O que é Grupo?

Exemplo 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (raízes da unidade, Definição 3.17); o conjunto $\mathfrak{S}(E)$ das bijeções de um conjunto $E$ sobre si mesmo, com a composição — o grupo simétrico de $E$, não abeliano assim que $\abs E \geq 3$. Não são grupos: $(\N, +)$ (sem inversos), $(\Z, \times)$ (só $\pm 1$ é invertível).

Exemplo 7.6 (As simetrias de um retângulo)

Um retângulo (não quadrado) admite exatamente quatro isometrias sobre si mesmo: a identidade $e$, a reflexão no eixo horizontal $h$, a reflexão no eixo vertical $v$ e a meia-volta $r$ em torno do centro. A composição faz desse conjunto de quatro elementos um grupo: cada elemento é o seu próprio inverso ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), e o produto de dois elementos distintos e diferentes do neutro é o terceiro ($hv = vh = r$: refletir nos dois eixos é a meia-volta). A tabela completa é simétrica, de modo que o grupo é abeliano — e no entanto ele não é o mesmo grupo que as rotações $\mathbb U_4$ do Exemplo 7.15: lá, $\iu$ tem ordem $4$, ao passo que aqui todo elemento tem ordem $\leq 2$. Dois grupos do mesmo tamanho podem, assim, ter estruturas multiplicativas genuinamente diferentes — a figura abaixo exibe as duas tabelas lado a lado. Este grupo de quatro elementos volta como $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, e o Exercício 7.7 explica por que todo grupo em que os quadrados são triviais deve, como este, ser abeliano.

Exemplo 7.13 (O morfismo sinal)

A aplicação $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envia $x$ ao seu sinal é um morfismo: o sinal de um produto é o produto dos sinais. O seu núcleo é $\intoo0{+\infty}$ (um subgrupo, como a Definição 7.10 promete), e a sua imagem é todo o $\{\pm1\}$: sobrejetivo, maciçamente não injetivo. Duas lições gerais em miniatura. Primeira, um morfismo pode esmagar informação: $s$ nada guarda de $x$ além de um bit, e isso é a sua virtude — argumentos de sinal são exatamente os cálculos que se fatoram por $s$. Segunda, os morfismos para $\{\pm1\}$ são os “invariantes” mais simples: o sinal das permutações, construído no problema de fim de semana deste capítulo, é o mesmo fenômeno no grupo $\mathfrak S_n$, e os argumentos de paridade que ele alimenta descem todos por um morfismo de dois valores desse tipo.