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Física · Glosario

¿Qué es Potencial de velocidades; circulación?

Definición 2.14 Física universitaria — segundo año · Capítulo 2 — Cinemática de fluidos

En un flujo irrotacional la velocidad deriva de un potencial de velocidades: v→=grad→⁡φ\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi (la circulación de v→\vect v a lo largo de un camino depende entonces solo de sus extremos, ∫ABv→⋅ ⁣dl→=φ(B)−φ(A)\int_A^B\vect v \cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)). Si además el flujo es incompresible, Δφ=div⁡grad→⁡φ=0\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}} \varphi = 0: el potencial obedece la ecuación de Laplace, exactamente igual que el potencial electrostático en una región sin cargas — un flujo potencial. La circulación de la velocidad a lo largo de una curva cerrada CC es Γ=∮Cv→⋅ ⁣dl→\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l.

Tres flujos planos. A la izquierda, el flujo de estancamiento, irrotacional, con líneas de corriente hiperbólicas. En el centro, el vórtice puntual: líneas de corriente circulares y, sin embargo, vorticidad nula fuera del centro. A la derecha, el perfil del vórtice de Rankine, con rotación como sólido en el núcleo y un vórtice puntual en el exterior.
Tres flujos planos. A la izquierda, el flujo de estancamiento, irrotacional, con líneas de corriente hiperbólicas. En el centro, el vórtice puntual: líneas de corriente circulares y, sin embargo, vorticidad nula fuera del centro. A la derecha, el perfil del vórtice de Rankine, con rotación como sólido en el núcleo y un vórtice puntual en el exterior.

Ejemplos

Ejemplo 2.15 (Tres flujos planos)

(i) Flujo de estancamiento v→=k(x,−y)\vect v = k(x, -y): div⁡v→=0\operatorname{div}\vect v = 0, ω→=0→\vect\omega = \vect 0, φ=12k(x2−y2)\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2); líneas de corriente xy=xy = const., hipérbolas — un chorro que choca contra una pared, cerca del eje. (ii) Vórtice puntual v→=Γ2πre→θ\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta (en coordenadas polares planas): incompresible e irrotacional en todas partes salvo en r=0r = 0, φ=Γθ/2π\varphi = \Gamma\theta/2\pi (multivaluado), y la circulación sobre cualquier círculo en torno al centro vale Γ\Gamma — la vorticidad está concentrada en el eje. (iii) Vórtice de Rankine: un núcleo r<ar < a en rotación como sólido vθ=Ωrv_\theta = \Omega r (vorticidad 2Ω2\Omega) empalmado con el vórtice puntual vθ=Ωa2/rv_\theta = \Omega a^2/r en el exterior: el modelo de un tornado, del remolino de una bañera o del que queda tras la pila del puente — la velocidad es máxima en el borde del núcleo.

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