24हिमविज्ञान

ग्रीनलैंड को पश्चिम से पूर्व की ओर, $72.5{}^{\circ}$N समानांतर के साथ पार करने पर बर्फ़ कुछ दसियों किलोमीटर भीतर से शुरू होती है, तीव्र ढाल से उठती है, फिर उत्तरोत्तर अधिक मंद होती हुई एक विस्तृत शिखर तक पहुँचती है, जिसकी ऊँचाई $3229\,\mathrm{m}$ है, और फिर पूर्वी तट के पर्वतों तक नीचे उतरती है। आलेखित करने पर सतह उस परवलय के लगभग समान है जो अपनी बगल में पड़ी हो, जिसका शीर्ष किनारे पर हो। यह अध्याय दिखाता है कि वह आकार कहाँ से आता है: ऐसे पदार्थ से जो अधिक ज़ोर लगने पर उत्तरोत्तर तेज़ी से विसर्पित होता है, इसलिए वह लगभग ऐसे व्यवहार करता है मानो एक निश्चित प्रतिबल से अधिक सह ही न सकता हो। इसके बाद यह बर्फ़ का अनुसरण करता है, उस हिम से जो उसे पोषित करता है, उस समुद्र तक जो उसे ग्रहण करता है।

पहले से ज्ञात

हिमनद, हिमचादरें, हिम-शेल्फ़, हिमशैल, समुद्री हिम, पर्माफ़्रॉस्ट और हिमयुग स्कूली पुस्तकों में हैं। प्रवाह नियम और अव्यवस्थापन विसर्पण अध्याय 7 में हैं; उपग्रह गुरुत्वमिति और हिमचादर द्रव्यमान संतुलन, जिसे वह मापती है, अध्याय 3 में; बर्फ़ का कोर और उसके ऑक्सीजन समस्थानिक अध्याय 14 में हैं। समुद्र-तल बजट, हिम–एल्बिडो प्रतिपुष्टि और तापस्थैतिक समुद्र-तल वृद्धि पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) में हैं, उसके मानवजनित जलवायु परिवर्तन वाले अध्याय में। गुप्त ऊष्मा और ऊष्मा चालन भौतिकी की पुस्तकों में हैं।

24.1 बर्फ़ एक पदार्थ के रूप में

हिमनद की बर्फ़ एक चट्टान है, बर्फ़ के परस्पर गुँथे क्रिस्टलों का द्रव्यमान, और यह अपने गलनांक के निकट विरूपित होती है। प्रतिबल के अधीन यह अपने क्रिस्टलों में अव्यवस्थापन की गति से विसर्पित होती है, उन चट्टानों की भाँति अध्याय 7 की, और इसका प्रवाह नियम वही रूप रखता है: प्रतिबल की एक घात और अर्रेनियस गुणक का गुणनफल।

प्रमेय 24.1 (ग्लेन का प्रवाह नियम)

समदैशिक हिमनद-बर्फ़ में विकृति-दर प्रदिश विचलनात्मक प्रतिबल के समानुपाती होता है,

$$\dot\varepsilon_{ij} = A(T)\,\tau_e^{\,n-1}\,\tau'_{ij}, \qquad \tau_e^2 = \tfrac12\,\tau'_{ij}\tau'_{ij},$$

$n = 3$ के साथ और एक दर गुणक $A(T)$, जो तापमान के साथ बढ़ता है। सरल कर्तन में, जहाँ $\tau_{xz}$ ही एकमात्र अशून्य विचलनात्मक प्रतिबल है, $\dot\varepsilon_{xz} = A\tau_{xz}^{\,n}$ होता है।

$n = 3$ के साथ बर्फ़ एक प्रबल अरैखिक तरल है: प्रतिबल को दोगुना करने पर वह आठ गुना तेज़ी से विरूपित होती है। इसकी प्रभावी श्यानता, $1/(2A\tau_e^{\,2})$, केवल बर्फ़ का गुण नहीं होती, बल्कि प्रतिबल बढ़ने पर घटती है।

परिभाषा 24.2 (दर गुणक (बर्फ़))

ग्लेन के नियम का दर गुणक $A(T)$, जिसे भी बर्फ़ की मृदुता कहते हैं, $A = A_0\exp(-Q/RT)$ लिखा जाता है, जिसमें सक्रियण ऊर्जा $Q$ होती है। पैटरसन और बड का व्यापक रूप से प्रयुक्त फ़िट $A_0 = 3.61 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ और $Q = 60\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ लेता है, $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे, और $A_0 = 1.73 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ और $Q = 139\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ इससे ऊपर, गलनांक के निकट, जहाँ बर्फ़ तापमान के साथ अधिक तेज़ी से मृदु होती है।

गलनांक पर की बर्फ़ लगभग पचास गुना तेज़ी से बहती है, उसी प्रतिबल के अधीन $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर की बर्फ़ की तुलना में। हिमनदों में प्रतिबल एक बार की कोटि का होता है, $10^{5}\,\mathrm{Pa}$।

हिमनद दो प्रकार से गति करता है। इसकी बर्फ़ सर्वत्र विसर्पण द्वारा विरूपित होती है; और जहाँ तल गलनांक पर हो, वहाँ यह फिसल भी सकता है।

परिभाषा 24.3 (आधारी सर्पण)

आधारी सर्पण हिमनद की अपने तल के ऊपर होने वाली गति है, जो पानी की पतली फ़िल्म या नम, मृदु अवसाद की परत पर होती है। इसके लिए गलनांक पर का तल आवश्यक है; तल से जमा हुआ हिमनद केवल अपनी बर्फ़ के विसर्पण से गति करता है।

24.2 हिमनद प्रवाह

प्रमेय 24.4 (समानांतर-पार्श्व स्लैब का प्रवाह)

मोटाई $H$ और घनत्व $\rho$ वाली बर्फ़ की एक स्लैब ऐसे तल पर होती है जिसका ढलान $\alpha$ है, और सरल कर्तन द्वारा उसी पर नीचे बहती है, $u_b$ चाल से फिसलते हुए। तल से ऊपर ऊँचाई $z$ पर अपरूपण प्रतिबल $\tau = \rho g(H - z)\sin\alpha$ है, और वेग निम्न है:

$$u(z) = u_b + \frac{2A}{n + 1}(\rho g\sin\alpha)^n\left[H^{n+1} - (H - z)^{n+1}\right],$$

