O que é Índice de rotação?

Para um caminho fechado $\gamma$ e $z \notin \operatorname{im}\gamma$, o índice é

Ele é um inteiro: pondo $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$, a função $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ tem derivada nula (por partes), logo é constante; em $t = b$, $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$, de modo que $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$. Como função de $z$, o índice é contínuo em $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (convergência dominada), logo constante em cada componente conexa, e vale $0$ na componente ilimitada (ML: a integral tende a $0$ quando $z \to \infty$). Para o círculo $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$, $t \in \intcc0{2\pi}$: $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ para $z \in D(a,r)$ (calcule em $z = a$: $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$; a constância faz o resto).

Seja $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ uma curva fechada suave. Seu índice de rotação em torno de $a$ é