3गुरुत्व और पृथ्वी की आकृति

दो उपग्रह पृथ्वी की परिक्रमा एक के पीछे एक करते हैं, $500\,\mathrm{km}$ से अधिक ऊँचाई पर और लगभग $220\,\mathrm{km}$ की दूरी पर, और उनके बीच की दूरी हर समय मापते हैं, एक माइक्रोमीटर के भीतर।

जब वे ऐसे किसी स्थान के ऊपर से गुजरते हैं जहाँ द्रव्यमान संकेंद्रित है, तो आगे वाला उपग्रह पहले आगे खिंचता है और दूरी बढ़ती है; फिर पीछे वाला उपग्रह बारी-बारी से खिंचता है और दूरी घटती है। इन सूक्ष्म परिवर्तनों से, 2002 से हर महीने, पृथ्वी के गुरुत्व क्षेत्र का मानचित्र उसके बदलने के साथ बनाया गया है: नदी-द्रोणियों में संचित जल ऋतुओं के साथ ऊपर-नीचे होता है, और ग्रीनलैंड तथा अंटार्कटिका की विशाल हिमचादरें वर्ष-दर-वर्ष द्रव्यमान खो रही हैं। गुरुत्व वह तौलता है जिसे आँख देख नहीं सकती। इस अध्याय में घूमते ग्रह का गुरुत्व क्षेत्र उसके विभव से निर्मित किया जाता है, उसमें से चपटापन और जड़त्व आघूर्ण ज्ञात होते हैं, गुरुत्व की विसंगतियाँ कक्षा तक अनुसरित की जाती हैं, और फिर सतह पर जो गुरुत्व प्रकट करता है, उनमें से एक की ओर मुड़ा जाता है: किसी ज्वालामुखी के भार के नीचे स्थलमंडलीय आनमन।

पहले से ज्ञात

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम, गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा और घूर्णन फ़्रेम में अपकेंद्री बल भौतिकी की पुस्तकों में हैं; ठोस के जड़त्व आघूर्ण और लीजेंड्र बहुपद $P_2(x) = (3x^2 - 1)/2$ भौतिकी और गणित की पुस्तकों के विश्वविद्यालयी खंडों में हैं, यंग मापांक $E$ और पॉइसन अनुपात $\nu$ भौतिकी की पुस्तकों के स्नातक वर्ष 3 खंड में हैं। भूगणित और दीर्घवृत्तज का चपटापन $f = (a - b)/a$, जिसके अर्ध-अक्ष $a > b$ हैं, कक्षा 10 में परिचित हुए थे। समस्थिति, एरी प्रतिपूर्ति, सामान्य गुरुत्व, भूआभ, जियॉइड ऊँचाई और गुरुत्व विसंगतियाँ पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में, उसके समस्थिति और गुरुत्व विसंगतियों वाले अध्याय में परिभाषित की गई थीं।

3.1 भू-विभव

घूमते हुए ग्रह पर स्थिर पिंड ग्रह के द्रव्यमान का आकर्षण अनुभव करता है और उसके साथ घूमते फ़्रेम में अपकेंद्री बल भी। दोनों एक विभव से निकलते हैं।

परिभाषा 3.1 (भू-विभव)

भू-विभव प्रति एकांक द्रव्यमान की वह स्थितिज ऊर्जा है जो कोणीय वेग $\omega$ से पृथ्वी के साथ घूमते फ़्रेम में, गुरुत्वाकर्षण और अपकेंद्री बल दोनों की मिलकर होती है:

$$W(\mathbf r) = V(\mathbf r) + \Phi(\mathbf r),\qquad V(\mathbf r) = -G\int_{\text{पृथ्वी}}\frac{\mathrm dm'}{|\mathbf r - \mathbf r'|},\qquad \Phi(\mathbf r) = -\tfrac12\omega^2 s^2,$$

जहाँ $s$ घूर्णन अक्ष से दूरी है और गुरुत्व $\mathbf g = -\nabla W$ है, और $W = \text{स्थिरांक}$ वाले पृष्ठ इसके स्तर-पृष्ठ हैं: गुरुत्व हर जगह उन पर लंबवत होता है।

ओलंब रेखा $-\nabla W$ के अनुदिश लटकती है, और स्थिर जल एक स्तर-पृष्ठ पर ठहरता है। इसलिए घूमता तरल ग्रह अपने ही किसी स्तर-पृष्ठ का आकार ले लेता है: अपकेंद्री विभव, जो भूमध्य रेखा पर सबसे गहरा होता है, उसे फुला देता है और ध्रुवों को चपटा कर देता है।

ग्रह के बाहर गुरुत्वीय विभव लाप्लास समीकरण का पालन करता है, और उसके अनंत पर नियमित हल ठोस गोलीय हार्मोनिक होते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 3.2 (भू-विभव का गोलीय-हार्मोनिक प्रसार)

द्रव्यमान $M$ और विषुवतीय त्रिज्या $a$ वाले पिंड के बाहर, मूल बिंदु उसके द्रव्यमान-केंद्र पर और $z$ अक्ष उसके घूर्णन अक्ष के अनुदिश हो, तो गुरुत्वीय विभव दूरी $r$, सहअक्षांश $\theta$ और देशांतर $\lambda$ पर इस प्रकार है:

$$\begin{gather*} V = -\frac{GM}{r}\Biggl[1 - \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac ar\right)^nJ_nP_n(\cos\theta)\\ + \sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=1}^{n}\left(\frac ar\right)^nP_{nm}(\cos\theta) (C_{nm}\cos m\lambda + S_{nm}\sin m\lambda)\Biggr], \end{gather*}$$

जहाँ $P_n$ लीजेंड्र बहुपद और $P_{nm}$ संबद्ध फलन हैं; गुणांक $J_n$, $C_{nm}$, $S_{nm}$ प्रेक्षणों से निर्धारित की गई संख्याएँ हैं। किसी अक्ष-सममित पिंड के लिए केवल ज़ोनल पद $J_n$ शेष रहते हैं। कोटि 1 का कोई पद नहीं आता।

परिभाषा 3.3 (गतिक रूप-गुणक)

गतिक रूप-गुणक किसी ग्रह का $J_2$ उसके दूसरे कोटि के मंडलीय हार्मोनिक का गुणांक है: उसके बाहरी विभव का गोले के विभव से सबसे बड़ा विचलन, जो उसके चपटेपन से उत्पन्न होता है। पृथ्वी के लिए $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ है।

प्रमेय 3.4 (मैककला सूत्र)

