12ट्रेस-तत्त्व मॉडलिंग

एक ही द्वीप पर कुछ किलोमीटर की दूरी पर दो बेसाल्ट उद्गारित हुए। इनमें से एक में दूसरे की तुलना में डेढ़ गुने से अधिक लैंथेनम और लगभग चार गुना कम इटरबियम होता है। क्या ये दो अलग-अलग प्रावारों से गले, या एक ही प्रावार से अलग-अलग मात्रा में गलकर, या अलग-अलग गहराई पर? मुख्य तत्त्व मुश्किल से ही कुछ बताते हैं: दोनों ही बेसाल्ट हैं। अनुरेखी तत्त्व, जो खनिजों का अनुसरण करते हैं, उन्हें बदले बिना, यह अभिलेख रखते हैं कि कितना गलित बना, वह अपने स्रोत से कैसे निकला और कौन से खनिज पीछे रह गए। यह अध्याय उस अभिलेख को समीकरणों में लिखता है और उसे फिर से पढ़ता है।

पहले से ज्ञात

खनिज–गलित विभाजन गुणांक $D$, समग्र विभाजन गुणांक, संगत और असंगत तत्त्व, दुर्लभ मृदा तत्त्व, CI कॉन्ड्राइट और आद्य प्रावार, प्रसामान्यीकृत आरेख और यूरोपियम विसंगति, MORB और OIB पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) में हैं, उसके अध्याय पृथ्वी के तत्त्वों पर है। पेरिडोटाइट, लर्ज़ोलाइट, आंशिक गलन और गलन-अंश $F$ उसके उस अध्याय में हैं जो प्रावार के गलन पर है; साम्य क्रिस्टलन और भिन्नात्मक क्रिस्टलन, रैले प्रभाजन नियम, मिश्रण और आत्मसातीकरण–भिन्नात्मक क्रिस्टलन (AFC), जो मैग्मीय विभेदन पर उसके अध्याय में है। वहाँ यह सिद्ध हुआ था कि क्रिस्टलन के दौरान दो अत्यंत असंगत तत्त्वों का अनुपात स्थिर रहता है।

12.1 गलती चट्टान का लेखा-जोखा

द्रव्यमान 1 की एक चट्टान गलती है। गलन-अंश $F$ पर वह द्रव्यमान $F$ का गलित बनाती है और द्रव्यमान $1 - F$ का ठोस अवशेष रखती है। एक अनुरेखी तत्त्व, जो स्रोत में सांद्रता $C_0$ पर उपस्थित है, दोनों के बीच बँट जाता है; गलित में उसकी सांद्रता गलित में उसकी सांद्रता $C_L$ है, अवशेष में $C_S$। इस अध्याय का हर मॉडल एक ही संतुलन का एक रूप है, $C_0 = FC_L + (1 - F)C_S$, समूचे गलित और अवशेष के लिए, और $C_S$ को $C_L$ से जोड़ने वाला एक नियम: किसी क्रिस्टल और गलित के संपर्क पर, $C_{\text{खनिज}} = D\,C_L$। मॉडल इस बात में भिन्न होते हैं कि क्या किससे छूता है और कब।

प्रावार के खनिजों के विभाजन गुणांक बहुत भिन्न होते हैं। एक संकलन में लैंथेनम का $D = 0.058$ क्लिनोपाइरोक्सीन में है और $0.001$ गार्नेट में और ओलिवीन, ऑर्थोपाइरोक्सीन और स्पिनेल में; इटरबियम का $D = 0.58$ क्लिनोपाइरोक्सीन में है, गार्नेट में $4.5$ और अन्य तीनों में $0.16$। गार्नेट भारी दुर्लभ मृदाओं को ग्रहण करता है और हल्कों को अस्वीकार करता है।

परिभाषा 12.1 (अ-मोडल गलन)

अ-मोडल गलन में स्रोत के खनिज गलित में अनुपात $p_i$ में प्रवेश करते हैं, जो स्रोत में उनके द्रव्यमान भिन्नों $x_i$ से भिन्न होता है। गलित तब, आरंभ में, स्रोत का समग्र विभाजन गुणांक $D_0 = \sum_i x_iD_i$ देखता है, और जैसे-जैसे वह बढ़ता है, गलन-भारित गुणांक $P = \sum_i p_iD_i$ देखता है।

गलन शायद ही कभी मोडल होता है। स्पिनेल लर्ज़ोलाइट के एक हल किए उदाहरण में, जिसमें $58\,\%$ ओलिवीन, $27\,\%$ ऑर्थोपाइरोक्सीन, $12\,\%$ क्लिनोपाइरोक्सीन और $3\,\%$ स्पिनेल हैं, खनिज 20, 25, 45 और $10\,\%$ के अनुपात में गलित में प्रवेश करते हैं: क्लिनोपाइरोक्सीन अपने हिस्से से चार गुना तेज़ गलता है, ओलिवीन अपने हिस्से से तीन गुना धीमे।

प्रतिज्ञप्ति 12.2 (अवशेष का समग्र विभाजन गुणांक)

स्थिर $p_i$ पर अ-मोडल गलन में, गलन-अंश $F$ पर अवशेष का समग्र विभाजन गुणांक इस प्रकार होता है:

$$\bar D(F) = \frac{D_0 - PF}{1 - F},$$

यह सूत्र तब तक मान्य है जब तक हर खनिज शेष है, अर्थात $F < x_i/p_i$, प्रत्येक $i$ के लिए।

