6प्रावार संवहन और प्लेट-चालक बल

उत्तरी स्वीडन का तट लगभग एक सेंटीमीटर प्रति वर्ष की दर से समुद्र से ऊपर उठ रहा है, उस हिमचादर के पिघल जाने के दस हज़ार वर्ष बाद, जिसने उसे ढक रखा था; हडसन खाड़ी के तट भी उतनी ही तेज़ी से ऊपर उठते हैं। उन्हें धकेलने वाला कोई और नहीं, केवल प्रावार है, जो धीरे-धीरे उस स्थान के नीचे वापस बहता है जिसे हिमचादर ने दबाया था। ज़मीन जिस दर से वापस उछलती है, वह प्रावार की श्यानता का माप देती है, और वही श्यानता तय करती है कि प्रावार कितनी तेज़ी से संवहन करता है और प्लेटें कितनी तेज़ी से चलती हैं। यह अध्याय पूछता है कि ठोस प्रावार आख़िर संवहन क्यों करता है, और पृथ्वी की ऊष्मा ढोने के लिए उसे कितनी तेज़ी से बहना होगा, कौन-से बल प्लेटों को चलाते हैं, और ज़मीन का प्रतिक्षेप प्रावार की श्यानता के बारे में क्या बताता है।

पहले से ज्ञात

श्यानता, श्यान तरल का विसर्पी प्रवाह (स्टोक्स समीकरण $\nabla p = \eta\nabla^2\mathbf u$, $\nabla\cdot\mathbf u = 0$), गोले के लिए स्टोक्स का नियम, रेनॉल्ड्स संख्या और उत्प्लावकता भौतिकी की पुस्तकों के स्नातक खंडों में हैं। प्रावार संवहन और समस्थितिक प्रतिक्षेप का परिचय उच्च विद्यालय की पुस्तक (कक्षा 12) में हो चुका है, और कटक-धक्का तथा स्लैब-खिंचाव उसके कक्षा 11 वाले भाग में। ऊष्मीय सीमा-परत, ऊष्मीय स्थलमंडल और प्रावार रुद्धोष्म पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में हैं, उसके पृथ्वी के ऊष्मा-बजट वाले अध्याय में; हॉटस्पॉट, प्रावार-स्तंभ और बृहत आग्नेय प्रांत उसके हॉटस्पॉट वाले अध्याय में। अर्ध-समष्टि शीतलन मॉडल अध्याय 5 में है, स्थलमंडलीय आनमन अध्याय 3 में है, और भूकंपीय टोमोग्राफ़ी अध्याय 1 में।

6.1 प्रावार संवहन क्यों करता है

प्रावार ठोस है: वह S तरंगों को संचरित करता है। फिर भी लाखों वर्षों में वह अत्यधिक श्यानता वाले तरल की तरह विसर्पित होता है, और नीचे से गरम तथा ऊपर से ठंडी तरल-परत स्थिर रह सकती है, जिसमें ऊष्मा चालन से आर-पार जाती है, या वह पलट सकती है। आकार $d$ का गरम तरल-पिंड, जो अपने परिवेश से $\rho\alpha\,\Delta T$ से हल्का है और ऊपर उठता है, जिसकी चाल कोटि $\rho g\alpha\,\Delta T d^2/\eta$ की होती है; यह अपनी ऊष्मा विसरण से खोता है, जिसमें लगने वाला समय कोटि $d^2/\kappa$ का होता है। यदि यह ठंडा होने से पहले परत के आर-पार ऊपर उठ सके, तो परत पलट जाती है।

परिभाषा 6.1 (रैले संख्या)

किसी तरल-परत के लिए, जिसकी मोटाई $d$, घनत्व $\rho$, ऊष्मीय प्रसार गुणांक $\alpha$, तापीय विसरणता $\kappa$ और श्यानता $\eta$ है, गुरुत्व $g$ के अधीन, $\Delta T$ तापमान-अंतर के साथ, उसके आधार और ऊपरी सतह के बीच, रैले संख्या होती है

$$\mathrm{Ra} = \frac{\rho g\alpha\,\Delta T d^3}{\kappa\eta},$$

यह विसरण काल $d^2/\kappa$ का उत्प्लावी उत्थान काल $\eta/(\rho g\alpha\,\Delta Td)$ से अनुपात है।

परिभाषा 6.2 (क्रांतिक रैले संख्या)

क्रांतिक रैले संख्या $\mathrm{Ra}_c$ किसी परत के लिए रैले संख्या का वह मान है, जिसके ऊपर विराम-अवस्था का एक छोटा विक्षोभ संवहन में बढ़ जाता है, और जिसके नीचे वह क्षीण होकर लुप्त हो जाता है।

प्रतिज्ञप्ति 6.3 (संवहन का आरंभ)

किसी ऐसी परत के लिए, जिसकी ऊपरी और निचली सतहें अपरूपण प्रतिबल से मुक्त हैं और स्थिर तापमानों पर रखी गई हों, क्षैतिज तरंग-संख्या $k$ (इकाई $1/d$ में) का विक्षोभ बढ़ता है जब $\mathrm{Ra} > (\pi^2 + k^2)^3/k^2$ हो। दाहिने पक्ष का न्यूनतम $k = \pi/\sqrt2$ पर मिलता है, जो यह देता है:

$$\mathrm{Ra}_c = \frac{27\pi^4}{4} \approx 657.5,$$

और पहले उभरने वाले संवहन-कोष्ठ $2\sqrt2\,d$ चौड़े होते हैं। दृढ़ सीमाओं के बीच $\mathrm{Ra}_c \approx 1708$।

इसके पीछे का रैखिक स्थायित्व विश्लेषण, ऊष्मा और स्टोक्स समीकरणों का चालन-अवस्था के सापेक्ष विक्षोभ, भौतिकी की पुस्तकों में संवहन के विवेचन में है; अभ्यास 11 न्यूनतम की जाँच करता है।

नीचे का चित्र संवहनी परत दिखाता है। प्रावार के मान, कोर–प्रावार सीमा की गहराई $d = 2891\,\mathrm{km}$, प्रावार का माध्य घनत्व $4476\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, और $g$ का मान 9.8 और $10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ के बीच, ये सब भूकंपीय पृथ्वी मॉडल PREM से लिए गए हैं; $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ और $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ का मान अध्याय 5 के प्लेट मॉडल से; $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$; और $\eta$ का मान $10^{21}$ और $10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ के बीच है (अनुभाग 6.5 देखिए), इससे $\mathrm{Ra}$ का मान $4.9 \times 10^{6}$ और $4.9 \times 10^{7}$ के बीच आता है, जो क्रांतिक मान का लगभग सात हज़ार से सत्तर हज़ार गुना है। प्रावार संवहन किए बिना नहीं रह सकता।

