Física universitária — 2.º ano · Bachelor Year 2

8Dispersão e pacotes de ondas

Jogue uma pedra num lago e observe o anel de ondulações: novas cristas nascem na sua borda interna, correm para fora através do anel e morrem na borda externa — o anel, como um todo, anda mais devagar que as cristas dentro dele. Sente-se numa praia depois de uma tempestade distante e a ondulação longa e lenta chega um dia antes da marola curta: o mar separa as ondas por comprimento de onda. O primeiro cabo telegráfico transatlântico, em 1858, transformava pontos e traços nítidos num borrão que levava minutos para ser lido. Nos três casos a celeridade de uma onda depende de sua frequência: o meio é dispersivo. Este capítulo apresenta a relação de dispersão, o número de onda complexo que carrega tanto a propagação quanto a absorção, a velocidade de grupo com que um pacote — e sua energia, e sua informação — de fato viaja, e a linha por onde a telegrafia, a televisão e a internet trafegaram: o cabo coaxial.

8.1 A relação de dispersão

Definição 8.1 (Relação de dispersão; velocidade de fase)

Um meio linear, homogêneo e invariante no tempo admite as ondas planas monocromáticas $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (notação complexa; o sinal físico é a parte real), desde que $\omega$ e $k$ satisfaçam a relação de dispersão do meio, $\mathcal D(\omega, k) = 0$ , resolvida como $k(\omega)$ ou $\omega(k)$ . Para $k$ real a onda viaja sem se deformar com a velocidade de fase

v_\varphi = \frac\omega k .

O meio é não dispersivo quando $v_\varphi$ não depende de $\omega$ (então $\omega = ck$ e todo sinal se propaga sem deformação — a equação de d’Alembert), e dispersivo caso contrário.

Demonstração. Inserir $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ numa equação linear de coeficientes constantes transforma cada $\partial_t$ em $\iu\omega$ e cada $\partial_x$ em $-\iu k$ , deixando uma relação algébrica. A corda, a onda sonora e a barra deram $\omega^2 = c^2k^2$ . ∎

Exemplo 8.2 (Dispersivos e não dispersivos)

(i) Uma corda sobre um leito elástico (força restauradora $-Ky$ por unidade de comprimento, ou uma cadeia de pêndulos), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ com $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — a relação de Klein–Gordon, a mesma de um plasma e de um guia de ondas (Capítulos 14 e 16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$ , e nenhum $k$ real abaixo do corte $\omega_c$ . (ii) Ondas de gravidade em águas profundas: $\omega^2 = gk$ (admitido), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : as ondas longas são mais rápidas — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $100\,\mathrm{m}$ , $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $1\,\mathrm{km}$ . (iii) A cadeia de átomos, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (Capítulo 6). (iv) A luz no vidro, $k = n(\omega)\omega/c$ , e é por isso que um prisma abre um espectro.

À esquerda: três relações de dispersão — uma reta para um meio não dispersivo, a hipérbole de Klein–Gordon com seu corte, a parábola das ondas em águas profundas. À direita: para a relação de Klein–Gordon a velocidade de fase excede c e a velocidade de grupo fica abaixo dela, com v_ v_g = c2. — À esquerda: três relações de dispersão — uma reta para um meio não dispersivo, a hipérbole de Klein–Gordon com seu corte, a parábola das ondas em águas profundas. À direita: para a relação de Klein–Gordon a velocidade de fase excede $c$ e a velocidade de grupo fica abaixo dela, com $v_\varphi v_g = c^2$ .

Definição 8.3 (Número de onda complexo: propagação e atenuação)

Quando a relação de dispersão dá, para $\omega$ real, um $\underline k = k' - \iu k''$ complexo, a onda é

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

ela se propaga a $v_\varphi = \omega/k'$ e sua amplitude decai como $\eu^{-x/\delta}$ com o comprimento de atenuação $\delta = 1/k''$ (ela deve decair no sentido de sua propagação: $k'$ e $k''$ de mesmo sinal). Se $\underline k$ é puramente imaginário, $\underline k = -\iu\kappa$ , a onda é evanescente: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ , uma oscilação estacionária cuja amplitude morre ao longo da distância $1/\kappa$ sem propagar coisa alguma — o caso do meio de Klein–Gordon abaixo de seu corte, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ , e de um metal em frequências ópticas.

Exemplo 8.4 (Uma corda amortecida)

Uma corda num fluido viscoso, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ . Para amortecimento fraco ( $\alpha \ll \mu \omega$ ), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : a onda mantém sua celeridade e perde amplitude ao longo de $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ , independentemente da frequência — uma perda dissipativa e não dispersiva, de $8.7\,\mathrm{dB}$ por comprimento $\delta$ .

8.2 Pacotes de ondas e velocidade de grupo

Proposição 8.5 (Batimentos; velocidade de grupo)

Duas ondas de mesma amplitude e frequências vizinhas $\omega \pm \delta\omega$ , com números de onda $k \pm \delta k$ , superpõem-se em

s = 2A\cos(\delta\omega\,t - \delta k\,x)\cos(\omega t - kx) :

uma portadora em $(\omega, k)$ que se move a $v_\varphi = \omega/k$ , modulada por uma envoltória lenta que se move a $\delta\omega/\delta k$ . Um pacote de ondas — uma superposição de ondas monocromáticas com números de onda numa banda estreita em torno de $k_0$ — viaja, como um todo, com a velocidade de grupo

v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k}\Bigr|_{k_0} ,

que é a velocidade de sua energia e da informação que ele carrega. Num meio não dispersivo $v_g = v_\varphi = c$ ; caso contrário o pacote se deforma ao andar (ele se alarga), tanto mais depressa quanto maior for $\dd^2\omega/\dd k^2$ e quanto mais estreito for o complemento de seu espectro, sua largura espacial.

