Matemática universitária — Graduação 3 · Bachelor Year 3

3Módulos sobre um domínio de ideais principais

Álgebra linear sobre um anel em vez de um corpo: essa pequena mudança de hipótese produz um dos grandes teoremas de unificação da álgebra. Um módulo sobre $\Z$ é um grupo abeliano; um módulo sobre $K[X]$ é um espaço vetorial munido de um endomorfismo. O teorema de estrutura dos módulos finitamente gerados sobre um DIP classifica, portanto, de uma só vez, todos os grupos abelianos finitamente gerados e todos os endomorfismos a menos de semelhança — a redução de Jordan, que o segundo ano obteve por induções delicadas, cai como corolário, junto com sua irmã mais sutil, a forma canônica racional, válida sobre todo corpo. O motor computacional é a forma normal de Smith, uma aritmética de matrizes digna de Euclides.

Ao longo de todo o capítulo, $A$ é um anel comutativo, em breve um DIP; “módulo” significa $A$ -módulo.

3.1 Módulos, módulos livres

Definição 3.1

Um $A$ -módulo é um grupo abeliano $(M, +)$ com uma multiplicação escalar $A \times M \to M$ que satisfaz os axiomas de espaço vetorial: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Submódulos, quocientes $M/N$ , morfismos (aplicações $A$ -lineares), somas diretas $\bigoplus_i M_i$ e os teoremas de isomorfismo definem-se e demonstram-se palavra por palavra como para espaços vetoriais e grupos abelianos; em particular, $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ para um morfismo $f$ .

Exemplo 3.2

Os três casos motivadores.

$A = K$ um corpo: os módulos são os espaços vetoriais.
$A = \Z$ : os módulos são exatamente os grupos abelianos ( $nx$ é obrigado a valer $x + \dots + x$ ), e os submódulos são os subgrupos.
$A = K[X]$ : um módulo é um $K$ -espaço vetorial $V$ munido da aplicação $K$ -linear $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — reciprocamente, todo par $(V, u)$ com $u \in \mathcal L(V)$ torna-se um $K[X]$ -módulo por $P \cdot x = P(u)(x)$ . Os submódulos são precisamente os subespaços $u$ -estáveis.

Um ideal de $A$ é exatamente um submódulo de $A$ ; um anel quociente $A/I$ é um $A$ -módulo. Ao contrário dos espaços vetoriais, os módulos podem ter torção: em $\Z/6\Z$ , o elemento $\bar 3 \ne 0$ é aniquilado por $2 \neq 0$ .

Definição 3.3

$M$ é finitamente gerado se $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ para certos $x_i$ . $M$ é livre de posto $n$ se $M \cong A^n$ , isto é, se admite uma base (uma família geradora $A$ -linearmente independente). Todo $M$ finitamente gerado é quociente de um módulo livre: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ leva $A^n$ sobre $M$ .

Proposição 3.4 (Invariância do posto)

Se $A \neq 0$ e $A^m \cong A^n$ , então $m = n$ .

Demonstração. Escolha um ideal maximal $\mathfrak m$ de $A$ (Teorema 2.8) e ponha $k = A/\mathfrak m$ , um corpo. Um isomorfismo $f \colon A^m \to A^n$ leva $\mathfrak m A^m$ em $\mathfrak m A^n$ (linearidade), logo induz um isomorfismo de quocientes

A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{isto é}\qquad k^m \cong k^n

como $k$ -espaços vetoriais (o quociente $A^m/\mathfrak m A^m$ é aniquilado por $\mathfrak m$ , de modo que a ação de $A$ se fatora por $k$ ; as imagens da base canônica formam uma $k$ -base). A teoria da dimensão sobre o corpo $k$ dá $m = n$ . ∎

Teorema 3.5 (Submódulos de módulos livres)

Sejam $A$ um DIP e $M \subseteq A^n$ um submódulo. Então $M$ é livre de posto $\leq n$ .

Demonstração. Indução sobre $n$ . Para $n = 1$ : $M$ é um ideal, logo $M = (0)$ (livre de posto $0$ ) ou $M = dA \cong A$ ( $x \mapsto dx$ é injetora, por se tratar de um domínio). Para $n > 1$ : seja $\pi \colon A^n \to A$ a última coordenada. Então $\pi(M)$ é um ideal, $(0)$ ou $dA$ . Se for $(0)$ : $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ e a indução se aplica. Caso contrário, escolha $x_0 \in M$ com $\pi(x_0) = d$ . Todo $x \in M$ se escreve de maneira única

x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi

( $\pi(x) \in dA$ , de modo que o coeficiente está em $A$ ). Assim $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : a soma é direta, pois $\pi(ax_0) = ad = 0$ força $a = 0$ . Por indução, $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ é livre de posto $\leq n - 1$ ; adjungindo $x_0$ (independente de $\ker\pi$ , como acabamos de ver) obtém-se uma base de $M$ de cardinalidade $\leq n$ . ∎

Observação 3.6

Consequentemente, sobre um DIP, todo módulo finitamente gerado $M$ admite uma apresentação finita: uma sobrejeção $\varphi\colon A^n \to M$ tem núcleo livre com base $c_1, \dots, c_k$ ( $k \leq n$ ), e $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ , onde $C \in M_{n,k}(A)$ é a matriz cujas colunas são os $c_j$ . Compreender $M$ significa compreender uma matriz sobre $A$ a menos de mudanças de base na fonte e no alvo — o assunto da próxima seção.

3.2 Forma normal de Smith

Definição 3.7

Duas matrizes $B, C \in M_{n,k}(A)$ são equivalentes se $C = QBP$ com $Q \in GL_n(A)$ , $P \in GL_k(A)$ (inversíveis sobre $A$ : determinante em $A^\times$ ). Matrizes de apresentação equivalentes definem módulos isomorfos $A^n/ \operatorname{im}$ (mudanças de base em $A^n$ e em $A^k$ ).

Teorema 3.8 (Forma normal de Smith)

Sejam $A$ um DIP e $B \in M_{n,k}(A)$ . Então $B$ é equivalente a uma matriz diagonal

\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,

e os $d_i$ são únicos a menos de associados: $d_1 \cdots d_i$ é um mdc dos menores $i \times i$ de $B$ (em particular, esse mdc é um invariante da equivalência). Os $d_i$ são os fatores invariantes de $B$ .

Demonstração. Existência. Se $B = 0$ , nada há a fazer. Caso contrário, considere o conjunto dos ideais $(b)$ gerados pelas entradas das matrizes equivalentes a $B$ ; como $A$ é noetheriano, escolha uma matriz $B'$ equivalente a $B$ e uma entrada $d$ de $B'$ com $(d)$ maximal nesse conjunto. Leve $d$ à posição $(1,1)$ por trocas de linhas e de colunas.

Afirmação: $d$ divide toda entrada de $B'$ . Primeiro, a coluna 1: se $b_{i1}$ não é múltiplo de $d$ , seja $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), de modo que $(e) \supsetneq (d)$ . O truque da matriz $2 \times 2$ : agir sobre as linhas $1$ e $i$ por

\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)

produz uma matriz equivalente com entrada $e$ na posição $(1,1)$ : isso contradiz a maximalidade de $(d)$ . Logo $d$ divide a coluna $1$ e, simetricamente, a linha $1$ . Subtrair múltiplos da linha 1 e da coluna 1 as anula: $B'$ é equivalente a $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ . Em seguida, $d$ divide toda entrada $b$ de $B''$ : some a linha de $b$ à linha 1 (uma operação elementar; a nova primeira linha contém $d$ e entradas $b$ ) e repita o argumento de limpeza de coluna: um não múltiplo melhoraria de novo $(d)$ . Agora faça indução sobre o tamanho: $B''$ , cujas entradas são todas divisíveis por $d$ , tem uma forma de Smith $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ cujas entradas permanecem divisíveis por $d$ (toda entrada de qualquer $QB''P$ é uma $A$ -combinação de entradas de $B''$ ); ponha $d_1 = d$ .