प्रावार भीतर से भी गरम होता है, रेडियोधर्मी तत्वों के क्षय से, और नीचे से, क्रोड द्वारा। केवल भीतर से गरम की गई परत में आधार पर कोई गरम सीमा-परत नहीं होती: उसका प्रवाह ऊपर से डूबती ठंडी चादरों द्वारा चालित होता है, और ऊपर उठता प्रवाह एक चौड़ी, निष्क्रिय वापसी है। स्लैब ऐसी ही चादरें हैं, और प्लूम को क्रोड से आने वाली ऊष्मा चाहिए।

6.2 सीमा-परतें और संवहन की प्रबलता

परिभाषा 6.4 (नुसेल्ट संख्या)

किसी संवहनी परत की नुसेल्ट संख्या उस परत से होकर गुजरने वाले ऊष्मा-प्रवाह को, उसी परत से केवल चालन द्वारा वहन होने वाले ऊष्मा-प्रवाह से भाग देने पर मिलने वाला अनुपात है, $\mathrm{Nu} = q\,d/(k\,\Delta T)$।

प्रमेय 6.5 (संवहन का सीमा-परत स्केलन)

$\mathrm{Ra} \gg \mathrm{Ra}_c$ पर संवहन करती किसी परत में, यदि हर ऊष्मीय सीमा-परत तब तक बढ़ती है जब तक उसकी अपनी रैले संख्या, जो उसकी मोटाई $\delta$ और उस पर तापमान-गिरावट $\Delta T/2$ पर आधारित है, वह $\mathrm{Ra}_c$ तक पहुँच जाती है, तब

$$\delta = d\Bigl(\frac{2\mathrm{Ra}_c}{\mathrm{Ra}}\Bigr)^{1/3},\qquad \mathrm{Nu} = \frac12\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{1/3}, \qquad u = \frac\kappa d\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{2/3},$$

जहाँ $u$ प्रवाह का वेग-स्केल है, जिसे इस शर्त से परिभाषित किया गया है कि परत $\delta$ तक बढ़ती है, जबकि द्रव कोष्ठ को पार करता है। यही संवहन का सीमा-परत स्केलन कहलाता है।

ऊष्मा-प्रवाह केवल $\mathrm{Ra}$ के घनमूल के रूप में बढ़ता है: श्यानता सौ गुना कम हो, तो ऊष्मा पाँच गुने से भी कम अधिक मिलती है। प्रावार की $\mathrm{Ra} = 4.9 \times 10^{7}$ के साथ स्केलन देता है $\delta \approx 87\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} \approx 17$, ऊष्मा-प्रवाह $\mathrm{Nu}\,k\Delta T/d \approx 26\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, जहाँ $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ है, और $u \approx 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (नीचे का चित्र देखिए)। सीमा-परत उतनी ही मोटी है, जितनी अध्याय 5 में बताई सागरीय प्लेट, $95\,\mathrm{km}$; आज की प्लेटों की वर्ग-माध्य-मूल चालें $1.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (दक्षिण अमेरिका) से लेकर $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (कोकोस) तक हैं, और संपूर्ण स्थलमंडल के लिए $4.4\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$। पृथ्वी का माध्य ऊष्मा-प्रवाह, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, स्केलन के तीन से चार गुना है: प्रावार के भीतर उत्पन्न ऊष्मा, जिसे नीचे से गरम परत छोड़ देती है, और कोटि-एक के वे स्थिरांक, जिन्हें स्केलन नज़रअंदाज़ करता है, दोनों ही योगदान देते हैं। एकल निवेश वाले नियम के लिए परिमाण-कोटियाँ सही हैं: प्लेटें उस प्रावार की ऊपरी सीमा-परत हैं जिसकी $\mathrm{Ra} \sim 10^7$ है।

6.3 प्लेट पर बल

प्लेट स्थिर चाल से चलती है: उस पर लगने वाले बल संतुलित होते हैं। तीन बल उसे उसके किनारों और आधार से चलाते हैं या उसका विरोध करते हैं (नीचे का चित्र देखिए)। वह बल जो डूबता स्लैब अपनी प्लेट पर लगाता है, वह स्लैब-खिंचाव कहलाता है, और यह आता है गरम प्रावार में ठंडे स्लैब के अतिरिक्त घनत्व से। कटक-धक्का, ऊँचे और गरम कटक का बगल की ठंडी प्लेट पर लगने वाला उसका धक्का है, जो अध्याय 5 में दिए अर्ध-समष्टि शीतलन मॉडल से निकलता है।

प्रतिज्ञप्ति 6.6 (कटक-धक्का बल)

अर्ध-समष्टि शीतलन मॉडल में, प्रावार का तापमान $T_m$, पृष्ठ का तापमान $T_0$ और समस्थितिक क्षतिपूर्ति हों, तो आयु $t$ की प्लेट पर कटक के स्तंभ द्वारा कटक की प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला क्षैतिज बल, कटक-धक्का बल, इस प्रकार है:

$$F_{rp} = g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t\Bigl[1 + \frac{2\rho_m\alpha(T_m - T_0)}{\pi(\rho_m - \rho_w)}\Bigr].$$

कटक-धक्का आयु के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है; यह अक्ष पर का कोई धक्का नहीं, बल्कि एक पूरी ठंडी होती प्लेट पर फैली दाब-प्रवणता है। अध्याय 5 के मानों से, कोष्ठक का मान 1.04 है और $F_{rp} = 3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ है, $100\,\mathrm{Myr}$ पर। प्लेट मॉडल में यह गहराई के साथ बढ़ना रुक जाता है, लगभग $2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ पर (नीचे का चित्र देखिए)। स्लैब-खिंचाव इससे बड़ा है: $95\,\mathrm{km}$ मोटा एक स्लैब, जो औसतन प्रावार से $(T_m - T_0)/2$ ठंडा है, इसलिए $\rho_m\alpha(T_m - T_0)/2 \approx 74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ अधिक घना है, $670\,\mathrm{km}$ तक नीचे लटकता हुआ स्लैब विस्थापित प्रावार से $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ अधिक भार रखता है। यह कटक-धक्के का बारह गुना है। उस भार का बड़ा भाग उस श्यान प्रावार पर खर्च होता है जो स्लैब के डूबने का विरोध करता है, और केवल एक भाग ही प्लेट तक पहुँचता है।