ऊपर के खनिज गुणांकों और हल किए उदाहरण के स्पिनेल लर्ज़ोलाइट के साथ, तथा एक गार्नेट लर्ज़ोलाइट, जो $5\,\mathrm{GPa}$ और $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर प्रयोगशाला में रखा गया, जिसमें $54.1\,\%$ ओलिवीन, $9.8\,\%$ ऑर्थोपाइरोक्सीन, $19.5\,\%$ क्लिनोपाइरोक्सीन और $16.7\,\%$ गार्नेट (द्रव्यमान के अनुसार) है, दोनों के समग्र गुणांक नीचे दिए गए हैं।

दोनों में लैंथेनम अत्यंत असंगत है। इटरबियम स्पिनेल लर्ज़ोलाइट में मध्यम रूप से असंगत है और गार्नेट लर्ज़ोलाइट में लगभग उदासीन है। दोनों स्रोतों के बीच का अंतर लगभग पूरी तरह भारी दुर्लभ मृदाओं में है।

12.2 बैच गलन

प्रमेय 12.3 (बैच गलन)

बैच गलन में गलित पूरे अवशेष के साथ साम्य में बना रहता है जब तक वह एक ही बैच में अलग नहीं होता। स्थिर समग्र विभाजन गुणांक $D$ के साथ, गलन-अंश $F$ पर गलित और अवशेष के लिए ये संबंध होते हैं:

$$\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D + F(1 - D)}, \qquad \frac{C_S}{C_0} = \frac{D}{D + F(1 - D)}.$$

यह सूत्र पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) के साम्य क्रिस्टलन नियम को उलटी ओर पढ़ने का परिणाम है: दोनों में $F$ एक बंद तंत्र में द्रव का अंश है। इसकी दो सीमाएँ जानना उपयोगी है। जब $F \to 0$ होता है, तो $C_L \to C_0/D$ होता है: गलित की पहली बूँद किसी तत्त्व को अधिक-से-अधिक $1/D$ गुणक से समृद्ध कर सकती है। जब $D \to 0$ होता है, तो $C_L \to C_0/F$ होता है: पूर्णतः असंगत तत्त्व गलित में तनु हो जाता है, और उसका समृद्धीकरण केवल $F$ मापता है। संगत तत्त्व के लिए, $D > 1$, गलित स्रोत से निर्धन होता है, और $F$ जितना छोटा हो, उतना ही अधिक निर्धन होता है।

प्रतिज्ञप्ति 12.4 (अ-मोडल बैच गलन)

बैच गलन में गलन-अनुपात $p_i$ के साथ, जैसा परिभाषा 12.1 में है,

$$\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D_0 + F(1 - P)}.$$

जब $P$ $D_0$ से अधिक हो, जैसा हल किए गए उदाहरण में लैंथेनम के लिए होता है, जहाँ $D_0 = 0.0074$ और $P = 0.025$ हैं, तो अवशेष अपना सर्वोत्तम आश्रय खनिज, क्लिनोपाइरॉक्सीन, बाकी से तेज़ी से खोने लगता है। तब गलित मोडल गलन के पूर्वानुमान से कुछ अधिक समृद्ध होता है, $F = 0.1$ पर लैंथेनम के लिए $2\,\%$ से कम (अभ्यास 6 देखिए), परंतु अवशेष में क्लिनोपाइरॉक्सीन $F = 0.12/0.45 \approx 0.27$ पर समाप्त हो जाता है, और उससे आगे खनिज और गुणांक बदल जाते हैं।

12.3 भिन्नात्मक और गतिक गलन

पेरिडोटाइट में गलित कणों के किनारों के साथ एकत्र होता है, और जैसे ही वह जुड़ जाता है, निकल सकता है। बैच गलन का विपरीत अंत्य-सदस्य हर बूँद को उसके बनते ही हटा देता है।

प्रमेय 12.5 (भिन्नात्मक गलन)

भिन्नात्मक गलन में गलित का हर वृद्धिशील भाग केवल अपने बनने के क्षण पर अवशेष के साथ साम्य में होता है, और फिर उसे छोड़ देता है। स्थिर $D$ के साथ, गलित का कुल द्रव्यमान $F$ निकाला जा चुका हो, तब अवशेष और उस क्षण बनने वाले गलित के लिए ये संबंध होते हैं:

$$\frac{C_S}{C_0} = (1 - F)^{1/D - 1}, \qquad \frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D}(1 - F)^{1/D - 1}.$$

असंगत तत्त्व के लिए $1/D - 1$ बड़ा और धनात्मक होता है: अवशेष गलन के आरंभ से $D$ के कुछ गुना के भीतर खाली हो जाता है, और तात्क्षणिक गलित $C_0/D$ से लगभग शून्य तक गिर जाता है। भिन्नात्मक गलन का अवशेष बैच गलन के अवशेष से कहीं अधिक क्षीण होता है। गलित एक-एक करके उद्गारित नहीं होते, फिर भी वे वाहिकाओं में एकत्र होकर जमा होते हैं, और जमा गलित, जिसे नीचे परिभाषित किया गया है, आकृति में डैश रेखा से दर्शाया गया है।

