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Physique · Glossaire

Qu'est-ce que « Potentiel des vitesses ; circulation » ?

Définition 2.14 Physique universitaire — 2e année · Chapitre 2 — Cinématique des fluides

Dans un écoulement irrotationnel la vitesse dérive d’un potentiel des vitesses : v→=grad→⁡φ\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi (la circulation de v→\vect v le long d’un chemin ne dépend alors que de ses extrémités, ∫ABv→⋅ ⁣dl→=φ(B)−φ(A)\int_A^B\vect v \cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)). Si l’écoulement est de plus incompressible, Δφ=div⁡grad→⁡φ=0\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}} \varphi = 0 : le potentiel obéit à l’équation de Laplace, exactement comme le potentiel électrostatique dans une région sans charge — un écoulement potentiel. La circulation de la vitesse le long d’une courbe fermée CC vaut Γ=∮Cv→⋅ ⁣dl→\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l.

Trois écoulements plans. À gauche : l’écoulement de point d’arrêt, irrotationnel, aux lignes de courant hyperboliques. Au milieu : le tourbillon ponctuel — des lignes de courant circulaires, et pourtant une vorticité nulle loin du centre. À droite : le profil du tourbillon de Rankine, rotation en bloc dans le cœur et tourbillon ponctuel à l’extérieur.
Trois écoulements plans. À gauche : l’écoulement de point d’arrêt, irrotationnel, aux lignes de courant hyperboliques. Au milieu : le tourbillon ponctuel — des lignes de courant circulaires, et pourtant une vorticité nulle loin du centre. À droite : le profil du tourbillon de Rankine, rotation en bloc dans le cœur et tourbillon ponctuel à l’extérieur.

Exemples

Exemple 2.15 (Trois écoulements plans)

(i) Écoulement de point d’arrêt v→=k(x,−y)\vect v = k(x, -y) : div⁡v→=0\operatorname{div}\vect v = 0, ω→=0→\vect\omega = \vect 0, φ=12k(x2−y2)\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2) ; lignes de courant xy=xy = const, des hyperboles — un jet qui frappe une paroi, au voisinage de l’axe. (ii) Tourbillon ponctuel v→=Γ2πre→θ\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta (coordonnées polaires planes) : incompressible et irrotationnel partout sauf en r=0r = 0, φ=Γθ/2π\varphi = \Gamma\theta/2\pi (multiforme), et la circulation sur tout cercle entourant le centre vaut Γ\Gamma — la vorticité est concentrée sur l’axe. (iii) Tourbillon de Rankine : un cœur r<ar < a en rotation en bloc vθ=Ωrv_\theta = \Omega r (vorticité 2Ω2\Omega) raccordé au tourbillon ponctuel vθ=Ωa2/rv_\theta = \Omega a^2/r à l’extérieur : le modèle d’une tornade, du tourbillon d’une baignoire ou du remous derrière la pile du pont — la vitesse est maximale au bord du cœur.

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