परिभाषा 6.7 (आधारी कर्षण)

आधारी कर्षण वह प्रति इकाई क्षेत्रफल का अपरूपण बल है जो किसी प्लेट के नीचे का प्रावार उसके आधार पर लगाता है। $u$ चाल से चलती प्लेट के लिए मोटाई $h$ और श्यानता $\eta$ की परत पर, जिसका आधार स्थिर है, यह $\eta u/h$ है, गति के विपरीत; यह प्लेट को वहाँ चलाता है जहाँ उसके नीचे का प्रावार प्लेट से तेज़ चलता है।

कौन-से बल मायने रखते हैं, यह स्वयं प्लेटों से पढ़ा जा सकता है। बलाघूर्ण-संतुलन प्रत्येक प्लेट पर, प्लेट-गतियों से मिलाया गया, कहता है कि डूबते स्लैब पर कार्य करने वाले बल महासागरीय प्लेटों की चाल नियंत्रित करते हैं, और अन्य किसी भी बल से लगभग दस गुना प्रबल हैं; और यह कि आधार पर का प्रतिरोध महाद्वीपों के नीचे महासागरों के नीचे से अधिक है। गतियाँ मेल खाती हैं: सबसे तेज़ प्लेटें, कोकोस $75\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, नाज़का 70 और प्रशांत $66\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ पर, जो महासागरीय प्लेटें हैं जिनके किनारे लंबी खाइयों में डूबते हैं; सबसे धीमी वे हैं जो बड़े महाद्वीप ढोती हैं: यूरेशिया 23, उत्तरी अमेरिका 20, दक्षिणी अमेरिका $11\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ पर।

6.4 प्लूम

प्रावार के आधार से उठती गर्म पट्टें स्तंभों में एकत्र हो जाती हैं: ये पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) वाले प्रावार-स्तंभ हैं, जिनका शीर्ष बड़ा और पूँछ पतली होती है (नीचे का चित्र देखिए)। हॉटस्पॉट का उभार, जो ज्वालामुखियों के चारों ओर और उनके बहाव की दिशा में समुद्र-तल का चौड़ा उठाव है, यह मापता है कि उसका प्लूम कितनी उत्प्लावकता लाता है।

परिभाषा 6.8 (प्लूम उत्प्लावन अभिवाह)

प्लूम उत्प्लावन अभिवाह $B$ वह द्रव्यमान न्यूनता है, जो आसपास के प्रावार के सापेक्ष कोई प्लूम प्रति इकाई समय में ऊपर ले जाता है; आयतन अभिवाह $Q_v$ और तापमान आधिक्य $\Delta T$ वाले प्लूम के लिए, $B = \rho\alpha\,\Delta T\,Q_v$।

प्रतिज्ञप्ति 6.9 (उभार से उत्प्लावन अभिवाह)

यदि कोई पट्टी, जो प्लूम के ऊपर से चाल $u$ से गुज़रती है, ऐसा उभार लिए हो जिसका पार-काट क्षेत्रफल $A$ है और जिसे उसके नीचे का प्लूम-पदार्थ समस्थितिक रूप से सहारा दे रहा हो, तो प्लूम का उत्प्लावन अभिवाह होता है:

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,u .$$

उभार की अनुप्रस्थ-काटों से पता चलता है कि हॉटस्पॉटों के उत्प्लावन अभिवाह बीस गुने के दायरे में फैले हैं: हवाई, सबसे बड़ा, $8.7\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; आइसलैंड $1.4\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; 37 हॉटस्पॉट मिलाकर लगभग $50\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$। उत्प्लावकता का प्रत्येक किलोग्राम $c_p/\alpha$ जूल अतिरिक्त ऊष्मा है, इसलिए ऊष्मा-अभिवाह $c_pB/\alpha$ है; जहाँ $c_p = k/(\rho_m\kappa) = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ और $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, 37 हॉटस्पॉट लगभग $1.9\,\mathrm{TW}$ वहन करते हैं, या $3.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ दर से, पृथ्वी के $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ क्षेत्रफल पर बँटकर, जो प्रवाहों के साथ प्रकाशित $4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ के निकट है: यह पृथ्वी द्वारा खोई जाने वाली $47\,\mathrm{TW}$ का कुछ प्रतिशत है। प्लूम ऊष्मा-बजट के छोटे साझेदार हैं; शेष ऊष्मा पट्टें वहन करती हैं।

उत्प्लावी प्रावार का एक गोला है, जो श्यान प्रावार में ऊपर उठता है: प्लूम-शीर्ष एक भौतिकी का स्टोक्स नियम, $v = 2\Delta\rho\,ga^2/(9\eta)$, इसकी चाल का परिमाण बताता है, कुछ सौ किलोमीटर आर-पार के शीर्ष के लिए प्रति वर्ष एक मीटर का अंश, (अभ्यास 8) इसलिए वह प्रावार को लाखों वर्षों में पार करता है।

6.5 हिमनदीय समस्थितिक समायोजन और प्रावार श्यानता

परिभाषा 6.10 (हिमनदीय समस्थितिक समायोजन, प्रावार श्यानता)

हिमनदीय समस्थितिक समायोजन (GIA) ठोस पृथ्वी का धीमा विरूपण है, और उसके गुरुत्व क्षेत्र तथा समुद्र-तल में आया वह परिवर्तन है, जब वह हिमचादर के बढ़ने या पिघलने के बाद समस्थितिक साम्य की ओर लौटती है। प्रावार श्यानता वह प्रभावी श्यानता $\eta$ है, जो प्रावार के धीमे, स्थायी विसर्पण को उन प्रतिबलों से जोड़ती है जो उसे चलाते हैं, हज़ारों वर्षों और उससे अधिक समय में।

जब कोई हिमचादर पिघलती है, तो उसके पीछे छूटा गड्ढा समस्थितिक साम्य से बाहर होता है: उसके नीचे प्रावार का दाब आसपास की तुलना में कम होता है, और प्रावार भीतर की ओर बहकर फ़र्श को फिर ऊपर उठाता है। आज बोथनिया की खाड़ी का तट उमेआ के निकट $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ तक की दर से ऊपर उठ रहा है; हडसन खाड़ी लगभग $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ की दर से, जहाँ बर्फ़ सबसे मोटी थी, जबकि ग्रेट लेक्स के दक्षिण का भू-भाग 1 से $2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ की दर से धँस रहा है, क्योंकि जिस उभार को बर्फ़ ने ऊपर धकेला था, उसके चारों ओर वह अवधसित हो रहा है। तटों पर पुरानी तटरेखाएँ अब समुद्र के ऊपर खड़ी हैं, यानी नीचे क्षेत्र-बॉक्स में दिखाए गए उत्थित पुलिन।

