Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

3Mecânica dos meios contínuos e elasticidade

Encoste o ouvido num longo trilho de aço enquanto um operário distante o golpeia: você ouve duas batidas — uma pelo aço, outra pelo ar, separadas por um segundo ou mais. Rocha, aço, osso e borracha transmitem forças e ondas como um fluido transmite pressão, mas com algo que nenhum fluido tem: resistem a mudanças de forma, e não apenas a mudanças de volume. O volume do segundo ano construiu a mecânica dos fluidos sobre duas ideias, a partícula material e o campo de pressão; este capítulo as estende aos sólidos. O deslocamento de cada partícula torna-se um campo, sua distorção local uma deformação, as forças internas uma tensão, e entre elas está a carteira de identidade do sólido, a lei de Hooke com suas duas constantes elásticas. O proveito vai do cotidiano — por que os cabos se alongam, por que as garrafas estouram, como um trampolim se verga — ao planetário: os terremotos enviam pela Terra exatamente os dois tipos de onda elástica que este capítulo prevê, e seus tempos de chegada foram a primeira sondagem já feita do interior do nosso planeta.

3.1 Deformação: descrever a distorção

Definição 3.1 (Campo de deslocamentos e tensor de deformações)

Quando um sólido se deforma, a partícula inicialmente em $\vect r$ vai para $\vect r + \vect u(\vect r)$ : $\vect u$ é o campo de deslocamentos. Para pequenas deformações, a distorção local é medida pelo tensor de deformações, o arranjo simétrico

\varepsilon_{ij} = \frac12\Big( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .

Uma componente diagonal $\varepsilon_{xx}$ é o alongamento relativo do material ao longo de $x$ (adimensional; por exemplo, $10^{-3}$ para um cabo de aço em serviço); uma componente fora da diagonal $\varepsilon_{xy}$ é a metade do fechamento do ângulo entre as direções materiais $x$ e $y$ — um cisalhamento. O traço é a variação relativa de volume, a dilatação:

\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .

Exemplo 3.2 (Três deformações elementares)

Dilatação uniforme $\vect u = \alpha\vect r$ : $\varepsilon_{ij} = \alpha\,\delta_{ij}$ , variação de volume $3\alpha$ , sem cisalhamento. Cisalhamento simples $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ : $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$ , todas as componentes diagonais nulas — a forma muda, o volume não. Rotação rígida $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ : $\varepsilon_{ij} = 0$ identicamente — a parte antissimétrica de $\partial u_i/\partial x_j$ , descartada pela simetrização, é exatamente a parte que gira sem deformar. A deformação mede apenas a distorção.

O tensor de deformações vê apenas a distorção verdadeira: alongamento (componentes diagonais), cisalhamento (componentes fora da diagonal) — e uma rotação rígida, de modo algum.

3.2 Tensão: descrever as forças internas

Definição 3.3 (Tração e tensor de tensões)

Corte o sólido, em pensamento, ao longo de uma pequena superfície $\dd S$ de normal $\vect n$ : o material do lado $+\vect n$ puxa o outro lado com uma força $\dd\vect F = \boldsymbol\sigma(\vect n)\,\dd S$ — a tração. Essa força depende linearmente de $\vect n$ (Cauchy) e por isso é codificada pelo tensor de tensões $\sigma_{ij}$ :

\dd F_i = \sum_j \sigma_{ij}\,n_j\,\dd S ,

em pascals. $\sigma_{xx}$ é um puxão ( $> 0$ : tração) ou um empurrão ( $< 0$ : compressão) através de uma face normal a $x$ ; $\sigma_{xy}$ é uma força ao longo de $x$ suportada por uma face normal a $y$ — uma tensão de cisalhamento. Um fluido em repouso é o caso particular $\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij}$ : a pressão empurra igualmente cada face e não cisalha nenhuma, e é por isso que os fluidos escoam — não conseguem suportar cisalhamento estático.

Proposição 3.4 (Equilíbrio e simetria)

Num sólido em equilíbrio sob uma força de volume $\vect f$ por unidade de volume (por exemplo, $\rho\vect g$ ),

\sum_j\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0

em todo ponto interior; e o tensor de tensões é simétrico, $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ .

Demonstração parcial. Faça o balanço de forças num pequeno cubo de aresta $a$ : as trações nas duas faces normais a $x$ diferem de $a\,\partial_x\sigma_{ix}$ por unidade de área, e o mesmo vale para os outros pares; a força de superfície líquida por unidade de volume é $\sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ , que deve cancelar $f_i$ — a mesma contabilidade que deu $-\vect\nabla p + \rho\vect g = \vect 0$ na estática dos fluidos do volume do primeiro ano. Simetria: o torque das tensões de cisalhamento em torno do centro do cubo vale $(\sigma_{xy} - \sigma_{yx})a^3$ em ordem dominante, ao passo que seu momento de inércia escala como $a^5$ ; uma tensão assimétrica faria os cubos pequenos girarem infinitamente rápido. O argumento contínuo completo é admitido. ∎

As três componentes da tração sobre uma face de um cubo material: uma normal (tração ou compressão), duas tangenciais (cisalhamento). As nove componentes das três faces formam o tensor de tensões.