मान लीजिए $A$, $B$, $C$ द्रव्यमान $M$ के पिंड के मुख्य जड़त्व आघूर्ण हैं, उसके द्रव्यमान-केंद्र से होकर जाने वाली अक्षों के सापेक्ष, और $I$ उसका जड़त्व आघूर्ण द्रव्यमान-केंद्र से किसी बाहरी बिंदु की ओर जाने वाली रेखा के सापेक्ष है, जिसकी दूरी $r$ है। $r^{-3}$ की कोटि तक उस बिंदु पर गुरुत्वीय विभव मैककला सूत्र द्वारा दिया जाता है

$$V = -\frac{GM}{r} - \frac{G(A + B + C - 3I)}{2r^3} .$$

$z$ अक्ष के परितः सममित पिंड के लिए ($A = B$), $V = -\dfrac{GM}{r} + \dfrac{G(C - A)}{r^3}P_2(\cos\theta)$ है, अतः

$$J_2 = \frac{C - A}{Ma^2} .$$

विभव का दूसरे कोटि का पद इसलिए जड़त्व आघूर्णों के अंतर को मापता है, स्वयं आघूर्णों को नहीं। पृथ्वी की अक्ष का पुरस्सरण, जो सूर्य और चंद्रमा के बल-आघूर्णों से उसके भूमध्यरेखीय उभार पर उत्पन्न होता है, गतिक उत्केंद्रता $H = (C - A)/C$ को मापता है; $J_2$ और $H$ मिलकर $C/(Ma^2)$ देते हैं, जो जड़त्व-आघूर्ण गुणक है और पृथ्वी के लिए $0.3308$ है,

एकसमान गोले के $0.4$ से यह काफ़ी कम है: द्रव्यमान केंद्र की ओर संकेंद्रित है।

3.2 घूर्णनशील दीर्घवृत्तज

परिभाषा 3.5 (संदर्भ दीर्घवृत्तज)

संदर्भ दीर्घवृत्तज एक परिक्रमण दीर्घवृत्तज है, जिसका भूमध्यरेखीय अर्ध-अक्ष $a$ और चपटापन $f$ है, और जिसे इस प्रकार चुना जाता है कि वह स्वयं एक प्रतिरूप विभव का समविभव पृष्ठ हो, अर्थात एक घूर्णनशील पिंड का विभव जिसका द्रव्यमान $M$, कोणीय वेग $\omega$ और पृथ्वी का गतिक रूप-गुणक $J_2$ है। इसे परिभाषित करने वाले चार स्थिरांक हैं; भूगणितीय संदर्भ प्रणाली 1980 इन्हें लेती है

$$\begin{gather*} a = 6\,378\,137\,\mathrm{m},\qquad GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2},\\ J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3},\qquad \omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}, \end{gather*}$$

और इनसे चपटापन $f = 0.003\,352\,810\,68$ ($1/f = 298.257\,222$) और अर्ध-लघु अक्ष $b = 6\,356\,752.3141\,\mathrm{m}$ निकालती है।

प्रतिरूप का विभव, जिसे सामान्य विभव कहते हैं, बंद रूप में ज्ञात है, और दीर्घवृत्तज पर उसका गुरुत्व, यानी सामान्य गुरुत्व, भी इसी प्रकार ज्ञात है, जैसा पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में बताया गया है।

प्रतिज्ञप्ति 3.6 (सोमिलियाना सूत्र)

अर्ध-अक्षों $a$, $b$ वाले संदर्भ दीर्घवृत्तज पर, जहाँ भूमध्यरेखा पर सामान्य गुरुत्व $\gamma_e$ और ध्रुवों पर $\gamma_p$ है, और भूगणितीय अक्षांश $\varphi$ पर सामान्य गुरुत्व सोमिलियाना सूत्र द्वारा दिया जाता है

$$\gamma(\varphi) = \frac{a\gamma_e\cos^2\varphi + b\gamma_p\sin^2\varphi} {\sqrt{a^2\cos^2\varphi + b^2\sin^2\varphi}} .$$

भूगणितीय संदर्भ प्रणाली 1980 के लिए $\gamma_e = 9.780\,326\,771\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ और $\gamma_p = 9.832\,186\,368\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ है, और श्रेणी $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ सूत्र को $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ की सीमा तक पुनरुत्पादित करती है।

घूर्णनशील ग्रह कितना चपटा होना चाहिए? यदि यह द्रवस्थैतिक साम्य में एक द्रव है, तो इसका चपटापन उसके घूर्णन और इस पर निर्भर करता है कि उसका द्रव्यमान गहराई में किस प्रकार वितरित है, इससे निश्चित होता है।

प्रतिज्ञप्ति 3.7 (क्लेरो और डार्विन–रेडाउ संबंध)

द्रवस्थैतिक साम्य में एक ग्रह के लिए, $m = \omega^2a^2b/(GM)$ को भूमध्यरेखा पर अपकेंद्री और गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात मानते हुए, $f$ और $m$ में प्रथम कोटि तक:

$$J_2 = \frac{2f - m}{3}\qquad\text{(क्लेरो)},\qquad \frac{C}{Ma^2} = \frac23\left[1 - \frac25\sqrt{\frac52\frac mf - 1}\right] \qquad\text{(डार्विन--रेडाउ)} .$$

एकसमान ग्रह ($C/Ma^2 = 0.4$) के लिए $f = 5m/4$ है; वह ग्रह जिसका द्रव्यमान केंद्र की ओर संकेंद्रित है, कम चपटा होता है।

क्लेरो संबंध में पृथ्वी का $m = 0.003\,449\,79$ रखने पर उसके मापे गए $J_2$ से $f = 0.003\,348\,8$, या $1/298.6$ मिलता है, जो दीर्घवृत्तज के चपटेपन के $0.12\,\%$ के भीतर है। डार्विन–रेडाउ संबंध, जड़त्व-आघूर्ण गुणक के साथ, वह चपटापन देता है जो पृथ्वी का होता यदि वह साम्य में एक द्रव होती: $1/299.9$, जबकि मापा गया मान $1/298.26$ है। पृथ्वी अपने घूर्णन और द्रव्यमान-वितरण वाले द्रव ग्रह की तुलना में थोड़ी अधिक चपटी है: उसका भूमध्यरेखीय उभार लगभग $116\,\mathrm{m}$ द्रवस्थैतिक साम्य के अनुमान से ऊँचा है। पृथ्वी ठीक-ठीक साम्य में एक द्रव नहीं है, और यह छोटा अंतर स्वयं उसके आंतरिक भाग द्वारा सहे गए प्रतिबलों का एक माप है।