प्रमेय 6.11 (श्यान अर्ध-समष्टि का शिथिलन)

अर्ध-समष्टि के पृष्ठ पर एक अवनमन $w(x, t) = w_m(t)\cos(2\pi x/\lambda)$ है, जो एकसमान श्यानता $\eta$ और घनत्व $\rho$ वाले अर्ध-समष्टि का है और जिस पर कोई भार नहीं है, $w_m(t) = w_m(0)e^{-t/\tau}$ के अनुसार क्षय होता है, जहाँ

$$\tau = \frac{4\pi\eta}{\rho g\lambda} .$$

परिभाषा 6.12 (समस्थितिक शिथिलन काल)

समस्थितिक शिथिलन काल $\tau$ किसी क्षैतिज पैमाने $\lambda$ वाले भार का वह काल है जिसमें समस्थितिक साम्य से उसका विचलन गुणक $e$ से घटता है।

एकसमान अर्ध-समष्टि चौड़े अवनमनों को संकीर्ण अवनमनों की तुलना में तेज़ी से शिथिल करता है, और तरंगदैर्घ्य $\lambda$ वाले भार के नीचे का प्रवाह गहराई के साथ $e^{-kz}$ के रूप में क्षय होता है, लगभग $\lambda/2\pi$ गहराई तक; एक बड़ी हिमचादर प्रावार को गहराई तक हिला देती है, एक छोटी झील केवल उसके ऊपरी भाग को। $3000\,\mathrm{km}$ चौड़े अवनमन के लिए और $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ तथा $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ, $\tau = 4.1\,\mathrm{kyr}$ (नीचे का चित्र): दस हज़ार वर्ष बाद अवनमन का $e^{-2.4} = 9\,\%$ भाग शेष रह जाता है, और चूँकि $\dot w = -w/\tau$ है, $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ का उत्थान इसका अर्थ है कि अभी लगभग $40\,\mathrm{m}$ उत्थान आना शेष है।

वास्तविक प्रावार एकसमान नहीं है, और इसका प्रतिक्षेप ऐसे मॉडलों से समझा जाता है जो उसे परतों में बाँटते हैं और एक प्रत्यास्थ स्थलमंडल जोड़ते हैं, जो संकीर्ण भारों को आनमन द्वारा सँभालता है। पहला आकलन, फ़ेनोस्कैंडिया के प्रतिक्षेप से, $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ मिला, और स्वीडन की एंगरमैन नदी और हडसन खाड़ी के रिचमंड गल्फ़ पर उत्थान का क्षय बताता है कि स्थलमंडल के आधार से लगभग $1400\,\mathrm{km}$ गहराई तक औसत श्यानता 0.65 से $1.1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ के बीच है, और ऊपरी प्रावार निचले प्रावार की तुलना में लगभग दस गुना कम श्यान है। फ़ेनोस्कैंडिया के GNSS उत्थान-दरों के प्रतिलोमनों से ऊपरी-प्रावार की श्यानताएँ एक अध्ययन में $5 \times 10^{20}$ से $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, दूसरे में $3.4 \times 10^{20}$ से $5.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, निचले-प्रावार की श्यानताएँ $5 \times 10^{21}$ से $5 \times 10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, और स्थलमंडल 93 से $110\,\mathrm{km}$ मोटा पाए जाते हैं। अनुमान दो या तीन गुने के गुणक तक भिन्न हैं, परंतु वे परिमाण की कोटि और गहराई के साथ वृद्धि पर सहमत हैं।

परिभाषा 6.13 (मैक्सवेल काल)

मैक्सवेल काल श्यानता $\eta$ वाले किसी पदार्थ का, और अपरूपण मापांक $\mu$ हो, तो $\tau_M = \eta/\mu$ होता है: $\tau_M$ से बहुत कम समय तक लगाए गए भार एक प्रत्यास्थ ठोस की तरह, और बहुत अधिक समय तक लगाए गए भार एक श्यान द्रव की तरह व्यवहार करते हैं।

PREM में $300\,\mathrm{km}$ गहराई पर $\mu = \rho v_S^2 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ और $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\tau_M = 1.3 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, लगभग चार सौ वर्ष। एक भूकंपीय तरंग, जो सेकंड भर रहती है, एक प्रत्यास्थ प्रावार को पार करती है; एक हिमयुग, और संवहन एक द्रव को विरूपित करते हैं। वही चट्टान दोनों हो सकती है; यह निर्भर करता है कि उसे कितने समय तक धकेला जाता है।

क्षेत्र-कार्य — उठे हुए पुलिन

पहले हिमनदी-आच्छादित रही भूमि के तटों पर एक भूआकृति-विज्ञानी समुद्र का पुराना कार्य अंतर्देशीय में छूटा मिलता है: गोल कंकड़ों के कटक, खाँच और लहरों द्वारा काटे गए सपाट मंच, जो अब आज के सबसे ऊँचे ज्वार की पहुँच से ऊपर खड़े हैं, कभी-कभी कई स्तरों की सीढ़ी के रूप में। हर स्तर एक तटरेखा था जब समुद्र वहाँ ठहरा था; तब से भूभाग उठ गया है। पुराने पुलिनों में मिली सीपियाँ और बहकर आई लकड़ी रेडियोकार्बन से तिथि-निर्धारित की जाती हैं, और तिथि वाले स्तरों की ऊँचाइयाँ, एक बेंचमार्क तक समतल की गईं, समय के सापेक्ष उत्थान देती हैं। किसी तट के साथ अनुरेखित करने पर, एक पुरानी तटरेखा ढलान वाली पाई जाती है, जो वहाँ सबसे ऊँची है जहाँ हिम सबसे मोटी थी: झुकाव प्रतिक्षेप के आकार को दर्शाता है।