3.3 A lei de Hooke e as constantes elásticas

Teorema 3.5 (Elasticidade linear isotrópica)

Para pequenas deformações, um sólido isotrópico responde linearmente: a tensão é proporcional à deformação,

\sigma_{ij} = \lambda\,(\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz})\,\delta_{ij} + 2\mu\,\varepsilon_{ij} ,

com duas constantes do material, os coeficientes de Lamé $\lambda$ e $\mu$ ( $\mu$ também se escreve $G$ , o módulo de cisalhamento). No ensaio de tração simples — uma barra puxada ao longo de $x$ , livre nas laterais — a mesma lei toma a forma do engenheiro

\varepsilon_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{E} , \qquad \varepsilon_{yy} = \varepsilon_{zz} = -\nu\,\varepsilon_{xx} ,

definindo o módulo de Young $E$ (rigidez ao alongamento) e o coeficiente de Poisson $\nu$ (contração lateral), com

\mu = \frac{E}{2(1 + \nu)} , \qquad \lambda = \frac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} .

Este é o “tal a extensão, tal a força” de Hooke (1678), promovido a tensor. Vale até um limite elástico que depende do material.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 3.6 (Ordens de grandeza)

$E \approx 200\,\mathrm{GPa}$ para o aço, $70\,\mathrm{GPa}$ para o alumínio e o vidro de janela, $50\,\mathrm{GPa}$ para o granito, $15\,\mathrm{GPa}$ para o osso e o concreto, $10\,\mathrm{GPa}$ para a madeira na direção das fibras e apenas alguns MPa para a borracha — cinco ordens de grandeza, o intervalo que vai de uma ponte a um elástico. $\nu$ está entre $0$ (a cortiça, quase) e $1/2$ (a borracha): $\nu = 1/2$ significa deformação que preserva o volume, e $\nu \approx 0.3$ é típico dos metais. Uma deformação de $10^{-3}$ no aço já significa $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$ , próxima da tensão de escoamento das ligas comuns: a elasticidade cotidiana vive abaixo de uma parte em mil.

Exemplo 3.7 (Um cabo de elevador)

Um cabo de aço de $60\,\mathrm{m}$ e seção $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ sustenta uma cabine de $1000\,\mathrm{kg}$ : $\sigma = mg/S = 49\,\mathrm{MPa}$ , $\varepsilon = \sigma/E = 2.5 \times 10^{-4}$ , alongamento $\varepsilon L = 15\,\mathrm{mm}$ — e o cabo se comporta como uma mola de constante $k = ES/L = 6.7 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : a fórmula $k = ES/L$ é como um meio contínuo devolve as molas do volume do primeiro ano.

Proposição 3.8 (Energia elástica)

Um sólido deformado armazena, por unidade de volume, a densidade de energia

w = \frac12\sum_{i,j}\sigma_{ij}\,\varepsilon_{ij} \qquad\text{(tração simples: } w = \tfrac12 E\varepsilon^2 = \sigma^2/2E\text{)} ,

a versão tridimensional de $\tfrac12 kx^2$ .

Demonstração parcial. Em tração simples, levar a tensão de $0$ a $\sigma$ realiza o trabalho por unidade de volume $\int_0^\varepsilon\sigma'\,\dd\varepsilon' = \int_0^\varepsilon E\varepsilon'\,\dd\varepsilon' = \tfrac12 E\varepsilon^2$ — a área sob a reta tensão–deformação, exatamente como para uma mola. A forma quadrática geral segue por superposição das componentes; admitida. ∎

À esquerda: o ensaio de tração define E (alongamento relativo) e (afinamento lateral, exagerado). À direita: a curva tensão–deformação de um metal — elasticidade linear até o limite elástico, depois escoamento plástico irreversível, depois ruptura. Este capítulo vive na parte reta. — À esquerda: o ensaio de tração define $E$ (alongamento relativo) e $\nu$ (afinamento lateral, exagerado). À direita: a curva tensão–deformação de um metal — elasticidade linear até o limite elástico, depois escoamento plástico irreversível, depois ruptura. Este capítulo vive na parte reta.

Método 3.9 (Resolver problemas de elasticidade linear)

(1) Identifique a geometria e o carregamento; adivinhe quais componentes de tensão são não nulas (uma barra puxada: só $\sigma_{xx}$ ; um fio torcido: cisalhamento; um casco pressurizado: trações tangenciais). (2) Escreva o balanço de forças sobre uma peça bem escolhida — um semicilindro, uma fatia, um cubo. (3) Converta tensão em deformação pela lei de Hooke e deformação em deslocamento por integração. (4) Energias por $w = \sigma^2/2E$ (ou $\sigma^2/2G$ em cisalhamento). (5) Verifique sempre que a deformação permanece pequena e a tensão abaixo do limite elástico — do contrário, a resposta descreve um sólido que já não existe.

3.4 Ondas elásticas

Proposição 3.10 (Os dois sons de um sólido)

Num sólido elástico ilimitado de densidade $\rho$ , as pequenas perturbações se propagam como dois tipos independentes de onda: as ondas longitudinais (P), em que a matéria oscila ao longo da direção de propagação por compressão e dilatação, com velocidade

c_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}} ,

e as ondas transversais (S), em que a matéria cisalha de lado, com velocidade

c_{\text{S}} = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} < c_{\text{P}} .

Um fluido tem $\mu = 0$ : não há ondas S — o cisalhamento não pode ser transmitido — e a velocidade P se reduz à velocidade do som do volume do segundo ano. Para $\nu = 1/4$ (rocha típica), $\lambda = \mu$ e $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .

Demonstração parcial. Tome uma perturbação plana $\vect u = \vect u(x, t)$ . A lei de Newton por unidade de volume é $\rho\,\partial_t^2u_i = \sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ (a equação de equilíbrio com a inércia restituída). Para a componente longitudinal, a lei de Hooke dá $\sigma_{xx} = (\lambda + 2\mu)\,\partial_xu_x$ (as deformações laterais se anulam numa onda plana, pois a matéria vizinha proíbe o alívio lateral), de modo que $\rho\,\partial_t^2u_x = (\lambda + 2\mu)\,\partial_x^2u_x$ : d’Alembert com velocidade $c_{\text{P}}$ . Para a componente transversal, $\sigma_{yx} = 2\mu\varepsilon_{yx} = \mu\,\partial_xu_y$ , de onde $\rho\,\partial_t^2u_y = \mu\,\partial_x^2u_y$ : velocidade $c_{\text{S}}$ . Que uma perturbação geral se separe nessas duas famílias é admitido. ∎

As duas ondas elásticas. P: os planos de matéria se juntam e se afastam ao longo da direção de percurso (onda de compressão — existe em sólidos, líquidos e gases). S: a matéria cisalha de lado (existe apenas onde o cisalhamento encontra resistência: nos sólidos).

Exemplo 3.11 (O trilho e o terremoto)

Aço: $c_{\text{P}} \approx 5.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — uma pancada num trilho a $2\,\mathrm{km}$ chega pelo aço em $0.34\,\mathrm{s}$ e pelo ar ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) em $5.9\,\mathrm{s}$ : duas batidas. Granito ( $E = 75\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 1/4$ , $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $c_{\text{P}} \approx 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $c_{\text{S}} \approx 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Um terremoto, portanto, se anuncia duas vezes: um solavanco P agudo e, segundos depois, a sacudida S mais lenta e mais forte — e o atraso mede a distância (Problema 3.1). Os sistemas de alerta precoce de terremotos vivem dentro desse atraso: a onda P, e a mensagem de rádio que ela dispara, correm mais que a onda S, que é a que causa o dano.

Observação 3.12 (Cordas, hastes e som recuperados)

As ondas do volume do segundo ano são todas limites deste capítulo. Uma haste fina, livre para afinar lateralmente, transporta ondas de compressão a $\sqrt{E/\rho}$ (mais lentas que $c_{\text{P}}$ : o alívio lateral amolece a resposta); uma corda esticada transporta ondas transversais a $\sqrt{T/\rho_\ell}$ , com a tração no papel da rigidez; um fluido guarda apenas $\lambda$ — seu módulo de compressibilidade — e a única velocidade do som $\sqrt{\lambda/\rho}$ .

Um trampolim carregado: tensão e deformação distribuídas por um meio contínuo, curvado no perfil cúbico de deflexão da viga em balanço — e uma mola prestes a devolver a sua energia elástica.

3.5 Exercícios

Exercício 3.1 ★

(a) Verifique as unidades: o que é um pascal em termos de kg, m, s, e qual é a unidade da deformação? (b) Um cabo de aço trabalha a $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$ : calcule sua deformação. (c) Um elástico ( $E \approx 2\,\mathrm{MPa}$ ) é esticado ao dobro do comprimento: que “deformação” é essa, e por que o arcabouço deste capítulo não se aplica de fato? (d) Ordene pela densidade de energia elástica armazenada na tensão de trabalho: aço a $200\,\mathrm{MPa}$ , borracha a $1\,\mathrm{MPa}$ .

Solução

Solução de Exercício 3.1.

(a) $\mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; a deformação é um número puro. (b) $\varepsilon = \sigma/E = 10^{-3}$ . (c) Dobrar o comprimento é $\varepsilon = 1$ : mil vezes além do “pequeno”, e a resposta da borracha ali é fortemente não linear (e de origem diferente, entrópica) — a lei de Hooke apenas abre a curva. (d) $w = \sigma^2/2E$ : aço, $(2 \times 10^{8})^2/2(2 \times 10^{11}) = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; borracha, $(10^{6})^2/2(2 \times 10^{6}) = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ — o material macio armazena mais por unidade de volume à tensão de trabalho, e é por isso que os estilingues são de borracha, não de aço.

Exercício 3.2 ★

Calcule o tensor de deformações de cada campo de deslocamentos e descreva a deformação: (a) $\vect u = \alpha(x, y, z)$ ; (b) $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ ; (c) $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ ; (d) $\vect u = (\varepsilon x, -\nu\varepsilon y, -\nu\varepsilon z)$ — que experimento o realiza?

Solução

Solução de Exercício 3.2.

(a) $\varepsilon_{ij} = \alpha\delta_{ij}$ : dilatação isotrópica, $\delta V/V = 3\alpha$ . (b) $\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} = \gamma/2$ , as demais nulas: cisalhamento puro, volume inalterado. (c) $\varepsilon_{ij} = 0$ : rotação rígida, sem deformação. (d) $\operatorname{diag}(\varepsilon, -\nu\varepsilon, -\nu\varepsilon)$ : o ensaio de tração — alongamento ao longo de $x$ , contração de Poisson transversalmente.