3.3 भू-आभ और विक्षोभ विभव

भू-आभ वास्तविक भू-विभव का वह समविभव पृष्ठ है जो माध्य समुद्र-तल से संपाती होता है; संदर्भ दीर्घवृत्तज सामान्य विभव $U$ का वह समविभव पृष्ठ है जिसका मान वही है, $U_0 = W_0$। उनके बीच की दूरी, भू-आभ ऊँचाई $N$, दोनों विभवों के अंतर से निर्धारित होती है।

प्रतिज्ञप्ति 3.8 (ब्रुन्स सूत्र)

मान लीजिए $T = W - U$ विक्षोभ विभव है। किसी बिंदु पर भू-आभ ऊँचाई ब्रुन्स सूत्र द्वारा दी जाती है

$$N = -\frac{T}{\gamma},$$

जहाँ $T$ भू-आभ पर मूल्यांकित होता है और $\gamma$ वहाँ का सामान्य गुरुत्व है। द्रव्यमान का आधिक्य, जो विभव को गहरा करता है ($T < 0$), भू-आभ को ऊपर उठाता है।

$50\,\mathrm{m}$ की भू-आभ ऊँचाई केवल $490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$ के विभवांतर के बराबर है, जो भू-विभव का $10^{5}$ में एक भाग है। पृथ्वी की भू-आभ ऊँचाइयाँ आइसलैंड पर लगभग $+85\,\mathrm{m}$ से लेकर $-106\,\mathrm{m}$ दक्षिणी भारत में तक हैं,

$200\,\mathrm{m}$ से कम का परास, एक ऐसे ग्रह पर जिसकी भूमध्यरेखीय और ध्रुवीय त्रिज्याएँ $21\,\mathrm{km}$ से भिन्न हैं।

3.4 उपग्रह गुरुत्वमिति

परिभाषा 3.9 (उपग्रह गुरुत्वमिति)

उपग्रह गुरुत्वमिति पृथ्वी का गुरुत्व क्षेत्र उपग्रहों की गति से निर्धारित करती है: उनकी कक्षाओं के दीर्घकालिक विक्षोभों से, एक ही कक्षा पर स्थित दो उपग्रहों के बीच बदलती दूरी से, या उन ग्रेडियोमापियों से जो गुरुत्व के अंतर मापते हैं, जो यान के आर-पार होते हैं।

पृथ्वी के निकट किसी कक्षा पर सबसे बड़ा विक्षोभ $J_2$ से आता है। भूमध्यरेखीय उभार झुकी हुई कक्षा पर एक बलाघूर्ण लगाता है, जो धीरे-धीरे घूमती है पृथ्वी के अक्ष के चारों ओर।

प्रतिज्ञप्ति 3.10 (पातों का पुरस्सरण)

$J_2$ में प्रथम कोटि तक, त्रिज्या $r$ और नति $i$ वाली वृत्तीय कक्षा की पातों की रेखा इस दर से घूमती है

$$\dot\Omega = -\frac32\,nJ_2\left(\frac ar\right)^2\cos i,\qquad n = \sqrt{GM/r^3} ,$$

अग्रगामी कक्षा ($i < 90{}^{\circ}$) के लिए पश्चिम की ओर, प्रतीपगामी कक्षा के लिए पूर्व की ओर।

निकट-भूमध्यरेखीय निचली कक्षा के लिए यह दर प्रतिदिन कई अंश होती है; $90{}^{\circ}$ से थोड़ा अधिक नति पर यह सूर्य की वार्षिक गति से मेल खाती है, और कक्षा पूरे वर्ष सूर्य के सापेक्ष एक ही अभिविन्यास बनाए रखती है (अभ्यास 12 देखिए)। विभिन्न नतियों वाले कई उपग्रहों पर मापे गए ऐसे पुरस्सरण $J_2$ और उच्चतर ज़ोनल हार्मोनिक्स देते हैं।

दो उपग्रह अधिक अच्छा कार्य करते हैं: उनके बीच की बदलती दूरी कक्षा के साथ उन पर लगने वाले गुरुत्व के अंतर को मापती है। ग्रेस युग्म 2002 से 2017 तक संचालित रहा, और उसका उत्तराधिकारी, ग्रेस फ़ॉलो-ऑन, 22 मई 2018 को अपने प्रक्षेपण के बाद से, उसका माइक्रोवेव लिंक दूरी को एक माइक्रोमीटर के भीतर मापता है, और एक लेज़र लिंक बीस गुना तक बेहतर सटीकता परखता है।

गुरुत्व क्षेत्र माह-दर-माह बदलता है, क्योंकि जल गतिमान रहता है: हिम और मिट्टी की नमी, भूजल, झीलें, महासागर, हिमचादरें।

परिभाषा 3.11 (तुल्य जल-ऊँचाई)

गुरुत्व क्षेत्र में ऐसा परिवर्तन, जो उस परत की मोटाई से कहीं अधिक दूरियों पर धीरे-धीरे बदलता है, जिसमें द्रव्यमान स्थानांतरित हुआ, उसे पृथ्वी की सतह पर एक पतले खोल पर पृष्ठ घनत्व $\sigma$ ($\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$) के परिवर्तन द्वारा निरूपित किया जा सकता है। तुल्य जल-ऊँचाई उतने ही पृष्ठ घनत्व वाले मीठे पानी की मोटाई है:

$$h_w = \frac{\sigma}{\rho_w} .$$

एक मीटर पानी का, $1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{2}$ क्षेत्रफल वाले बेसिन पर, द्रव्यमान $1 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$ होता है, या $1000\,\mathrm{Gt}$। समुद्र-तल लेखा-बही की दूसरी ओर है: $360\,\mathrm{Gt}$ बर्फ़ महासागर में जुड़कर उसे लगभग एक मिलीमीटर ऊपर उठा देती है।

उपग्रह गुरुत्वमिति, उपग्रह ऊँचाईमापन, और हिमपात के संतुलन बनाम हिम-निर्वहन, इनमें से हर एक हिमचादरों का द्रव्यमान संतुलन मापता है; इन्हें मिलाने पर नीचे दी गई श्रेणी प्राप्त होती है।

पृथ्वी की सतह पर मापी गई गुरुत्व विसंगति हार्मोनिक्स का योग होती है; उपग्रह की ऊँचाई पर हर हार्मोनिक एक ऐसे गुणक द्वारा क्षीण होता है जो उसकी तरंगदैर्घ्य पर निर्भर करता है।

प्रतिज्ञप्ति 3.12 (ऊर्ध्वगामी सांतत्य)