6.6 पूर्ण-प्रावार संवहन और उसकी गहरी संरचना

क्या प्रावार एक परत के रूप में संवहन करता है, या दो परतों के रूप में, ऊपर और नीचे $670\,\mathrm{km}$ असांतत्य के? टोमोग्राफ़ी (अध्याय 1 में) आंशिक उत्तर देती है: कुछ स्लैब असांतत्य के ऊपर समतल हो जाते हैं, अन्य उसे भेदकर निचले प्रावार में धँस जाते हैं, इसलिए द्रव्यमान उसे पार करता है, और दोनों परतें एक-दूसरे से पूरी तरह बंद नहीं हैं। गहराई के साथ श्यानता का बढ़ना निचले प्रावार में प्रवाह को धीमा कर देता है, और स्लैब उसमें प्रवेश करते समय मंद पड़कर मोटे हो जाते हैं।

प्रावार के तल पर टोमोग्राफ़ी दो विस्तृत क्षेत्र दिखाती है, जहाँ S तरंग की गति कम है, अफ़्रीका के नीचे और प्रशांत महासागर के नीचे, बड़े निम्न-अपरूपण-वेग प्रांत (LLSVPs)। ये संभवतः रासायनिक रूप से ऊपर के प्रावार से भिन्न हैं और घने हैं, गर्म प्लूम के बजाय ढेर हैं। पिछले कुछ सौ मिलियन वर्षों के बृहत आग्नेय प्रांत और किम्बरलाइट मुख्यतः उनकी सीमाओं के ऊपर फूटे, मानो प्लूम ढेरों के किनारों से उठे हों, जहाँ प्रावार के तल की गर्म सीमा-परत उनसे टकराकर बहती है।

6.7 अभ्यास

अभ्यास 6.1 ★

ऊपरी-प्रावार की $670\,\mathrm{km}$ मोटी परत की रैले संख्या परिकलित कीजिए, जिसके लिए $\rho = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1000\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $\eta = 5 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ पर, यह क्रांतिक मान का कितना गुना है, मुक्त-फिसलन सीमाओं के लिए?

हल

हल — अभ्यास 6.1.

$\mathrm{Ra} = 3500\times9.9\times3 \times 10^{-5}\times1000\times(6.7 \times 10^{5})^3/ (10^{-6}\times5 \times 10^{20}) = 6.25 \times 10^{5}$, लगभग 950 गुना क्रांतिक मान 657.5: परत प्रबल रूप से संवहन करती है।

अभ्यास 6.2 ★

प्रावार का मैक्सवेल काल परिकलित कीजिए, जिसकी श्यानता $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ और अपरूपण मापांक $7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ है, वर्षों में। क्या प्रावार प्रत्यास्थ रूप से या श्यान रूप से दिन में दो बार आने वाले पृथ्वी-ज्वार, हिमचादर के पिघलने और स्लैब के धँसने पर प्रतिक्रिया करता है?

हल

हल — अभ्यास 6.2.

$\tau_M = 10^{21}/7.7 \times 10^{10} = 1.30 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, लगभग $412\,\mathrm{yr}$। ज्वार, जो घंटों तक चलता है, प्रत्यास्थ प्रावार का सामना करता है; हिमचादर का हज़ारों वर्षों में होने वाला पिघलना, और लाखों वर्षों में होने वाला स्लैब का धँसना, श्यान प्रावार का सामना करते हैं।

अभ्यास 6.3 ★

$\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ मानकर, एक समान अर्ध-समष्टि का शिथिलन काल परिकलित कीजिए तरंगदैर्घ्य 1000 और $3000\,\mathrm{km}$ वाले भारों के लिए। कौन तेज़ी से पुनर्प्राप्त होता है?

हल

हल — अभ्यास 6.3.

$\tau = 4\pi\times10^{21}/(3300\times9.8\lambda)$: $3.89 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ = $1000\,\mathrm{km}$ के लिए $12.3\,\mathrm{kyr}$, और $3000\,\mathrm{km}$ के लिए $4.1\,\mathrm{kyr}$। व्यापक भार अधिक तेज़ी से उबरता है।

अभ्यास 6.4 ★

$g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $1\,\mathrm{Myr}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $50\,\mathrm{Myr}$ पर कटक-धक्का बल परिकलित कीजिए। यह $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ के स्लैब-खिंचाव से कितने गुना छोटा है?

हल

हल — अभ्यास 6.4.

$g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t = 9.8\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450 \times0.8 \times 10^{-6}\times50\times3.156 \times 10^{13} = 1.835 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$; कोष्ठक का मान $1 + 2\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450/(\pi\times2270) = 1.0416$, अतः $F_{rp} = 1.91 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, स्लैब-खिंचाव से 24 गुना कम है।

अभ्यास 6.5 ★★

प्रावार का एक पिंड, जिसका व्यास $10\,\mathrm{km}$ है, अपने परिवेश से $300\,\mathrm{K}$ अधिक गर्म है, $\rho g\alpha\Delta Td^2/\eta$ की चाल से ऊपर उठता है (मान लीजिए $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$)। (क) इसका अपने ही आकार के आर-पार उठने का समय और विसरण काल $d^2/\kappa$ परिकलित कीजिए, और दिखाइए कि उनका अनुपात उसकी रैले संख्या है। (ख) क्या यह पहले उठता है या ठंडा होता है? (ग) उसकी रैले संख्या 657.5 तक पहुँचने के लिए यह कितना बड़ा होना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 6.5.

(क) $v = 3300\times9.8\times3 \times 10^{-5}\times300\times(10^{4})^2/10^{21} = 2.91 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; $10\,\mathrm{km}$ के आर-पार ऊपर उठने का समय $d/v = 3.44 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ और $10.9\,\mathrm{Myr}$ है; विसरण-काल $d^2/\kappa = 10^{14}\,\mathrm{s}$ और $3.2\,\mathrm{Myr}$ है। इनका अनुपात $(d^2/\kappa)/(d/v) = vd/\kappa = \rho g\alpha\Delta Td^3/(\kappa\eta) = \mathrm{Ra} = 0.29$ है। (ख) यह पहले ठंडा होता है: छोटे पिंड संवहन नहीं करते। (ग) $\mathrm{Ra} \propto d^3$, अतः $d = 10\times(657.5/0.291)^{1/3} = 131\,\mathrm{km}$ है।

अभ्यास 6.6 ★★

$2891\,\mathrm{km}$ गहरी परत के लिए, जहाँ $\mathrm{Ra} = 10^{7}$ है और $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ और $\mathrm{Ra}_c = 657.5$, सीमा-परत की मोटाई, नुसेल्ट संख्या, $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ में वेग-स्केल और ऊष्मा-प्रवाह परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 6.6.