Exercício 3.3 ★

A base de uma coluna de granito de altura $h$ suporta a tensão $\sigma = \rho gh$ . (a) Deduza isso da equação de equilíbrio com a gravidade. (b) O granito se esmaga por volta de $200\,\mathrm{MPa}$ : qual é a coluna mais alta possível? (c) O Everest tem $8.8\,\mathrm{km}$ de altura: comente. (d) Por que uma montanha pode ser um pouco mais alta que uma coluna da sua própria rocha (pense na forma)?

Solução

Solução de Exercício 3.3.

(a) Com apenas $\sigma_{zz}(z)$ e o peso: $\partial_z\sigma_{zz} = \rho g$ (tomando a compressão positiva para baixo), $\sigma_{zz} = \rho gh$ na base. (b) $h_{\max} = \sigma_{\text{c}}/\rho g = 2 \times 10^{8}/(2700 \times 9.81) \approx 7.6\,\mathrm{km}$ . (c) O Everest está no limite de esmagamento da sua própria base — as montanhas da Terra são tão altas quanto a resistência da rocha permite, e não mais. (d) Um cone de altura $h$ carrega sua base com apenas $\rho gh/3$ (um terço da coluna: a massa cresce com a seção), de modo que uma pilha em forma de montanha pode ficar cerca de três vezes mais alta que uma coluna.

Exercício 3.4 ★

Uma haste de aço ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 0.30$ ) é alongada de $\varepsilon = 10^{-3}$ . (a) Deformação lateral? (b) Variação relativa de volume? (c) Para que $\nu$ o volume não mudaria em nada, e qual material comum se aproxima disso? (d) Por que $\nu > 1/2$ é impossível (considere a compressão hidrostática)?

Solução

Solução de Exercício 3.4.

(a) $-\nu\varepsilon = -3 \times 10^{-4}$ . (b) $\delta V/V = (1 - 2\nu)\varepsilon = 4 \times 10^{-4}$ . (c) $\nu = 1/2$ : deformação incompressível — a borracha. (d) Para $\nu > 1/2$ o módulo de compressibilidade $K = E/3(1 - 2\nu)$ seria negativo: comprimir por todos os lados aumentaria o volume, e o material liberaria energia ao colapsar — nenhum sólido estável pode fazer isso.

Exercício 3.5 ★★

Tensão circunferencial. Um cilindro de parede fina (raio $R$ , espessura da parede $t \ll R$ ) contém uma pressão $p$ . (a) Fazendo o balanço de forças sobre um semicilindro de comprimento unitário, mostre que a parede suporta a tensão tangencial $\sigma_\theta = pR/t$ . (b) Mostre que a tensão longitudinal (balanço sobre uma seção transversal) é $pR/2t$ : um cilindro é solicitado duas vezes mais ao redor do que ao longo — de que modo racham as salsichas? (c) Um cilindro de mergulho: $p = 200\,\mathrm{bar}$ , $R = 9\,\mathrm{cm}$ , $t = 5\,\mathrm{mm}$ : calcule $\sigma_\theta$ e compare com uma tensão de escoamento do aço de $700\,\mathrm{MPa}$ . (d) Por que os tanques de alta pressão têm extremidades hemisféricas?

Solução

Solução de Exercício 3.5.

(a) Num semicilindro de comprimento unitário, a pressão empurra com $p \times 2R$ (área projetada) e as duas paredes cortadas puxam de volta com $2\sigma_\theta t$ : $\sigma_\theta = pR/t$ . (b) Numa seção transversal, $p\pi R^2 = \sigma_z\,2\pi Rt$ : $\sigma_z = pR/2t$ — a metade. Uma salsicha racha no comprimento: a tensão circunferencial, maior, rasga a pele ao longo do eixo. (c) $\sigma_\theta = 2 \times 10^{7} \times 0.09/0.005 = 360\,\mathrm{MPa}$ : um fator $2$ abaixo do escoamento — e é por isso que os cilindros são ensaiados e inspecionados. (d) Uma esfera suporta $pR/2t$ em todas as direções: extremidades hemisféricas reduzem a tensão à metade e evitam os cantos onde extremidades planas a concentrariam.

Exercício 3.6 ★★

Um bloco de borracha ( $E = 3.0\,\mathrm{MPa}$ , $\nu \approx 0.5$ ), de base $10 \times 10\,\mathrm{cm}$ e altura $2\,\mathrm{cm}$ , é colado entre duas placas; a placa de cima é empurrada lateralmente com $150\,\mathrm{N}$ . (a) Calcule $G$ . (b) A tensão e o ângulo de cisalhamento $\gamma = \sigma_{xy}/G$ ; o deslocamento lateral da placa de cima. (c) Por que $\nu \approx 1/2$ para a borracha (o que é difícil e o que é fácil para um emaranhado de cadeias poliméricas)? (d) Blocos de borracha assim sustentam edifícios inteiros em zonas sísmicas: qual propriedade desse apoio protege o edifício, a rigidez à compressão ou a maciez ao cisalhamento?

Solução

Solução de Exercício 3.6.

(a) $G = E/2(1 + \nu) = 1.0\,\mathrm{MPa}$ . (b) $\sigma_{xy} = F/S = 150/10^{-2} = 15\,\mathrm{kPa}$ ; $\gamma = \sigma_{xy}/G = 0.015$ ; deslocamento $\gamma h = 0.3\,\mathrm{mm}$ . (c) Uma rede de borracha muda de forma pela mera reorientação de suas cadeias (fácil), mas mudar de volume significa empacotar as cadeias mais perto, tão difícil quanto comprimir um líquido: $G \ll K$ , e daí $\nu \to 1/2$ . (d) A maciez ao cisalhamento: o apoio deixa o solo tremer horizontalmente por baixo transmitindo pouca força, mas permanece rígido o bastante à compressão para sustentar o peso do edifício.