Unicidade. Denote por $D_i(B)$ um mdc de todos os menores $i \times i$ . As operações de linha e de coluna e, mais geralmente, a multiplicação por qualquer matriz não podem diminuir o mdc: os menores $i \times i$ de $QB$ são $A$ -combinações dos de $B$ (desenvolvimento de Cauchy–Binet; ou diretamente: cada linha de $QB$ é uma combinação de linhas de $B$ , e os menores são multilineares nas linhas). Logo $D_i(QBP)$ e $D_i(B)$ dividem-se mutuamente: $D_i$ é um invariante de equivalência. Na forma diagonal, os menores $i \times i$ não nulos são os produtos de $i$ dos $d_j$ , e a divisibilidade $d_1 \mid \dots \mid d_r$ faz de $d_1 \cdots d_i$ o mdc. Portanto $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ a menos de unidades, e $d_i = D_i/D_{i-1}$ fica determinado. ∎

Método 3.9

Sobre um domínio euclidiano ( $\Z$ , $K[X]$ ), a redução de Smith é um algoritmo — não é preciso nenhum argumento de maximalidade: leve a entrada de menor tamanho euclidiano à posição $(1,1)$ ; se ela não dividir alguma entrada de sua linha ou de sua coluna, uma divisão euclidiana deixa ali um resto estritamente menor — troque-o para o canto e recomece (a terminação vem da diminuição dos tamanhos); quando ela dividir toda a sua linha e toda a sua coluna, anule-as; se não dividir uma entrada interna, some aquela linha à linha $1$ e recomece; faça recursão sobre o bloco interno. Na prática, para matrizes inteiras: calcule $D_1 = \gcd$ das entradas, $D_2$ , … via menores para tamanhos pequenos, ou rode o algoritmo.

Exemplo 3.10 (Uma redução de Smith, por extenso)

Reduza $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ sobre $\Z$ . O canto $1$ divide tudo: anule sua linha e sua coluna ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ e, em seguida, $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

No bloco interno, o canto $-3$ divide todas as entradas: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ e $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ o anulam até $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . Ajustando os sinais (multiplique uma linha por $-1$ , operação legítima):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

Confira pelos divisores determinantais: $D_1 = \gcd(\text{entradas}) = 1$ ; todo menor $2\times2$ de $M$ é múltiplo de $3$ (por exemplo $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) e um deles vale $-3$ : $D_2 = 3$ ; $D_3 = \det M = 0$ . Logo $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : a mesma resposta. Duas lições: um fator invariante nulo registra a queda de posto (o conúcleo ganha uma parcela livre $\Z$ ), e a cadeia de divisibilidade $1 \mid 3 \mid 0$ é o certificado de Smith — uma redução diagonal que viole a cadeia (digamos $\operatorname{diag}(2, 3)$ , que o descuidado pode produzir a partir de $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ parando cedo demais: a forma de Smith correta é $\operatorname{diag}(1, 6)$ , pois $D_1 = 1$ aqui!) não está terminada.

$O sub-reticulado L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) de ℤ2 (pontos vermelhos). A forma normal de Smith de ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) é diag(1, 6): na base adaptada f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) de ℤ2, tem-se L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, logo ℤ2/L ℤ/6ℤ — o índice é igual a | | = 6, a área do domínio fundamental sombreado.$

O sub-reticulado

L = \Z(2,0) + \Z(1,3)

\Z^2

(pontos vermelhos). A forma normal de Smith de

\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)

\operatorname{diag}(1, 6)

: na base adaptada

f_1 = (1,3)

f_2 = (0,1)

\Z^2

, tem-se

L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2

, logo

\Z^2/L \cong \Z/6\Z

— o índice é igual a

\abs{\det} = 6

, a área do domínio fundamental sombreado.

3.3 O teorema de estrutura

Definição 3.11

Sejam $A$ um domínio e $M$ um $A$ -módulo. O submódulo de torção é

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ para algum } a \neq 0\}

(é um submódulo: se $ax = by = 0$ , então $ab(x + y) = 0$ , $ab \ne 0$ ). $M$ é sem torção se $T(M) = 0$ , e é um módulo de torção se $T(M) = M$ .

Teorema 3.12 (Estrutura dos módulos finitamente gerados sobre um DIP)

Sejam $A$ um DIP e $M$ um $A$ -módulo finitamente gerado. Existem um único $r \in \N$ e elementos não nulos e não inversíveis $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ , únicos a menos de associados, tais que

M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).

Além disso, $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ e $M/T(M) \cong A^r$ : um módulo finitamente gerado sem torção sobre um DIP é livre.

Demonstração. Existência. Apresente $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ (Observação 3.6) e ponha $C$ na forma de Smith: após as duas mudanças de base, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$ . Descarte os fatores em que $d_i$ é uma unidade ( $A/(d_i) = 0$ ); a cadeia de divisibilidade sobrevive.

Identificação da torção. Na decomposição, $A^r$ é sem torção (um domínio não tem divisores de zero) e cada $A/(d_i)$ é de torção (aniquilado por $d_i \ne 0$ ); uma soma direta reparte a torção de acordo: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ e $M/T(M) \cong A^r$ .

Unicidade de $r$ : $M/T(M) \cong A^r$ depende apenas de $M$ , e a Proposição 3.4 fixa $r$ .

Unicidade dos $d_i$ : basta tratar o módulo de torção $T = T(M)$ . Decomponha cada $d_i$ em primos e separe pelo teorema chinês dos restos (Teorema 2.9; primos distintos geram ideais comaximais):

A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),

os divisores elementares $p^{k_{p,j}}$ . Reciprocamente, os $d_i$ se reconstroem a partir do multiconjunto dos divisores elementares ( $d_s$ = produto da maior potência de cada primo, etc.), de modo que basta demonstrar que o multiconjunto $\{k_{p,j}\}_j$ é determinado por $T$ , para cada primo $p$ . Fixe $p$ ; para $j \geq 1$ , considere os $A/(p)$ -espaços vetoriais $p^{j-1}T/p^jT$ . Em um fator cíclico $A/(p^k)$ :

p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{se } j \leq k,\\ 0 & \text{se } j > k, \end{cases}

e em um fator $A/(q^k)$ , $q \neq p$ : a multiplicação por $p$ é ali bijetora ( $p$ é inversível módulo $q^k$ , por Bézout), de modo que o quociente é $0$ . As somas diretas passam ao quociente: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$ . Essas dimensões intrínsecas determinam o multiconjunto dos expoentes. ∎

Corolário 3.13 (Grupos abelianos finitamente gerados)

Todo grupo abeliano finitamente gerado é $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ com $d_1 \mid \dots \mid d_s$ , de maneira única. Todo grupo abeliano finito é um produto de grupos cíclicos de ordem potência de primo, único como multiconjunto.

Exemplo 3.14

Os grupos abelianos de ordem $p^n$ correspondem às partições de $n$ : para $p^4$ : $\Z/p^4$ , $\Z/p^3\times\Z/p$ , $(\Z/p^2)^2$ , $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ , $(\Z/p)^4$ — cinco grupos, pois $4$ tem cinco partições. Ordens mistas multiplicam as contagens primo a primo (teorema chinês dos restos): há $5 \times 2$ grupos abelianos de ordem $2^4 \cdot 3^2 = 144$ .

3.4 Aplicação: formas canônicas de endomorfismos

Sejam $K$ um corpo, $V$ um $K$ -espaço vetorial de dimensão finita $n$ e $u \in \mathcal L(V)$ ; faça de $V$ um $K[X]$ -módulo por meio de $P \cdot x = P(u)(x)$ (Exemplo 3.2). Esse módulo é finitamente gerado (uma $K$ -base já o gera) e de torção: para cada $x$ , os $n+1$ vetores $x, u(x), \dots, u^n(x)$ são $K$ -dependentes, o que fornece um polinômio aniquilador não nulo.