उन द्रव्यमानों के ऊपर, जो इसे उत्पन्न करते हैं, सतह के साथ $\Delta g_0\cos kx$ के रूप में बदलने वाली गुरुत्व विसंगति, जहाँ $k = 2\pi/\lambda$, ऊँचाई $z$ पर (उसका ऊर्ध्वगामी सांतत्य) होती है

$$\Delta g(x, z) = \Delta g_0\,e^{-kz}\cos kx .$$

$400\,\mathrm{km}$ ऊँचाई पर $1000\,\mathrm{km}$ लंबी विसंगति अपने आयाम का $8\,\%$ बनाए रखती है, और $100\,\mathrm{km}$ लंबी लगभग उसका $1 \times 10^{-11}$ भाग; उपग्रह लंबी तरंगदैर्घ्य देखते हैं, और सतह के सर्वेक्षण छोटी।

3.5 स्थलमंडलीय आनमन

पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में भार की प्रतिपूर्ति स्थानीय रूप से मानी गई थी, जिसमें हर स्तंभ अपने ही सहारे तैरता है। महासागरीय प्लेट पर स्थित ज्वालामुखी की प्रतिपूर्ति केवल अपने ही नीचे नहीं होती: प्लेट उसके नीचे सैकड़ों किलोमीटर की चौड़ाई में मुड़ती है, और ज्वालामुखी के चारों ओर का समुद्री तल एक खाई में धँस जाता है, जिसके परे वह एक निचले मेहराब में उठता है।

परिभाषा 3.13 (स्थलमंडलीय आनमन, आनमन दृढ़ता, प्रभावी प्रत्यास्थ मोटाई)

स्थलमंडलीय आनमन भार के नीचे स्थलमंडल का मुड़ना है, जिसे एक पतली प्रत्यास्थ प्लेट के मुड़ने के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है, जो एक तरल प्रावार पर तैरती है। प्लेट के मुड़ने का प्रतिरोध उसकी आनमन दृढ़ता है

$$D = \frac{ET_e^3}{12(1 - \nu^2)},$$

और वह एकसमान प्रत्यास्थ प्लेट की मोटाई $T_e$, जो वास्तविक स्थलमंडल की तरह मुड़ती है, उसकी प्रभावी प्रत्यास्थ मोटाई है।

प्रमेय 3.14 (पतली प्लेट का आनमन)

दृढ़ता $D$ की एक पतली प्रत्यास्थ प्लेट, जो एक दिशा में प्रति इकाई क्षेत्रफल भार $q(x)$ से मुड़ती है, $w(x)$ से नीचे विक्षेपित होती है और घनत्व $\rho_m$ के प्रावार पर तैरती है, जिसकी खोखली जगह घनत्व $\rho_i$ की सामग्री से भरी है, वह आनमन समीकरण का पालन करती है

$$D\frac{\mathrm d^4w}{\mathrm dx^4} + (\rho_m - \rho_i)g\,w = q(x) .$$

परिभाषा 3.15 (आनमन प्राचल, अग्र-उभार)

किसी प्लेट का आनमन प्राचल वह लंबाई है

$$\alpha = \left(\frac{4D}{(\rho_m - \rho_i)g}\right)^{1/4},$$

जो उसके आनमन का क्षैतिज पैमाना तय करती है। अग्र-उभार ऊपर की ओर के आनमन का वह निचला मेहराब है, जिसे मुड़ी प्लेट अपने भार के पास की खाई या द्रोणी के परे उठाती है।

प्रतिज्ञप्ति 3.16 (सतत प्लेट पर रेखीय भार)

$V_0$ प्रति इकाई लंबाई का रेखीय भार, जो $x = 0$ के साथ है, प्लेट को

$$w(x) = w_0e^{-|x|/\alpha}\left(\cos\frac{|x|}{\alpha} + \sin\frac{|x|}{\alpha}\right), \qquad w_0 = \frac{V_0\alpha^3}{8D} .$$

विक्षेपित करता है। विक्षेपण $|x| = 3\pi\alpha/4$ पर शून्य होता है, जो खाई का किनारा है; अग्र-उभार का शिखर $|x| = \pi\alpha$ पर है, जिसकी ऊँचाई $w_0e^{-\pi} = 0.0432\,w_0$ है। संपूर्ण विक्षेपण की उत्प्लावकता भार को संतुलित करती है: $\int(\rho_m - \rho_i)gw\,\mathrm dx = V_0$।

प्रतिज्ञप्ति 3.17 (टूटी हुई प्लेट)

$x = 0$ पर टूटी और अपने मुक्त सिरे पर नीचे दबाई गई प्लेट, जैसे गहरे समुद्र की खाई पर $w = w_0e^{-x/\alpha}\cos(x/\alpha)$ की तरह, $x \ge 0$ के लिए, विक्षेपित होती है: विक्षेपण $x = \pi\alpha/2$ पर शून्य होता है, और अग्र-उभार का शिखर, यानी बाहरी उठाव, $x = 3\pi\alpha/4$ पर है, जिसकी ऊँचाई $w_0e^{-3\pi/4}/\sqrt2 = 0.067\,w_0$ है।

इस प्रकार दूरियाँ प्लेट की मज़बूती की कुंजी हैं: खाई जहाँ समाप्त होती है या उभार का शिखर जहाँ है, वह मापिए, तो $\alpha$ मिलता है, फिर $D$, और फिर $T_e$। चूँकि $T_e$, $\alpha^{4/3}$ के रूप में आता है, दूरी का एक उचित अनुमान मोटाई का एक अच्छा अनुमान देता है।

परिभाषा 3.18 (क्षेत्रीय समस्थितिक प्रतिपूर्ति)

क्षेत्रीय समस्थितिक प्रतिपूर्ति किसी भार का सहारा उस विक्षेपण की उत्प्लावकता से मिलता है, जो भार से चौड़े क्षेत्र में फैला हो, स्थलमंडल की मोड़ सामर्थ्य के माध्यम से; इसके विपरीत एयरी या प्रैट प्रतिपूर्ति में प्रत्येक स्तंभ अपने ही नीचे प्रतिपूरित होता है।