Exercício 3.7 ★★

Uma corda de escalada, comprimento $L = 20\,\mathrm{m}$ , seção $S = 80\,\mathrm{mm}^{2}$ , módulo efetivo $E = 1.2\,\mathrm{GPa}$ . (a) Sua constante elástica $k = ES/L$ . (b) Um escalador de $80\,\mathrm{kg}$ cai livremente $4\,\mathrm{m}$ antes que a corda atue: igualando energias, encontre o alongamento máximo da corda (resolva a equação do segundo grau; despreze, numa primeira passagem, a queda que continua durante a frenagem). (c) Deduza a força máxima e a desaceleração máxima em $g$ . (d) Por que uma corda que segurou uma queda severa deve ser aposentada (para onde foi a energia, e o que diz a curva tensão–deformação)?

Solução

Solução de Exercício 3.7.

(a) $k = ES/L = 1.2 \times 10^{9} \times 8 \times 10^{-5}/20 = 4.8\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ . (b) $mg(h + x) = \tfrac12 kx^2$ : $2400x^2 - 785x - 3140 = 0$ , $x = 1.3\,\mathrm{m}$ . (c) $F = kx \approx 6.3\,\mathrm{kN}$ ; desaceleração $F/m \approx 79\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 8g$ — a razão de as cordas serem feitas deliberadamente elásticas. (d) Parte da energia absorvida foi para a ruptura de fibras e rearranjos plásticos: a corda passa a viver sobre uma curva tensão–deformação degradada, mais rígida e mais fraca, e a próxima queda seria pior nos dois sentidos.

Exercício 3.8 ★★

Torção. Um fio de raio $a$ , comprimento $L$ e módulo de cisalhamento $G$ é torcido de um ângulo $\theta$ . (a) Mostre que um tubo de raio $r$ em seu interior sofre o ângulo de cisalhamento $\gamma(r) = r\theta/L$ . (b) Sua tensão de cisalhamento vale $G\gamma$ : integre $r \times$ tensão sobre a seção para obter o torque restaurador $\Gamma = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$ . (c) O $a^4$ : reduza o raio à metade e, por que fator cai a rigidez torcional? (d) Essa maciez extrema é a razão por que Cavendish (1798) pendurou sua balança de um fio fino: para $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $L = 1\,\mathrm{m}$ , $G = 40\,\mathrm{GPa}$ , calcule $C = \pi Ga^4/2L$ e o período com uma haste de momento de inércia $I = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

Solução

Solução de Exercício 3.8.

(a) O topo de um tubo de raio $r$ gira pelo arco $r\theta$ ao longo do comprimento $L$ : $\gamma = r\theta/L$ . (b) $\Gamma = \int_0^a r\,(G r\theta/L)\, 2\pi r\,\dd r = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$ . (c) Por $2^4 = 16$ . (d) $C = \pi \times 4 \times 10^{10} \times (2.5 \times 10^{-5})^4/2 = 2.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ ; $T = 2\pi\sqrt{I/C} = 2\pi\sqrt{5 \times 10^{-4}/ 2.5 \times 10^{-8}} \approx 900\,\mathrm{s}$ — um quarto de hora por oscilação: sensibilidade bastante para sentir a gravidade de esferas de chumbo.

Exercício 3.9 ★★

(a) A partir da dedução por ondas planas da Proposição 3.10, calcule $c_{\text{P}}$ e $c_{\text{S}}$ para o aço ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 0.29$ , $\rho = 7.85 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (b) Compare $c_{\text{P}}$ com a velocidade $\sqrt{E/\rho}$ da haste fina e explique a diferença numa frase. (c) Para a água ( $\mu = 0$ , módulo de compressibilidade $2.2\,\mathrm{GPa}$ ): a velocidade S e a velocidade P. (d) Em que ângulo o movimento da matéria numa onda P difere do de uma onda S, e como um sismômetro de três componentes as distingue?

Solução

Solução de Exercício 3.9.

(a) $\mu = E/2(1+\nu) = 78\,\mathrm{GPa}$ , $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 107\,\mathrm{GPa}$ : $c_{\text{P}} = \sqrt{262\times10^9/7850} = 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $c_{\text{S}} = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (b) A haste fina dá $\sqrt{E/\rho} = 5.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : na haste as laterais incham livremente (alívio de Poisson), o que amolece a resposta; no interior maciço a matéria ao redor o proíbe. (c) $c_{\text{S}} = 0$ ; $c_{\text{P}} = \sqrt{2.2 \times 10^{9}/1000} = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — a velocidade do som na água. (d) A P move o solo ao longo do raio (quase vertical para uma fonte profunda), a S transversalmente a ele: as três componentes de um sismômetro separam as polarizações, e o atraso P/S dá então a distância.