और प्रति इकाई चौड़ाई फ़्लक्स $q = u_bH + \dfrac{2A}{n + 2}(\rho g\sin\alpha)^nH^{n+2}$ है। आधारी अपरूपण प्रतिबल $\tau_b = \rho gH\sin\alpha$ है।

स्लैब के ऊपरी भाग में वेग बहुत कम बदलता है और आधार के पास तेज़ होता है, जहाँ प्रतिबल सबसे अधिक होता है: $n = 3$ के साथ अपरूपण सबसे निचली परतों में केंद्रित रहता है। सतह की गति $H^{n+1} = H^4$ के अनुसार और ढलान के घन के अनुसार भी बढ़ती है: दोगुनी मोटाई का हिमनद सोलह गुना तेज़ बहता है।

परिभाषा 24.5 (उथली-हिम सन्निकटन)

उथली-हिम सन्निकटन ऐसी हिमचादर को, जिसकी मोटाई उसकी चौड़ाई की तुलना में कम हो, स्थानीय रूप से एक समानांतर-पार्श्व स्लैब मानता है: हर स्थान पर हिम सरल कर्तन से विरूपित होता है, चालक प्रतिबल $\tau_d = \rho gH|\nabla s|$ के अंतर्गत, जहाँ $s$ सतह की ऊँचाई है, और फ़्लक्स स्लैब सूत्र का अनुसरण करता है, जिसमें स्थानीय मोटाई और सतह ढलान का उपयोग होता है।

उथली-हिम सन्निकटन में आधारी प्रतिबल हिम के आकार से तय होता है। चूँकि विकृति दर प्रतिबल के घन के अनुसार बढ़ती है, प्रतिबल में थोड़ी-सी वृद्धि से प्रवाह में बड़ी वृद्धि होती है, जिससे हिम पतली हो जाती है और प्रतिबल फिर घट जाता है: प्रतिबल हिम-द्रव्यमान के आकार चाहे जो हो, एक संकीर्ण परास के भीतर रहता है। इसे सीमा तक ले जाने पर, ऐसा पदार्थ जो विराम प्रतिबल $\tau_0$ से नीचे बिल्कुल विरूपित न हो और उससे ऊपर बिना सीमा के विरूपित हो, तो आकार उसी से निकलता है।

प्रतिज्ञप्ति 24.6 (प्लास्टिक हिमचादर प्रोफ़ाइल)

विराम प्रतिबल $\tau_0$ वाली पूर्णतः प्लास्टिक हिमचादर, जो एक समतल क्षैतिज आधार पर हो, अपने सीमांत से अंतर्देशीय दूरी $x$ पर सतह की ऊँचाई इस प्रकार होती है:

$$h(x) = \sqrt{\frac{2\tau_0x}{\rho g}} .$$

24.3 द्रव्यमान संतुलन

हिमनद को हिम से पोषण मिलता है, और वह पिघलने, वाष्पन और, जहाँ वह जल तक पहुँचता है, वहाँ हिम-विखंडन से बर्फ़ खोता है।

परिभाषा 24.7 (द्रव्यमान संतुलन; संचयन और अपक्षरण क्षेत्र; साम्य-रेखा)

हिमनद द्रव्यमान संतुलन किसी हिमनद के द्रव्यमान का एक वर्ष में हुआ परिवर्तन है, जो आम तौर पर जल-तुल्य मीटर में दिया जाता है और उसके क्षेत्रफल पर औसत होता है। पृष्ठ द्रव्यमान संतुलन उसका वह भाग है जो सतह की प्रक्रियाओं से आता है, हिमपात घटा पिघलाव, अपवाह और उर्ध्वपातन; शेष हानि हिम-विखंडन से और आधार पर या तैरती बर्फ़ के नीचे पिघलने से होती है। संचयन क्षेत्र सतह का वह भाग है जहाँ एक वर्ष में पृष्ठ द्रव्यमान संतुलन धनात्मक होता है, अपक्षरण क्षेत्र वह भाग जहाँ वह ऋणात्मक होता है, तथा साम्य-रेखा ऊँचाई (ELA) उन दोनों के बीच की रेखा की ऊँचाई है, जहाँ वह शून्य है।

हिमचादरों और ऊँचे हिमनदों पर हिम एक ऋतु में बर्फ़ में नहीं बदलता। उसे बाद के हिम से ढक दिया जाता है, वह संपीड़ित होता है और पुनःक्रिस्टलित होता है।

परिभाषा 24.8 (फ़िर्न; छिद्र-बंदी)

फ़िर्न वह हिम है जो कम से कम एक गलन ऋतु से बच निकला है और संपीड़ित होकर बर्फ़ में बदल रहा है: यह हिम से सघन होता है, फिर भी वायु के लिए पारगम्य रहता है। छिद्र-बंदी संपीड़न का वह बिंदु है, जिस पर घनत्व लगभग $820\text{ से }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ होता है, जहाँ कणों के बीच के रंध्र बुलबुलों में बंद हो जाते हैं और उनकी हवा वायुमंडल से कट जाती है।

ध्रुवीय हिमचादरों पर छिद्र-बंदी सतह के नीचे $50\text{ से }120\,\mathrm{m}$ के बीच होती है, जो तापमान, संचयन और अशुद्धियों पर निर्भर करती है; इसलिए बर्फ़ के कोर के बुलबुलों की हवा उसके आसपास की बर्फ़ से नई होती है, जैसा अध्याय 14 में याद किया गया था। अधिकांश हिमनदों में हिम से बर्फ़ में परिवर्तन में सौ वर्ष से अधिक समय लगता है।

हिमनद अपनी जलवायु के बदलाव पर तुरंत प्रतिक्रिया नहीं देता। उसकी मोटाई को पहले बदलना पड़ता है, तभी उसकी लंबाई उसका अनुसरण कर सकती है।

प्रतिज्ञप्ति 24.9 (हिमनद प्रतिक्रिया-काल)