स्थानीय और क्षेत्रीय प्रतिपूर्ति एक ही कुल द्रव्यमान को संतुलित करती हैं, परंतु उसे अलग ढंग से वितरित करती हैं: कठोर प्लेट पर संकरे भार के नीचे मूल उथला और चौड़ा होता है, और भार के ऊपर गुरुत्व विसंगति अत्यधिक धनात्मक होती है, जिसके दोनों ओर ऋणात्मक विसंगतियाँ खाई के ऊपर होती हैं। हवाई कटक के द्वीपों के आसपास गुरुत्व और भूकंपीय परिच्छेद 17 से $37\,\mathrm{km}$ तक प्रभावी प्रत्यास्थ मोटाइयाँ देते हैं, और एम्परर श्रृंखला के प्राचीन समुद्री पर्वतों के साथ 10 से $20\,\mathrm{km}$ तक, यह अंतर ज्वालामुखियों और जिस प्लेट पर उन्होंने भार डाला, उनकी आयु से अपेक्षित है; ये मान ठंडी हो रही महासागरीय प्लेट में, लगभग $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ की समतापरेखा की गहराई का अनुसरण करते हैं।

पर्वत पट्टी के भार के नीचे वही मोड़ अग्रभूमि द्रोणियाँ खोलता है; इसका विवरण पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) में ऐल्पाइन पर्वतजनक पट्टी वाले अध्याय में है।

क्षेत्र-कार्य — सापेक्ष गुरुत्व सर्वेक्षण

निरपेक्ष गुरुत्वमापी एक निर्वात कक्ष में कोना-घन दर्पण गिराता है, बार-बार और उसके गिरने का समय लेज़र इंटरफ़ेरोमीटर और परमाणु घड़ी से मापता है; यह एक स्टेशन पर गुरुत्व ज्ञात करता है, परंतु यह भारी है और स्थापित करने में धीमा है। सर्वेक्षण स्वयं एक सापेक्ष गुरुत्वमापी से होता है, एक छोटा स्प्रिंग-तुला, जो गुरुत्व के अंतर मापता है। भूभौतिकीविद् रेखा के प्रत्येक स्टेशन पर इसे आधार-प्लेट पर समतल करता है, पढ़ता है, समय और ऊँचाई दर्ज करता है, और आगे बढ़ता है; हर कुछ घंटों पर लूप किसी आधार स्टेशन पर लौटता है, ताकि स्प्रिंग का धीमा बहाव और ठोस पृथ्वी के ज्वार मापे और हटाए जा सकें। एक उपग्रह ग्राही, पास के एक दंड पर, स्थिति और ऊँचाई देता है, क्योंकि गुरुत्व हर मीटर ऊँचाई के लिए लगभग $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ बदलता है।

3.6 अभ्यास

अभ्यास 3.1 ★

भूगणितीय संदर्भ तंत्र 1980 के मान $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$ और $f = 0.003\,352\,810\,68$ लेकर लघु अर्ध-अक्ष $b$ और $a - b$ परिकलित कीजिए। $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ और $m = 0.003\,449\,79$ लेकर, क्लेरो संबंध द्वारा पूर्वानुमानित चपटापन परिकलित कीजिए, और तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.1.

$b = a(1 - f) = 6378137\times0.99664719 = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$ और $a - b = 21\,384.7\,\mathrm{m}$, लगभग $21.4\,\mathrm{km}$। क्लेरो: $f = (3J_2 + m)/2 = (0.00324789 + 0.00344979)/2 = 0.003\,348\,8$ या $1/298.61$, जबकि $1/298.26$ के मुकाबले $0.12\,\%$ छोटा है, यह अंतर उन दूसरी-कोटि के पदों का आकार है, जिन्हें यह संबंध उपेक्षित करता है।

अभ्यास 3.2 ★

एक शुष्क वर्ष में $5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$ की एक नदी द्रोणी $60\,\mathrm{Gt}$ जल खो देती है। तुल्य जल-ऊँचाई में परिवर्तन परिकलित कीजिए। वही द्रव्यमान समुद्र-तल को कितना ऊपर उठा देगा, $360\,\mathrm{Gt}$ प्रति मिलीमीटर मानकर?

हल

हल — अभ्यास 3.2.

$\sigma = 6.0 \times 10^{13}\,\mathrm{kg}/5.0 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{2} = 120\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, अतः $h_w = 120/1000 = 0.12\,\mathrm{m}$: यानी $12\,\mathrm{cm}$ जल। महासागर में पहुँचाए जाने पर $60/360 = 0.17\,\mathrm{mm}$ समुद्र-तल में परिवर्तन।

अभ्यास 3.3 ★

श्रेणी $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ लेकर, विषुवत रेखा पर, $45{}^{\circ}$ और ध्रुवों पर सामान्य गुरुत्व परिकलित कीजिए। ध्रुव और विषुवत रेखा के बीच का अंतर मिलीगैल में व्यक्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.3.

भूमध्य रेखा पर $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$। $45{}^{\circ}$ पर, $\sin^2\varphi = 0.5$ और $\sin^22\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times1.0026454 = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$। ध्रुवों पर, $9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$। अंतर $0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ है, या $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

अभ्यास 3.4 ★

महासागरीय प्लेटों की आनमन दृढ़ता और आनमन प्राचल परिकलित कीजिए, जिनके लिए $T_e = 10\,\mathrm{km}$ और $T_e = 30\,\mathrm{km}$ हैं ($E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$)। एक रेखीय भार के नीचे खाई का किनारा और अग्र-उभार कहाँ स्थित होते हैं?

हल

हल — अभ्यास 3.4.

$D = ET_e^3/(12(1 - \nu^2)) = 10^{11}T_e^3/11.25$: $8.89 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ का मान, $10\,\mathrm{km}$ के लिए, $2.40 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ का मान $30\,\mathrm{km}$ के लिए। जहाँ $(\rho_m - \rho_w)g = 22\,269\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = (4D/22269)^{1/4}$: $35.5\,\mathrm{km}$ और $81.0\,\mathrm{km}$। खाई $3\pi\alpha/4$ पर समाप्त होती है, $84\,\mathrm{km}$ और $191\,\mathrm{km}$ पर; अग्र-उभार के शिखर $\pi\alpha$ पर हैं, $112\,\mathrm{km}$ और $255\,\mathrm{km}$ पर।

अभ्यास 3.5 ★★

(क) जियॉइड ऊँचाई $+50\,\mathrm{m}$ होने पर वहाँ विक्षोभी विभव परिकलित कीजिए, $\gamma = 9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ लेते हुए। (ख) $100\,\mathrm{km}$ की दूरी पर जियॉइड $10\,\mathrm{m}$ ऊपर उठता है। वहाँ साहुल रेखा दीर्घवृत्तज के अभिलंब से किस कोण से भिन्न होती है? उसे चाप-सेकंड में व्यक्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.5.