$2\mathrm{Ra}_c = 1315$ और $\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c = 7604$, जिसका घनमूल 19.66 है। $\delta = 2891/19.66 = 147\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} = 19.66/2 = 9.8$, $u = (10^{-6}/2.891 \times 10^{6})\times19.66^2 = 1.34 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.42\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, और $q = 9.8\times3.1\times1450/2.891 \times 10^{6} = 15\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ है।

अभ्यास 6.7 ★★

एक काल्पनिक हॉटस्पॉट-उभार का, पथ के आर-पार, अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल $8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ है, और उसके ऊपर की प्लेट $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ से चलती है। मान लीजिए $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ लेकर इसका उत्प्लावन अभिवाह, और $c_p = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ और $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ के साथ इसका ऊष्मा-प्रवाह परिकलित कीजिए। यह पृथ्वी के $46.7\,\mathrm{TW}$ का कितना अंश है?

हल

हल — अभ्यास 6.7.

$u = 0.09/3.156 \times 10^{7} = 2.85 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $B = 2270\times8 \times 10^{8} \times2.85 \times 10^{-9} = 5.18 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1} = 5.2\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$, लगभग हवाई के तीन-पाँचवें भाग के बराबर है। ऊष्मा-फ़्लक्स $1170\times5178/3.1 \times 10^{-5} = 1.95 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$, $0.2\,\mathrm{TW}$, या पृथ्वी की ऊष्मा-हानि का $0.42\,\%$ भाग।

अभ्यास 6.8 ★★

त्रिज्या $400\,\mathrm{km}$ वाला एक प्लूम-शीर्ष, जो प्रावार से $30\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ हल्का है, श्यानता $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ वाले प्रावार से होकर ऊपर उठता है। स्टोक्स के नियम से $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$ में इसकी चाल, और वह समय जिसमें यह $2000\,\mathrm{km}$ ऊपर उठता है, परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 6.8.

$v = 2\times30\times9.8\times(4 \times 10^{5})^2/(9\times10^{21}) = 1.05 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$; $2000\,\mathrm{km}$ तय करने में $2 \times 10^{6}/1.05 \times 10^{-8} = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ लगते हैं, लगभग $6\,\mathrm{Myr}$।

अभ्यास 6.9 ★★

एक क्षेत्र, जब उसकी हिमचादर पिघली, $10\,\mathrm{kyr}$ पहले, $300\,\mathrm{m}$ दब गया था, और $\tau = 4.4\,\mathrm{kyr}$ के साथ शिथिल होता है। आज बचा अवधसान और वर्तमान उत्थान-दर परिकलित कीजिए। उमेओ के निकट मापे गए $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 6.9.

$w = 300e^{-10/4.4} = 30.9\,\mathrm{m}$ और $\dot w = w/\tau = 30.9/4400 = 7.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, उमेओ के निकट मापी गई दर का दो-तिहाई: इस $\tau$ वाला एक समान अर्ध-समष्टि सही परास में है, परंतु वास्तविक प्रतिक्षेप अधिक तेज़ है या उसका अवनमन अधिक गहरा है।

अभ्यास 6.10 ★★★

(क) $F_{rp}$ का व्यंजक, जो प्रतिज्ञप्ति 6.6 की उपपत्ति में है, दिखाइए कि पहला पद, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2$, कोष्ठक का दूसरा पद है। (ख) दिखाइए कि $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = 1/4$ है, भागों द्वारा समाकलन करके। (ग) अभ्यास 4 के मानों से $100\,\mathrm{Myr}$ पर दोनों पद परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 6.10.

(क) जहाँ $w = 2\rho_m\alpha\Delta T\sqrt{\kappa t/\pi}/(\rho_m - \rho_w)$,

$$\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = \frac{2g\rho_m^2\alpha^2\Delta T^2\kappa t} {\pi(\rho_m - \rho_w)} = g\rho_m\alpha\Delta T\kappa t\times \frac{2\rho_m\alpha\Delta T}{\pi(\rho_m - \rho_w)} .$$

(ख) खंडशः समाकलन से, $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = [\tfrac{x^2}2\operatorname{erfc} x]_0^\infty + \int_0^\infty\tfrac{x^2}2\,\tfrac2{\sqrt\pi}e^{-x^2}\,\mathrm dx = 0 + \tfrac1{\sqrt\pi}\cdot\tfrac{\sqrt\pi}4 = \tfrac14$। (ग) $100\,\mathrm{Myr}$ पर, $\rho_mg\alpha\int z\theta = 3.67 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ और $w = 3705\,\mathrm{m}$ लेने पर, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = 1.53 \times 10^{11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$: जल-पद केवल बल का $4\,\%$ है।

अभ्यास 6.11 ★★★

दिखाइए कि $f(k) = (\pi^2 + k^2)^3/k^2$ न्यूनतम होता है, $k = \pi/\sqrt2$ पर, जहाँ उसका मान $27\pi^4/4$ होता है। आरंभ पर संवहन-कोष्ठों की एक जोड़ी की चौड़ाई $d$ की इकाइयों में और एक कोष्ठ की चौड़ाई निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 6.11.

$\ln f = 3\ln(\pi^2 + k^2) - 2\ln k$, जिसका अवकलज $6k/(\pi^2 + k^2) - 2/k$ शून्य होता है जब $3k^2 = \pi^2 + k^2$, $k^2 = \pi^2/2$। वहाँ $f = (3\pi^2/2)^3/ (\pi^2/2) = 27\pi^4/4$। तरंगदैर्घ्य $2\pi/k = 2\sqrt2\,d = 2.83\,d$ प्रति-घूर्णी संवहन-कोषों का एक युग्म धारण करती है, जिनमें से प्रत्येक $\sqrt2\,d = 1.41\,d$ चौड़ा है।

अभ्यास 6.12 ★★★

लंबाई $6000\,\mathrm{km}$ वाली एक प्लेट प्रावार की एक परत पर $6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ से चलती है, जो $150\,\mathrm{km}$ मोटी और श्यानता $10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ वाली है, और जिसका तल स्थिर है। (क) आधारी कर्षण $\mathrm{MPa}$ में और प्लेट की प्रति इकाई लंबाई पर कर्षण बल परिकलित कीजिए। (ख) $3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ के कटक-धक्का बल और $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ के स्लैब-खिंचाव से तुलना कीजिए। (ग) यदि स्लैब-खिंचाव का दसवाँ भाग प्लेट तक पहुँचे, किस चाल पर कर्षण चालक बलों को संतुलित करता है?