किसी विशिष्ट मोटाई $H$ वाला हिमनद, जिसके अग्रभाग पर संतुलन $b_t < 0$ (प्रति वर्ष बर्फ़ के मीटरों में) है, जलवायु परिवर्तन के साथ लगभग इस क्रम के समय में समायोजित होता है:

$$\tau = \frac{H}{-b_t} .$$

$200\,\mathrm{m}$ मोटा वह हिमनद जो अपने अग्रभाग पर प्रति वर्ष $5\,\mathrm{m}$ बर्फ़ खोता है, प्रतिक्रिया देने में लगभग चालीस वर्ष लेता है। इसलिए हिमनद जलवायु से पीछे रहते हैं: आज के हिमनद, तापमान बढ़ना रुक भी जाए तब भी, दशकों तक द्रव्यमान खोते रहेंगे।

24.4 हिमचादर और हिम-शेल्फ़

ग्रीनलैंड और अंटार्कटिका की हिमचादरें भूमि के हिम का $99\,\%$ से अधिक रखती हैं। ग्रीनलैंड की चादर $1.7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ क्षेत्र में फैली है और अधिकतम रूप से $3\,\mathrm{km}$ से अधिक मोटी है; अंटार्कटिका की चादर लगभग $14\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ में फैली है और अधिकतम रूप से लगभग $4.9\,\mathrm{km}$ मोटी है। अंटार्कटिक हिमचादर के कई भाग समुद्र-तल से नीचे की भूमि पर टिके हैं।

परिभाषा 24.10 (हिम-धारा)

एक हिम-धारा हिमचादर का वह पट्टा है जो अपने दोनों ओर के हिम से कहीं अधिक तेज़ी से बहता है, मुख्यतः सर्पण द्वारा या किसी मुलायम गीले आधार के विरूपण द्वारा, और हिमचादर के आंतरिक भाग के बड़े हिस्से को उसकी सीमा की ओर निकालता है।

परिभाषा 24.11 (भू-स्पर्श रेखा; हिम-विखंडन)

भू-स्पर्श रेखा वह रेखा है जहाँ अपनी शैय्या पर टिका हिम तैरने लगता है: उसके समुद्र की ओर के भाग में हिम हिम-शेल्फ़ या तैरती हिमनद-जीभ होता है। हिम-विखंडन हिम के खंडों, यानी हिमशैलों, का टूटकर अलग होना है, हिमनद या हिम-शेल्फ़ के उस अग्रभाग पर होता है, जो पानी में समाप्त होता है।

हिम-शेल्फ़ तैरते हैं, इसलिए उनके पिघलने से समुद्र-तल नहीं बढ़ता। परंतु वे अपने पार्श्वों और समुद्र-तल के उन उभारों पर टिके रहते हैं, जहाँ वे तल से टकराते हैं, और वहाँ का घर्षण पीछे के हिम के बहाव का विरोध करता है: वे उसे अवरोधित करते हैं। लार्सन B हिम-शेल्फ़ के 2002 में विघटित होने के बाद, जिन हिमनदों ने उसे पोषित किया था, उनकी गति आठ गुना तक बढ़ गई।

प्रतिज्ञप्ति 24.12 (उत्प्लावन)

घनत्व $\rho_i$ और मोटाई $H$ वाला हिम, समुद्र-तल से नीचे गहराई $D$ पर स्थित शैय्या के ऊपर, घनत्व $\rho_w$ वाले समुद्री पानी में तैरता है यदि $H < (\rho_w/\rho_i)D$। $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ और $\rho_w = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ लेने पर, भू-स्पर्श रेखा वहाँ होती है जहाँ हिम की मोटाई $1.12\,D$ है।

जिस आधार की गहराई अंतर्देशीय दिशा में बढ़ती है, उस पर भू-स्पर्श रेखा नाज़ुक होती है। जहाँ पानी गहरा है, वहाँ भू-स्पर्श रेखा पर हिम मोटी होती है, क्योंकि उत्प्लावन की शर्त के अनुसार ऐसा होता है; और स्लैब प्रमेय के अनुसार मोटे स्तंभ का फ़्लक्स उसकी मोटाई के साथ तीव्रता से बढ़ता है। यदि भू-स्पर्श रेखा ऐसी ढलान से पीछे हटती है, तो वह और मोटी हिम तक पहुँचती है, जो अधिक विसर्जित होती है, तेज़ी से पतली होती है, और रेखा को और पीछे हटने देती है।

परिभाषा 24.13 (समुद्री हिमचादर अस्थिरता)

समुद्री हिमचादर अस्थिरता (MISI) वह प्रस्तावित स्व-प्रबलित पश्चगमन है, जो एक हिमचादर की भू-स्पर्श रेखा का होता है, जो अंतर्देशीय दिशा की ओर ढलते आधार पर टिकी हो: हिम-शेल्फ़ के अवरोधन के बिना ऐसे आधार पर भू-स्पर्श रेखा स्वभावतः अस्थिर रहती है जब तक वह ऊपर की ओर ढलते आधार तक न पहुँच जाए।

हिम-शेल्फ़ भू-स्पर्श रेखा को नीचे की ढलान पर भी अपनी जगह पर रोक सकते हैं। ऐसे मॉडल जिनमें सभी अंटार्कटिक हिम-शेल्फ़ हटा दिए जाते हैं और उन्हें पुनः बनने नहीं दिया जाता, 500 वर्षों में इस अस्थिरता से $2\text{ से }10\,\mathrm{m}$ समुद्र-तल तुल्यांक के बराबर हिम खोते हैं, जिसमें से $2\text{ से }5\,\mathrm{m}$ पश्चिमी अंटार्कटिका से आता है। अधिकतर समुद्र-तल से ऊपर के चट्टानी आधार पर टिकी हिमचादरों पर, जैसे ग्रीनलैंड, मुख्य स्व-प्रबलित प्रक्रिया दूसरी है: जैसे-जैसे सतह गलती और नीचे बैठती है, वह गर्म वायु में आ जाती है और अधिक गलती है।

परिभाषा 24.14 (समुद्र-तल तुल्यांक)

समुद्र-तल तुल्यांक भूमि की हिम के किसी द्रव्यमान का वह समुद्र-तल-वृद्धि है, जो उसके गलने से वैश्विक माध्य समुद्र-तल में होती, यदि जल वर्तमान महासागर पर फैल जाए।

प्रतिज्ञप्ति 24.15 (हिम के द्रव्यमान का समुद्र-तल तुल्यांक)