Demonstração. A fórmula de transformação de soma em produto dá os batimentos. Para um pacote, escreva $s = \int a(k)\eu^{\iu(\omega(k)t - kx)}\dd k$ (uma superposição de Fourier — a integral de Fourier é estudada no volume de matemática do Ano 3; aqui só se usa sua interpretação como soma contínua de senoides), com $a(k)$ concentrado em $k_0$ . Expanda $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k - k_0)$ : então $s \approx \eu^{\iu(\omega_0t - k_0x)}\int a(k)\eu^{\iu(k - k_0)(v_gt - x)}\dd k$ , uma portadora vezes uma envoltória que é função apenas de $x - v_gt$ — a envoltória se move a $v_g$ . O termo seguinte, $\tfrac12\omega''(k_0)(k - k_0)^2t$ , desfasa as componentes no tempo e alarga a envoltória. A energia de um pacote está onde sua envoltória está; e todo sinal também. ∎

Batimentos: duas frequências vizinhas produzem uma portadora rápida (que se move com a velocidade de fase) sob uma envoltória lenta (que se move com a velocidade de grupo); num meio dispersivo as duas celeridades diferem e as cristas deslizam através da envoltória.

Exemplo 8.6 (Águas profundas: as cristas ultrapassam o grupo)

$\omega = \sqrt{gk}$ : $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_\varphi$ . Um grupo de ondulação anda à metade da celeridade de suas cristas: ao observar um trem de ondas, veem-se cristas surgindo atrás do grupo, atravessando-o e sumindo à frente — exatamente o anel do lago. Uma tempestade a $3000\,\mathrm{km}$ de distância manda sua ondulação de $15\,\mathrm{s}$ ( $\lambda = gT^2/2\pi = 350\,\mathrm{m}$ , $v_g = gT/4\pi = 11.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) em três dias, e suas ondas de $8\,\mathrm{s}$ ( $v_g = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) em cinco e meio: pelos horários de chegada dos diferentes períodos, os oceanógrafos localizam a tempestade.

A esteira de uma lancha num lago calmo: o padrão em plumas fica dentro de uma cunha de ângulo fixo porque a energia de cada onda de água viaja à metade da celeridade de suas cristas — a dispersão tornada visível.

Exemplo 8.7 (Klein–Gordon: mais rápido que a luz, e nem por isso)

Para $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ : $v_\varphi = \omega/k$ e $v_g = c^2k/\omega$ , de modo que $v_\varphi v_g = c^2$ : a velocidade de fase excede $c$ (na ionosfera, as cristas de uma onda de $10\,\mathrm{MHz}$ andam mais rápido que a luz), mas a velocidade de grupo, que carrega o sinal, fica abaixo dela. Uma velocidade de fase não transporta energia nem informação — as cristas são como a mancha do facho de um farol varrendo uma nuvem distante.

Observação 8.8 (Alargamento)

Um pacote de largura espacial $\Delta x$ contém números de onda ao longo de $\Delta k \sim 1/\Delta x$ (a reciprocidade de Fourier, admitida); as velocidades de grupo de suas componentes diferem de $\Delta v_g \approx |\omega''|\Delta k$ , de modo que após um tempo $t$ ele se alargou de $|\omega''|\Delta k\,t$ : sua largura dobra após $t_{\text{al}} \sim \Delta x^2/|\omega''|$ . Um pacote de dez ondas de águas profundas de $100\,\mathrm{m}$ ( $\Delta x \approx 1\,\mathrm{km}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) dobra em cerca de seis horas; um pulso de luz de $1\,\mathrm{ns}$ numa fibra óptica se alarga dezenas de picossegundos por quilômetro — o limite da taxa de bits dos enlaces longos. O pacote de ondas quântico do Capítulo 30 se alarga pela mesma razão.

8.3 O cabo coaxial

Proposição 8.9 (Equações dos telegrafistas; linha sem perdas)

Um cabo coaxial (ou qualquer linha de dois condutores) tem, por unidade de comprimento, uma indutância $\Lambda$ e uma capacitância $\Gamma$ . A tensão $v(x, t)$ entre os condutores e a corrente $i(x, t)$ no condutor interno obedecem às equações dos telegrafistas

\frac{\partial v}{\partial x} = -\Lambda\frac{\partial i}{\partial t} , \qquad \frac{\partial i}{\partial x} = -\Gamma\frac{\partial v}{\partial t} ,

donde a equação de d’Alembert para $v$ e $i$ com

c = \frac1{\sqrt{\Lambda\Gamma}} , \qquad v = Z_c\,i \ \text{para uma onda rumo a } +x, \quad Z_c = \sqrt{\frac\Lambda\Gamma} ,

sendo $Z_c$ a impedância característica da linha. Para um cabo coaxial de raios $a < b$ preenchido com um dielétrico de permissividade relativa $\varepsilon_r$ , $\Lambda = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac ba$ , $\Gamma = \dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$ , de modo que $c = c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ (cerca de $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dois terços da velocidade da luz) e $Z_c = \dfrac{60\,\Omega} {\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba$ : $50\,\Omega$ ou $75\,\Omega$ nos cabos usuais.

