O que é módulo? — Matemática

Definição 3.1 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 3 — Módulos sobre um domínio de ideais principais

Um $A$ -módulo é um grupo abeliano $(M, +)$ com uma multiplicação escalar $A \times M \to M$ que satisfaz os axiomas de espaço vetorial: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Submódulos, quocientes $M/N$ , morfismos (aplicações $A$ -lineares), somas diretas $\bigoplus_i M_i$ e os teoremas de isomorfismo definem-se e demonstram-se palavra por palavra como para espaços vetoriais e grupos abelianos; em particular, $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ para um morfismo $f$ .

Exemplos

Exemplo 3.2

Os três casos motivadores.

$A = K$ um corpo: os módulos são os espaços vetoriais.
$A = \Z$ : os módulos são exatamente os grupos abelianos ( $nx$ é obrigado a valer $x + \dots + x$ ), e os submódulos são os subgrupos.
$A = K[X]$ : um módulo é um $K$ -espaço vetorial $V$ munido da aplicação $K$ -linear $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — reciprocamente, todo par $(V, u)$ com $u \in \mathcal L(V)$ torna-se um $K[X]$ -módulo por $P \cdot x = P(u)(x)$ . Os submódulos são precisamente os subespaços $u$ -estáveis.

Um ideal de $A$ é exatamente um submódulo de $A$ ; um anel quociente $A/I$ é um $A$ -módulo. Ao contrário dos espaços vetoriais, os módulos podem ter torção: em $\Z/6\Z$ , o elemento $\bar 3 \ne 0$ é aniquilado por $2 \neq 0$ .

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