समुद्र-तल से ऊपर टिका हिम का द्रव्यमान $M$, क्षेत्रफल $A_o$ वाले महासागर पर घनत्व $\rho_w$ वाले जल के रूप में फैलाया जाए, तो वह समुद्र-तल को $M/(\rho_wA_o)$ से ऊपर उठाता है: प्रत्येक $360\,\mathrm{Gt}$ के लिए लगभग $1\,\mathrm{mm}$।

समुद्र-तल से नीचे का हिम पहले से समुद्री जल विस्थापित करता है, इसलिए वह कम गिना जाता है: अंटार्कटिका के $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ हिम का समुद्र-तल तुल्यांक लगभग $58\,\mathrm{m}$ समुद्र-तल के बराबर है, जो उसके द्रव्यमान को $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$ से भाग देने पर मिलने वाले मान से कम है।

क्षेत्र-कार्य — हिम पर एक शिविर

हिमचादर पर हिमविज्ञानियों के उपकरण स्लेज से चलते हैं और तंबुओं में रहते हैं। हिम कितनी तेज़ी से चलती है, यह मापने के लिए वे हिम में एक खंभा जमा देते हैं, और उस पर एक उपग्रह-नौवहन रिसीवर का एंटीना लगाते हैं। भूगणित में प्रयुक्त रिसीवर कुछ सेंटीमीटर के भीतर स्थिति तय करते हैं, इसलिए हफ़्तों या मौसमों में दोहराई गई स्थितियाँ हिम की गति और दिशा बताती हैं, और खंभे की ऊँचाई, जिसे फिर से सर्वेक्षित किया जाता है, उसके नीचे की हिम का पतला होना या मोटा होना बताती है।

24.5 समुद्री हिम और पर्माफ़्रॉस्ट

समुद्री हिम महासागर में बनता है, बढ़ता है और गलता है। आर्कटिक में यह मार्च में अपने सबसे बड़े क्षेत्रफल तक और सितंबर में अपने सबसे छोटे क्षेत्रफल तक पहुँचता है।

परिभाषा 24.16 (समुद्री-हिम विस्तार)

समुद्री-हिम विस्तार उपग्रह मानचित्र की उन कोशिकाओं का कुल क्षेत्रफल है, जिनमें समुद्री हिम सतह के $15\,\%$ से अधिक भाग को ढकता है। यह समुद्री-हिम क्षेत्रफल से बड़ा होता है, जो केवल हिम को गिनता है।

1979 में उपग्रह द्वारा इसका मानचित्रण आरंभ होने के बाद से आर्कटिक विस्तार सिकुड़ा है, मार्च में और सितंबर में कहीं अधिक: सितंबर में प्रति दशक $0.74\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ की दर से, यानी 1981–2010 के माध्य का लगभग $12\,\%$ प्रति दशक, जबकि मार्च में $0.38\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ प्रति दशक, अर्थात $2.5\,\%$। सितंबर का अब तक का सबसे छोटा विस्तार, $3.57\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, 2012 में था। आर्कटिक समुद्री हिम $50\text{ से }70\,\%$ सूर्य के प्रकाश को परावर्तित करती है, जबकि खुला महासागर लगभग $6\,\%$ परावर्तित करता है: हिम खोने से सतह अधिक गहरे रंग की हो जाती है, यह हिम–एल्बिडो प्रतिपुष्टि है, जिसे पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) में देखा जा सकता है।

समुद्री हिम अपने निचले तल पर बढ़ती है, जहाँ समुद्र का जल उस पर जमता है, और उस जमाव की गुप्त ऊष्मा बर्फ़ के भीतर से होकर ऊपर ठंडी हवा तक चालन द्वारा पहुँचनी चाहिए।

प्रमेय 24.17 (स्टीफ़न का नियम)

समुद्री हिम, जिसकी तापीय चालकता $k_i$, घनत्व $\rho_i$ और संलयन की गुप्त ऊष्मा $L$ है, और जिसकी सतह नीचे के जल के हिमांक से $\Delta T$ नीचे के तापमान पर रखी गई है, यदि समुद्र से आने वाली ऊष्मा नगण्य हो, तो इस प्रकार बढ़ती है:

$$h(t)^2 - h(0)^2 = \frac{2k_i\,\Delta T}{\rho_iL}\,t .$$

मोटाई $h_s$ और चालकता $k_s$ वाली हिम की परत के नीचे वृद्धि की दर $\mathrm dh/\mathrm dt = \Delta T/[\rho_iL(h/k_i + h_s/k_s)]$ है।

$k_i = 2.03\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 3.34 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ और $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ के लिए, हिमांक से $20\,\mathrm{K}$ नीचे की सतह सौ दिनों में $1.5\,\mathrm{m}$ और दो सौ दिनों में $2.1\,\mathrm{m}$ बर्फ़ जमा देती है। हिम, जिसकी चालकता $0.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ है, अच्छी रोधक है: उसकी $20\,\mathrm{cm}$ परत वृद्धि को आधे से अधिक घटा देती है। मोटी बर्फ़ धीरे बढ़ती है, पतली बर्फ़ तेज़; गर्मी में पिघलने के बाद यह नियम बर्फ़ की मोटाई को समान करने की प्रवृत्ति रखता है।

पर्माफ़्रॉस्ट वह भूमि है जो $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर या उससे नीचे दो या अधिक वर्षों तक रहती है। यह उत्तरी गोलार्ध की उघड़ी भूमि के लगभग एक-चौथाई भाग के नीचे है।

परिभाषा 24.18 (सक्रिय परत)

सक्रिय परत पर्माफ़्रॉस्ट के ऊपर की वह भू-परत है जो हर गर्मी में पिघलती है और हर सर्दी में फिर जम जाती है।

इसकी मोटाई, समुद्री हिम की वृद्धि की तरह, पिघलने के मौसम में भूमि में ऊष्मा के चालन से तय होती है, और इसके विरुद्ध भूमि की बर्फ़ की गुप्त ऊष्मा होती है। पिछले तीन से चार दशकों में सभी पर्माफ़्रॉस्ट क्षेत्रों में पर्माफ़्रॉस्ट के तापमान बढ़े हैं (उच्च विश्वास); वैश्विक स्तर पर पर्माफ़्रॉस्ट $0.29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ [$0.17\text{ से }0.41$] गर्म हुआ 2007 और 2016 के बीच (मध्यम विश्वास), और सक्रिय परत की मोटाई में वृद्धि एक सर्व-आर्कटिक घटना है (मध्यम विश्वास)। जहाँ इसकी बर्फ़ पिघलती है, वहाँ भूमि धँस सकती है।