Demonstração. Modele a fatia $[x, x + \dd x]$ como uma indutância em série $\Lambda\dd x$ e uma capacitância em derivação $\Gamma\dd x$ : a queda de tensão ao longo da fatia vale $\Lambda\dd x\,\partial_ti$ , e a corrente perdida na capacitância vale $\Gamma\dd x \,\partial_tv$ . Derive cruzadamente. Para $v = f(x - ct)$ , a primeira equação dá $i = f(x - ct)/\Lambda c = v/\sqrt{\Lambda/\Gamma}$ . Os valores de $\Lambda$ e $\Gamma$ são os do capacitor cilíndrico e do indutor coaxial calculados no volume do Ano 1. ∎

À esquerda: o circuito equivalente de uma fatia x de uma linha sem perdas — indutância em série, capacitância em derivação — de onde saem as equações dos telegrafistas. À direita: um cabo coaxial em corte; seus e dependem apenas da razão dos raios e do dielétrico. — À esquerda: o circuito equivalente de uma fatia $\dd x$ de uma linha sem perdas — indutância em série, capacitância em derivação — de onde saem as equações dos telegrafistas. À direita: um cabo coaxial em corte; seus $\Lambda$ e $\Gamma$ dependem apenas da razão dos raios e do dielétrico.

Um cabo coaxial: núcleo interno, dielétrico, condutor externo trançado — uma linha de transmissão cujas indutância e capacitância por metro fixam sua celeridade e sua impedância característica.

Proposição 8.10 (Linha com perdas; a condição sem distorção)

Com uma resistência em série $R$ e uma condutância em derivação $G$ por unidade de comprimento, as equações tornam-se $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ , $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv - Gv$ , e a relação de dispersão $\underline k^2 = (\Lambda\omega - \iu R)(\Gamma\omega - \iu G)$ : a linha é dispersiva e atenuante. Dois limites: (i) $R/\Lambda = G/\Gamma$ (condição de Heaviside, obtida acrescentando indutância): $\underline k = \omega\sqrt{\Lambda\Gamma} - \iu\sqrt{RG}$ , e toda frequência viaja com a mesma celeridade e a mesma atenuação — a linha atenua, mas não distorce. (ii) $\Lambda \approx 0$ , $G \approx 0$ (os primeiros cabos submarinos): $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ , uma equação de difusão — um pulso não se propaga, mas se espalha, alcançando a distância $L$ ao cabo de um tempo $\sim R\Gamma L^2$ (lei dos quadrados de Kelvin), cem vezes maior para um cabo dez vezes mais comprido.

Demonstração. Insira $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $-\iu kv = -(\iu\omega\Lambda + R)i$ , $-\iu ki = -(\iu \omega\Gamma + G)v$ ; multiplique. Sob a condição de Heaviside o produto é um quadrado perfeito. O limite difusivo descarta os termos $\iu\omega\Lambda$ e $G$ . ∎

Exemplo 8.11 (Três cabos)

O cabo transatlântico de 1858: um único fio de cobre em guta-percha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ e $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ por ponto: uma palavra por minuto, e as tentativas dos operadores de forçar o sinal com $2\,\mathrm{kV}$ destruíram o isolamento em poucas semanas. Uma linha telefônica carregada com bobinas a cada $2\,\mathrm{km}$ para satisfazer a condição de Heaviside (1900): fala nítida por centenas de quilômetros. Um cabo coaxial moderno de $50\,\Omega$ : $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , e uma atenuação, devida ao efeito pelicular nos condutores (Capítulo 14), que cresce como $\sqrt f$ : alguns decibéis por cem metros a $100\,\mathrm{MHz}$ .

Método 8.12 (Ler uma relação de dispersão)

(1) Escreva a equação de onda do meio em notação complexa e resolva para $\underline k(\omega)$ . (2) Com $k$ real: calcule $v_\varphi = \omega/k$ e $v_g = \dd\omega/\dd k$ (ou $1/(\dd k/\dd\omega)$ ); compare: dispersivo ou não, normal ( $v_g < v_\varphi$ ) ou anômalo. (3) Com $k$ complexo: separe em propagação ( $k'$ ) e atenuação ( $k''$ , comprimento $1/k''$ ); puramente imaginário significa evanescente, sem transporte. (4) Uma frequência de corte separa uma banda que se propaga de outra evanescente. (5) Para um sinal, raciocine sobre a envoltória, a $v_g$ , e nunca sobre as cristas.

8.4 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Ondas em águas profundas, $\omega^2 = gk$ . (a) Velocidade de fase, velocidade de grupo e período de uma ondulação de $100\,\mathrm{m}$ . (b) Uma ondulação de período $14\,\mathrm{s}$ : comprimento de onda, $v_\varphi$ , $v_g$ ; tempo para sua energia atravessar $5000\,\mathrm{km}$ . (c) Por que a marola de período $2\,\mathrm{s}$ não chega lá de jeito nenhum?

Solução

Solução de Exercício 8.1.

(a) $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\omega = \sqrt{gk} = 0.79\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 8.0\,\mathrm{s}$ ; $v_\varphi = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $\omega = 0.45\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $k = \omega^2 /g = 0.021\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda = 310\,\mathrm{m}$ ; $v_\varphi = gT/2\pi = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5 \times 10^6/11 = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.3$ dias. (c) $\lambda = 6\,\mathrm{m}$ , $v_g = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : seriam necessárias cinco semanas, e as ondas curtas são amortecidas pela viscosidade e quebradas pelo vento muito antes.

Exercício 8.2 ★

Um meio obedece a $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ com $\omega_c = 2\pi \times 1 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ e $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Para $f = 20\,\mathrm{MHz}$ : $k$ , $v_\varphi$ , $v_g$ e o produto deles. Para $f = 5\,\mathrm{MHz}$ : $\kappa$ e a profundidade de penetração.