परिभाषा 12.6 (समुच्चित भिन्नात्मक गलित)

समुच्चित भिन्नात्मक गलित भिन्नात्मक गलन के $0$ से $F$ तक के सभी तात्क्षणिक गलितों का मिश्रण है, जो अवशेष के साथ आगे कोई अभिक्रिया किए बिना जमा किया गया हो।

प्रतिज्ञप्ति 12.7 (समुच्चित गलित का संघटन)

स्थिर $D$ के लिए समुच्चित भिन्नात्मक गलित में निम्न संबंध होता है:

$$\frac{\bar C_L}{C_0} = \frac{1 - (1 - F)^{1/D}}{F}.$$

जब $(1 - F)^{1/D}$ छोटा हो, तो समुच्चित गलित में तत्त्व की पूरी मात्रा आ जाती है, और $\bar C_L \approx C_0/F$ होता है, चाहे $D$ कुछ भी हो: बहुत असंगत तत्त्वों के लिए समुच्चित भिन्नात्मक गलित और छोटे $D$ वाले बैच गलित एक-दूसरे से मेल खाते हैं, और दोनों $F$ को मापते हैं।

वास्तविक गलन इन दोनों अंत्य-सदस्यों के बीच होता है। अवशेष अपने रंध्रों में कुछ गलित रखता है, और जो गलित निकलता है, वह उस छिद्रता से ऊपर का अधिशेष होता है।

परिभाषा 12.8 (गतिक गलन)

गतिक गलन में (जिसे सतत गलन भी कहते हैं), अवशेष अपने रंध्रों में गलित का एक स्थिर द्रव्यमान-अंश $\phi$ रखता है, जो उसके क्रिस्टलों के साथ साम्य में होता है, और उससे अधिक जितना भी गलित बनता है, वह निकाल लिया जाता है।

प्रतिज्ञप्ति 12.9 (गतिक गलन)

छिद्रता $\phi$ वाला गतिक गलन, प्रभावी विभाजन गुणांक $D' = (1 - \phi)D + \phi$ वाला भिन्नात्मक गलन है, जहाँ $F$ निकले गलित का द्रव्यमान-अंश है:

$$\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D'}(1 - F)^{1/D' - 1}.$$

$\phi = 0$ के लिए मॉडल भिन्नात्मक गलन है; $\phi \to 1$ के लिए वह बैच गलन की ओर पहुँचता है। एक प्रतिशत छिद्रता पहले गलित के समृद्धीकरण को $1/\phi = 100$ पर सीमित कर देती है, चाहे $D$ कितना भी छोटा हो: रंध्र-गलित अवशेष के लिए बफ़र का काम करता है।

12.4 गलन, फिर क्रिस्टलन

अपने स्रोत से निकला गलित शायद ही कभी अपरिवर्तित रूप में ज्वालामुखी से बाहर आता है। वह ऊपर जाते समय ओलिवीन, फिर पाइरॉक्सीन और प्लैजियोक्लेज़ क्रिस्टलित करता है, वह दीवार की चट्टान को आत्मसात कर सकता है, और दूसरे बैचों के साथ मिल भी सकता है। पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) के नियम बारी-बारी से लागू होते हैं। लावा स्रोत के अपने अंश $F$ का गलित है, जो फिर एक ऐसा द्रव है जिसने भिन्नात्मक क्रिस्टलन के माध्यम से अपने द्रव्यमान का अंश $f$ बनाए रखा है, जिससे, $D$ वाले तत्त्व के लिए गलन अवशेष में और $D_c$ के लिए क्रिस्टलित होने वाले खनिजों में, निम्न संबंध प्राप्त होता है:

दूसरा गुणक हर उस तत्त्व के लिए समान है जिसे क्रिस्टलित होने वाले खनिज अस्वीकार करते हैं, जिसके लिए $D_c \approx 0$ है: यह उन सबको $1/f$ से गुणा करता है। ऐसे तत्त्वों के अनुपात इसलिए स्रोत पर ही तय होते हैं, और जिस लावा से ओलिवीन निकल गया है, वह अपने प्राथमिक गलित का La/Yb रखता है, जबकि उसका लैंथेनम बढ़ जाता है। सांद्रता से $F$ का प्रतिलोम निकालने के लिए $f$ भी चाहिए; अनुपात से स्रोत का प्रतिलोम निकालने के लिए नहीं। दुर्लभ मृदाओं में प्लैजियोक्लेज़ अपवाद है: वह यूरोपियम लेता है, और उसके निकल जाने से पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) की यूरोपियम विसंगति बनी रहती है।

12.5 दुर्लभ मृदा प्रतिरूप पढ़ना

स्पाइनल लर्ज़ोलाइट का एक गलित और गार्नेट लर्ज़ोलाइट का एक गलित हल्की दुर्लभ मृदाएँ साझा करते हैं, जिन्हें कोई भी अवशेष नहीं रखता, और भारी मृदाओं में भिन्न होते हैं, जिन्हें गार्नेट रखता है। कॉन्ड्राइट-प्रसामान्यीकृत आरेख पर गार्नेट गलित भारी सिरे पर तीव्र ढाल और समतल तल वाले होते हैं; स्पाइनल गलित मंद होते हैं। $F$ घटने के साथ ढाल बढ़ती है।