24.6 क्रायोस्फ़ीयर और समुद्र-तल

पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) के समुद्र-तल बजट में गर्म होते महासागर के प्रसार को बर्फ़ और भूमि से जुड़े जल के साथ जोड़ा जाता है। 2006–2018 में देखे गए $3.69\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ समुद्र-तल उठाव में से हिमनदों ने $0.62\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ योगदान दिया, ग्रीनलैंड ने $0.63\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ और अंटार्कटिका ने $0.37\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ योगदान दिया: बर्फ़ का कुल योगदान महासागर के प्रसार, $1.39\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ से अधिक रहा।

आँकड़े: वर्ष 2021

ग्रीनलैंड ने 1992–2020 में $4890\,\mathrm{Gt}$ बर्फ़ खोई [4140 से 5640], जो $13.5\,\mathrm{mm}$ समुद्र-तल के बराबर है; उसकी हानि की दर 1990 के दशक में $39\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ से बढ़कर 2010–2019 में $243\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ हो गई, विसर्जन से और, उत्तरोत्तर, सतही गलन से (उच्च विश्वास)। अंटार्कटिका ने $2670\,\mathrm{Gt}$ [1800 से 3540], $7.4\,\mathrm{mm}$ खोई, उसकी दर 1990 के दशक में $49\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ से बढ़कर 2010–2019 में $148\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ हो गई; ये हानियाँ पश्चिमी अंटार्कटिका के आउटलेट हिमनदों से आईं, मुख्यतः हिम-शेल्फ़ों के नीचे से गलन के कारण (उच्च विश्वास)। हिमचादरों के बाहर के हिमनदों ने 1993–2019 में $6200\,\mathrm{Gt}$ खोई, जो $17.1\,\mathrm{mm}$ के बराबर है; 2010–2019 में यह रिकॉर्ड के किसी भी अन्य दशक से अधिक रहा (अति उच्च विश्वास)। ग्रीनलैंड इस शताब्दी में विचारित सभी परिदृश्यों के अंतर्गत द्रव्यमान खोता रहेगा (लगभग निश्चित), और अंटार्कटिका भी (संभावित): 2100 तक ग्रीनलैंड संभावित रूप से कम-उत्सर्जन परिदृश्य में समुद्र-तल में $0.01\text{ से }0.10\,\mathrm{m}$ के बीच जोड़ेगा, और अति-उच्च परिदृश्य में $0.09\text{ से }0.18\,\mathrm{m}$ के बीच; अंटार्कटिका $0.03\text{ से }0.27\,\mathrm{m}$ और $0.03\text{ से }0.34\,\mathrm{m}$ के बीच जोड़ेगा। आर्कटिक महासागर संभावित रूप से व्यावहारिक रूप से समुद्री हिम-मुक्त हो जाएगा; सितंबर के न्यूनतम पर उसमें $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ से कम हिम, पहली बार विचारित सभी परिदृश्यों के अंतर्गत 2050 से पहले होगा।

हिमचादर की हानियाँ वही हैं जो अध्याय 3 में ऊँचाईमापन, गुरुत्वमिति और गिरते हिम तथा बहकर निकलती बर्फ़ के अंतर से मापी गई हैं: तीन स्वतंत्र विधियाँ एक ही अनुमान में मिलाई गई हैं।

24.7 अभ्यास

अभ्यास 24.1 ★

घाटी-हिमनद, जिसकी मोटाई $250\,\mathrm{m}$ है, $3{}^{\circ}$ के ढाल पर नीचे बहता है। आधारी अपरूपण प्रतिबल परिकलित कीजिए, और उसकी तुलना वास्तविक हिमनदों के आधारी प्रतिबलों से कीजिए, जो एक बार की कोटि के हैं।

हल

हल — अभ्यास 24.1.

$\tau_b = \rho gH\sin\alpha = 917\times9.81\times250\times\sin3{}^{\circ} = 118\,\mathrm{kPa}$, लगभग $1.2\,\mathrm{bar}$, यानी वास्तविक हिमनदों के नीचे के प्रतिबलों की कोटि।

अभ्यास 24.2 ★

(क) ग्रीनलैंड की हिमचादर में लगभग $2.9\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ हिम है, जिसका घनत्व $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ है। इसका द्रव्यमान और $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$ पर इसका समुद्र-तल तुल्यांक परिकलित कीजिए, और उसकी तुलना प्रायः उद्धृत $7.4\,\mathrm{m}$ से कीजिए। (ख) इसी प्रकार अंटार्कटिका के $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ के लिए कीजिए, जिसे लगभग $58\,\mathrm{m}$ बताया गया है। ये दोनों परिणाम इतने भिन्न क्यों हैं?

हल

हल — अभ्यास 24.2.

(क) $2.9 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{3}\times917 = 2.66 \times 10^{18}\,\mathrm{kg} = 2.66 \times 10^{6}\,\mathrm{Gt}$; $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$ से भाग देने पर $7390\,\mathrm{mm}$, अर्थात $7.4\,\mathrm{m}$, जो उद्धृत मान है। (ख) $3.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\times917/360 = 76\,\mathrm{m}$, जबकि उद्धृत मान $58\,\mathrm{m}$ है। ग्रीनलैंड की बर्फ़ अधिकतर समुद्र-तल से ऊपर के आधार-शैल पर टिकी है, इसलिए उसका सब कुछ पिघलकर महासागर में पानी जोड़ेगा। अंटार्कटिका का अधिकांश हिस्सा समुद्र-तल से नीचे के तल पर टिका है: वह बर्फ़ पहले ही समुद्री जल को विस्थापित करती है, इसलिए उसके पिघलने से केवल वही जल भरता है जिसे वह विस्थापित करती है; तैरते हिम-शेल्फ़ तो बिल्कुल कुछ नहीं जोड़ते।

अभ्यास 24.3 ★

एक हिमनद का संचयन क्षेत्र $6\,\mathrm{km}^{2}$ है, जिसका माध्य संतुलन $+1.2\,\mathrm{m}$ जल-तुल्यांक है, और अपक्षरण क्षेत्र $4\,\mathrm{km}^{2}$ है, जिसका $-2.1\,\mathrm{m}$ है। इसका शुद्ध संतुलन घन मीटर जल में, इसका माध्य विशिष्ट संतुलन, और संचयन-क्षेत्र अनुपात परिकलित कीजिए। क्या यह बढ़ रहा है या सिकुड़ रहा है?