(क) $T = -\gamma N = -9.80\times50 = -490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$। (ख) भूआभ दीर्घवृत्तज के सापेक्ष $10/100\,000 = 1.0 \times 10^{-4}$ रेडियन झुका है, और ओलंब रेखा, जो भूआभ के लंबवत है, दीर्घवृत्तज के अभिलंब के सापेक्ष उसी कोण से झुकी है: $1.0 \times 10^{-4}\times206\,265 = 20.6''$.

अभ्यास 3.6 ★★

$J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ और जड़त्व-आघूर्ण गुणक $C/(Ma^2) = 0.3308$ से गतिक विलक्षणता $H = (C - A)/C$ और $1/H$ परिकलित कीजिए। समान $J_2$ वाली एकसमान पृथ्वी इन दोनों में से कौन-सी संख्या बदलेगी?

हल

हल — अभ्यास 3.6.

$H = J_2/(C/Ma^2) = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$ और $1/H = 305.55$। परिकल्पना से $J_2$ समान है; एक समान पृथ्वी में $C/(Ma^2) = 0.4$ होता, और इसलिए $H = J_2/0.4 = 0.002\,706\,6$: पुरस्सरण धीमा होता। $J_2$ और $H$ दोनों को मापना ही वह बात प्रकट करता है कि द्रव्यमान केंद्र की ओर संकेंद्रित है।

अभ्यास 3.7 ★★

एक उपग्रह भूमध्यरेखीय त्रिज्या से $500\,\mathrm{km}$ ऊपर की वृत्ताकार कक्षा में चलता है ($a = 6378.137\,\mathrm{km}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$), जिसका झुकाव $89{}^{\circ}$ है। उसका आवर्तकाल और नोडल पुरस्सरण की दर प्रति दिन अंशों में परिकलित कीजिए। गुरुत्व मिशन लगभग-ध्रुवीय कक्षाएँ क्यों चुनते हैं?

हल

हल — अभ्यास 3.7.

$r = 6878.137\,\mathrm{km}$; $n = \sqrt{GM/r^3} = 1.106\,78 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, जिसका आवर्तकाल $2\pi/n = 94.6\,\mathrm{min}$ है। $\dot\Omega = -1.5\times1.106\,78 \times 10^{-3} \times1.082\,63 \times 10^{-3}\times(6378.137/6878.137)^2\times\cos89{}^{\circ} = -2.70 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, या $-0.134{}^{\circ}$ प्रतिदिन, पश्चिम की ओर। एक लगभग-ध्रुवीय कक्षा हर अक्षांश के ऊपर से गुज़रती है, इसलिए पूरी पृथ्वी का मानचित्रण होता है; यह भी धीरे-धीरे पुरस्सरण करती है, ताकि भू-पथ नियमित रूप से भर जाएँ।

अभ्यास 3.8 ★★

सतह पर $10\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ की दो गुरुत्व विसंगतियाँ हैं, जिनके तरंगदैर्घ्य $100\,\mathrm{km}$ और $1000\,\mathrm{km}$ हैं। $500\,\mathrm{km}$ ऊँचाई पर उनके आयाम परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.8.

$e^{-2\pi\times500/100} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: $2 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, कुछ नहीं। $e^{-2\pi\times500/1000} = e^{-3.14} = 0.0432$: $0.43\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

अभ्यास 3.9 ★★

खाई के समुद्र की ओर, बाहरी उभार का शिखर खाई-अक्ष से $120\,\mathrm{km}$ दूर स्थित है। प्लेट के ऊपर जल होने पर टूटी-प्लेट मॉडल लेते हुए, $\alpha$, $D$ और $T_e$ तथा वह दूरी परिकलित कीजिए जहाँ प्लेट अपने अनानमित स्तर को पार करती है।

हल

हल — अभ्यास 3.9.

$3\pi\alpha/4 = 120\,\mathrm{km}$ लेने पर $\alpha = 50.9\,\mathrm{km}$ प्राप्त होता है। $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 22269\times(50\,930)^4/4 = 3.75 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, और $T_e = (11.25D/E)^{1/3} = 16.2\,\mathrm{km}$। प्लेट खाई से $\pi\alpha/2 = 80\,\mathrm{km}$ पर अपने आनमन-रहित स्तर को पार करती है।

अभ्यास 3.10 ★★★

(क) जाँचिए कि $w = w_0e^{-u}(\cos u + \sin u)$, $u = x/\alpha$, $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = 0$ को $x > 0$ के लिए, $\alpha$ की परिभाषा के अनुसार, संतुष्ट करता है। (ख) दिखाइए कि झुकाव आघूर्ण $-Dw''$ भार के नीचे सबसे अधिक होता है और $x = \pi\alpha/4$ पर चिह्न बदलता है। (ग) प्लेट की ऊपरी सतह पर दरार कहाँ सबसे संभावित है, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 3.10.

(क) $u = x/\alpha$ लेने पर, $\mathrm d^4/\mathrm dx^4 = \alpha^{-4}\,\mathrm d^4/\mathrm du^4$। $\cos u + \sin u = \sqrt2\cos(u - \pi/4)$ लिखने पर फलन $\sqrt2w_0\,\mathrm{Re}\,e^{(-1 + i)u - i\pi/4}$ है, और $(-1 + i)^4 = -4$: अतः $w'''' = -4w/\alpha^4$। तब $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = (-4D/\alpha^4 + (\rho_m - \rho_i)g)w = 0$, क्योंकि $\alpha^4 = 4D/((\rho_m - \rho_i)g)$। (ख) $w'' = -(2w_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$, अतः $M = -Dw'' = (2Dw_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$: परिमाण में सबसे बड़ा $u = 0$ पर है, $\tan u = 1$ पर शून्य, $x = \pi\alpha/4$ पर। (ग) भार के नीचे प्लेट ऊपर की ओर अवतल है, इसकी ऊपरी सतह संपीड़न में; $\pi\alpha/4$ से परे यह ऊपर की ओर उत्तल है, इसकी ऊपरी सतह खिंची हुई। वहाँ $M' \propto -e^{-u}\cos u$ का मान $u = \pi/2$ पर शून्य होता है: खिंचाव सबसे अधिक $x = \pi\alpha/2$ पर है, खाई की अग्र-उभार की ओर वाली बाहरी ढलान पर, जहाँ $|M|$ भार के नीचे अपने मान का $e^{-\pi/2} = 21\,\%$ है। यही वह स्थान है, जहाँ प्लेट के शीर्ष पर सामान्य भ्रंश और दरारें खुलेंगे।

अभ्यास 3.11 ★★★

$m = 0.003\,449\,79$ और $C/(Ma^2) = 0.3308$ लेकर, द्रवस्थैतिक चपटापन के लिए डार्विन–रैडो संबंध को व्युत्क्रमित कीजिए। $f = 0.003\,352\,81$ से तुलना कीजिए: अंतर और द्रवस्थैतिक आकृति के ऊपर भूमध्य रेखा की अतिरिक्त ऊँचाई परिकलित कीजिए। इससे प्रावार के बारे में क्या पता चलता है?