Definição 3.15

Para $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ mônico, a matriz companheira é

C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} :

a matriz da “multiplicação por $X$ ” em $K[X]/(P)$ na base $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ .

Teorema 3.16 (Frobenius: forma canônica racional)

Existe uma única sequência de polinômios mônicos não constantes $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (os invariantes de semelhança de $u$ ) tal que, como $K[X]$ -módulos,

V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):

e, em uma base adequada, $u$ tem matriz diagonal por blocos $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ . Além disso:

$P_s = \mu_u$ (polinômio minimal) e $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (polinômio característico); em particular $\mu_u \mid \chi_u$ (Cayley–Hamilton redemonstrado) e $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , de modo que $\chi_u$ e $\mu_u$ têm os mesmos fatores irredutíveis.
Dois endomorfismos (ou duas matrizes quadradas) são semelhantes se, e somente se, têm os mesmos invariantes de semelhança.

Demonstração. O teorema de estrutura (Teorema 3.12) aplicado ao DIP $K[X]$ : o módulo de torção $V$ se decompõe com fatores invariantes $P_i$ , normalizados mônicos (as unidades de $K[X]$ são $K^\times$ ); não aparece parte livre ( $V$ é de torção). Em cada fator cíclico $K[X]/(P_i)$ , a multiplicação por $X$ tem matriz $C_{P_i}$ na base das potências de $\bar X$ : concatenando as bases obtém-se a forma por blocos.

(1) O anulador de $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ é $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (cadeia de divisibilidade: $P_s$ é um múltiplo comum, e a classe de $1$ no último fator é aniquilada exatamente por $(P_s)$ ): $\mu_u = P_s$ . Quanto a $\chi_u$ : em um fator cíclico, $\chi_{C_P} = P$ , por indução sobre $m = \deg P$ . Desenvolvendo $\det(XI_m - C_P)$ pela primeira linha (cujas entradas são $X$ , depois zeros e, na última coluna, $a_0$ ):

\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,

onde $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (mesma forma, um tamanho abaixo) e $L$ é triangular de diagonal $(-1, \dots, -1)$ , de modo que $\det L = (-1)^{m-1}$ . Por indução, o primeiro termo é $X\tilde P$ e o segundo é $a_0$ : o total é $X\tilde P + a_0 = P$ (caso base $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$ ). Os determinantes se multiplicam por blocos: $\chi_u = \prod P_i$ . Cayley–Hamilton: $\chi_u \in (\mu_u)$ , pois $P_s \mid$ para cada um… reciprocamente, cada $P_i \mid P_s$ , logo $\chi_u = \prod P_i$ divide $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ ; e $\mu_u = P_s$ divide $\chi_u$ por ser um de seus fatores.

(2) Endomorfismos semelhantes são estruturas de módulo conjugadas e, portanto, têm invariantes iguais (unicidade no Teorema 3.12); reciprocamente, invariantes iguais dão $K[X]$ -módulos isomorfos, e um isomorfismo de módulos é exatamente uma bijeção linear que entrelaça os dois endomorfismos: uma semelhança. ∎

Corolário 3.17 (A semelhança é insensível a extensões de corpo)

Sejam $K \subseteq L$ corpos e $M, N \in M_n(K)$ . Se $M$ e $N$ são semelhantes sobre $L$ , então são semelhantes sobre $K$ .

Demonstração. Os invariantes de semelhança de $M$ são calculados pela fórmula dos menores de Smith (Teorema 3.8) aplicada à matriz de apresentação $XI_n - M$ sobre $K[X]$ — com efeito, o $K[X]$ -módulo $V_M = K^n$ tem apresentação $XI_n - M$ : a aplicação $K[X]^n \to V_M$ , $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ , é sobrejetora e tem núcleo gerado pelas colunas de $XI_n - M$ (verificação direta: módulo essas colunas, todo elemento de $K[X]^n$ se reduz a um vetor constante, e os vetores constantes são levados bijetivamente; o problema de fim de semana detalha isso). Os mdc de polinômios não mudam por extensão de corpo: se $d$ é o mdc mônico em $K[X]$ de uma família $(f_j)$ , Bézout dá $d = \sum u_jf_j$ com $u_j \in K[X]$ , de modo que todo divisor comum dos $f_j$ em $L[X]$ divide $d$ ; como $d$ é ele próprio um divisor comum, ele é o mdc também em $L[X]$ . Logo os fatores invariantes de $XI_n - M$ , quocientes de mdc de menores sucessivos, são os mesmos sobre $K$ e sobre $L$ : $M, N$ têm os mesmos invariantes de semelhança sobre $L$ se, e somente se, os têm sobre $K$ ; conclua pelo Teorema 3.16(2). ∎

Teorema 3.18 (Forma de Jordan, redemonstrada)

Suponha que $\chi_u$ se decomponha em fatores lineares sobre $K$ (por exemplo $K = \C$ ). Aplicando a $V$ a decomposição em divisores elementares (demonstração do Teorema 3.12) em vez dos fatores invariantes:

V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),

e, na base $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ de cada fator, $u$ age como o bloco de Jordan $J_k(\lambda)$ : todo endomorfismo cujo polinômio característico se decompõe em fatores lineares admite uma base de Jordan, e o multiconjunto dos blocos $(\lambda, k)$ é único.

Demonstração. Os divisores elementares do módulo de torção $V$ são os $(X - \lambda)^k$ , em que $X - \lambda$ percorre os fatores irredutíveis de $\mu_u$ (que se decompõe em fatores lineares, já que $\chi_u$ o faz e ambos têm os mesmos fatores irredutíveis, Teorema 3.16). Em $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ , ponha $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ para $j = 1, \dots, k$ : então $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (com $f_0 = 0$ ), isto é, $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : a matriz de $u$ em $(f_1, \dots, f_k)$ é exatamente $J_k(\lambda)$ (uns acima da diagonal). A unicidade do multiconjunto dos divisores elementares é o Teorema 3.12. ∎

Observação 3.19

A hierarquia das formas canônicas ficou transparente: a forma racional existe sobre todo corpo e detecta a semelhança de maneira absoluta (Corolário 3.17); a forma de Jordan é seu refinamento quando $\chi_u$ se decompõe em fatores lineares. As demonstrações por contagem de dimensões do teorema de Jordan vistas no segundo ano ficam subsumidas: toda a combinatória era a aritmética do DIP $K[X]$ .

3.5 Exercícios

Exercício 3.1 ★

(a) Mostre que $\Q$ não é finitamente gerado como $\Z$ -módulo. (b) Mostre que $\Q$ é sem torção mas não é livre. (c) Por que nenhuma das duas afirmações contradiz o Teorema 3.12?

Solução

Solução de Exercício 3.1.

(a) Se $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ , seja $d$ um denominador comum dos $q_i$ : toda combinação está em $\frac1d\Z$ , mas $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$ . Contradição.

(b) Sem torção: $nq = 0$ com $n \neq 0$ força $q = 0$ em $\Q$ . Não livre: dois racionais não nulos $\frac ab, \frac cd$ quaisquer satisfazem a relação não trivial $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$ , de modo que uma base tem no máximo um elemento; $\Q \cong \Z$ tornaria $\Q = \Z q$ cíclico, mas $\frac q2 \notin \Z q$ . (E $\Q \neq 0$ .)

(c) O Teorema 3.12 supõe a geração finita, que (a) nega: não há contradição — ao contrário, $\Q$ mostra que a hipótese é necessária no enunciado “sem torção $\Rightarrow$ livre”.

Exercício 3.2 ★

Liste os grupos abelianos de ordem $360$ a menos de isomorfismo, nas duas formas: divisores elementares e fatores invariantes. Quantos grupos abelianos de ordem $p^5$ existem?