प्रावार के ऐलुमिनस खनिज के रूप में गार्नेट का स्थान स्पाइनल ले लेता है, लगभग 60 से $90\,\mathrm{km}$ गहराई पर। जिस गलित की भारी दुर्लभ मृदाएँ समतल और निम्न हों, और हल्के-से-भारी तीव्र ढाल वाली हो, उसने इसलिए अपने अवशेष में गार्नेट छोड़ा है और कम से कम उतनी गहराई पर गलना आरंभ किया है।

एक प्रतिरूप दो अज्ञात राशियों, $F$ और स्रोत, को मिला देता है। दो तत्वों को एक-दूसरे के विरुद्ध आलेखित करने से दोनों अलग हो जाते हैं।

परिभाषा 12.10 (अनुपात–अनुपात आरेख)

अनुपात–अनुपात आरेख लावाओं के एक समूह के लिए, अत्यधिक असंगत तत्त्व $H$ का, कम असंगत तत्त्व $M$ से अनुपात, $H$ की सांद्रता (या किसी अन्य अनुपात) के विरुद्ध आलेखित करता है। आंशिक गलन, क्रिस्टलन और मिश्रण इस पर भिन्न आकृतियों की रेखाएँ खींचते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 12.11 (बैच गलन रेखा)

एक स्रोत के बैच गलितों के लिए, जहाँ $D_H = 0$ और स्थिर $D_M$ है, बिंदु $(C_H, C_H/C_M)$ सीधी रेखा पर स्थित होते हैं

$$\frac{C_H}{C_M} = \frac{D_M}{C_0^M}\,C_H + \frac{C_0^H(1 - D_M)}{C_0^M}.$$

जो खनिज दोनों तत्त्वों को अस्वीकार करते हैं, उनका भिन्नात्मक क्रिस्टलन लावा को इस आरेख पर क्षैतिज रूप से खिसकाता है, क्योंकि अनुपात नहीं बदलता; गलन इसे एक ढलवाँ रेखा पर ले जाता है, जिसकी ढाल $D_M$ के साथ बढ़ती है; दो गलितों का मिश्रण अतिपरवलय खींचता है। गार्नेट वाले स्रोत का $D_{\mathrm{Yb}}$ बड़ा होता है, अतः La/Yb बनाम La में तीव्र गलन रेखा प्राप्त होती है।

विधि 12.12 (दो लावाओं का व्युत्क्रमण)

(1) जाँचिए कि लावा सह-जनित हैं और $H$, $M$ की तुलना में कहीं अधिक असंगत है। (2) प्रत्येक लावा को क्रिस्टलन के लिए सुधारिए, या केवल अनुपात का प्रयोग कीजिए। (3) दो या अधिक लावाओं से होकर रेखा $C_H/C_M = aC_H + b$ का फ़िट कीजिए। (4) तब $a = D_M/C_0^M$ और $b = C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$: $C_0^M$ मान लिया गया हो, तो $D_M = aC_0^M$ और $C_0^H = bC_0^M/(1 - D_M)$। (5) प्रत्येक लावा का गलन-अंश $F = C_0^H/C_H$ होता है।

लघुगणकीय अक्षों पर प्रतिज्ञप्ति की सीधी रेखा मुड़ जाती है, और $D_{\mathrm{La}} \ne 0$ होने पर वह रैखिक अक्षों पर केवल लगभग सीधी होती है; आकृति के वक्र यथार्थ होते हैं। स्पाइनल स्रोत ऐसा गलित नहीं बना सकता जिसका La/Yb $(C_0^{\mathrm{La}}/D_{\mathrm{La}})/(C_0^{\mathrm{Yb}}/D_{\mathrm{Yb}})$, से अधिक हो। आद्य प्रावार के लिए यह मान लगभग 40 है; गार्नेट स्रोत लगभग 120 तक पहुँच सकता है।

12.6 अभ्यास

अभ्यास 12.1 ★

समैरियम के खनिज गुणांक क्लिनोपाइरॉक्सीन में 0.40, गार्नेट में 0.11 और ओलिवीन, ऑर्थोपाइरॉक्सीन तथा स्पाइनल में 0.016 हैं। इनके आधार पर स्पाइनल लर्ज़ोलाइट ($12\,\%$ क्लिनोपाइरॉक्सीन) में समैरियम का सकल विभाजन गुणांक और अध्याय के गार्नेट लर्ज़ोलाइट ($19.5\,\%$ क्लिनोपाइरॉक्सीन, $16.7\,\%$ गार्नेट) में उसका सकल विभाजन गुणांक परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.1.

स्पिनेल लर्ज़ोलाइट: $0.12\times0.40 + 0.88\times0.016 = 0.048 + 0.0141 = 0.062$। गार्नेट लर्ज़ोलाइट: $0.195\times0.40 + 0.167\times0.11 + 0.639\times0.016 = 0.078 + 0.0184 + 0.0102 = 0.107$।

अभ्यास 12.2 ★

$D = 0.05$ वाला एक तत्त्व किसी स्रोत में $1\,\mathrm{ppm}$ पर उपस्थित है। बैच गलन से बने गलित में उसकी सांद्रता $F = 0.02$ और $0.10$ पर परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.2.

