Coaché analítica em quando é a soma de uma série de potências em numa vizinhança; num intervalo, quando o é em todo ponto. As somas de séries de potências são analíticas dentro de seu disco (reordenação do desenvolvimento — admitida neste nível para o recentramento, sendo o caso o Teorema 11.7). Analítica implica ; a recíproca falha: a função achatada (Exercício 11.7).
উদাহরণ
Exemplo 11.14 (Recentrar, e o raio como distância)
Desenvolva em torno de : escrevendo ,
válido para , isto é, . O novo raio é exatamente a distância do novo centro à singularidade : recentrar encolhe (ou aumenta) o disco para que ele caiba até o obstáculo mais próximo. Lição final: essa é a figura por trás da definição de analiticidade — uma função, muitas séries de potências locais, cada uma vivendo no maior disco que evita o problema; o volume do terceiro ano de graduação transforma a heurística “raio distância à singularidade complexa mais próxima” num teorema.