Solução

Solução de Exercício 3.2.

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$ . Partições: de $3$ : $(3), (2,1), (1,1,1)$ ; de $2$ : $(2), (1,1)$ ; de $1$ : $(1)$ . Logo, $3 \times 2 \times 1 = 6$ grupos. Divisores elementares $\to$ fatores invariantes:

$\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/360$
$\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/3 \times \Z/120$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/180$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/6 \times \Z/60$
$(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$
$(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$

(Para passar aos fatores invariantes: o maior $d_s$ reúne a maior potência de cada primo, e assim por diante, para baixo.) De ordem $p^5$ : tantos quantas as partições de $5$ , a saber $7$ .

Exercício 3.3 ★

Calcule a forma normal de Smith sobre $\Z$ de

B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix},

e identifique os grupos abelianos $\Z^2/B\Z^2$ e $\Z^3/C\Z^3$ .

Solução

Solução de Exercício 3.3.

$B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ ; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$ . Fatores invariantes $d_1 = 2$ , $d_2 = 8/2 = 4$ : forma de Smith $\operatorname{diag}(2, 4)$ , e $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ .

$C$ : diagonal, mas não de Smith ( $2 \nmid 3$ ). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ; $D_3 = 72$ . Logo $d = (1, 6, 12)$ e $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — coerentemente com o teorema chinês dos restos: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$ .

Exercício 3.4 ★★

Seja $L \subseteq \Z^n$ um subgrupo de posto $n$ cuja base é formada pelas colunas de $B \in M_n(\Z)$ , $\det B \neq 0$ . Mostre que $\Z^n/L$ é finito de cardinalidade $\abs{\det B}$ , e que $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ para os fatores invariantes $d_i$ de $B$ . Ilustre com $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ .

Solução

Solução de Exercício 3.4.

Escreva $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ com $Q, P \in GL_n(\Z)$ (Teorema 3.8; nenhum $d_i$ é nulo, pois $\det B \neq 0$ ). Então $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (o isomorfismo composto $x \mapsto Q^{-1}x$ de $\Z^n$ leva $B\Z^n$ sobre $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ ). Sua cardinalidade é $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ , pois $\det Q, \det P = \pm 1$ . Para $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ : $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ , $D_1 = 1$ , $D_2 = 6$ : $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ , de cardinalidade $\abs{\det B} = 6$ .

Exercício 3.5 ★★

Seja $A$ um domínio. (a) Verifique que $T(M)$ é um submódulo e que $M/T(M)$ é sem torção. (b) Mostre que o ideal $(X, Y)$ de $K[X,Y]$ , visto como $K[X,Y]$ -módulo, é sem torção mas não é livre: o teorema de estrutura precisa mesmo da hipótese de ser DIP.

Solução

Solução de Exercício 3.5.

(a) Submódulo: feito na Definição 3.11. Se $a(x + T(M)) = 0$ em $M/T(M)$ com $a \neq 0$ , então $ax \in T(M)$ : $bax = 0$ para algum $b \neq 0$ , e $ba \neq 0$ (domínio), de modo que $x \in T(M)$ : a classe é nula. $M/T(M)$ é sem torção.

(b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ é sem torção (submódulo do domínio $K[X,Y]$ agindo sobre si mesmo). Suponha que fosse livre; dois elementos $P, Q$ quaisquer satisfazem $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ , uma relação não trivial quando $P \ne Q$ são não nulos, de modo que uma base tem um único elemento: $(X, Y) = (P)$ principal — contradizendo o Exercício 2.6(a). Sem torção e finitamente gerado ( $X, Y$ geram) e, ainda assim, não livre: sobre o não DIP $K[X,Y]$ , o teorema de estrutura falha.

Exercício 3.6 ★★

(a) Mostre que $2\Z$ não tem complemento direto no $\Z$ -módulo $\Z$ : submódulos de módulos livres são livres (Teorema 3.5), mas não precisam ser somandos diretos. (b) Mostre que, se $M \subseteq A^n$ (com $A$ um DIP) satisfaz: $A^n/M$ é sem torção, então $M$ é um somando direto.

Solução

Solução de Exercício 3.6.

(a) Se $\Z = 2\Z \oplus C$ , a projeção $\Z \to \Z/2\Z$ se restringe a um isomorfismo $C \cong \Z/2\Z$ : $C$ seria um subgrupo de $\Z$ cujo elemento não nulo $x$ satisfaz $2x \in C \cap 2\Z = 0$ . Mas $\Z$ é sem torção: $C = 0$ , forçando $\Z = 2\Z$ — falso.

(b) $A^n/M$ é finitamente gerado e sem torção, logo livre (Teorema 3.12): $A^n/M \cong A^r$ com base $f_1, \dots, f_r$ . Escolha pré-imagens $y_i \in A^n$ dos $f_i$ e ponha $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ . Todo $x \in A^n$ tem $\pi(x) = \sum a_if_i$ , de modo que $x - \sum a_iy_i \in M$ : $A^n = M + F$ . Se $\sum a_iy_i \in M$ , aplicar $\pi$ dá $\sum a_if_i = 0$ , logo todos os $a_i = 0$ (base): $M \cap F = 0$ . Assim $A^n = M \oplus F$ .

Exercício 3.7 ★★

Resolva em $\Z^2$ o sistema

\begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases}

determinando para quais pares $(b_1, b_2)$ existem soluções, usando a forma de Smith do Exercício 3.3 (mudanças de variáveis inversíveis dos dois lados).

Solução

Solução de Exercício 3.7.

A redução do Exercício 3.3 foi efetiva: com

L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}

(operação de linha $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ , operações de coluna $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ e depois $C_2 \leftarrow -C_2$ ). Pondo $y = R^{-1}x$ (uma bijeção de $(\Z/20\Z)^2$ , pois $R$ é inversível sobre $\Z$ ), o sistema $Bx \equiv b \pmod{20}$ é equivalente a

2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.

A congruência $ky \equiv c \pmod{20}$ é solúvel se, e somente se, $\gcd(k, 20) \mid c$ : há soluções se, e somente se, $2 \mid b_1$ e $4 \mid b_2 - 3b_1$ , isto é, $b_1$ par e $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$ . Quando solúvel, há $2 \times 4 = 8$ soluções módulo $20$ .

Exercício 3.8 ★★

(a) Determine todos os invariantes de semelhança e todas as formas de Jordan possíveis de uma matriz $4 \times 4$ nilpotente, ordenados pela partição de $4$ que realizam. (b) Exiba duas matrizes complexas $4\times4$ com os mesmos polinômios característico e minimal que não sejam semelhantes, e demonstre que para $n \leq 3$ isso não pode acontecer.

Solução

Solução de Exercício 3.8.

(a) Uma $u$ nilpotente tem $\mu_u = X^k$ ; os divisores elementares são $X^{k_1} \geq \dots$ , um bloco de Jordan $J_{k_i}(0)$ por parte de uma partição de $4$ :

partição	forma de Jordan	fatores invariantes
$(4)$	$J_4$	$X^4$
$(3,1)$	$J_3 \oplus J_1$	$X,\ X^3$
$(2,2)$	$J_2 \oplus J_2$	$X^2,\ X^2$
$(2,1,1)$	$J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$	$X,\ X,\ X^2$
$(1,1,1,1)$	$0$	$X, X, X, X$

(b) Tome $u = J_2\oplus J_2$ e $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ : ambas têm $\chi = X^4$ , $\mu = X^2$ , mas fatores invariantes diferentes — não são semelhantes (Teorema 3.16); também é possível comparar postos: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$ . Para $n \leq 3$ : $\chi$ e $\mu$ determinam, para cada autovalor $\lambda$ (sobre um corpo de decomposição), o tamanho total $m_\lambda \leq 3$ dos blocos de $\lambda$ e o maior bloco $r_\lambda$ ; e uma partição de $m \leq 3$ fica determinada por sua maior parte ( $m = 3, r = 2$ força $(2,1)$ , etc.). Logo os divisores elementares coincidem, e o Corolário 3.17 faz a semelhança descer ao corpo de base.