हल

हल — अभ्यास 24.3.

लाभ $6 \times 10^{6}\times1.2 = 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, हानि $4 \times 10^{6}\times2.1 = 8.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ जल: शुद्ध $-1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, माध्य विशिष्ट संतुलन $-1.2\times10^6/10^7 = -0.12\,\mathrm{m}$ जल-तुल्यांक होता है। संचयन-क्षेत्र अनुपात $6/10 = 0.6$ है। हिमनद द्रव्यमान खो रहा है: सिकुड़ रहा है।

अभ्यास 24.4 ★

छिद्र-बंदी पर फ़िर्न का घनत्व $820\text{ से }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ के बीच होता है। इसके आयतन का कितना भाग अभी भी रंध्र-स्थान है (बर्फ़: $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)?

हल

हल — अभ्यास 24.4.

$1 - 820/917 = 0.106$ और $1 - 830/917 = 0.095$: आयतन का लगभग एक-दसवाँ भाग अब भी रंध्र-स्थान है, जब रंध्र बंद होते हैं।

अभ्यास 24.5 ★★

समशीतोष्ण हिमनद (बर्फ़ $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर, $A = 1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$), जिसकी मोटाई $300\,\mathrm{m}$ है और जो $3{}^{\circ}$ के ढाल पर है। केवल आंतरिक विरूपण से इसकी पृष्ठ चाल परिकलित कीजिए। यदि यह दोगुनी मोटी होती, तो चाल किस गुणक से बदलती? यदि ढाल आधी होती, तो चाल किस गुणक से बदलती?

हल

हल — अभ्यास 24.5.

$\tau_b = 917\times9.81\times300\times\sin3{}^{\circ} = 141.2\,\mathrm{kPa}$। स्लैब प्रमेय से, समीकरण प्रमेय से, $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H = 0.5\times1.43 \times 10^{-16} \times(1.412 \times 10^{5})^3\times300 = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$। दोगुनी मोटाई होने पर $u_s \propto H^{n+1} = H^4$, सोलह गुना तेज़। ढाल आधी होने पर $u_s \propto (\sin\alpha)^3$, आठ गुना धीमी।

अभ्यास 24.6 ★★

पैटर्सन–बड स्थिरांकों से $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर दर गुणक, तथा $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर स्थित दो समरूप बर्फ़-पिंडों की चालों का अनुपात परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.6.

$-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($248.15\,\mathrm{K}$) पर, $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/ (8.314\times248.15)) = 8.5 \times 10^{-26}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, या $2.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$। $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर, $3.61 \times 10^{-13} \exp(-27.42) = 4.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.4 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$। $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर (गर्म शाखा) $1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$। समान प्रतिबलों के अंतर्गत गतियाँ दर गुणकों के अनुपात में होती हैं: $1.43 \times 10^{-16}/2.67 \times 10^{-18} = 54$।

अभ्यास 24.7 ★★

$1000\,\mathrm{km}$ दूर, केंद्र से किनारे तक, एक प्लास्टिक हिमचादर की अधिकतम मोटाई $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$ के साथ परिकलित कीजिए, और उसकी तुलना अंटार्कटिका के हिम की अधिकतम मोटाई से कीजिए, जो लगभग $4.9\,\mathrm{km}$ है।

हल

हल — अभ्यास 24.7.

$h = \sqrt{2\times10^5\times10^6/(917\times9.81)} = 4.7\,\mathrm{km}$, जो अंटार्कटिका की $4.9\,\mathrm{km}$ मोटाई के निकट है: प्लास्टिक मॉडल किसी हिमचादर की मोटाई उसकी चौड़ाई से ही प्राप्त कर लेता है।

अभ्यास 24.8 ★★

एक हिमनद, जिसकी मोटाई $200\,\mathrm{m}$ है, अपने अग्र-सिरे पर प्रति वर्ष $5\,\mathrm{m}$ हिम खोता है। इसके अनुक्रिया काल का अनुमान लगाइए। यदि जलवायु अचानक गरम हो गई और फिर स्थिर रही, तो उसकी लंबाई कितने समय तक बदलती रहेगी?

हल

हल — अभ्यास 24.8.

$\tau = 200/5 = 40\text{ वर्ष}$। ऊष्मीकरण रुकने के बाद लंबाई कई दशकों, यानी कुछ प्रतिक्रिया-काल तक, समायोजित होती रहेगी: आज के हिमनद अभी तक आज की जलवायु से तालमेल नहीं बिठा पाए हैं।

अभ्यास 24.9 ★★

(क) स्टेफ़न के नियम से $\Delta T = 20\,\mathrm{K}$ लेते हुए, 100 दिन बाद नंगे समुद्री हिम की मोटाई, तथा $3\,\mathrm{m}$ तक पहुँचने में लगने वाला समय परिकलित कीजिए। (ख) इससे $3\,\mathrm{m}$ से मोटे हिम के बारे में क्या संकेत मिलता है?

हल

हल — अभ्यास 24.9.

