Limite superior de eventos কী?

Exemplo 21.24 (Traduzindo “infinitas vezes” e “a partir de certa ordem”)

O complementar de $\limsup_nA_n$ é, por de Morgan,

o evento “a partir de certa ordem, $A_n$ falha” (escrito $\liminf_nA_n^c$). Assim, “$A_n$ infinitas vezes” e “$A_n^c$ a partir de certa ordem” são complementares — manter esse dicionário em ordem previne a maioria dos acidentes com quantificadores. Traduções de amostra para o lançamento de moedas: “infinitas caras” é $\limsup\{X_n = H\}$; “apenas finitas sequências de $100$ caras” é o complementar de um limsup; “a frequência corrente converge para $\frac12$” é $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - \tfrac12} < \tfrac1j\}$ — operações enumeráveis em toda parte, de modo que todos esses são eventos honestos.

Exemplo 21.26 (Sequências infinitas de caras)

Lance uma moeda honesta indefinidamente e seja $A_n$ o evento “os lançamentos $n, n+1, \dots, n + k - 1$ são todos cara” (uma sequência de $k$ caras começando no instante $n$), para $k$ fixo. Os eventos $A_{jk}$ ($j = 1, 2, \dots$), dependendo de blocos disjuntos de lançamentos, são independentes, cada um de probabilidade $2^{-k}$, e $\sum_j 2^{-k} = \infty$: por Borel–Cantelli 2, com probabilidade $1$ infinitos blocos são todos-cara — todo padrão fixo recorre infinitas vezes, quase certamente. Reciprocamente, se deixarmos o comprimento da sequência crescer, $B_n = {}$“uma sequência de $2\log_2 n$ caras começa em $n$” tem $\P(B_n) = n^{-2}$ somável, de modo que, quase certamente, apenas finitas dessas longas sequências começam: Borel–Cantelli calibra precisamente quão longas são as sequências mais longas.