Exercício 3.9 ★★★

Sejam $u \in \mathcal L(V)$ , $\dim V = n$ . Mostre que são equivalentes: (i) $V$ é um $K[X]$ -módulo cíclico (existe $x$ com $V = K[u]x$ , um vetor cíclico); (ii) $\mu_u = \chi_u$ ; (iii) $s = 1$ no Teorema 3.16. Deduza que uma matriz companheira tem vetor cíclico e determine quando uma matriz diagonal tem um.

Solução

Solução de Exercício 3.9.

(i) $\Rightarrow$ (ii): se $V = K[u]x$ , então $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ , e $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (um polinômio aniquila $x$ se, e somente se, aniquila todo $V = K[u]x$ , pois $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$ ). Logo $n = \dim V = \deg \mu_u$ ; como $\mu_u \mid \chi_u$ e $\deg\chi_u = n$ , a monicidade dá $\mu_u = \chi_u$ .

(ii) $\Rightarrow$ (iii): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ e $\mu_u = P_s$ (Teorema 3.16); a igualdade dos graus força $s = 1$ .

(iii) $\Rightarrow$ (i): $V \cong K[X]/(P_1)$ é cíclico, gerado pela pré-imagem de $\bar 1$ .

Uma matriz companheira é o próprio caso $V = K[X]/(P)$ : $x = \bar 1$ , isto é, $e_1$ , é cíclico. Para uma matriz diagonal $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ : $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ , $\mu = \prod_{\lambda \text{ distintos}} (X - \lambda)$ ; eles coincidem se, e somente se, os $\lambda_i$ são dois a dois distintos: uma matriz diagonal tem vetor cíclico se, e somente se, suas entradas diagonais são dois a dois distintas (e então $x = (1, \dots, 1)$ serve: Vandermonde).

Exercício 3.10 ★★★

Para $M \in M_n(\Z)$ vista como endomorfismo de $\Z^n$ , demonstre a fórmula do índice: se $\det M \ne 0$ , então $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$ , e deduza que $M \in GL_n(\Z)$ se, e somente se, $\det M = \pm 1$ . Aplicação: o grupo $\Z^2$ tem exatamente $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ subgrupos de índice $m$ . (Conte as matrizes em forma de Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ , $ad = m$ , $0 \leq b < d$ .)

Solução

Solução de Exercício 3.10.

Smith: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$ ; o Exercício 3.4 dá $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$ . Se $\det M = \pm 1$ : a fórmula da adjunta $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ tem entradas inteiras, de modo que $M \in GL_n(\Z)$ ; reciprocamente, $MM^{-1} = I$ dá $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ em $\Z$ , de modo que $\det M = \pm1$ .

Subgrupos de índice $m$ em $\Z^2$ : um tal subgrupo $L$ tem posto $2$ (índice finito) e uma única base em forma normal de Hermite $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ : $d$ é caracterizado por $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$ , $a$ por $\pi_1(L) = a\Z$ (primeiras coordenadas), e $b$ é então único módulo $d$ ; normalize $a, d > 0$ e $0 \leq b < d$ . O índice é $ad = m$ . Contagem: para cada divisor $d \mid m$ ( $a = m/d$ ), há $d$ escolhas de $b$ : total $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$ .

Exercício 3.11 ★★

(Equações $x^k = e$ em grupos abelianos) Seja $G$ um grupo abeliano finito de fatores invariantes $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$ . (a) Mostre que, para todo $k \geq 1$ ,

\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .

(b) Deduza: um grupo abeliano finito é cíclico se, e somente se, para todo $k$ a equação $x^k = e$ tem no máximo $k$ soluções. (c) Recupere a ciclicidade dos subgrupos finitos de $K^\times$ (com $K$ um corpo, Capítulo 4): por que o polinômio $X^k - 1$ garante o critério de (b)?

Solução

Solução de Exercício 3.11.

(a) Pelo teorema de estrutura, $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$ , e $x^k = e$ se desacopla coordenada a coordenada. Em $\Z/d\Z$ : $kx \equiv 0 \pmod d$ tem exatamente $\gcd(k, d)$ soluções ( $x$ tem de ser múltiplo de $d/\gcd(k,d)$ , e há $\gcd(k, d)$ desses). Multiplique sobre os fatores.

(b) Se $G = \Z/d_s\Z$ é cíclico ( $s = 1$ ), a contagem é $\gcd(k, d_s) \leq k$ . Se $s \geq 2$ : tome $k = d_1$ ; a contagem é $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (cada $\gcd$ vale $d_1$ pela cadeia de divisibilidade): a equação $x^{d_1} = e$ tem mais de $d_1$ soluções.

(c) Em um corpo, $X^k - 1$ tem no máximo $k$ raízes (Capítulo 2: um polinômio não nulo de grau $k$ sobre um domínio), de modo que todo subgrupo finito $G \leq K^\times$ satisfaz o critério de (b): $G$ é cíclico — a demonstração estrutural de uma linha da ciclicidade de $\mathbb F_q^\times$ , complementando a demonstração por contagem do Capítulo 4.

Exercício 3.12 ★★★

(As matrizes elementares geram) (a) Mostre que $M \in M_n(\Z)$ é inversível em $M_n(\Z)$ se, e somente se, $\det M = \pm1$ . (b) Mostre que $SL_2(\Z)$ é gerado pelas duas matrizes elementares $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ e $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . (Rode o algoritmo de Euclides na primeira coluna de $M \in SL_2(\Z)$ por multiplicações à esquerda por potências de $E, F$ , chegando a $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ ; termine à mão — note que $-I = (EF^{-1}E)^2$ .) (c) Explique a conexão com a redução de Smith: sobre $\Z$ , as operações de linha e de coluna de determinante $1$ já bastam para diagonalizar, a menos de sinais.

Solução

Solução de Exercício 3.12.

(a) Se $MN = I$ com $N$ inteira: $\det M\det N = 1$ com ambos inteiros, de modo que $\det M = \pm1$ . Reciprocamente, se $\det M = \pm1$ , a fórmula dos cofatores $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ tem entradas inteiras.

(b) A multiplicação à esquerda por $E^{-k}$ subtrai $k$ vezes a linha $2$ da linha $1$ ; por $F^{-k}$ , $k$ vezes a linha $1$ da linha $2$ . Dada $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ , a primeira coluna $(a, c)$ é um vetor unimodular ( $\gcd(a, c) = 1$ : ele divide $\det M = 1$ ). Rode Euclides em $(a, c)$ com essas operações de linha: após finitos passos, a coluna se torna $(\pm1, 0)$ . A matriz é agora $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ (o determinante permaneceu $1$ ). Resta escrever $-I$ nos geradores: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (verifique o quadrado da matriz de rotação). Desenrolando, $M$ é uma palavra em $E^{\pm1}, F^{\pm1}$ .

(c) O algoritmo de Smith (Método 3.9) usa exatamente essas operações de linha e de coluna (mais trocas e mudanças de sinal, elas próprias produtos de operações elementares a menos do sinal do determinante): sobre $\Z$ , toda matriz é $U\,D\,V$ com $U, V$ produtos de matrizes elementares e $D$ a forma de Smith — (b) é a instância $2\times2$ , de determinante $1$ , do fato geral de que as matrizes do tipo $E$ geram $SL_n(\Z)$ .

3.6 Problema: o comutante e o bicomutante

Problema 3.1

Problema de fim de semana — forma racional, comutante, bicomutante

Sejam $K$ um corpo, $V$ um $K$ -espaço vetorial de dimensão $n \geq 1$ e $u \in \mathcal L(V)$ . Estudamos o comutante

\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},

uma subálgebra de $\mathcal L(V)$ que contém $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ , e demonstramos a fórmula de dimensão de Frobenius e o teorema do duplo comutante: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Ao longo de todo o problema, $V$ é o $K[X]$ -módulo definido por $u$ , com fatores invariantes $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ e decomposição cíclica $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$ , $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ , $n_i = \deg P_i$ (Teorema 3.16).