(क) $h = \sqrt{2\times2.03\times20\times8.64 \times 10^{6}/(917\times3.34 \times 10^{5})} = 1.51\,\mathrm{m}$। चूँकि $h^2 \propto t$, $3\,\mathrm{m}$ की मोटाई तक पहुँचने में $100\times (3/1.51)^2 = 393$ दिन लगते हैं, जो एक सर्दी से अधिक है। (ख) $3\,\mathrm{m}$ से अधिक मोटी बर्फ़ एक सर्दी में जमकर नहीं बढ़ सकती: वह ऐसी बर्फ़ है जो कई सर्दियों तक बची रही है, या हवा और धाराओं द्वारा कटकों में जमा की गई बर्फ़।

अभ्यास 24.10 ★★★

(क) जहाँ तल समुद्र-तल से $800\,\mathrm{m}$ नीचे है, वहाँ भू-स्पर्श रेखा पर हिम कितना मोटा है? (ख) स्लैब फ़्लक्स $q \propto H^{n+2}$ का प्रयोग करते हुए, किसी दिए गए पृष्ठ ढाल के लिए, यदि भू-स्पर्श रेखा उस स्थान तक पीछे हटे जहाँ तल $900\,\mathrm{m}$ गहरा है, तो भू-स्पर्शी हिम का फ़्लक्स किस गुणक से बढ़ेगा? (ग) समझाइए कि अंतर्देशीय तल का गहराना पीछे हटने को स्वयं-प्रबल क्यों बनाता है, और हिम-शेल्फ़ क्या बदलता है।

हल

हल — अभ्यास 24.10.

(क) $H = (1025/917)\times800 = 894\,\mathrm{m}$। (ख) $900\,\mathrm{m}$ पर भू-स्पर्श रेखा की मोटाई $1006\,\mathrm{m}$ है, पूर्व मान का $9/8$ गुना; फ़्लक्स $(9/8)^5 = 1.8$ गुना बढ़ जाता है। (ग) जैसे-जैसे रेखा भीतर की ओर गहराते तल पर पीछे हटती है, रेखा पर की बर्फ़ अधिक मोटी होती है, अधिक विसर्जन करती है, और पीछे की बर्फ़ को पतला करती है, और रेखा और पीछे हटती है: यह धनात्मक प्रतिपुष्टि है। हिम-शेल्फ़ तल पर टिकी बर्फ़ को सहारा देते हुए भू-स्पर्श रेखा पर फ़्लक्स घटाता है और उसे नीचे की ओर ढलान पर भी उसी स्थान पर रोक सकता है।

अभ्यास 24.11 ★★★

सिद्ध कीजिए कि त्रिज्या $R$ वाली एक वृत्ताकार प्लास्टिक हिम-टोपी का आयतन $V = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$ है। यदि इसकी त्रिज्या दोगुनी हो जाए, तो इसका समुद्र-तल तुल्यांक किस गुणक से बढ़ेगा?

हल

हल — अभ्यास 24.11.

जहाँ $h(r) = c\sqrt{R - r}$, $c = \sqrt{2\tau_0/(\rho g)}$, $V = \int_0^R2\pi rc\sqrt{R - r}\,\mathrm dr$। $s = R - r$ प्रतिस्थापित करने पर,

$$\int_0^R(R - s)\sqrt s\,\mathrm ds = \tfrac23R^{5/2} - \tfrac25R^{5/2} = \tfrac4{15}R^{5/2},$$

अतः $V = \frac{8\pi}{15}cR^{5/2}$। $R$ को दोगुना करने पर $V$ और समुद्र-तल तुल्यांक, $2^{5/2} = 5.7$ गुना हो जाते हैं।

अभ्यास 24.12 ★★★

मार्च 1979 में आर्कटिक का माध्य विस्तार $16.34\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ था, और मार्च 2026 में $14.13\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$; सितंबर में $7.05$ और $4.81\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ था। (क) प्रत्येक माह में सापेक्ष परिवर्तन परिकलित कीजिए। (ख) दो भौतिक कारण बताइए कि सितंबर का विस्तार मार्च के विस्तार की तुलना में इतनी अधिक तेज़ी से क्यों घटा है।

हल

हल — अभ्यास 24.12.

(क) मार्च: $14.13/16.34 - 1 = -13.5\,\%$; सितंबर: $4.81/7.05 - 1 = -31.8\,\%$। (ख) मार्च में हिम-किनारा अधिकतर उन तटों से थमा रहता है जो आर्कटिक महासागर को घेरते हैं, और हर सर्दी का पुनर्जमाव बेसिन को फिर से भर देता है; हाल के वर्षों की पतली बर्फ़ हर गर्मी में अधिक पूरी तरह पिघल जाती है। और हिम–एल्बिडो प्रतिपुष्टि गर्मी में काम करती है: खुला पानी लगभग $94\,\%$ सौर प्रकाश सोखता है, बर्फ़ परावर्तित करती है $50\text{ से }70\,\%$ के बीच, इसलिए गर्मी की हर बर्फ़-हानि जल को गर्म करती है और और अधिक पिघलती है।

24.8 समस्या: आर्केल हिम-टोपी

समस्या 24.1

सप्ताहांत समस्या — आकार, प्रवाह, संतुलन और काल्पनिक हिम-टोपी का समुद्र-तल तुल्यांक

काल्पनिक आर्केल हिम-टोपी एक समतल पठार पर स्थित है। यह लगभग वृत्ताकार है, त्रिज्या $20\,\mathrm{km}$ है, और इसकी बर्फ़ लगभग $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर है। मान लीजिए $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ और $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$।

भाग I — क्या टोपी प्लास्टिक है?

1. सिद्ध कीजिए कि मोटाई $H$ के हिम के नीचे, जिसका पृष्ठ ढाल $\alpha$ छोटा हो, तो आधारी अपरूपण प्रतिबल लगभग $\rho gH\alpha$ होता है।
2. केंद्र से 5, 10 और $15\,\mathrm{km}$ दूरी पर रडार-मापन और सर्वेक्षण से मोटाइयाँ 580, 470 और $335\,\mathrm{m}$ तथा पृष्ठ ढाल $0.0190$, $0.0240$ और $0.0330$ प्राप्त होते हैं। तीनों बिंदुओं पर आधारी अपरूपण प्रतिबल परिकलित कीजिए।
3. क्या टोपी प्लास्टिक के निकट है? आप कौन-सा विराम प्रतिबल अपनाते हैं?
4. $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$ लेकर $2\tau_0/(\rho g)$ परिकलित कीजिए।
5. प्लास्टिक परिच्छेद से तीनों बिंदुओं पर मोटाई का पूर्वानुमान लगाइए और उसकी तुलना रडार-मापनों से कीजिए।

भाग II — आकार और आयतन।

6. केंद्र पर मोटाई परिकलित कीजिए।
7. सिद्ध कीजिए कि आयतन $V = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$ है।
8. आयतन घन किलोमीटर में परिकलित कीजिए।
9. क्षेत्रफल और माध्य मोटाई परिकलित कीजिए।
10. उसी पठार पर दोगुनी चौड़ाई की एक हिम-टोपी के लिए, उसका आयतन किस गुणक से बड़ा होगा?