$1/(0.05 + 0.02\times0.95) = 1/0.069 = 14.5\,\mathrm{ppm}$; $1/(0.05 + 0.10\times0.95) = 1/0.145 = 6.9\,\mathrm{ppm}$।

अभ्यास 12.3 ★

बैच गलन से अधिकतम कितना संवर्धन $C_L/C_0$ किसी $D = 0.01$ वाले तत्त्व में संभव है? और $D = 0$ वाले तत्त्व के लिए $F = 5\,\%$ पर कितना? (नहीं)

हल

हल — अभ्यास 12.3.

जब $F \to 0$ की ओर जाता है, तब संवर्धन सबसे अधिक होता है: $1/D = 100$। $D = 0$ होने पर, $C_L/C_0 = 1/F = 20$।

अभ्यास 12.4 ★

एक लावा में $30\,\mathrm{ppm}$ La और $2.5\,\mathrm{ppm}$ Yb है। CI कॉन्ड्राइट के मान La 0.232 और Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$ लेकर उसका La/Yb और कॉन्ड्राइट-प्रसामान्यीकृत $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.4.

$\mathrm{La/Yb} = 30/2.5 = 12.0$; $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N = (30/0.232)/(2.5/0.163) = 129.3/15.34 = 8.4$।

अभ्यास 12.5 ★★

$D = 0.01$ वाले तत्त्व के लिए $5\,\%$ बैच गलन और भिन्नात्मक गलन के बाद दोनों के अवशेषों की तुलना कीजिए। उस क्षण तात्क्षणिक भिन्नात्मक गलित में तत्त्व की सांद्रता कितनी होती है?

हल

हल — अभ्यास 12.5.

बैच: $C_S/C_0 = 0.01/(0.01 + 0.05\times0.99) = 0.168$। भिन्नात्मक: $(0.95)^{99} = 0.0062$, 27 गुना कम। तात्कालिक गलित में $0.0062/0.01 = 0.62\,C_0$ सांद्रण रखता है: स्रोत से कम।

अभ्यास 12.6 ★★

अध्याय के हल किए गए उदाहरण में (मोड 58, 27, 12, $3\,\%$; गलन-अनुपात 20, 25, 45, $10\,\%$ ओलिवीन के लिए, ऑर्थोपाइरॉक्सीन, क्लिनोपाइरॉक्सीन और स्पाइनल के लिए), लैंथेनम के गुणांक 0.0003, 0.002, 0.053 और 0.01 हैं। $D_0$ और $P$ ज्ञात करके बैच गलन से बने गलित में $F = 0.02$ और $0.10$ पर लैंथेनम का संवर्धन, अ-मोडल और मोडल दोनों के लिए, परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.6.

$D_0 = 0.58\times0.0003 + 0.27\times0.002 + 0.12\times0.053 + 0.03\times0.01 = 0.00737$; $P = 0.20\times0.0003 + 0.25\times0.002 + 0.45\times0.053 + 0.10\times0.01 = 0.0254$। $F = 0.02$ पर अ-मोडल $1/(0.00737 + 0.02\times0.9746) = 37.2$, और मोडल $1/(0.00737 + 0.02\times0.9926) = 36.7$। $F = 0.10$ पर: 9.54 और 9.38, जो $1.7\,\%$ के अंतर पर हैं।

अभ्यास 12.7 ★★

$F = 0.10$ पर, $D = 0.1$ और $D = 0.01$ के लिए, बैच गलित और समुच्चित भिन्नात्मक गलित की तुलना कीजिए। कौन-सा अधिक भिन्न है, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 12.7.

$D = 0.1$: बैच $1/(0.1 + 0.09) = 5.26$; समुच्चित $(1 - 0.9^{10})/0.1 = 6.51$। $D = 0.01$: बैच $1/(0.01 + 0.099) = 9.17$; समुच्चित $(1 - 0.9^{100})/0.1 = 10.00$। $D = 0.1$ वाला युग्म अधिक भिन्न है: $D = 0.01$ के लिए दोनों गलित पहले ही लगभग पूरा तत्त्व रखते हैं, और दोनों $1/F$ की ओर प्रवृत्त होते हैं।

अभ्यास 12.8 ★★

$D = 0.001$ वाला एक तत्त्व $\phi = 0.01$ के साथ गतिक गलन से गलता है। उसके $D'$, पहले निकाले गए गलित का संवर्धन और $F = 0.01$ पर निकाले गए गलित का संवर्धन परिकलित कीजिए, और इनकी तुलना भिन्नात्मक गलन से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.8.

$D' = 0.99\times0.001 + 0.01 = 0.01099$। पहला गलित: $1/D' = 91$, भिन्नात्मक गलन में 1000 है। $F = 0.01$ पर: $91\times0.99^{90.0} = 36.8$, जबकि $1000\times0.99^{999} = 0.044$: रंध्र गलित अवशेष को तत्त्वों से वंचित होने से बचाता है।

अभ्यास 12.9 ★★

अध्याय के स्पाइनल लर्ज़ोलाइट में $D_{\mathrm{La}} = 0.0078$ और $D_{\mathrm{Sm}} = 0.062$ है। $F = 0.01$ और $F = 0.10$ पर बैच गलन La/Sm को स्रोत के मान से किस गुणक से बढ़ाता है? इससे $F$ के अनुमान के लिए अनुपातों के उपयोग के बारे में क्या पता चलता है?