Solução

Solução de Exercício 8.2.

$\omega = 1.26 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}/c = 0.36\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $v_\varphi = 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = c^2k/\omega = 2.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , produto $c^2$ . A $5\,\mathrm{MHz}$ , $\omega < \omega_c$ : $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c = 0.18\,\mathrm{m}^{-1}$ , profundidade $5.5\,\mathrm{m}$ .

Exercício 8.3 ★

Dois diapasões a $440\,\mathrm{Hz}$ e $444\,\mathrm{Hz}$ : frequência de batimento e período das variações de intensidade sonora. Duas ondas de água de comprimentos $100\,\mathrm{m}$ e $110\,\mathrm{m}$ : frequências, comprimento de onda e celeridade da envoltória; compare com $v_g$ a $105\,\mathrm{m}$ .

Solução

Solução de Exercício 8.3.

Batimento a $4\,\mathrm{Hz}$ , período da intensidade sonora $0.25\,\mathrm{s}$ . Água: $f = 0.125$ e $0.119\,\mathrm{Hz}$ ; envoltória $\cos(\delta\omega t - \delta kx)$ com $\delta k = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ (batimentos a $1.1\,\mathrm{km}$ um do outro) e celeridade $\delta\omega/\delta k = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — a velocidade de grupo a $105\,\mathrm{m}$ , $\tfrac12\sqrt{g\lambda/2\pi} = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 8.4 ★

Um cabo coaxial: condutor interno de $0.9\,\mathrm{mm}$ de diâmetro, externo de $3.0\,\mathrm{mm}$ , polietileno ( $\varepsilon_r = 2.3$ ). $\Lambda$ , $\Gamma$ , celeridade das ondas, impedância característica, atraso por metro; comprimento de cabo equivalente a um atraso de $10\,\mathrm{ns}$ . O mesmo cabo com ar em vez de polietileno.

Solução

Solução de Exercício 8.4.

$\ln(b/a) = 1.20$ : $\Lambda = 0.24\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 106\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , $c = 1/ \sqrt{\Lambda\Gamma} = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z_c = 48\,\Omega$ , $5.0\,\mathrm{ns}/\mathrm{m}$ ; $10\,\mathrm{ns}$ $\leftrightarrow$ $2.0\,\mathrm{m}$ . Com ar: $\Gamma = 46\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , $c = c_0$ , $Z_c = 72\,\Omega$ .

Exercício 8.5 ★★

A corda rígida. Uma corda de piano real obedece a $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - EI\,\partial_x^4y$ ( $EI$ a rigidez à flexão). (a) Relação de dispersão, velocidades de fase e de grupo. (b) Para a corda lá $_4$ do Capítulo 6 ( $T = 685\,\mathrm{N}$ , $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $EI = 9.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ ), aumento relativo de $v_\varphi$ para o oitavo harmônico ( $k = 8\pi/L$ , $L = 0.38\,\mathrm{m}$ ); confira com a inarmonicidade encontrada lá. (c) A dispersão é normal ou anômala? Com que aspecto fica um beliscão brusco depois de algumas idas e voltas?

Solução

Solução de Exercício 8.5.

(a) $\omega^2 = c^2k^2 + (EI/\mu)k^4$ ; $v_\varphi = \sqrt{c^2 + (EI/\mu)k^2}$ ; $v_g = (c^2k + 2(EI/\mu)k^3)/\omega$ . (b) $c^2 = 1.12 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ , $k = 66\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $(EI/\mu)k^2 = 7.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ : $v_\varphi/c = \sqrt{1.063} = 1.031$ , $+3.1\%$ — os $53$ cents do Capítulo 6. (c) $v_g > v_\varphi$ : anômala; os harmônicos agudos correm à frente e o ataque de um beliscão vira um breve gorjeio descendente.

Exercício 8.6 ★★

Corda amortecida. $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ . (a) Deduza a relação de dispersão. (b) Para $\alpha \ll \mu\omega$ , mostre que $k' \approx \omega/c$ e $k'' \approx \alpha/2Z$ ; atenuação em decibéis por metro. (c) Números: $\mu = 5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $T = 50\,\mathrm{N}$ , $\alpha = 0.02\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 100\,\mathrm{Hz}$ : verifique a aproximação e dê $\delta$ . (d) A corda amortecida é dispersiva? Em que regime de $\alpha$ ela passaria a ser?

Solução

Solução de Exercício 8.6.

(a) $-\mu\omega^2 + \iu\alpha\omega = -Tk^2$ : $\underline k^2 = (\omega^2/c^2)(1 - \iu\alpha/\mu\omega)$ . (b) $\underline k \approx (\omega/c)(1 - \iu\alpha/2\mu\omega)$ : $k' = \omega/c$ , $k'' = \alpha/2\mu c = \alpha/2Z$ ; $8.7k''$ dB/m. (c) $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z = 0.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $\mu\omega = 3.1 \gg 0.02$ : $k'' = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ , $\delta = 50\,\mathrm{m}$ , $0.17\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (d) Não neste limite ( $k' = \omega/c$ ); quando $\alpha \gtrsim \mu\omega$ a raiz quadrada deixa de se linearizar e $k'$ depende não linearmente de $\omega$ : dispersiva (o limite difusivo do cabo).

