demonstrado no volume do segundo ano; $a$ é $\mathcal C^\infty$), ao passo que $\dd x_j \wedge \dd x_i$ é antissimétrico: emparelhando os termos $(i,j)$ e $(j,i)$, tudo se cancela. Para uma $\omega = \sum a_I\dd x_I$ geral: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I) = \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ por (a), e ambos os termos se anulam ($\dd(\dd x_I) = 0$, pois o coeficiente é constante). ∎

Demonstração. (a) São enunciados pontuais sobre pullbacks lineares (Proposição 21.6), mais a regra da cadeia $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Para uma $0$-forma $f$: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ é a regra da cadeia. Para $\omega = a\,\dd y_I$: usando (a), $\varphi^*\omega = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$, de modo que, pela regra de Leibniz (Teorema 21.9(a)) e por $\dd\dd\varphi_{i_r} = 0$:

(c) Ponto a ponto, isso é exatamente $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ em formas de grau máximo (Proposição 21.6(1) com $u = D\varphi(x)$). ∎

Demonstração. Construímos um operador de homotopia linear $h\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ com

se $\dd\omega = 0$, então $\omega = \dd(h\omega)$ e terminamos. Para $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$, ponha

(o chapéu suprime um fator; as integrais são suaves em $x$ por derivação sob o sinal de integral, Teorema 10.15, com todas as derivadas dominadas nos compactos). Verificar (21.1) é um cálculo que se faz uma vez na vida, então o fazemos por extenso. Fixe $I$ e tome $\omega = a\,\dd x_I$ (linearidade). Primeiro,

o primeiro grupo reúne os termos em que $\dd$ atinge o fator $x_{i_r}$ — o produto exterior $\dd x_{i_r}\wedge\dd x_{I\setminus i_r}$ recompõe $\dd x_I$ com um sinal $(-1)^{r-1}$ que cancela o prefator, e os $k$ valores de $r$ dão o fator $k$ —, enquanto o segundo grupo reúne os termos em que $\dd$ atinge a integral (a regra da cadeia faz sair $t\,\partial_ja(tx)$). Em seguida, $\dd\omega = \sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$ e, aplicando a definição de $h$ em grau $k+1$, com o índice $j$ ocupando a primeira posição:

As somas duplas se cancelam em $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$, que portanto é igual a

pelo teorema fundamental do cálculo. O caráter estrelado entrou onde tinha de entrar: $tx \in U$ para $t \in \intcc01$, de modo que $a(tx)$ faz sentido. ∎

Demonstração. (a) Sejam $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ parametrizações diretas cujas imagens contêm $\operatorname{supp}\omega\cap M$. A transição $\tau = \delta^{-1}\circ\gamma$ é um difeomorfismo entre os abertos relevantes de $V, V'$ (regularidade das transições: Teorema 20.3, via a descrição local por gráficos), e $\gamma = \delta\circ\tau$ ali, de modo que $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (Teorema 21.11(a)). Escreva $\delta^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$; então (Teorema 21.11(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) = (g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Sendo diretos ambos os referenciais, $D\tau$ leva uma base positiva em uma base positiva: $\det D\tau > 0$, de modo que $\det D\tau = \abs{\det D\tau}$, e o teorema de mudança de variáveis (Teorema 11.11) dá $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: as duas integrais coincidem. Eis toda a razão de a orientação existir: sem o controle de sinal, o jacobiano e seu valor absoluto diferem, e a integral fica mal definida. (b) Se $(\chi_i)$ e $(\tilde\chi_j)$ são duas partições admissíveis (coberturas incluídas), então, por (a) e pela aditividade finita, $\sum_i\int\chi_i\omega = \sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega = \sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, sendo cada termo duplo calculável em qualquer das duas cartas. Quanto à última afirmação: se $\gamma$ percorre as parametrizações diretas de $M$, então $\Phi\circ\gamma$ percorre as parametrizações diretas de $M'$ (a comparação de orientações é localmente constante e está fixada em um ponto por componente), e $(\Phi\circ\gamma)^*\omega = \gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