Parte I — A matriz de apresentação $XI - M$ e aquecimentos.

Sejam $M \in M_n(K)$ e $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ a aplicação que leva $(Q_1, \dots, Q_n)$ em $\sum_i Q_i(M)e_i$ . Mostre que $\varphi$ é um morfismo sobrejetor de $K[X]$ -módulos e que toda coluna de $XI_n - M$ pertence a $\ker\varphi$ .
Mostre que, módulo as colunas de $XI_n - M$ , todo elemento de $K[X]^n$ é congruente a um vetor constante (reduza os graus usando $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ ), e deduza $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : o módulo $V_M$ tem matriz de apresentação $XI_n - M$ . Recupere o ponto de partida do Corolário 3.17: os invariantes de semelhança de $M$ são os fatores invariantes não inversíveis de $XI_n - M$ .
Calcule os invariantes de semelhança de: uma matriz escalar $\lambda I_n$ ; uma matriz diagonal com entradas diagonais distintas; o bloco de Jordan $J_n(0)$ de tamanho $n \times n$ ; $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ para $n = 3$ .
Mostre que $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

Parte II — Morfismos entre módulos cíclicos.

Sejam $P, Q$ mônicos não constantes. Mostre que um $K[X]$ -morfismo $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ fica determinado por $f(\bar 1)$ , e que $\bar c \in K[X]/(Q)$ pode servir de $f(\bar 1)$ se, e somente se, $P\bar c = 0$ em $K[X]/(Q)$ .
Deduza

$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$

de dimensão $\deg \gcd(P, Q)$ sobre $K$ . (Mostre que as soluções $\bar c$ de $P\bar c = 0$ em $K[X]/(Q)$ formam o submódulo cíclico gerado por $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ .)
Demonstre a fórmula de Frobenius:

$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$

(Um $v$ que comuta é exatamente um $K[X]$ -endomorfismo de $V$ ; decomponha $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ em matrizes de morfismos $V_j \to V_i$ e use a cadeia de divisibilidade.)
Deduza $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , com igualdade se, e somente se, $u$ é cíclico ( $s = 1$ ), e calcule $\dim\mathcal C(u)$ para $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : os dois extremos da fórmula.
Verifique diretamente a fórmula de Frobenius para $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ , calculando o comutante explicitamente como matrizes $3\times3$ .

Parte III — O teorema do duplo comutante. Seja $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ; demonstramos que $w \in K[u]$ .

Mostre que $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , e que todo $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ comuta com $u$ — de modo que a inclusão a demonstrar, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , é um refinamento genuíno de $w \in \mathcal C(u)$ .
Suponha primeiro que $u$ é cíclico, $V = K[u]x$ . Mostre diretamente que $\mathcal C(u) = K[u]$ (avalie um $v$ que comuta em $x$ : $v(x) = P(u)x$ para algum $P$ , e compare $v$ com $P(u)$ na base $u^k x$ ), e conclua o teorema nesse caso.
De volta ao caso geral. Para cada $i$ , seja $\pi_i\colon V \to V_i$ a projeção ao longo das demais parcelas. Mostre que $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , e deduza que $w$ preserva cada $V_i$ e comuta com $u_i = u\restriction_{V_i}$ ; conclua pela questão 11 aplicada aos $u_i$ cíclicos: há polinômios $Q_i$ com $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
Resta colar os $Q_i$ em um único polinômio. Para $i \leq j$ (de modo que $P_i \mid P_j$ ), mostre que $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , é um $K[X]$ -morfismo bem definido (o que se deve verificar é que $R(u)x_j = 0$ implica $R(u)x_i = 0$ ), e que $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , estendido por $0$ às demais parcelas, pertence a $\mathcal C(u)$ .
Usando $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ , mostre que $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ para $i \leq j$ . Deduza que $Q = Q_s$ satisfaz $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ para todo $i$ , logo $w = Q(u)$ em cada $V_i$ e, portanto, em $V$ :

$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$
(Coda) Deduza do teorema: se $v$ comuta com toda matriz que comuta com $u$ , e $u$ é cíclico, então $v$ é um polinômio em $u$ ; e dê um exemplo mostrando que $\mathcal C(u) = K[u]$ falha para $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — onde exatamente entra a ciclicidade?

Parte IV — Dividendos dos invariantes de semelhança. A forma canônica racional é uma máquina; eis cinco de seus resultados clássicos.

(Transposta) Mostre que toda $M \in M_n(K)$ é semelhante à sua transposta ${}^tM$ . (As operações que levam $XI - M$ à forma de Smith, transpostas, levam $XI - {}^tM$ à mesma forma de Smith: invariantes de semelhança iguais.)
(Descida da semelhança) Sejam $K \subseteq L$ uma extensão de corpos e $M, N \in M_n(K)$ . Mostre que, se $M$ e $N$ são semelhantes sobre $L$ , então são semelhantes sobre $K$ . (A forma de Smith de $XI - M$ calculada em $K[X]$ ainda é uma forma de Smith em $L[X]$ — por que os fatores invariantes não mudam?) Consequência que vale memorizar: duas matrizes reais conjugadas em $GL_n(\C)$ são conjugadas em $GL_n(\R)$ .
(Classificação dos nilpotentes) Seja $u$ nilpotente. Mostre que o número de blocos de tamanho $\geq k$ em sua decomposição em blocos de Jordan nilpotentes é igual a $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , e deduza: as classes de nilpotentes de $M_n(K)$ , para qualquer corpo $K$ , estão em bijeção com as partições de $n$ . Quantas classes de nilpotentes há em $M_5(K)$ ?
(Um par concreto) Determine os invariantes de semelhança da derivação $D\colon P \mapsto P'$ agindo no espaço $K_{n-1}[X]$ dos polinômios de grau $< n$ : (a) para $K = \Q$ ; (b) para $K = \mathbb F_p$ com $p < n$ (em característica $p$ , $(X^p)' = 0$ : calcule $\ker D^k$ e use a questão 18).
(Classes de conjugação de $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Usando fatores invariantes, mostre que toda classe de $GL_2(\mathbb F_q)$ é exatamente de um dentre quatro tipos: central $aI$ ; diagonalizável com dois autovalores distintos $a \neq b$ em $\mathbb F_q^\times$ ; não semissimples de polinômio minimal $(X - a)^2$ ; cíclica com polinômio característico irredutível.
Conte as classes de cada tipo e conclua: $GL_2(\mathbb F_q)$ tem exatamente $q^2 - 1$ classes de conjugação. (Conte os polinômios quadráticos mônicos irredutíveis sobre $\mathbb F_q$ ; os pares não ordenados $\{a, b\}$ ; lembre-se de que a inversibilidade restringe os termos constantes.)
(Ser cíclico é genérico) Mostre que $M \in M_2(\mathbb F_q)$ deixa de ser cíclica se, e somente se, $M$ é escalar, e deduza que uma matriz $2\times2$ uniformemente aleatória sobre $\mathbb F_q$ é cíclica com probabilidade $1 - q^{-3}$ . Enuncie a heurística análoga para $M_n$ e $q$ grande (sem demonstração): as matrizes não cíclicas são raras — e é por isso que a Parte III do Problema 3.1 só exigiu trabalho de verdade além do caso genérico.

Parte V — Complementos.

