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Física · Glossário

O que é Potencial de velocidades; circulação?

Definição 2.14 Física universitária — 2.º ano · Capítulo 2 — Cinemática dos fluidos

Num escoamento irrotacional a velocidade deriva de um potencial de velocidades: v→=grad→⁡φ\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi (a circulação de v→\vect v ao longo de um caminho depende então só de suas extremidades, ∫ABv→⋅ ⁣dl→=φ(B)−φ(A)\int_A^B\vect v \cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)). Se o escoamento também é incompressível, Δφ=div⁡grad→⁡φ=0\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}} \varphi = 0: o potencial obedece à equação de Laplace, exatamente como o potencial eletrostático numa região sem cargas — um escoamento potencial. A circulação da velocidade ao longo de uma curva fechada CC vale Γ=∮Cv→⋅ ⁣dl→\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l.

Três escoamentos planos. À esquerda: o escoamento de estagnação, irrotacional, com linhas de corrente hiperbólicas. Ao centro: o vórtice pontual — linhas de corrente circulares, e no entanto vorticidade nula fora do centro. À direita: o perfil do vórtice de Rankine, rotação sólida no núcleo e vórtice pontual do lado de fora.
Três escoamentos planos. À esquerda: o escoamento de estagnação, irrotacional, com linhas de corrente hiperbólicas. Ao centro: o vórtice pontual — linhas de corrente circulares, e no entanto vorticidade nula fora do centro. À direita: o perfil do vórtice de Rankine, rotação sólida no núcleo e vórtice pontual do lado de fora.

Exemplos

Exemplo 2.15 (Três escoamentos planos)

(i) Escoamento de estagnação v→=k(x,−y)\vect v = k(x, -y): div⁡v→=0\operatorname{div}\vect v = 0, ω→=0→\vect\omega = \vect 0, φ=12k(x2−y2)\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2); linhas de corrente xy=xy = const., hipérboles — um jato batendo numa parede, perto do eixo. (ii) Vórtice pontual v→=Γ2πre→θ\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta (coordenadas polares planas): incompressível e irrotacional em toda parte exceto em r=0r = 0, φ=Γθ/2π\varphi = \Gamma\theta/2\pi (multivalente), e a circulação sobre qualquer círculo em torno do centro vale Γ\Gamma — a vorticidade está concentrada no eixo. (iii) Vórtice de Rankine: um núcleo r<ar < a em rotação sólida vθ=Ωrv_\theta = \Omega r (vorticidade 2Ω2\Omega) casado com o vórtice pontual vθ=Ωa2/rv_\theta = \Omega a^2/r do lado de fora: o modelo de um tornado, do redemoinho de uma banheira ou do vórtice atrás do pilar da ponte — a velocidade é máxima na borda do núcleo.

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