हल

हल — अभ्यास 12.9.

अनुपात $(D_{\mathrm{Sm}} + F(1 - D_{\mathrm{Sm}}))/(D_{\mathrm{La}} + F(1 - D_{\mathrm{La}}))$ के गुणक से बढ़ता है: $F = 0.01$ पर, $0.0714/0.0177 = 4.0$; $F = 0.10$ पर, $0.156/0.107 = 1.46$। अनुपात छोटे $F$ पर $F$ के प्रति संवेदनशील है और लगभग $10\,\%$ से ऊपर प्रायः असंवेदी है; यह $D_{\mathrm{Sm}}$ पर भी निर्भर करता है, अतः अवशिष्ट खनिजों पर।

अभ्यास 12.10 ★★★

दिखाइए कि समुच्चित भिन्नात्मक गलित 0 से $F$ तक के तात्क्षणिक गलितों का माध्य है, और यह $C_0/F$ की ओर तब प्रवृत्त होता है जब $(1 - F)^{1/D} \to 0$ हो। $D = 0.01$ के लिए किस $F$ से यह $C_0/F$ के $1\,\%$ के भीतर है?

हल

हल — अभ्यास 12.10.

$\frac1F\int_0^F \frac1D(1 - x)^{1/D - 1}\,\mathrm dx = \frac1F\bigl[-(1 - x)^{1/D}\bigr]_0^F = [1 - (1 - F)^{1/D}]/F$, अध्याय का सूत्र; यदि $(1 - F)^{1/D} \to 0$ हो, तो यह $1/F$ गुना $C_0$ की ओर प्रवृत्त होता है। $1\,\%$ के भीतर: $(1 - F)^{100} < 0.01$, $F > 1 - 0.01^{0.01} = 0.045$, लगभग $4.5\,\%$।

अभ्यास 12.11 ★★★

सह-उत्पन्न लावा P और Q में La 20 और $10\,\mathrm{ppm}$ है, और La/Yb 10 और 6 है। मान लीजिए कि लैंथेनम पूर्णतः असंगत तत्त्व है और स्रोत में $0.44\,\mathrm{ppm}$ Yb है। अध्याय की विधि लगाकर $D_{\mathrm{Yb}}$, स्रोत का La और प्रत्येक लावा का गलन-अंश ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.11.

ढाल $a = (10 - 6)/(20 - 10) = 0.40\,\mathrm{ppm}^{-1}$; अंतःखंड $b = 10 - 0.40\times20 = 2.0$। $D_{\mathrm{Yb}} = 0.40\times0.44 = 0.176$; $C_0^{\mathrm{La}} = 2.0\times0.44/0.824 = 1.07\,\mathrm{ppm}$। $F_P = 1.07/20 = 5.3\,\%$, $F_Q = 1.07/10 = 10.7\,\%$।

अभ्यास 12.12 ★★★

अभ्यास 6 के अ-मोडल गलन में प्रत्येक खनिज किस गलन-अंश पर समाप्त हो जाता है? लैंथेनम के लिए $F = 0.2$ पर अवशेष का सकल गुणांक परिकलित कीजिए, और बताइए कि अध्याय का सूत्र पहली समाप्ति के बाद क्यों लागू नहीं किया जा सकता।

हल

हल — अभ्यास 12.12.

$F = x_i/p_i$: क्लिनोपाइरॉक्सीन $0.12/0.45 = 0.27$, स्पिनेल $0.03/0.10 = 0.30$, ऑर्थोपाइरॉक्सीन $0.27/0.25 = 1.08$, ओलिवीन $0.58/0.20 = 2.9$; क्लिनोपाइरॉक्सीन पहले गलता है। $F = 0.2$ पर: $\bar D = (0.00737 - 0.0254\times0.2)/0.8 = 0.0029$। $F = 0.27$ से आगे $p_i$ बदल जाते हैं (गलने के लिए कोई क्लिनोपाइरॉक्सीन नहीं बचता), और सूत्र, जो स्थिर $p_i$ मानता है, अब लागू नहीं होता।

12.7 समस्या: ऐल्ड्रेन द्वीप के दो लावा

समस्या 12.1

सप्ताहांत समस्या — स्रोत, गहराई और दो काल्पनिक बेसाल्टों के गलन की मात्रा, उनके लैंथेनम और इटरबियम के मानों से

ऐल्ड्रेन द्वीप पर, जो एक काल्पनिक ज्वालामुखीय द्वीप है, लावा A में $9.6\,\mathrm{ppm}$ La और $1.7\,\mathrm{ppm}$ Yb है, और लावा B में $15.6\,\mathrm{ppm}$ La और $0.45\,\mathrm{ppm}$ Yb है। दोनों को एक आद्य प्रावार स्रोत के प्राथमिक गलित माना जाता है, जिसमें $0.648\,\mathrm{ppm}$ La और $0.441\,\mathrm{ppm}$ Yb है (CI कॉन्ड्राइट: La 0.232, Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$)। खनिज गुणांक: La क्लिनोपाइरॉक्सीन में 0.058 और 0.001 गार्नेट में तथा ओलिवीन, ऑर्थोपाइरॉक्सीन और स्पाइनल में; Yb क्लिनोपाइरॉक्सीन में 0.58, गार्नेट में 4.5 और ओलिवीन, ऑर्थोपाइरॉक्सीन और स्पाइनल में 0.16 हैं। स्पाइनल लर्ज़ोलाइट में $58\,\%$ ओलिवीन, $27\,\%$ ऑर्थोपाइरॉक्सीन, $12\,\%$ क्लिनोपाइरॉक्सीन, $3\,\%$ स्पाइनल; गार्नेट लर्ज़ोलाइट में $54.1\,\%$ ओलिवीन, $9.8\,\%$ ऑर्थोपाइरॉक्सीन, $19.5\,\%$ क्लिनोपाइरॉक्सीन, $16.7\,\%$ गार्नेट। गलन मोडल है।

