O que é Relação de dispersão; velocidade de fase? — Física

Definição 8.1 Física universitária — 2.º ano · Capítulo 8 — Dispersão e pacotes de ondas

Um meio linear, homogêneo e invariante no tempo admite as ondas planas monocromáticas $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (notação complexa; o sinal físico é a parte real), desde que $\omega$ e $k$ satisfaçam a relação de dispersão do meio, $\mathcal D(\omega, k) = 0$ , resolvida como $k(\omega)$ ou $\omega(k)$ . Para $k$ real a onda viaja sem se deformar com a velocidade de fase

v_\varphi = \frac\omega k .

O meio é não dispersivo quando $v_\varphi$ não depende de $\omega$ (então $\omega = ck$ e todo sinal se propaga sem deformação — a equação de d’Alembert), e dispersivo caso contrário.

À esquerda: três relações de dispersão — uma reta para um meio não dispersivo, a hipérbole de Klein–Gordon com seu corte, a parábola das ondas em águas profundas. À direita: para a relação de Klein–Gordon a velocidade de fase excede c e a velocidade de grupo fica abaixo dela, com v_ v_g = c2. — À esquerda: três relações de dispersão — uma reta para um meio não dispersivo, a hipérbole de Klein–Gordon com seu corte, a parábola das ondas em águas profundas. À direita: para a relação de Klein–Gordon a velocidade de fase excede $c$ e a velocidade de grupo fica abaixo dela, com $v_\varphi v_g = c^2$ .

Exemplos

Exemplo 8.2 (Dispersivos e não dispersivos)

(i) Uma corda sobre um leito elástico (força restauradora $-Ky$ por unidade de comprimento, ou uma cadeia de pêndulos), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ com $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — a relação de Klein–Gordon, a mesma de um plasma e de um guia de ondas (Capítulos 14 e 16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$ , e nenhum $k$ real abaixo do corte $\omega_c$ . (ii) Ondas de gravidade em águas profundas: $\omega^2 = gk$ (admitido), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : as ondas longas são mais rápidas — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $100\,\mathrm{m}$ , $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $1\,\mathrm{km}$ . (iii) A cadeia de átomos, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (Capítulo 6). (iv) A luz no vidro, $k = n(\omega)\omega/c$ , e é por isso que um prisma abre um espectro.

Exemplo 8.7 (Klein–Gordon: mais rápido que a luz, e nem por isso)

Para $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ : $v_\varphi = \omega/k$ e $v_g = c^2k/\omega$ , de modo que $v_\varphi v_g = c^2$ : a velocidade de fase excede $c$ (na ionosfera, as cristas de uma onda de $10\,\mathrm{MHz}$ andam mais rápido que a luz), mas a velocidade de grupo, que carrega o sinal, fica abaixo dela. Uma velocidade de fase não transporta energia nem informação — as cristas são como a mancha do facho de um farol varrendo uma nuvem distante.

Ler no capítulo →