Exercício 3.10 ★★★

Flexão. Uma viga é curvada até um raio de curvatura $R$ ; suas fibras internas encurtam, as externas alongam, e uma superfície neutra intermediária conserva o comprimento. (a) Mostre que a fibra à distância $y$ da superfície neutra tem deformação $\varepsilon = y/R$ e, portanto, tensão $Ey/R$ . (b) Somando os momentos sobre a seção transversal, mostre que o momento fletor é $M = EI/R$ com $I = \int y^2\,\dd S$ (o momento de segunda ordem); calcule $I$ para um retângulo de largura $b$ e altura $h$ . (c) O $h^3$ : por que uma tábua flexionada de chapa cede visivelmente, enquanto a mesma tábua de canto parece rígida? Calcule a razão para $b/h = 5$ . (d) Para uma viga em balanço de comprimento $L$ carregada por $F$ na ponta, a flecha na ponta vale $\delta = FL^3/3EI$ (admitido): estime $\delta$ para um trampolim ( $L = 1.8\,\mathrm{m}$ , $b = 50\,\mathrm{cm}$ , $h = 3.5\,\mathrm{cm}$ , madeira $E = 12\,\mathrm{GPa}$ ) sob um saltador de $75\,\mathrm{kg}$ , e comente.

Solução

Solução de Exercício 3.10.

(a) Um arco no raio $R + y$ tem comprimento $(R + y)\alpha$ contra $R\alpha$ na superfície neutra: $\varepsilon = y/R$ , $\sigma = Ey/R$ . (b) $M = \int y\sigma\,\dd S = (E/R)\int y^2\,\dd S = EI/R$ ; para o retângulo, $I = bh^3/12$ . (c) De chapa: $I = bh^3/12$ ; de canto: $hb^3/12$ — razão $(b/h)^2 = 25$ para $b/h = 5$ : a mesma madeira, vinte e cinco vezes mais rígida, só pela geometria. (d) $I = 0.50 \times 0.035^3/12 = 1.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{4}$ , $EI = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\delta = FL^3/3EI = 736 \times 1.8^3/(3 \times 2.1 \times 10^{4}) \approx 7\,\mathrm{cm}$ : exatamente a cedência agradável de um trampolim.

Exercício 3.11 ★★★

Flambagem. Uma coluna esbelta (comprimento $L$ , rigidez à flexão $EI$ ), articulada nas duas extremidades, suporta uma carga axial $P$ . Suponha que ela se curve lateralmente segundo $y(x)$ . (a) Mostre que a carga exerce então o momento fletor $M(x) = -Py(x)$ em torno do eixo deslocado, de modo que $EI\,y'' = -Py$ . (b) Com $y(0) = y(L) = 0$ , mostre que uma curvatura não nula só se torna possível a partir da carga crítica de Euler $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$ . (c) Calcule $P_{\text{c}}$ para uma régua de um metro ( $b = 3\,\mathrm{cm}$ , $h = 1.5\,\mathrm{mm}$ , $E = 12\,\mathrm{GPa}$ ) e compare com o empurrão da sua mão. (d) Explique, a partir de $I$ , por que ossos, bambus e quadros de bicicleta são tubos.

Solução

Solução de Exercício 3.11.

(a) Na configuração curvada, a carga axial $P$ age com braço de alavanca $y(x)$ em torno da seção em $x$ : $M = -Py$ , e $M = EIy''$ dá $EIy'' = -Py$ . (b) $y = A\sin(x\sqrt{P/EI})$ com $y(L) = 0$ : um $A$ não nulo só aparece a partir de $\sqrt{P/EI}\,L = \pi$ , isto é, $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$ ; abaixo dela a coluna reta é a única solução, acima dela curvar-se não custa força alguma. (c) $I = 0.03 \times 0.0015^3/12 = 8.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{4}$ : $P_{\text{c}} = \pi^2 \times 12\times10^9 \times 8.4 \times 10^{-12}/1^2 \approx 1\,\mathrm{N}$ — o peso de uma maçã: uma régua de um metro flamba sob um dedo. (d) $I$ cresce à medida que o material se afasta do eixo: um tubo põe toda a sua seção em $y$ grande, maximizando $I$ (e portanto $P_{\text{c}}$ ) para um dado peso de material — o projeto dos ossos, do bambu e dos quadros de bicicleta.

Exercício 3.12 ★★★

A velocidade do som num sólido, a partir dos átomos. Modele um sólido como cadeias de átomos, com espaçamento $a$ , ligados por “molas” de constante $\kappa$ ; a massa atômica é $m$ . (a) Mostre que esticar a cadeia corresponde à tração contínua com $E = \kappa/a$ (conte as molas por unidade de área e o alongamento por mola). (b) Mostre que $\rho = m/a^3$ e conclua que $c = \sqrt{E/\rho} = a\sqrt{\kappa/m}$ . (c) Estime $\kappa$ a partir da profundidade de uma ligação interatômica ( $\sim3\,\mathrm{eV}$ ao longo de $\sim 0.1\,\mathrm{nm}$ ): $\kappa \sim 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; com $a = 2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ e $m = 1 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ , estime $c$ . (d) Compare com as velocidades do som medidas em metais e conclua de que é feita a elasticidade cotidiana.

Solução

Solução de Exercício 3.12.

(a) Uma cadeia por área $a^2$ ; alongar de uma deformação $\varepsilon$ estica cada mola de $\delta = \varepsilon a$ , com força $\kappa \varepsilon a$ por cadeia e tensão $\kappa\varepsilon/a$ : $E = \kappa/a$ . (b) $\rho = m/a^3$ , logo $E/\rho = \kappa a^2/m$ e $c = a\sqrt{\kappa/m}$ . (c) $c = 2.5 \times 10^{-10}\sqrt{50/10^{-25}} \approx 5.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (d) Bem em cima dos poucos km/s medidos nos metais: a rigidez de tudo o que é sólido — e a velocidade de toda onda sísmica — é a rigidez da ligação química.