भाग I — दो स्रोत।

1. स्पाइनल लर्ज़ोलाइट के $D_{\mathrm{La}}$ और $D_{\mathrm{Yb}}$ परिकलित कीजिए।
2. गार्नेट लर्ज़ोलाइट के लिए इन्हें परिकलित कीजिए। शेष समस्या के लिए चारों मानों को दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित कीजिए।
3. दोनों स्रोतों में कौन-सा गुणांक सबसे अधिक भिन्न है, और क्यों? क्या गार्नेट लर्ज़ोलाइट में इटरबियम संगत तत्त्व है?
4. स्रोत का कॉन्ड्राइट-प्रसामान्यीकृत $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ परिकलित कीजिए। इसका प्रतिरूप कैसा दिखता है?

भाग II — लावा A का बैच गलन।

5. स्पाइनल लर्ज़ोलाइट के बैच गलितों में $F = 1$, 5 और $10\,\%$ पर La परिकलित कीजिए।
6. वह गलन-अंश ज्ञात कीजिए जो लावा A का लैंथेनम देता है।
7. इसका इटरबियम और La/Yb पूर्वानुमानित कीजिए, और इनकी तुलना लावा A से कीजिए।
8. अवशेष में La और Yb, तथा स्रोत के लैंथेनम का वह अंश जो उसमें शेष रहता है, परिकलित कीजिए।
9. यदि लैंथेनम को पूर्णतः असंगत मान लिया जाए, तो कौन-सा गलन-अंश प्राप्त होगा?

भाग III — लावा A का भिन्नात्मक गलन।

10. तात्कालिक भिन्नात्मक गलित में $F = 0.1$, 1 और $6\,\%$ पर La परिकलित कीजिए।
11. $F = 6.0\,\%$ पर समुच्चित भिन्नात्मक गलित में La परिकलित कीजिए।
12. वह गलन-अंश ज्ञात कीजिए जिस पर समुच्चित गलित में लावा A का लैंथेनम प्राप्त होता है। यह प्रश्न 9 के उत्तर के इतना निकट क्यों है?
13. अवशेष के लैंथेनम की तुलना प्रश्न 8 के लैंथेनम से कीजिए।
14. $F$ का कौन-सा अनुमान आप रखते हैं?

भाग IV — लावा B और गार्नेट।

15. दोनों लावाओं का La/Yb और $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ परिकलित कीजिए।
16. स्पाइनल लर्ज़ोलाइट का बैच गलित अधिकतम कितना La/Yb प्राप्त कर सकता है?
17. किस गलन-अंश पर स्पाइनल लर्ज़ोलाइट के गलित का La/Yb लावा B के बराबर होगा, और उसमें कितना लैंथेनम होगा? निष्कर्ष निकालिए।
18. गार्नेट लर्ज़ोलाइट के लिए, लावा B के लैंथेनम से उसका गलन-अंश ज्ञात कीजिए, और उसका इटरबियम पूर्वानुमानित कीजिए।
19. दोनों स्रोत उन गहराइयों के बारे में क्या कहते हैं जिन पर A और B का गलन आरंभ हुआ? क्या लावा A गार्नेट लर्ज़ोलाइट से आ सकता है?
20. गार्नेट स्रोत की बैच गलन रेखा La/Yb $= a\, \mathrm{La} + b$ का ढलान और अंतःखंड, $D_{\mathrm{La}}$ को शून्य मानकर, परिकलित कीजिए और उसके विरुद्ध लावा B की जाँच कीजिए।
21. यदि उद्गार से पहले लावा A ने ओलिवीन के रूप में अपने द्रव्यमान का $10\,\%$ खो दिया होता, तो उसका La/Yb और गलन-अंश कैसे बदलते?
22. इन दोनों लावाओं के लिए अध्याय के आरंभ में पूछे गए प्रश्न का उत्तर दीजिए।
23. लावा A के गलन की मात्रा बताइए।

हल

हल — समस्या 12.1.