हल

हल — अभ्यास 6.12.

(क) $u = 1.90 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\eta u/h = 10^{20}\times1.90 \times 10^{-9}/ 1.5 \times 10^{5} = 1.27\,\mathrm{MPa}$, और $6000\,\mathrm{km}$ पर $7.6 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$। (ख) कटक-धक्का का दोगुना और स्लैब-खिंचाव का छठा भाग: आधारी कर्षण कटक-धक्के को अकेले रोक सकता है, पर स्लैब को नहीं। (ग) $\eta uL/h = 3.8 \times 10^{12} + 4.6 \times 10^{12}$ से $u = 8.4 \times 10^{12}\times1.5 \times 10^{5}/(6 \times 10^{6}\times10^{20}) = 2.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 6.6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ प्राप्त होता है, जो तेज़ महासागरीय प्लेटों की चाल है।

6.8 समस्या: झील आर्डो का प्रतिक्षेप

समस्या 6.1

सप्ताहांत समस्या — एक काल्पनिक झील-द्रोणी का प्रतिक्षेप, उसके नीचे के प्रावार की श्यानता, और वह संवहन जिसे यह श्यानता संभव बनाती है

झील आर्डो, एक काल्पनिक झील, $250\,\mathrm{km}$ चौड़ी एक द्रोणी को भरती थी, जिसे एक हिमचादर ने बाँध रखा था, और वह लगभग पचास हज़ार वर्ष तक $300\,\mathrm{m}$ गहरी रही। चौदह हज़ार वर्ष पहले हिम-बाँध टूटा और झील कुछ सप्ताहों में निकल गई। उसकी सबसे ऊँची तटरेखा, जो बनने के समय समतल थी, अब झुकी है; द्रोणी में बची छोटी झीलों की काल-निर्धारित तटरेखाएँ बताती हैं कि निकासी के बाद से केंद्र का उत्थान कगार के सापेक्ष कितना हुआ है, जो लगभग नहीं हिला:

निकासी के बाद का समय (kyr)	1	2	4	6	9	14
केंद्र का उत्थान (m)	11.5	21.6	38.0	50.5	64.0	77.2

मान लीजिए $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, और प्रावार को एक समान श्यान अर्ध-समष्टि मानिए।

भाग I — भार।

1. झील द्वारा उसके तल पर लगाया दाब परिकलित कीजिए।
2. समस्थितिक साम्य पर तल का अवनमन परिकलित कीजिए, और बताइए कि उसमें भूपर्पटी का नहीं, प्रावार का घनत्व क्यों आता है।
3. झील को एक चकती मानकर उसके जल का द्रव्यमान परिकलित कीजिए।
4. समझाइए कि सबसे ऊँची तटरेखा अब क्यों झुकी है, और उसकी माध्य ढाल कगार से केंद्र तक, मीटर प्रति किलोमीटर में, परिकलित कीजिए।
5. अवनमन को एक हार्मोनिक मानिए जिसका अवनमित अर्ध-भाग $-\lambda/4$ से $\lambda/4$ तक झील को घेरता है। $\lambda$ और $k = 2\pi/\lambda$ दीजिए।
6. ऐसे भार के नीचे का प्रवाह किस गहराई पर गुणक $e$ से क्षय होता है?

भाग II — शिथिलन काल।

7. मान लीजिए कि झील साम्य तक पहुँच चुकी थी, तो सारणी की प्रत्येक तिथि पर बचा अवनमन परिकलित कीजिए।
8. सिद्ध कीजिए कि यदि अवनमन घातांकीय रूप से क्षय होता है, तो उसका लघुगणक समय के साथ रैखिक रूप से घटता है।
9. तिथियों 1 और $14\,\mathrm{kyr}$ से $\tau$ परिकलित कीजिए।
10. उस $\tau$ से $6\,\mathrm{kyr}$ पर उत्थान का पूर्वानुमान लगाइए और सारणी से तुलना कीजिए।
11. आज बचा अवनमन और केंद्र की वर्तमान उत्थान-दर $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ में परिकलित कीजिए।
12. अभी कितना उत्थान शेष है?
13. कितने और वर्षों में उत्थान-दर घटकर $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ से नीचे आ जाएगी?

भाग III — श्यानता।

14. $\tau$ से अर्ध-समष्टि की श्यानता परिकलित कीजिए।
15. इसकी तुलना फ़ेनोस्कैंडिया के नीचे पाई गई ऊपरी-प्रावार श्यानताओं से कीजिए, जो $3.4 \times 10^{20}$ से $1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ के बीच हैं। प्रावार का कौन-सा भाग झील आर्डो का प्रतिक्षेप नमूना लेता है?
16. उस श्यानता के साथ, तरंगदैर्घ्य में $3000\,\mathrm{km}$ वाले भार का शिथिलन काल परिकलित कीजिए। उस आकार की वास्तविक हिमचादर इससे अधिक धीरे क्यों शिथिल होगी?
17. प्रत्यास्थ स्थलमंडल, जिसे यहाँ अनदेखा किया गया है, केवल $250\,\mathrm{km}$ चौड़े भार के प्रतिक्षेप पर क्या प्रभाव डालता है?
18. $\mu = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ के साथ प्रावार का मैक्सवेल काल परिकलित कीजिए, और बताइए कि श्यान मॉडल उचित था या नहीं।
19. प्रश्न 7 की मान्यता की जाँच कीजिए: झील के खड़े रहने के दौरान साम्य अवनमन का कौन-सा भाग प्राप्त हुआ?
20. $\log_{10}\eta$ कितना बदलेगा यदि $\lambda$ को $250\,\mathrm{km}$ लिया जाए?

भाग IV — संवहन। ऊपरी-प्रावार की एक परत लीजिए $670\,\mathrm{km}$ गहरी, जिसका $\rho = 3700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ और भाग III वाली श्यानता।

21. परत की रैले संख्या परिकलित कीजिए।
22. यह क्रांतिक मान से कितने गुना है ($\mathrm{Ra}_c = 657.5$)?
23. सीमा-परत की मोटाई और नुसेल्ट संख्या परिकलित कीजिए।
24. $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ में वेग-स्केल परिकलित कीजिए, और प्लेट की 1 से $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ तक की चालों से तुलना कीजिए।
25. ऊष्मा-प्रवाह परिकलित कीजिए, और दो कारण दीजिए कि वह पृथ्वी के माध्य, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, से क्यों कम है।
26. झील आर्डो के नीचे ऊपरी-प्रावार की श्यानता का $\log_{10}$ $\eta$ का $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ में मान दीजिए।

हल

हल — समस्या 6.1.