हल

हल — अभ्यास 3.11.

$\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, अतः $1 + \eta = 1.5863$ और $\tfrac52m/f = 2.5863$: $f_h = 2.5\times0.00344979/2.5863 = 0.003\,334\,6$, $1/f_h = 299.9$। अंतर $f - f_h = 1.82 \times 10^{-5}$ है; $a$ से गुणा करने पर, भूमध्य रेखा द्रवस्थैतिक आकृति से $116\,\mathrm{m}$ ऊपर है। पृथ्वी पूर्णतः साम्यावस्था में द्रव नहीं है: इसका आंतरिक भाग प्रतिबल सहता है, जो स्थलमंडल की सामर्थ्य से या प्रावार के प्रवाह और घनत्व अंतरों से उत्पन्न होता है, जो आकृति को उससे थोड़ा दूर रखता है।

अभ्यास 3.12 ★★★

$700\,\mathrm{km}$ ऊँची वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह को पूरे वर्ष सूर्य के सापेक्ष एक ही अभिविन्यास बनाए रखना है: इसके लिए उसका नोड $365.242$ दिन के एक उष्णकटिबंधीय वर्ष में $360{}^{\circ}$ आगे बढ़ना चाहिए। आवश्यक झुकाव परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 3.12.

कक्षीय पात-बिंदु को $2\pi/(365.242\times86\,400) = 1.991 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ से आगे बढ़ना होगा। $r = 7078.137\,\mathrm{km}$ पर, $n = 1.0602 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $\tfrac32nJ_2(a/r)^2 = 1.398 \times 10^{-6}$, अतः $\cos i = -1.991 \times 10^{-7}/1.398 \times 10^{-6} = -0.1424$ और $i = 98.2{}^{\circ}$: एक थोड़ी प्रतिगामी, सूर्य-तुल्यकालिक कक्षा।

3.7 समस्या: ओरू कटक के चारों ओर की खाई

समस्या 3.1

सप्ताहांत समस्या — पृथ्वी की आकृति, एक ज्वालामुखीय भार, उसकी आनमन खाई और उपग्रह उसमें क्या देखते हैं

ओरू महासागर में एक काल्पनिक ज्वालामुखीय कटक है: आपस में मिले ज्वालामुखियों की $400\,\mathrm{km}$ लंबी सीधी श्रृंखला, जो पुराने महासागरीय स्थलमंडल पर बनी है। इसकी अनुप्रस्थ काट आधार पर $80\,\mathrm{km}$ चौड़ा एक त्रिभुज मानी गई है और $6\,\mathrm{km}$ ऊँची है, जिसका घनत्व $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है, और जो $5\,\mathrm{km}$ गहरे समुद्र-तल पर खड़ी है। प्रावार का घनत्व $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, समुद्री जल का $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$.

भाग I — पृथ्वी की आकृति। भूगणितीय संदर्भ तंत्र 1980 का उपयोग कीजिए: $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$, $b = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$, $\omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f = 0.003\,352\,81$; और $C/(Ma^2) = 0.3308$।

1. $m = \omega^2a^2b/(GM)$ परिकलित कीजिए।
2. $J_2$ से क्लेरो संबंध द्वारा प्राप्त चपटापन $m$ की सहायता से और उसका व्युत्क्रम परिकलित कीजिए।
3. डार्विन–रैडो संबंध से द्रवस्थैतिक चपटापन और उसका व्युत्क्रम परिकलित कीजिए।
4. दोनों की प्रेक्षित चपटापन से तुलना कीजिए। द्रवस्थैतिक आकृति से भूमध्य रेखा कितने मीटर ऊपर उठी है?
5. $H = (C - A)/C$ गतिक विलक्षणता परिकलित कीजिए।

भाग II — भार।

6. कटक की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए।
7. रेखीय भार $V_0$ परिकलित कीजिए। पूरे कटक को जलमग्न मानिए, ताकि उसका भार प्रति इकाई आयतन $(\rho_v - \rho_w)g$ हो।
8. यदि कटक स्थानीय रूप से, एरी ढंग से, प्रावार में अपनी ही चट्टान की एक मूल द्वारा प्रतिपूर्ति पाता, तो शिखर के नीचे उस मूल की गहराई क्या होती?
9. स्थानीय प्रतिपूर्ति के अंतर्गत मूल कटक के तल पर समाप्त होती, कटक की अक्ष से $40\,\mathrm{km}$ दूर। बैथिमेट्री एक खाई दिखाती है, जो $165\,\mathrm{km}$ तक फैली है। इससे आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

भाग III — आनमन खाई। खाई जल से भरी है ($\rho_i = \rho_w$)। कटक के आर-पार एक भूकंपीय परिच्छेद में महासागरीय भूपर्पटी का ऊपरी भाग अक्ष से $165\,\mathrm{km}$ दूर अपनी क्षेत्रीय गहराई पर लौटती हुई पाई जाती है, और अग्र-उभार का शिखर अक्ष से $220\,\mathrm{km}$ दूर पाया जाता है।

10. खाई के किनारे से आनमन प्राचल परिकलित कीजिए।
11. अग्र-उभार से उसे फिर से परिकलित कीजिए। क्या दोनों संगत हैं?
12. $\alpha = 70.0\,\mathrm{km}$ लेते हुए, आनमन दृढ़ता परिकलित कीजिए।
13. प्रभावी प्रत्यास्थ मोटाई परिकलित कीजिए।
14. $V_0 = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ और $D$ को तीन अंकों तक पूर्णांकित लेकर, अक्ष के नीचे विक्षेपण परिकलित कीजिए।
15. अग्र-उभार की ऊँचाई परिकलित कीजिए।
16. जाँचिए कि संपूर्ण विक्षेपण की उत्प्लावकता, $2w_0\alpha(\rho_m - \rho_w)g$, $V_0$ को संतुलित करती है।
17. हवाई कटक पर पाए गए मानों के साथ, 17 से $37\,\mathrm{km}$ तक, $T_e$ की तुलना कीजिए। अक्ष के नीचे विक्षेपण की तुलना प्रश्न 8 के एरी मूल से कीजिए।