1. $D_{\mathrm{La}} = 0.12\times0.058 + 0.88\times0.001 = 0.00784$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.12\times0.58 + 0.88\times0.16 = 0.210$।

2. $D_{\mathrm{La}} = 0.195\times0.058 + 0.167\times0.001 + 0.639\times0.001 = 0.0121$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.195\times0.58 + 0.167\times4.5 + 0.639\times0.16 = 0.967$। गोल करने पर: 0.0078, 0.21, 0.012, 0.97।

3. $D_{\mathrm{Yb}}$, 0.21 से 0.97 तक, क्योंकि गार्नेट भारी दुर्लभ मृदा तत्त्वों को धारण करता है ($D = 4.5$)। इटर्बियम अभी भी बहुत थोड़ा असंगत है, $0.97 < 1$।

4. $(0.648/0.232)/(0.441/0.163) = 2.79/2.71 = 1.03$: एक समतल प्रतिरूप कॉन्ड्राइट से लगभग 2.8 गुना।

5. $0.648/(0.0078 + 0.01\times0.9922) = 36.6\,\mathrm{ppm}$; $5\,\%$ पर $11.3\,\mathrm{ppm}$; $10\,\%$ पर $6.05\,\mathrm{ppm}$।

6. $F = (0.648/9.6 - 0.0078)/0.9922 = (0.0675 - 0.0078)/0.9922 = 0.0602$, $6.0\,\%$।

7. $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.21 + 0.0602\times0.79) = 1.71\,\mathrm{ppm}$ और La/Yb $= 5.6$; लावा A में 1.7 और 5.6 हैं: यह स्पिनेल स्रोत से मेल खाता है।

8. La $= 0.0078\times9.6 = 0.075\,\mathrm{ppm}$, Yb $= 0.21\times1.71 = 0.36\,\mathrm{ppm}$। लैंथेनम शेष: $0.940\times0.075/0.648 = 0.11$, लगभग $11\,\%$।

9. $F = 0.648/9.6 = 6.75\,\%$.

10. $(0.648/0.0078)(1 - F)^{127.2}$: $0.1\,\%$ पर $73\,\mathrm{ppm}$, $1\,\%$ पर $23\,\mathrm{ppm}$, $6\,\%$ पर $0.03\,\mathrm{ppm}$।

11. $0.648\times(1 - 0.940^{128.2})/0.060 = 10.8\,\mathrm{ppm}$.

12. $F = 6.75\,\%$: इस $F$ पर, $(1 - F)^{1/D} = 1.3 \times 10^{-4}$, अतः समुच्चित गलित में स्रोत का समस्त लैंथेनम होता है, और $\bar C_L = C_0/F$, जैसा पूर्णतः असंगत तत्त्व के लिए होता है।

13. $0.648\times0.9325^{127.2} = 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{ppm}$, यह लगभग 800 गुना बैच गलन के $0.075\,\mathrm{ppm}$ से कम है।

14. दोनों मॉडल उत्तर की सीमा तय करते हैं: $6.0\,\%$ (बैच) से $6.75\,\%$ (समुच्चित भिन्नात्मक)। मॉडल चाहे जो हो, लैंथेनम $F$ को गलन के लगभग $1\,\%$ के भीतर निश्चित कर देता है।

15. लावा A: La/Yb $= 5.6$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N = (9.6/0.232)/(1.7/0.163) = 4.0$। लावा B: La/Yb $= 34.7$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N = (15.6/0.232)/(0.45/0.163) = 24.4$।

16. जब $F \to 0$: $(0.648/0.0078)/(0.441/0.21) = 83.1/2.10 = 39.6$।

17. $F = 0.11\,\%$ पर, जहाँ गलित में $72\,\mathrm{ppm}$ La और $2.1\,\mathrm{ppm}$ Yb होता। लावा B में $15.6\,\mathrm{ppm}$ La है: स्पिनेल स्रोत उसे नहीं बना सकता।

18. $F = (0.648/15.6 - 0.012)/0.988 = 0.0299$, $3.0\,\%$; $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.97 + 0.0299\times0.03) = 0.454\,\mathrm{ppm}$, जैसा देखा गया।

19. गार्नेट लगभग 60 से $90\,\mathrm{km}$ गहराई पर स्पिनेल की जगह लेता है: लावा B उससे अधिक गहराई पर गलना शुरू हुआ, लावा A कम गहराई पर, स्पिनेल क्षेत्र में। गार्नेट-लर्ज़ोलाइट गलित, जिसमें $9.6\,\mathrm{ppm}$ La है ($F \approx 5.6\,\%$), उसमें La/Yb लगभग 21 होता, 5.6 नहीं: लावा A गार्नेट-लर्ज़ोलाइट से नहीं आया।

20. $a = 0.97/0.441 = 2.20\,\mathrm{ppm}^{-1}$, $b = 0.648\times0.03/0.441 = 0.044$; La $= 15.6$ पर, La/Yb $= 2.20\times15.6 + 0.044 = 34.4$, जो लावा B के लिए 34.7 से मेल खाता है।

21. ओलिवीन दोनों तत्त्वों को नहीं ग्रहण करता: La/Yb अपरिवर्तित रहता है। प्राथमिक गलित में $9.6\times0.9 = 8.64\,\mathrm{ppm}$ La था, अतः $F = (0.648/8.64 - 0.0078)/0.9922 = 6.8\,\%$ आता है, 6.0 के बजाय।

22. एक ही स्रोत दोनों लावाओं को बना सकता है: लावा B एक छोटा गलित है ($3\,\%$) जो लगभग 60 से $90\,\mathrm{km}$ से अधिक गहराई पर, गार्नेट क्षेत्र में शुरू हुआ; लावा A स्पिनेल क्षेत्र में एक बड़ा गलित है।

23. लावा A स्पिनेल लर्ज़ोलाइट के $6.0\,\%$ बैच गलन से बना गलित है (यदि गलित को भिन्नात्मक रूप से निकाला गया और समुच्चित किया गया हो, तो $6.75\,\%$)।