3.6 Problema: Ouvir a Terra

Problema 3.1

Problema de fim de semana — como os terremotos revelaram o núcleo líquido

Um único terremoto faz o planeta inteiro ressoar, e as duas ondas elásticas deste capítulo, ao atravessá-lo, radiografam-no. Este problema segue a física da lei de Hooke no granito até a descoberta, feita por Oldham em 1906, de que a Terra tem um núcleo — com a estimativa do seu tamanho por raios retos. Tome, para a rocha da crosta e do manto, $E = 75\,\mathrm{GPa}$ , $\nu = 1/4$ , $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; o raio da Terra é $R_{\text{E}} = 6371\,\mathrm{km}$ .

Parte I — A rocha como sólido elástico.

Calcule os coeficientes de Lamé $\mu$ e $\lambda$ desta rocha e observe que $\nu = 1/4$ os torna iguais.
Calcule $c_{\text{P}}$ e $c_{\text{S}}$ e verifique que $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .
Um terremoto desliza duas faces de rocha por metros em segundos: estime a deformação liberada se um deslizamento de $2\,\mathrm{m}$ relaxa a rocha numa escala de $50\,\mathrm{km}$ , e a tensão que se havia acumulado.
A partir da densidade de energia $w = \tfrac12 E\varepsilon^2$ , estime a energia elástica por metro cúbico e depois a energia num volume de $50 \times 50 \times 20\,\mathrm{km}^{3}$ ; compare com um megaton ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
Por que a onda S costuma sacudir os edifícios mais forte que a onda P (pense na direção do movimento do solo para uma onda que chega de baixo)?
Em qual das duas ondas o solo muda de volume?

Parte II — As duas chegadas no sismômetro.

Uma estação registra a chegada P e, $\Delta t$ mais tarde, a chegada S. Para uma fonte à distância $d$ (curta o bastante para raios retos), mostre que

$d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{c_{\text{S}}} - \dfrac{1}{c_{\text{P}}}} .$
Avalie o coeficiente: quantos quilômetros por segundo de atraso S–P?
Uma estação mede $\Delta t = 28\,\mathrm{s}$ : a que distância está o terremoto?
Uma estação dá uma distância, não um lugar: quantas estações determinam o epicentro, e como, geometricamente?
As sirenes de alerta precoce do Japão soam segundos antes da sacudida forte: para um tremor $80\,\mathrm{km}$ abaixo de uma cidade, quanto aviso o próprio atraso P–S fornece?
Os alertas modernos acrescentam a velocidade da luz: a onda P detectada perto da fonte é transmitida por rádio à frente das duas ondas. Para uma cidade a $200\,\mathrm{km}$ do epicentro, quanto tempo após a ruptura chega a onda S, e que aviso pode dar uma mensagem de rádio enviada na primeira chegada P a $20\,\mathrm{km}$ da fonte?

Parte III — Ondas que atravessam o planeta.

Às pressões do manto profundo os módulos crescem: as velocidades P chegam a $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ na base do manto. Tomando uma média grosseira $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , quanto tempo uma onda P leva para atravessar a Terra diametralmente?
As estações registram tremores do outro lado do globo: o que a simples existência dessas chegadas diz sobre a Terra profunda (ela é elástica? é fundida por inteiro?)?
Defina o ângulo epicentral $\Delta$ (ângulo, no centro da Terra, entre a fonte e a estação). Para raios retos, mostre que o comprimento da corda é $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ .
Avalie a corda e seu tempo de percurso em raio reto para $\Delta = 60^\circ$ à velocidade média $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
Por volta de 1900, Oldham notou que as ondas S são registradas até $\Delta \approx 103^\circ$ e depois desaparecem: não há S direta além disso. Que propriedade de uma região profunda dentro da Terra mata as ondas S, e que estado da matéria tem essa propriedade?
As ondas P além de $103^\circ$ não estão ausentes, mas enfraquecidas, atrasadas e deslocadas (uma “zona de sombra” até $\approx 142^\circ$ ): por que uma região líquida atrasa e refrata as ondas P, mas não as detém?
Conclua numa frase o que existe no centro da Terra.

Parte IV — Pesar o núcleo com uma régua.

Um raio S reto que sai da fonte tangencia o núcleo se sua maior aproximação ao centro for igual ao raio do núcleo $R_{\text{c}}$ . Mostre que esse raio rasante atinge a superfície no ângulo epicentral $\Delta^* = 2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ .
A partir de $\Delta^* = 103^\circ$ , calcule $R_{\text{c}}$ .
O valor moderno é $3480\,\mathrm{km}$ : calcule seu erro e explique o sinal dele: os raios reais se recurvam de volta para a superfície à medida que a velocidade cresce com a profundidade — argumente se os raios retos superestimam ou subestimam o núcleo.
Em 1936, Inge Lehmann encontrou chegadas P fracas dentro da zona de sombra: o que ela concluiu que existe dentro do núcleo líquido?
O raio do núcleo interno é $1220\,\mathrm{km}$ e ele é sólido: proponha a observação de ondas que poderia confirmar a solidez (que onda existe ali e que o núcleo externo proíbe?).
Resuma o resultado central: duas velocidades de onda elástica na rocha ( $5.8$ e $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), uma onda ausente além de $103^\circ$ e uma régua dão um núcleo líquido de raio $\approx 4000\,\mathrm{km}$ — a $15\%$ do valor moderno de $3480\,\mathrm{km}$ , medido através de $6000\,\mathrm{km}$ de rocha sólida.

