função escada কী?

Exemplo 15.5 (Contínua por partes, sem drama)

A função parte inteira em $\intcc{0}{3}$ é uma função escada disfarçada: separando nos seus saltos,

e os valores nos pontos de salto $1, 2$ são irrelevantes: mudar uma função em finitos pontos não muda integral alguma (as funções escada que a enquadram não são afetadas). É todo o conteúdo da extensão a “contínua por partes”: corte nas finitas descontinuidades, integre cada peça contínua e some — Chasles como definição.

Exemplo 15.6 (A definição calcula, uma vez)

Seja $f(x) = x$ em $\intcc{0}{1}$ e corte em $n$ peças iguais. As melhores funções escada constantes nas peças são $\varphi = \frac{k-1}{n}$ e $\psi = \frac kn$ na $k$-ésima peça, com

Toda integral inferior é $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ toda superior, de modo que $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ para todo $n$: as duas se comprimem sobre $\frac12$, e $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ sai direto da definição. A ideia de fechamento: esta é a primeira e a última vez que integramos pela definição — o teorema fundamental, abaixo, substitui todos esses cálculos por uma consulta de primitiva, o que é todo o ponto econômico deste capítulo.