(Centro do comutante) Mostre que o centro da álgebra $\mathcal C(u)$ é exatamente $K[u]$ (combine as duas inclusões da Parte III). Deduza que $\mathcal C(u)$ é comutativa se, e somente se, $u$ é cíclico — recuperando o caso de igualdade da questão 8 por uma via puramente estrutural.
(Quais dimensões ocorrem?) Deduza da fórmula de Frobenius que $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ para todo $u$ . Determine em seguida o conjunto exato dos valores assumidos por $\dim \mathcal C(u)$ quando $u$ percorre $\mathcal L(V)$ com $\dim V = 4$ : mostre que ele é $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ (enumere as sequências de graus $n_1 \leq \dots \leq n_s$ de soma $4$ e realize cada uma delas por um nilpotente). Em particular, $12$ e $14$ , embora tenham a paridade certa, não são atingidos: a restrição de paridade é necessária mas não suficiente.
(Equação das classes de $GL_2(\mathbb F_3)$ ) Para $q = 3$ , calcule o tamanho de cada classe de conjugação da questão 20 por órbita–estabilizador: o centralizador de uma $M$ cíclica em $GL_2(\mathbb F_q)$ é o grupo das unidades de $K[M]$ (questão 11). Identifique $K[M]$ nos três tipos não centrais, liste os três polinômios quadráticos mônicos irredutíveis sobre $\mathbb F_3$ e verifique a equação das classes

$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$

com $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ classes, como previsto pela questão 21.

Solução

Solução de Problema 3.1.

1. $\varphi$ é aditiva e $K[X]$ -linear: $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$ , sendo a estrutura de módulo de $V_M$ dada por $X \cdot v = Mv$ . Ela é sobrejetora: os vetores constantes dão todo $K^n$ . A coluna $j$ de $XI - M$ é $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$ , cuja imagem é $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ .

2. Módulo as colunas, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : todo vetor de polinômios se reduz, por indução sobre o grau máximo, a um vetor constante $c \in K^n$ . Se o vetor original está em $\ker\varphi$ , então $\varphi(c) = c = 0$ (nas constantes, $\varphi$ é a identificação $K^n = V_M$ ), de modo que o vetor está no espaço gerado pelas colunas: $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$ . Logo $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$ , e Smith sobre $K[X]$ (todos os fatores invariantes não nulos, com produto $\det(XI - M) = \chi_M$ ) dá $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ : os $f_i$ não constantes são os invariantes de semelhança, calculáveis como quocientes de mdc de menores (Teorema 3.8).

3. $\lambda I_n$ : $XI - \lambda I$ já está em forma de Smith: invariantes $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$ , $n$ deles. Entradas diagonais distintas: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ com módulos dois a dois comaximais, de modo que o teorema chinês dos restos comprime tudo no único cíclico $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ : um invariante, $\chi$ . $J_n(0)$ : $\mu = X^n = \chi$ força um único invariante $X^n$ . $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : divisores elementares $X^2, X$ : invariantes $P_1 = X \mid P_2 = X^2$ .

4. $P \mapsto P(u)$ leva $K[X]$ sobre $K[u]$ , com núcleo $(\mu_u)$ pela definição de polinômio minimal: $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$ , de dimensão $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ .

5. A $K[X]$ -linearidade força $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ . A classe $\bar 1$ satisfaz $P \bar 1 = 0$ , de modo que $P f(\bar 1) = 0$ é necessário. Reciprocamente, se $P\bar c = 0$ , então $f(\bar Q) = Q\bar c$ está bem definida ( $Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ múltiplos de $P\bar c = 0$ ) e é $K[X]$ -linear.

6. Sejam $g = \gcd(P, Q)$ , $P = gP'$ , $Q = gQ'$ com $\gcd(P', Q') = 1$ . Em $K[X]/(Q)$ : $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclides, $\gcd(P', Q') = 1$ ). Logo os $\bar c$ admissíveis formam o submódulo gerado por $\bar{Q'}$ , cujo anulador é $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ : esse submódulo é $\cong K[X]/(g)$ . Com a questão 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ , de dimensão $\deg\gcd(P,Q)$ .

7. $v$ comuta com $u$ se, e somente se, $v$ comuta com todo $P(u)$ , se, e somente se, $v$ é $K[X]$ -linear: $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$ . Escrevendo os morfismos de $V = \bigoplus_j V_j$ como matrizes $(f_{ij})$ , $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (componha com injeções e projeções), a questão 6 dá

\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,

usando a cadeia de divisibilidade ( $\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$ ) e, na última passagem, que $\min(i,j) = k$ ocorre para exatamente $2(s - k) + 1$ pares $(i, j)$ .

8. Como $2(s-k)+1 \geq 1$ , $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$ , com igualdade se, e somente se, $s = 1$ , isto é, se, e somente se, $u$ é cíclico (Exercício 3.9). Para $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : $s = n$ , todos $n_k = 1$ : $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — correto, pois $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$ .

9. Pela fórmula: invariantes $(X, X^2)$ , de modo que $s = 2$ , $n_1 = 1$ , $n_2 = 2$ : $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$ . Diretamente: na base $(e_1, e_2, e_3)$ com $u e_2 = e_1$ , $ue_1 = ue_3 = 0$ , escrever $Au = uA$ para $A = (a_{ij})$ dá as condições $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ e $a_{11} = a_{22}$ : cinco parâmetros livres $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$ .

10. Um polinômio $P(u)$ comuta com tudo o que comuta com $u$ (ele é uma soma de potências de $u$ ): $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ . E $u \in \mathcal C(u)$ , de modo que todo $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ comuta com $u$ .

11. Sejam $V = K[u]x$ e $v \in \mathcal C(u)$ . Escreva $v(x) = P(u)x$ (ciclicidade). Para $y = Q(u)x$ arbitrário: $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$ . Logo $v = P(u)$ : $\mathcal C(u) = K[u]$ . Então $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (comutar com todo $K[u]$ é o mesmo que comutar com $u$ ). O teorema vale no caso cíclico.

12. $\pi_i$ é $K[X]$ -linear (a decomposição é uma soma direta de submódulos), de modo que $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , e $w$ comuta com ela: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$ . A restrição $w_i = w\restriction_{V_i}$ comuta com o cíclico $u_i = u\restriction_{V_i}$ (questão 10), e $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (questão 11): $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ para algum $Q_i \in K[X]$ .

13. Boa definição de $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ : se $R(u)x_j = 0$ , então $P_j \mid R$ , e $P_i \mid P_j$ dá $P_i \mid R$ , de modo que $R(u)x_i = 0$ ( $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$ ). $\eta_{ij}$ é então $K[X]$ -linear por construção, e $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ é uma composição de $K[X]$ -morfismos $V \to V$ : $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$ .

14. Avalie $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ em $x_j$ : o membro esquerdo é $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ ; o direito é $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$ . Logo $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ : $P_i \mid Q_i - Q_j$ para todo $i \leq j$ . Em particular, com $Q = Q_s$ : $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$ , de modo que $Q(u)$ e $Q_i(u)$ coincidem em $V_i$ (que $P_i(u)$ aniquila). Portanto $w = Q(u)$ em cada $V_i$ e, assim, em $V$ : $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ e, com a questão 10, $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ .

15. A primeira afirmação são as questões 10–14 (ou, para $u$ cíclico, apenas a questão 11). Para $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ : $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ tem dimensão $n^2$ , ao passo que $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$ . Logo $\mathcal C(u) = K[u]$ falha espetacularmente; e, no entanto, o teorema do bicomutante vale ( $\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : o centro da álgebra de matrizes são os escalares). A ciclicidade é o que torna o primeiro comutante já polinomial; o comutante duplo é polinomial sempre.

16. Se $P(XI - M)Q = S$ é uma redução de Smith (com $P, Q$ inversíveis sobre $K[X]$ ), transpor dá ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : mesma forma de Smith, de modo que $XI - M$ e $XI - {}^tM$ têm os mesmos fatores invariantes, isto é, $M$ e ${}^tM$ têm os mesmos invariantes de semelhança (Corolário 3.17): elas são semelhantes.