Exercício 8.7 ★★

Ondas capilares. As ondas de água curtas são governadas pela tensão superficial: $\omega^2 = \gamma k^3/\rho$ ( $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ); a relação completa é $\omega^2 = gk + \gamma k^3/\rho$ . (a) $v_\varphi$ e $v_g$ para ondas capilares puras; qual é a maior? (b) Mostre que a velocidade de fase da relação completa é mínima em $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g}$ e calcule $\lambda_m$ e $v_{\min}$ . (c) Um barco mais lento que $v_{\min}$ não deixa esteira: por quê? (d) Gotas de chuva num lago fazem anéis cujas cristas ficam atrás do anel: em que regime?

Solução

Solução de Exercício 8.7.

(a) $v_\varphi = \sqrt{\gamma k/\rho}$ , $v_g = \tfrac32v_\varphi$ : o grupo ultrapassa as cristas. (b) $v_\varphi^2 = g/k + \gamma k/\rho$ é mínima em $k_m = \sqrt{\rho g/\gamma}$ : $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g} = 1.7\,\mathrm{cm}$ , $v_{\min} = (4g\gamma/\rho)^{1/4} = 23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (c) Uma esteira é um padrão estacionário em relação ao barco, feito de ondas cuja velocidade de fase iguala a celeridade dele; nenhuma é mais lenta que $23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (d) Regime capilar, $v_g > v_\varphi$ : as cristas nascem na frente do anel e morrem atrás.

Exercício 8.8 ★★

Alargamento. Um pacote de largura inicial $\Delta x_0$ dobra de largura depois de $t_{\text{al}} \approx \Delta x_0^2/|\omega''(k_0)|$ . (a) Um grupo de ondas em águas profundas, $\lambda = 50\,\mathrm{m}$ , $\Delta x_0 = 500\,\mathrm{m}$ . (b) Um pulso de luz numa fibra de vidro: $\omega'' \approx -0.16\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; um pulso de $10\,\mathrm{ps}$ ( $\Delta x_0 = 2\,\mathrm{mm}$ ): tempo de alargamento e distância percorrida nesse meio-tempo; o mesmo para um pulso de $1\,\mathrm{ns}$ . Por que os enlaces ópticos longos usam pulsos mais longos ou fibra com compensação de dispersão?

Solução

Solução de Exercício 8.8.

(a) $k = 0.126\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -18\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{al}} = 2.5 \times 10^5/18 = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , quatro horas. (b) $10\,\mathrm{ps}$ : $t_{\text{al}} = 4 \times 10^{-6}/0.16 = 25\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $5\,\mathrm{km}$ a $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{ns}$ : $0.04/0.16 = 0.25\,\mathrm{s}$ , $50\,000\,\mathrm{km}$ . Pulsos curtos (taxas de bits altas) se alargam em poucos quilômetros: os enlaces longos usam fibra compensadora ou taxas moderadas.

Exercício 8.9 ★★

O cabo submarino. $R = 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma = 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , com $\Lambda$ e $G$ desprezíveis. (a) Mostre que $v$ obedece a uma equação de difusão e dê sua difusividade. (b) Relação de dispersão $\underline k(\omega)$ ; velocidade de fase e comprimento de atenuação a $1\,\mathrm{Hz}$ e a $10\,\mathrm{Hz}$ . (c) Tempo para um sinal "chegar" a $3000\,\mathrm{km}$ ( $\sim R\Gamma L^2$ ); palavras por minuto. (d) A cura de Heaviside: a indutância por quilômetro necessária para $R/\Lambda = G/\Gamma$ se $G = 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{S}/\mathrm{km}$ ; por que era difícil acrescentá-la?

Solução

Solução de Exercício 8.9.

(a) $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ , $D = 1/R\Gamma = 1.1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (b) $\underline k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ : $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ ; a $1\,\mathrm{Hz}$ : $k = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $v_\varphi = 3.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 600\,\mathrm{km}$ ; a $10\,\mathrm{Hz}$ : $v_\varphi = 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 190\,\mathrm{km}$ . (c) $R\Gamma L^2 = 9 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{12} = 8\,\mathrm{s}$ por ponto: cerca de uma palavra por minuto. (d) $\Lambda = R\Gamma/G = 9\,\mathrm{H}/\mathrm{km}$ — uma indutância absurda para um cabo submarino; as bobinas de carga funcionavam em linhas telefônicas terrestres, cujos $G$ e $R\Gamma$ eram diferentes.

Exercício 8.10 ★★★

A energia viaja com a velocidade de grupo. Corda sobre um leito elástico: $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ , onda $y = A\cos(\omega t - kx)$ com $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ . (a) Densidade de energia $e = \tfrac12\mu(\partial_ty)^2 + \tfrac12T (\partial_xy)^2 + \tfrac12Ky^2$ e fluxo $\mathcal P = -T\partial_xy\,\partial_ty$ : verifique $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$ . (b) Médias temporais $\langle e\rangle$ e $\langle\mathcal P\rangle$ para a onda. (c) Mostre que $\langle\mathcal P\rangle/ \langle e\rangle = c^2k/\omega = v_g$ , e não $v_\varphi$ . (d) O que acontece com o fluxo de energia abaixo do corte?

Solução

Solução de Exercício 8.10.

(a) $\partial_te = \dot y(\mu\ddot y + Ky) + Ty'\dot y' = \dot yTy'' + Ty'\dot y' = \partial_x (Ty'\dot y) = -\partial_x\mathcal P$ . (b) $\langle e\rangle = \tfrac14A^2(\mu\omega^2 + Tk^2 + K) = \tfrac12\mu\omega^2A^2$ (usando $\mu\omega^2 = Tk^2 + K$ ); $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Tk\omega A^2$ . (c) Razão $Tk/\mu\omega = c^2k/\omega = v_g$ . (d) $y = A\eu^{-\kappa x}\cos\omega t$ : $\mathcal P \propto \sin2\omega t$ , de média nula — nenhuma energia atravessa o meio.