भाग IV — खाई के ऊपर गुरुत्व। आनमन की एक हार्मोनिक लीजिए, जिसका तरंगदैर्घ्य $2\pi\alpha$ और आयाम $W = 500\,\mathrm{m}$ है, और जो समुद्र-तल (भूपर्पटी $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, जल के नीचे, समुद्र-तल से $5\,\mathrm{km}$ नीचे) और मोहो (भूपर्पटी के नीचे प्रावार, समुद्र-तल से $12\,\mathrm{km}$ नीचे) दोनों को विक्षेपित करती है। सतही घनत्व $\sigma$ की एक पतली परत $2\pi G\sigma$ की विसंगति उसके ठीक ऊपर उत्पन्न करती है।

18. हार्मोनिक का तरंगदैर्घ्य और तरंग-संख्या $k$ परिकलित कीजिए।
19. $5\,\mathrm{km}$ गहराई से ऊर्ध्वगामी सांतत्य द्वारा समुद्र-तल तक लाए गए, विक्षेपित समुद्र-तल के कारण समुद्र-तल पर विसंगति का आयाम परिकलित कीजिए।
20. विक्षेपित मोहो का आयाम, और कुल आयाम परिकलित कीजिए।
21. समुद्र-तल से $400\,\mathrm{km}$ ऊपर स्थित उपग्रह की ऊँचाई पर कुल विसंगति परिकलित कीजिए।
22. कटक की चौड़ाई, $80\,\mathrm{km}$ तरंगदैर्घ्य की एक हार्मोनिक, उस ऊँचाई पर किस गुणक से क्षीण होती है? उपग्रह क्या विभेदित कर सकता है?
23. प्रश्न 18 की हार्मोनिक किस गोलीय-हार्मोनिक घात $n \approx 2\pi R/\lambda$ से संगत है ($R = 6371\,\mathrm{km}$)?
24. ओरू कटक के नीचे की प्लेट की प्रभावी प्रत्यास्थ मोटाई ज्ञात कीजिए।

हल

हल — समस्या 3.1.

1. $m = (7.292\,115 \times 10^{-5})^2\times6378137^2\times6356752.3/ 3.986\,005 \times 10^{14} = 0.003\,449\,79$.

2. $f = (3J_2 + m)/2 = 0.003\,348\,8$, $1/f = 298.61$.

3. $\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, $\tfrac52m/f_h = 2 + 0.5863$, अतः $f_h = 0.003\,334\,6$ और $1/f_h = 299.88$।

4. क्लेरो मान, $1/298.61$, प्रेक्षित $1/298.26$ से $0.12\,\%$ के भीतर है; जलस्थैतिक मान, $1/299.88$, इससे $\Delta f = 1.82 \times 10^{-5}$ के अंतर से छोटा है, और $a\,\Delta f = 116\,\mathrm{m}$: विषुवत रेखा जलस्थैतिक आकृति से $116\,\mathrm{m}$ ऊपर स्थित है।

5. $H = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$ ($1/305.6$).

6. $\tfrac12\times80\,\mathrm{km}\times6\,\mathrm{km} = 240\,\mathrm{km}^{2} = 2.40 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$.

7. $V_0 = (2800 - 1030)\times9.81\times2.40 \times 10^{8} = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$.

8. एरी: $(\rho_m - \rho_v)r = (\rho_v - \rho_w)h$, अतः $r = 6\times1770/500 = 21.2\,\mathrm{km}$ शिखा के नीचे।

9. समुद्री पेंदी कटक के आधार से काफ़ी दूर तक विक्षेपित होती है: भार स्तंभ-दर-स्तंभ प्रतिपूरित नहीं होता, बल्कि चार गुना चौड़े क्षेत्र पर प्लेट के आनमन से प्रतिपूरित होता है। प्लेट में सामर्थ्य है: क्षेत्रीय समस्थितिक प्रतिपूर्ति।

10. $\alpha = 165/(3\pi/4) = 70.0\,\mathrm{km}$.

11. $\alpha = 220/\pi = 70.0\,\mathrm{km}$: वही, जैसा एक एकल प्रत्यास्थ प्लेट के लिए अपेक्षित है।

12. $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 2270\times9.81\times(7.00 \times 10^{4})^4/4 = 1.34 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

13. $T_e = (12(1 - \nu^2)D/E)^{1/3} = (11.25\times1.34 \times 10^{23}/ 1 \times 10^{11})^{1/3} = 24.7\,\mathrm{km}$.

14. $w_0 = V_0\alpha^3/(8D) = 4.17 \times 10^{12}\times(7.00 \times 10^{4})^3/ (8\times1.34 \times 10^{23}) = 1334\,\mathrm{m}$.

15. $w_0e^{-\pi} = 1334\times0.0432 = 58\,\mathrm{m}$.

16. $2\times1334\times7.00 \times 10^{4}\times2270\times9.81 = 4.16 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, $V_0$ के बराबर है, $D$ के पूर्णांकन की सीमा के भीतर।

17. $24.7\,\mathrm{km}$ हवाई कटक की परास के भीतर आता है। प्लेट अक्ष के नीचे $1.3\,\mathrm{km}$ धँसती है, बजाय इसके कि $21\,\mathrm{km}$ का मूल बने: वही उत्प्लावकता $330\,\mathrm{km}$ लंबी परिखा में फैली रहती है।

18. $\lambda = 2\pi\times70.0\,\mathrm{km} = 440\,\mathrm{km}$, $k = 1/\alpha = 1.43 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

19. $\sigma = (2900 - 1030)\times500 = 9.35 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, अतः $2\pi G\sigma = 3.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ समुद्री पेंदी पर; $e^{-k\times5\,\mathrm{km}} = 0.931$ से गुणा करने पर, समुद्र-तल पर $36.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ (जहाँ प्लेट नीचे दबाई गई है वहाँ ऋणात्मक)।

20. $\sigma = (3300 - 2900)\times500 = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$: $8.39\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $e^{-k\times12\,\mathrm{km}} = 0.843$ से गुणा करने पर, $7.07\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$। कुल योग $43.6\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ है।

21. $e^{-k\times400\,\mathrm{km}} = e^{-5.71} = 0.0033$: $0.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

22. $e^{-2\pi\times400/80} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: उपग्रह कटक का अपना कुछ भी नहीं देखता, केवल विस्तृत आनमन देखता है, और वह भी तीन-सौ गुना क्षीण होकर; कटक की अपनी गुरुत्व विसंगति समुद्र में मापी जानी चाहिए।

23. $n \approx 2\pi\times6371/440 = 91$.

24. प्रश्न 10 से 13 के आधार पर, ओरु कटक के नीचे की प्लेट की प्रभावी प्रत्यास्थ मोटाई है $24.7\,\mathrm{km}$।