1. $p = 1000\times9.8\times300 = 2.94\,\mathrm{MPa}$।

2. $w = \rho_wh/\rho_m = 300\times1000/3300 = 90.9\,\mathrm{m}$। भूपर्पटी एक खंड के रूप में नीचे खिसकती है; भार के नीचे से जो बाहर बहता है और वापस लौटता है, वह प्रावार है, इसलिए स्तंभ गहराई पर विस्थापित प्रावार से संतुलित होता है।

3. $\pi\times(1.25 \times 10^{5})^2 = 4.91 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$, और जल का वज़न $4.91 \times 10^{10}\times300\times1000 = 1.47 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$ है।

4. तटरेखा समतल बनी थी, जब तल केंद्र पर सबसे अधिक अवनमित था, तब से केंद्र किनारे की तुलना में अधिक उठ चुका है; इसलिए रेखा अब केंद्र की ओर चढ़ती है, $125\,\mathrm{km}$ पर $77.2\,\mathrm{m}$ ऊँचाई के अंतर से: $0.62\,\mathrm{m}/\mathrm{km}$।

5. $\lambda/2 = 250\,\mathrm{km}$, इसलिए $\lambda = 500\,\mathrm{km}$ और $k = 2\pi/5 \times 10^{5} = 1.257 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$।

6. $1/k = \lambda/2\pi = 79.6\,\mathrm{km}$।

7. $w = 90.9 - \text{उत्थान}$: 79.4, 69.3, 52.9, 40.4, 26.9 और $13.7\,\mathrm{m}$।

8. $w = w_0e^{-t/\tau}$ से $\ln w = \ln w_0 - t/\tau$ प्राप्त होता है, जिसकी ढलान $-1/\tau$ की एक सीधी रेखा है।

9. $\tau = (14 - 1)/\ln(79.4/13.7) = 13/1.7571 = 7.40\,\mathrm{kyr}$।

10. $w(6) = 79.4\,e^{-5/7.40} = 40.4\,\mathrm{m}$ है, जो तालिका के अनुसार $50.5\,\mathrm{m}$ का उत्थान है।

11. $13.7\,\mathrm{m}$ शेष हैं; $\dot w = 13.7/7400 = 1.85\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$।

12. पूरे $13.7\,\mathrm{m}$ तक पहुँचता है, पर अधिकाधिक धीमी गति से।

13. दर $e^{-t/\tau}$ के अनुसार घटती है: $t = 7.40\ln(1.85/0.5) = 7.40\times1.309 = 9.7\,\mathrm{kyr}$, लगभग 9700 वर्ष और।

14. $\tau = 7399\times3.156 \times 10^{7} = 2.335 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ और $\eta = \tau\rho_mg\lambda/(4\pi) = 2.335 \times 10^{11}\times3300\times9.8\times5 \times 10^{5}/ 12.566 = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$।

15. फेनोस्कैंडियन परास के निचले छोर से ठीक नीचे। $500\,\mathrm{km}$ तरंगदैर्घ्य के भार के नीचे का प्रवाह $80\,\mathrm{km}$ के भीतर क्षीण होता है: प्रतिक्षेप सबसे उथले, सबसे दुर्बल प्रावार का नमूना लेता है, जो उसके नीचे और कुछ हद तक उस भाग के भीतर है जो वास्तविक पृथ्वी में स्थलमंडल है।

16. $\tau = 4\pi\times3.0 \times 10^{20}/(3300\times9.8\times3 \times 10^{6}) = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 1.2\,\mathrm{kyr}$। इतने चौड़े भार के नीचे प्रवाह $477\,\mathrm{km}$ और उससे अधिक गहराई तक पहुँचता है, उस निचले प्रावार की ओर जो दस गुना अधिक श्यान है, जो उसे धीमा कर देता है।

17. स्थलमंडल संकीर्ण भार का कुछ भाग आनमन से सँभालता है: संतुलन पर अवनमन समस्थितिक $90.9\,\mathrm{m}$ की तुलना में कम गहरा और अधिक चौड़ा है, और प्रतिक्षेप का कुछ भाग प्रत्यास्थ और तात्कालिक है। उत्थान से मेल खाने वाला एकसमान श्यान अर्ध-समष्टि फिर ऐसी श्यानता देता है जिसमें दोनों प्रभाव मिले होते हैं।

18. $\tau_M = 3.0 \times 10^{20}/7.7 \times 10^{10} = 3.9 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, लगभग $124\,\mathrm{yr}$, $\tau$ से साठ गुना छोटा: हज़ारों वर्षों में प्रावार श्यान तरल की भाँति प्रतिक्रिया देता है।

19. $1 - e^{-50/7.40} = 0.9988$: $99.9\,\%$ संतुलन अवनमन का प्राप्त हो चुका था, और धारणा सही है।

20. $\eta \propto \lambda$: $\lambda$ को आधा करने से $\eta$ भी आधा होता है, और $\log_{10}\eta$ का मान $\log_{10}2 = 0.30$ से घटता है।

21. $\mathrm{Ra} = 3700\times9.9\times3.1 \times 10^{-5}\times1450\times (6.7 \times 10^{5})^3/(10^{-6}\times3.0 \times 10^{20}) = 1.65 \times 10^{6}$।

22. $1.65 \times 10^{6}/657.5 \approx 2500$ गुना क्रांतिक मान।

23. $(\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c)^{1/3} = (1254)^{1/3} = 10.78$: $\delta = 670/10.78 = 62\,\mathrm{km}$ और $\mathrm{Nu} = 5.4$।

24. $u = (10^{-6}/6.7 \times 10^{5})\times10.78^2 = 1.73 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.55\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, प्लेटों से दो से चौदह गुना धीमा।

25. $q = 5.4\times3.1\times1450/6.7 \times 10^{5} = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$। परत प्रावार के भीतर उत्पन्न ऊष्मा और क्रोड तथा निचले प्रावार की ऊष्मा को छोड़ देती है; और स्केलन कोटि-एक के अपने स्थिरांकों को हटा देता है, जबकि प्लेटें, कटकों से अर्ध-समष्टि की भाँति ठंडी होती हुई, नवीन तल पर माध्य सीमा-परत की तुलना में कहीं अधिक ऊष्मा खोती हैं।

26. $\eta = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: $\log_{10}\eta = \textbf{$20.48$}$।