O que é módulo?

Exemplo 3.2

Os três casos motivadores.

1. $A = K$ um corpo: os módulos são os espaços vetoriais.
2. $A = \Z$: os módulos são exatamente os grupos abelianos ($nx$ é obrigado a valer $x + \dots + x$), e os submódulos são os subgrupos.
3. $A = K[X]$: um módulo é um $K$-espaço vetorial $V$ munido da aplicação $K$-linear $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — reciprocamente, todo par $(V, u)$ com $u \in \mathcal L(V)$ torna-se um $K[X]$-módulo por $P \cdot x = P(u)(x)$. Os submódulos são precisamente os subespaços $u$-estáveis.

Um ideal de $A$ é exatamente um submódulo de $A$; um anel quociente $A/I$ é um $A$-módulo. Ao contrário dos espaços vetoriais, os módulos podem ter torção: em $\Z/6\Z$, o elemento $\bar 3 \ne 0$ é aniquilado por $2 \neq 0$.