17. Os invariantes de semelhança de $M$ sobre $L$ são os fatores invariantes de $XI - M$ em $L[X]$ . Uma redução de Smith de $XI - M$ sobre $K[X]$ — com $P, Q$ inversíveis sobre $K[X]$ , diagonal e com a cadeia de divisibilidade — é também uma redução de Smith válida sobre $L[X]$ ( $P, Q$ permanecem inversíveis: seus determinantes são constantes não nulas), e os fatores invariantes mônicos são únicos: os fatores invariantes calculados sobre $K$ e sobre $L$ coincidem. Logo $M \sim_L N$ se, e somente se, elas têm os mesmos fatores invariantes, se, e somente se, $M \sim_K N$ . Em particular, matrizes reais $\C$ -conjugadas são $\R$ -conjugadas — um enunciado muitas vezes demonstrado por via analítica (especialize um $P + \iu Q$ inversível), aqui obtido estruturalmente.

18. Decomponha $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ em blocos de Jordan nilpotentes. Em um bloco de tamanho $m$ , $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$ , de modo que $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ se $m \geq k$ , e $0$ caso contrário. Somando sobre os blocos: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$ . A sequência dos postos determina, portanto, o multiconjunto $(m_t)$ — uma partição de $n$ — e, reciprocamente, toda partição é realizada: as classes de nilpotentes $\leftrightarrow$ as partições de $n$ , sobre qualquer corpo. $M_5$ : $p(5) = 7$ classes ( $5$ ; $4{+}1$ ; $3{+}2$ ; $3{+}1{+}1$ ; $2{+}2{+}1$ ; $2{+}1{+}1{+}1$ ; $1^5$ ).

19. (a) Sobre $\Q$ (ou qualquer corpo de característica $0$ ), $D^n = 0$ , $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$ : $D$ é nilpotente de índice $n$ em um espaço de dimensão $n$ , logo cíclico com único invariante $X^n$ ( $x = X^{n-1}$ gera: suas derivadas iteradas geram o espaço). (b) Sobre $\mathbb F_p$ com $p < n$ : $D^p = 0$ , pois a $p$ -ésima derivada de todo monômio $X^m$ carrega o fator $m(m-1)\cdots(m-p+1)$ , um produto de $p$ inteiros consecutivos, logo $\equiv 0 \bmod p$ . Escreva $n = ap + r$ , $0 \leq r < p$ . Então $\ker D^k$ é gerado pelos monômios $X^m$ com $D^kX^m = 0$ ; contando os expoentes $m < n$ por seu resto módulo $p$ : $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ para $0 \leq k \leq p$ , de modo que $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$ . Pela questão 18, a partição tem $a$ blocos de tamanho exatamente $p$ e (se $r > 0$ ) um bloco de tamanho $r$ : invariantes de semelhança $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$ . A característica muda a forma canônica do operador mais familiar da matemática.

20. $M \in GL_2$ tem $s \in \{1, 2\}$ fatores invariantes. Se $s = 2$ : $P_1 = P_2 = X - a$ ( $a \neq 0$ : inversibilidade), isto é, $M = aI$ , central. Se $s = 1$ : $M$ é cíclica, com polinômio característico $=$ minimal $\chi$ de grau $2$ , e as classes correspondem aos $\chi$ possíveis com $\chi(0) \neq 0$ : $\chi$ decomposto com raízes distintas $a \neq b$ (companheira $\sim$ diagonal); $\chi = (X - a)^2$ (companheira, não semissimples); $\chi$ irredutível. Exatamente um tipo em cada caso — os fatores invariantes são um invariante completo.

21. Central: $q - 1$ escolhas de $a$ . Autovalores decompostos distintos: pares não ordenados $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ , $a \neq b$ : $\binom{q-1}2$ classes. Minimal $(X-a)^2$ : $q - 1$ classes. Quadráticas irredutíveis com termo constante não nulo: todas as quadráticas irredutíveis servem (suas raízes são não nulas), e há $\frac{q^2 - q}2$ quadráticas mônicas irredutíveis (as $q^2$ quadráticas mônicas menos as $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ decompostas). Total:

(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 .

22. Se $M$ não é cíclica, $s = 2$ e $M$ é escalar (a dicotomia da questão 20 vale em $M_2$ , inversível ou não: dois fatores invariantes de grau $1$ com $P_1 \mid P_2$ e $P_1 = P_2$ forçam $M = aI$ ). Os escalares são em número de $q$ entre as $q^4$ matrizes: probabilidade de ser cíclica $1 - q^{-3}$ . Em geral, o lugar não cíclico de $M_n$ é onde os menores $(n-1)\times(n-1)$ de $XI - M$ compartilham um fator — uma condição algébrica própria —, de modo que sua proporção é pequena, $O(1/q)$ , para $q$ grande: as matrizes com $\chi = \mu$ são a regra, e o argumento de colagem da Parte III é o preço pago pelas exceções.

23. Um elemento do centro de $\mathcal C(u)$ está em $\mathcal C(u)$ e comuta com todo elemento de $\mathcal C(u)$ , isto é, está em $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (questão 14). Reciprocamente, $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$ , e todo $P(u)$ comuta com todo $v \in \mathcal C(u)$ (um tal $v$ comuta com $u$ , logo com cada potência de $u$ ): $K[u]$ é central em $\mathcal C(u)$ . Logo $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Consequentemente, $\mathcal C(u)$ é comutativa se, e somente se, $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ; nesse caso $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$ , ao passo que a questão 8 dá $\dim\mathcal C(u) \geq n$ : logo $n_s = n$ e $s = 1$ , isto é, $u$ é cíclico. Reciprocamente, para $u$ cíclico a questão 11 dá $\mathcal C(u) = K[u]$ , comutativa. Estruturalmente: uma álgebra de matrizes igual a seu próprio centro é exatamente uma álgebra de polinômios $K[u]$ de um $u$ cíclico.

24. Cada coeficiente $2s - 2i + 1$ na fórmula de Frobenius é ímpar, de modo que

\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .

Para $n = 4$ , as sequências de graus $n_1 \leq \dots \leq n_s$ possíveis dos fatores invariantes, de soma $4$ , são $(4)$ , $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(1, 1, 2)$ , $(1, 1, 1, 1)$ ; cada uma é realizada, por exemplo pelo nilpotente com $P_i = X^{n_i}$ (a cadeia de divisibilidade vale automaticamente). A fórmula dá, respectivamente,

1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .

Logo o conjunto de valores é $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ : números pares da paridade certa, mas $12$ e $14$ jamais ocorrem — entre as sequências quase cíclicas e o $n^2$ do escalar há uma lacuna.

25. $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$ . Tipo central: $I$ e $2I$ , duas classes de tamanho $1$ . Nos três outros tipos, $M$ é cíclica (questão 20), de modo que seu centralizador em $GL_2$ é o grupo das unidades de $\mathcal C(M) = K[M]$ (questão 11), e o tamanho da classe é $=48/\abs{K[M]^\times}$ por órbita–estabilizador. Autovalores decompostos distintos: apenas o par $\{1, 2\}$ , uma classe; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (teorema chinês dos restos em $\chi = (X-1) (X-2)$ ), unidades $2 \cdot 2 = 4$ , tamanho $48/4 = 12$ . Minimal $(X - a)^2$ , $a \in \{1, 2\}$ : duas classes; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$ , unidades $q^2 - q = 6$ (o termo constante da unidade é $\neq 0$ após centrar), tamanho $48/6 = 8$ . $\chi$ irredutível: as quadráticas mônicas irredutíveis sobre $\mathbb F_3$ são em número de $(9 - 3)/2 = 3$ , a saber

X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,

(sem raízes em $\mathbb F_3$ : verifique $0, 1, 2$ ); três classes, $K[M] \cong \mathbb F_9$ , unidades $q^2 - 1 = 8$ , tamanho $48/8 = 6$ . Equação das classes: $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ; e $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ classes, coincidindo com a questão 21.

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