Demonstração. Cada $x \in K$ está em algum $W_{i(x)}$ com uma bola fechada $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; a compacidade extrai $x_1, \dots, x_N$ com as bolas $B(x_s, r_{x_s})$ cobrindo $K$. Para cada $s$, tome uma função de corte $\theta_s \in \mathcal C^\infty$, $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ em $\bar B(x_s, r_{x_s})$, $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (regularize a indicadora da bola de raio $\frac32r_{x_s}$, Teorema 12.9). Atribua cada $s$ a um índice $i(s)$ com $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ e ponha $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. No aberto $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$, as funções $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ fazem o serviço, mas só estão ali definidas; para globalizar, seja $\rho \in \mathcal C^\infty(\R^n)$ satisfazendo $\rho = 0$ onde $\sum_j\Theta_j \geq 1$ e $\rho > 0$ onde $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (regularize um corte adequado de $1 - \sum_j\Theta_j$), e ponha

O denominador é $> 0$ em toda parte e vale $\sum_j\Theta_j$ em $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, uma vizinhança aberta de $K$ (cada ponto de $K$ está em alguma bola $B(x_s, r_{x_s})$ onde $\theta_s = 1$); ali $\sum_i\chi_i = 1$. Os suportes e as cotas são claros. ∎

Demonstração. Primeiro, a contabilidade das orientações: a normal exterior ao longo de $\partial H^k$ é $-e_k$, e

o referencial $(e_1, \dots, e_{k-1})$ de $\partial H^k$ é positivo para a orientação induzida exatamente quando $k$ é par, donde a comparação enunciada. Por linearidade, tome $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal C^\infty_c(\R^k)$; então $\dd\eta = (-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (mover $\dd u_i$ para sua posição custa $i - 1$ trocas). Dois casos, ambos por Tonelli–Fubini (Teorema 11.6) e pelo teorema fundamental do cálculo de uma variável.

Caso $i < k$. Integrando primeiro em $u_i$ sobre $\R$: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (suporte compacto), de modo que $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. E a restrição de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ contém o fator $\dd u_k$, que se restringe a $0$ ($u_k$ é ali constante): $\int_{\partial H^k}\eta = 0$ também.

Caso $i = k$. Integrando primeiro em $u_k$ sobre $\intco0\infty$:

Do lado do bordo, $\eta$ se restringe a $f(u', 0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$ e, sendo a orientação induzida $(-1)^k$ vezes a padrão, $\int_{\partial H^k}\eta = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. Os dois lados coincidem. ∎

Demonstração. Cubra o compacto $M$ por um número finito de imagens de cartas diretas (interiores ou de bordo) e tome uma partição da unidade $(\chi_i)$ subordinada aos abertos $W_i$ de $\R^n$ correspondentes (Lema 21.20), com $\sum\chi_i = 1$ em uma vizinhança de $M$. Nessa vizinhança, $\dd(\sum\chi_i) = 0$, de modo que

ambos os lados são aditivos, e basta demonstrar o teorema para uma forma com suporte na imagem de uma única carta.

Carta interior. Se $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ com $V$ aberto em $\R^k$: estenda $\eta = \gamma^*\omega$ por zero a $\R^k$ (suave, de suporte compacto em $V$) e aplique o Lema 21.22 com o suporte longe de $\partial H^k$ (translade $V$ para dentro do semiespaço superior aberto — ou simplesmente repita o cálculo do caso $i < k$ em todo $\R^k$): $\int_M\dd\omega = \int_{\R^k}\dd\eta = 0$, e $\int_{\partial M}\omega = 0$, pois $\omega$ se anula perto de $\partial M$.

Carta de bordo. Se $\operatorname{supp}\omega\cap M \subseteq \gamma(V \cap H^k)$: com $\eta = \gamma^*\omega$ estendida por zero, $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (Teorema 21.11(b)), de modo que, pela Definição 21.18:

Resta identificar o membro direito com $\int_{\partial M}\omega$. O bordo é parametrizado por $\beta(u') = \gamma(u', 0)$, e $\beta^*\omega$ é a restrição de $\eta$ a $\{u_k = 0\}$ (pullback pela inclusão $u' \mapsto (u', 0)$ composta com $\gamma$). A comparação de orientações é o mesmo $(-1)^k$ dos dois lados: o referencial $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ está na orientação induzida de $\partial M$ com o sinal $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ calculado na carta (o vetor exterior se puxa para trás em $-e_k$), que é exatamente o sinal que relaciona a orientação induzida de $\partial H^k$ com a padrão de $\R^{k-1}$ (Lema 21.22). As duas convenções de sinal se cancelam: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