Solução

Solução de Problema 3.1.

1. $\mu = E/2(1+\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ ; $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ : para $\nu = 1/4$ , $\lambda = \mu$ . 2. $c_{\text{P}} = \sqrt{3\mu/\rho} = \sqrt{9 \times 10^{10}/2700} = 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $c_{\text{S}} = \sqrt{\mu/\rho} = 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; razão $\sqrt3$ . 3. $\varepsilon \sim 2/5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{-5}$ ; $\sigma = E\varepsilon \approx 3\,\mathrm{MPa}$ — a “queda de tensão” medida nos terremotos reais é de fato de alguns MPa. 4. $w = \tfrac12 E\varepsilon^2 \approx 60\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; em $5 \times 10^{13}{}\,\mathrm{m}^{3}$ : $\sim3 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ , cerca de três quartos de megaton — um grande terremoto. 5. Vindo de baixo, a P move o solo verticalmente — e os edifícios são construídos para suportar cargas verticais; a S o move horizontalmente, a direção em que os edifícios são mais fracos. 6. Apenas na onda P: ela é uma onda de compressão; a onda S é cisalhamento puro, a volume constante. 7. $t_{\text{P}} = d/c_{\text{P}}$ , $t_{\text{S}} = d/c_{\text{S}}$ : $\Delta t = d(1/c_{\text{S}} - 1/c_{\text{P}})$ , invertido como no enunciado. 8. $1/(1/3.33 - 1/5.77)\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \approx 7.9\,\mathrm{km}$ por segundo de atraso — os “oito quilômetros por segundo” do sismólogo de campo. 9. $d \approx 7.9 \times 28 \approx 220\,\mathrm{km}$ . 10. Três, em geral: cada estação conhece um círculo de epicentros possíveis; dois círculos se cruzam em dois pontos, e o terceiro decide. 11. $t_{\text{P}} = 80/5.8 = 14\,\mathrm{s}$ , $t_{\text{S}} = 80/3.3 = 24\,\mathrm{s}$ : cerca de $10\,\mathrm{s}$ de aviso entre o solavanco e a sacudida destrutiva. 12. A S chega em $200/3.3 = 60\,\mathrm{s}$ . A P alcança $20\,\mathrm{km}$ em $3.5\,\mathrm{s}$ ; uma mensagem de rádio é praticamente instantânea, de modo que a cidade pode ter quase um minuto de aviso — os sistemas atuais conseguem dezenas de segundos. 13. $2R_{\text{E}}/c \approx 12742/10 \approx 1270\,\mathrm{s}$ , uns vinte minutos. 14. Que as ondas elásticas simplesmente a atravessem: a Terra profunda não é fundida por inteiro — ela transmite e, pelas ondas S que cruzam o manto, até cisalha, como um sólido. 15. Dois raios e o ângulo $\Delta$ entre eles: a corda vale $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ . 16. $2 \times 6371 \times \sin30^\circ = 6371\,\mathrm{km}$ ; $t \approx 640\,\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{min}$ . 17. Além de $103^\circ$ , todo raio precisa atravessar uma região central profunda; se essa região for fluida ( $\mu = 0$ ), ela não transporta onda de cisalhamento: as ondas S morrem ali. Os fluidos são o estado da matéria que não resiste ao cisalhamento. 18. Um fluido ainda transporta compressão: as ondas P atravessam o núcleo, mas mais devagar — por isso se refratam bruscamente em sua fronteira, e os raios desviados deixam uma sombra anular em vez de um corte limpo. 19. Um núcleo líquido ocupa o centro da Terra. 20. A maior aproximação da corda ao centro é $R_{\text{E}}\cos(\Delta/2)$ ; tangenciar significa $R_{\text{E}}\cos(\Delta^*/2) = R_{\text{c}}$ , isto é, $\Delta^* = 2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ . 21. $R_{\text{c}} = 6371\cos(51.5^\circ) \approx 3970\,\mathrm{km}$ . 22. $+14\%$ grande demais. A velocidade cresce com a profundidade, e por isso os raios reais se recurvam de volta para a superfície: um raio cujo ponto mais profundo apenas toca o núcleo emerge num ângulo menor que o da corda reta pela mesma profundidade — de modo que, a partir dos $103^\circ$ observados, a inversão por raios retos coloca o ponto de tangência raso demais, isto é, superestima o núcleo. 23. Energia P fraca dentro da sombra significa que algo dentro do núcleo líquido devolve raios para fora: um núcleo interno distinto (Lehmann, 1936). 24. As ondas de cisalhamento só existem em sólidos: uma onda P que se convertesse em onda de cisalhamento dentro do núcleo interno e voltasse (a fase chamada PKJKP) provaria que ele é sólido — sua detecção, longamente buscada, é a evidência aceita. 25. Duas velocidades na rocha ( $5.8$ e $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), uma onda ausente além de $103^\circ$ e a geometria da corda dão um núcleo líquido de $\approx4000\,\mathrm{km}$ — a $15\%$ do valor moderno de $3480\,\mathrm{km}$ : a lei de Hooke, lida em escala planetária.

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