Exercício 8.11 ★★★

Ondulação e tsunami. Ondas de água de comprimento $\lambda$ sobre profundidade $h$ obedecem a $\omega^2 = gk\tanh kh$ (admitido). (a) Recupere os limites de águas profundas e de águas rasas ( $kh \ll 1$ ); celeridade das ondas em águas rasas; elas são dispersivas? (b) Um tsunami de $\lambda = 200\,\mathrm{km}$ sobre $4\,\mathrm{km}$ de oceano: que limite, celeridade, período; tempo para atravessar $8000\,\mathrm{km}$ . (c) Sua amplitude em mar aberto é $0.5\,\mathrm{m}$ : energia por unidade de comprimento de crista (admita $E = \tfrac12\rho gA^2$ por unidade de área) para uma frente de $1000\,\mathrm{km}$ ; o que acontece quando a profundidade cai a $10\,\mathrm{m}$ , se o fluxo de energia $Ev_g$ se conserva (lei de Green, $A \propto h^{-1/4}$ )? (d) Uma ondulação de $100\,\mathrm{m}$ que chega a uma praia: a que profundidade ela começa a sentir o fundo, e por que suas cristas ficam paralelas à costa?

Solução

Solução de Exercício 8.11.

(a) $\tanh kh \to 1$ : $\omega^2 = gk$ ; com $kh \ll 1$ : $\omega = \sqrt{gh}\,k$ , celeridade $\sqrt{gh}$ , não dispersiva. (b) $kh = 0.13$ : águas rasas; $c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = 17\,\mathrm{min}$ ; $8000\,\mathrm{km}$ em $11\,\mathrm{h}$ . (c) $\tfrac12\rho gA^2 = 1.2\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $200 \times 1000$ km $^2$ : $2.5 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ . Green: $A \propto h^{-1/4}$ , $(4000/10)^{1/4} = 4.5$ : $2.2\,\mathrm{m}$ , antes de empinar e galgar a costa. (d) Em $h \approx \lambda/2 = 50\,\mathrm{m}$ ; a parte de uma crista que está em água mais rasa desacelera, de modo que a crista gira até ficar paralela às curvas de nível do fundo — refração.

Exercício 8.12 ★★★

Um pulso numa linha. Um cabo de $50\,\Omega$ e comprimento $\ell = 100\,\mathrm{m}$ ( $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) é alimentado em $x = 0$ por um gerador de resistência interna $50\,\Omega$ e terminado em $x = \ell$ por uma carga $R_L$ . (a) Mostre que uma onda que chega à extremidade é refletida com o coeficiente em tensão $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ (escreva $v$ e $i$ como ondas incidente mais refletida e imponha a lei de Ohm na carga). (b) Valores para $R_L = 50$ , $0$ , $\infty$ e $150\,\Omega$ . (c) Envia-se um pulso de $1\,\mathrm{ns}$ e $1\,\mathrm{V}$ : o que o osciloscópio junto ao gerador mostra, e quando, para cada carga; por que os $50\,\Omega$ do gerador importam. (d) Um defeito num cabo enterrado devolve um eco depois de $1.8\,\text{µ}\mathrm{s}$ : onde ele está? (Reflectometria no domínio do tempo.)

Solução

Solução de Exercício 8.12.

(a) Em $x = \ell$ : $v = v_i + v_r$ , $i = (v_i - v_r)/Z_c$ , $v = R_Li$ : $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ . (b) $0$ , $-1$ , $+1$ , $0.5$ . (c) A entrada da linha parece um $Z_c$ , de modo que o osciloscópio vê $0.5\,\mathrm{V}$ em $t = 0$ e depois o eco $0.5r$ V em $2\ell/c = 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : nada, $-0.5\,\mathrm{V}$ , $+0.5\,\mathrm{V}$ , $+0.25\,\mathrm{V}$ ; o gerador casado absorve o eco, e por isso não há um segundo. (d) $\tfrac12 \times 2 \times 10^8 \times 1.8 \times 10^{-6} = 180\,\mathrm{m}$ .

8.5 Problema: O cabo e o mar

Problema 8.1

Problema de fim de semana — a dispersão em ação: o cabo telegráfico que borrava os pontos, a ondulação que anuncia uma tempestade, o tsunami que atravessa um oceano e o pacote que se alarga

Parte I — O cabo telegráfico. O cabo transatlântico de 1866: $R = 2.0\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma = 0.25\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $\Lambda = 0.5\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ , $G$ desprezível, comprimento $L = 3500\,\mathrm{km}$ .

Escreva as equações dos telegrafistas com $R$ e deduza a relação de dispersão $\underline k^2 = \Gamma\omega(\Lambda\omega - \iu R)$ .
Em que frequência $\Lambda\omega$ iguala $R$ ? Conclua que, para as frequências telegráficas (alguns hertz), a linha está no regime difusivo.
Nesse regime, $\underline k = \sqrt{-\iu R\Gamma\omega}$ : dê $k'$ e $k''$ (lembre que $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ ); velocidade de fase e comprimento de atenuação a $1\,\mathrm{Hz}$ ; e a $4\,\mathrm{Hz}$ .
Atenuação em decibéis ao longo de todo o cabo a $1\,\mathrm{Hz}$ e a $4\,\mathrm{Hz}$ . Que frequência sobrevive? O que isso faz com um ponto nítido?
A estimativa de Kelvin para o tempo de trânsito, $R\Gamma L^2$ ; a taxa prática do cabo em palavras por minuto, se uma palavra tem cerca de $10$ pontos e traços e os pontos não podem se superpor.
Heaviside propôs aumentar $\Lambda$ : que valor faz $\Lambda\omega = R$ a $4\,\mathrm{Hz}$ , e quais seriam então a celeridade e a atenuação (tome $G = 0$ , de modo que a condição $R/\Lambda = G/\Gamma$ não pode ser satisfeita exatamente — use a relação geral nessa frequência)?
Uma fibra óptica moderna transporta $1 \times 10^{10}\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : compare com a questão 5, em potências de dez.

Parte II — A ondulação. Águas profundas: $\omega^2 = gk$ .

Velocidades de fase e de grupo em função do período $T$ .
Uma tempestade a $4000\,\mathrm{km}$ de uma costa gera ondas de períodos de $6\,\mathrm{s}$ a $18\,\mathrm{s}$ : horário de chegada de cada extremo; duração do evento de ondulação.
Mostre que numa costa à distância $D$ o período que chega obedece a $1/T = gt/4\pi D$ , com $t$ contado desde a tempestade: $1/T$ cresce linearmente no tempo. Uma boia registra $T = 16\,\mathrm{s}$ num dia ao meio-dia e $T = 12\,\mathrm{s}$ exatamente $24\,\mathrm{h}$ depois: distância da tempestade.
A energia por unidade de área de uma ondulação de amplitude $A$ vale $\tfrac12\rho gA^2$ ; potência que atravessa uma linha de $1\,\mathrm{m}$ de crista, para $A = 1.5\,\mathrm{m}$ , $T = 12\,\mathrm{s}$ . (Use a velocidade de grupo — por quê?)
Uma usina de ondas com $1\,\mathrm{km}$ de frente e $30\%$ de rendimento: potência elétrica; compare com uma turbina eólica ( $3\,\mathrm{MW}$ ).
Um barco a $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em águas profundas deixa uma esteira estacionária atrás de si: que comprimento de onda tem velocidade de fase igual à celeridade do barco e por isso o acompanha? Por que o padrão se arrasta em V, mais estreito do que o espalhamento das próprias cristas sugeriria (pense em $v_g = v_\varphi/2$ )?
Observando um grupo de ondulação de uma falésia, descreva o que uma crista individual faz durante o tempo em que o grupo passa por uma boia fixa; quantas cristas contém um grupo de duração $2\,\mathrm{min}$ com $T = 12\,\mathrm{s}$ , e a quantas "vidas" de crista isso corresponde?

Parte III — O tsunami. $\omega^2 = gk\tanh kh$ ; profundidade do Pacífico $h = 4.0\,\mathrm{km}$ .

Um terremoto levanta uma área de fundo de mar de $100\,\mathrm{km}$ em $2\,\mathrm{m}$ ; a onda tem $\lambda \approx 200\,\mathrm{km}$ : verifique que ela é uma onda de águas rasas e dê sua celeridade, seu período e o tempo para alcançar uma costa a $6000\,\mathrm{km}$ .
Ela é dispersiva? Compare com a ondulação da Parte II: ela chega antes ou depois do que a ondulação chegaria? Qual delas chega como um pulso único?
Sua altura em mar aberto é $0.6\,\mathrm{m}$ : energia por metro quadrado; energia total de uma frente de $500\,\mathrm{km}$ espalhada por um comprimento de onda; compare com uma explosão de $1\,\mathrm{Mt}$ ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
Lei de Green: altura quando a profundidade cai a $20\,\mathrm{m}$ perto da costa (fluxo de energia $\tfrac12\rho gA^2v_g$ conservado, $v_g = \sqrt{gh}$ ); celeridade e comprimento de onda ali; por que a onda então empina e arrebenta como um muro.
Um navio no alto-mar não percebe o tsunami passando: por quê?
Marégrafos separados por $6000\,\mathrm{km}$ registram a onda: o que o tempo de trajeto dá, e por que a celeridade medida é ligeiramente menor que $\sqrt{gh}$ sobre um oceano de profundidade variável.

Parte IV — O pacote que se alarga.

Para águas profundas, calcule $\omega''(k) = \dd^2\omega/\dd k^2$ e seu valor para $\lambda = 100\,\mathrm{m}$ .
Um pacote de $10\,$ dessas ondas ( $\Delta x_0 \approx 1\,\mathrm{km}$ ) é solto: tempo de alargamento $\Delta x_0^2/|\omega''|$ ; distância percorrida pelo pacote nesse meio-tempo.
Explique em palavras por que um pacote de espectro mais estreito (trem mais longo) se alarga mais devagar, e por que o tsunami da Parte III quase não se alarga.
A mesma estimativa para um elétron de comprimento de onda $0.1\,\mathrm{nm}$ localizado em $1\,\mathrm{nm}$ , com $\omega = \hbar k^2/2m$ ( $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ): tempo de alargamento e distância percorrida — o primeiro contato com o pacote de ondas quântico do Capítulo 30.
Reúna numa tabela: para o cabo, a ondulação, o tsunami e o elétron, a relação de dispersão, $v_\varphi$ , $v_g$ e se o meio alarga ou apenas atenua.

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ , $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv$ ; com $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $\iu kv = (\iu\omega\Lambda + R)i$ , $\iu ki = \iu\omega\Gamma v$ , donde $k^2 = \omega\Gamma(\omega\Lambda - \iu R)$ .

2. $\omega = R/\Lambda = 4000\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $640\,\mathrm{Hz}$ : a alguns hertz $\Lambda\omega \ll R$ , regime difusivo.

3. $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ com $R\Gamma = 5 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ ; a $1\,\mathrm{Hz}$ : $1.25 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $v_\varphi = 5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 800\,\mathrm{km}$ ; a $4\,\mathrm{Hz}$ : $2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $400\,\mathrm{km}$ .

4. $8.7L/\delta$ : $38\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{Hz}$ , $76\,\mathrm{dB}$ a $4\,\mathrm{Hz}$ : só as componentes mais lentas sobrevivem; um ponto nítido chega como uma corcova longa e baixa.

5. $R\Gamma L^2 = 5 \times 10^{-13} \times 1.2 \times 10^{13} = 6\,\mathrm{s}$ : um ponto a cada seis segundos, uma palavra por minuto (o cabo real, com galvanômetros de espelho sensíveis, conseguia algumas).

6. $\Lambda = R/\omega = 80\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ . Então $k^2 = \Gamma R\omega(1 - \iu)$ , $k = \sqrt{\Gamma R\omega} \,2^{1/4}\eu^{-\iu\pi/8}$ : $k' = 3.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $k'' = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $v_\varphi = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 620\,\mathrm{km}$ , $49\,\mathrm{dB}$ ao longo do cabo, em vez de $76\,\mathrm{dB}$ .

7. Um ponto a cada $6\,\mathrm{s}$ são cerca de $0.2\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : a fibra é $10^{10}$ a $10^{11}$ vezes mais rápida.

8. $v_\varphi = gT/2\pi$ , $v_g = gT/4\pi$ .

9. $18\,\mathrm{s}$ : $v_g = 14.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $4 \times 10^6/14.1 = 3.3\,\mathrm{dias}$ ; $6\,\mathrm{s}$ : $4.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $9.9\,\mathrm{dias}$ : a ondulação dura mais de seis dias.

10. $t = D/v_g = 4\pi D/gT$ , logo $1/T = gt/4\pi D$ . $\Delta(1/T) = 1/12 - 1/16 = 0.0208\,\mathrm{Hz}$ em $86\,400\,\mathrm{s}$ : $g/4\pi D = 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-2}$ , $D = 3200\,\mathrm{km}$ .

11. $\tfrac12\rho gA^2 = 11\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ ; a energia anda a $v_g = gT/4\pi = 9.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $103\,\mathrm{kW}$ por metro de crista.

12. $10^3 \times 103 \times 0.3 = 31\,\mathrm{MW}$ : dez turbinas eólicas.

13. $\lambda = 2\pi U^2/g = 16\,\mathrm{m}$ . A energia de cada componente viaja à metade de sua celeridade de fase, de modo que o padrão fica confinado a uma cunha atrás do barco (semiângulo de $19.5{}^{\circ}$ , seja qual for a celeridade dele).

14. Uma crista nasce atrás do grupo, ultrapassa-o (as cristas andam a $2v_g$ em relação à água, e a $v_g$ em relação ao grupo) e morre à frente. O grupo tem $120 \times 9.4 = 1.1\,\mathrm{km}$ de comprimento, cinco comprimentos de onda ( $\lambda = gT^2/2\pi = 225\,\mathrm{m}$ ); dez cristas passam pela boia, tendo cada uma vivido cerca de dois minutos.

15. $kh = 0.13$ : águas rasas. $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = \lambda/c = 17\,\mathrm{min}$ , $8.4\,\mathrm{h}$ .

16. Não dispersivo: todas as componentes a $198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , chegando juntas como um só pulso (a ondulação, a $\sim10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , separada por período, levaria uma semana).

17. $\tfrac12\rho gA^2 = 1.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $500 \times 200$ km $^2$ : $1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ , $4\%$ de uma megatonelada.

18. $A = 0.6(4000/20)^{1/4} = 2.3\,\mathrm{m}$ ; $c = \sqrt{gh} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = cT = 14\,\mathrm{km}$ . A crista, em água mais funda que o cavado à sua frente, anda mais depressa e o alcança: a frente empina até virar uma macaréu.

19. Uma elevação de $0.6\,\mathrm{m}$ ao longo de um quarto de hora, com declive de $10^{-5}$ : nada que se sinta.

20. A celeridade média, $\sqrt{gh}$ para a profundidade média; como $\sqrt h$ é côncava, os trechos rasos freiam a onda mais do que os fundos a aceleram, e a média ao longo do trajeto fica abaixo de $\sqrt{g\bar h}$ .

21. $\omega' = \tfrac12\sqrt{g/k}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3}$ ; $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ : $\omega'' = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

22. $t_{\text{al}} = 10^6/50 = 2 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $5.6\,\mathrm{h}$ ; o pacote andou $v_gt = 6.25 \times 2 \times 10^4 = 125\,\mathrm{km}$ .

23. Um trem longo contém uma banda estreita de $k$ , cujas velocidades de grupo quase coincidem: as componentes ficam juntas por mais tempo. O meio do tsunami é não dispersivo: celeridades iguais, sem alargamento.

24. $\omega'' = \hbar/m = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{al}} = 10^{-18}/1.2 \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ ; $v_g = \hbar k/m = 7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $60\,\mathrm{nm}$ .

25. Cabo: $k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ , $v_\varphi = \sqrt{2\omega/R\Gamma}$ , sem $v_g$ bem definida, atenua e borra. Ondulação: $\omega^2 = gk$ , $v_\varphi = 2v_g$ , alarga. Tsunami: $\omega = \sqrt{gh}\,k$ , $v_\varphi = v_g$ , nenhum dos dois. Elétron: $\omega = \hbar k^2/2m$ , $v_g = 2v_\varphi$ , alarga.

Termos definidos neste capítulo

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