भाग III — प्रवाह और संतुलन।

11. $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर दर गुणक $\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$ में परिकलित कीजिए।
12. केंद्र से $10\,\mathrm{km}$ दूरी पर, हिम को स्लैब मानकर, आंतरिक विरूपण द्वारा सतही चाल परिकलित कीजिए।
13. वहाँ प्रति एकक चौड़ाई का हिम-फ़्लक्स, और स्तंभ का माध्य वेग परिकलित कीजिए।
14. स्थायी अवस्था में, त्रिज्या $10\,\mathrm{km}$ के वृत्त से निर्गत फ़्लक्स उसके भीतर प्राप्त संतुलन के बराबर है। इसके लिए प्रति वर्ष हिम के मीटर में कितने माध्य संतुलन की आवश्यकता होगी?
15. साम्य-रेखा पठार से $450\,\mathrm{m}$ ऊँचाई पर स्थित है। यह टोपी पर कहाँ है, और संचयन-क्षेत्र अनुपात क्या है?
16. यदि हिम $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक गर्म हो जाए, तो चालें किस गुणक से बढ़ेंगी? टोपी के आकार का क्या होगा?

भाग IV — समुद्र-तल।

17. टोपी का द्रव्यमान गीगाटन में परिकलित कीजिए।
18. इसका समुद्र-तल तुल्यांक मिलीमीटर में परिकलित कीजिए।
19. यदि पूरी टोपी प्रति वर्ष $0.5\,\mathrm{m}$ हिम से पतली हो जाए, बिना बहे, तो वह कितने समय तक टिकेगी?
20. वास्तविक टोपी पतली होना शुरू होने पर उससे पहले क्यों लुप्त हो जाएगी?
21. 2010–2019 में ग्रीनलैंड जिस दर से हिम खो रहा था, उसी दर पर अर्केल टोपी के बराबर द्रव्यमान खोने में कितना समय लगेगा?
22. अर्केल हिम-टोपी का समुद्र-तल तुल्यांक मिलीमीटर में, एक दशमलव स्थान तक दीजिए।

हल

हल — समस्या 24.1.

1. तल के ऊपर का स्तंभ, जिसका प्रति इकाई क्षेत्र पर भार $\rho gH$ है, ढाल की दिशा में नीचे की ओर घटक $\rho gH\sin\alpha$ से धकेला जाता है, जिसे उसके आधार पर का अपरूपण प्रतिबल संतुलित करता है; छोटे ढलानों के लिए $\sin\alpha \approx \alpha$ ( पृष्ठ ढलान के साथ स्लैब प्रमेय)।

2. $917\times9.81\times580\times0.0190 = 99.1\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81\times470\times0.0240 = 101.5\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81 \times335\times0.0330 = 99.4\,\mathrm{kPa}$।

3. तनाव $2\,\%$ के भीतर समान रहता है, जबकि मोटाई लगभग आधी हो जाती है: टोपी लगभग सुघट्य है, जिसका $\tau_0 \approx 100\,\mathrm{kPa}$ है।

4. $2\times10^5/(917\times9.81) = 22.23\,\mathrm{m}$।

5. $h = \sqrt{22.23\,(R - r)}$: किनारे से $15\,\mathrm{km}$, $10\,\mathrm{km}$ और $5\,\mathrm{km}$ पर क्रमशः $577\,\mathrm{m}$, $472\,\mathrm{m}$ और $333\,\mathrm{m}$ मोटाई मिलती है, जो सर्वेक्षण-मापों से कुछ मीटर के भीतर है।

6. $\sqrt{22.23\times20000} = 667\,\mathrm{m}$।

7. अभ्यास 24.11 के समान: $V = \int_0^R2\pi r \sqrt{22.23(R - r)}\,\mathrm dr = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$।

8. $\frac{8\pi}{15}\times4.715\times(2 \times 10^{4})^{5/2} = 4.47 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3} = 447\,\mathrm{km}^{3}$।

9. $\pi\times20^2 = 1257\,\mathrm{km}^{2}$; माध्य मोटाई $447/1257 = 0.356\,\mathrm{km}$, यानी $356\,\mathrm{m}$, जो केंद्रीय मोटाई के आधे से थोड़ा अधिक है।

10. $2^{5/2} = 5.7$ गुना।

11. $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/(8.314\times263.15)) = 4.45 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, को $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ से गुणा करने पर: $1.40 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$।

12. $10\,\mathrm{km}$ पर, $H = 471.5\,\mathrm{m}$, ढाल $471.5/20000 = 0.0236$, $\tau_b = 100\,\mathrm{kPa}$; $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H = 0.5\times1.40 \times 10^{-17}\times10^{15}\times471.5 = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$।

13. $q = \tfrac{2A}{5}\tau_b^3H^2 = 0.4\times1.40 \times 10^{-17} \times10^{15}\times471.5^2 = 1250\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; माध्य वेग $q/H = 2.6\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, जो पृष्ठ की गति का चार-पाँचवाँ भाग है।

14. $2\pi rq = \pi r^2\bar b$, अतः $\bar b = 2q/r = 2\times1250/10^4 = 0.25\,\mathrm{m}$ हिम प्रति वर्ष, भीतरी $10\,\mathrm{km}$ पर।

15. $h = 450$ उस स्थान पर, जहाँ $R - r = 450^2/22.23 = 9.11\,\mathrm{km}$ है, अर्थात $r = 10.9\,\mathrm{km}$ पर; संचयन क्षेत्र इसके भीतर की डिस्क है, $(10.9/ 20)^2 = 0.30$ भाग टोपी का।

16. $A$ $10.2$ गुना बढ़ता है, और उसी प्रकार समान प्रतिबलों के अंतर्गत गतियाँ भी। हिम, संतुलन जितनी आपूर्ति करता है उससे तेज़ बाहर बहेगा: टोपी पतली होगी और फैलेगी, जब तक घटे हुए प्रतिबल फिर से संतुलन से मेल न खा जाएँ; एक नरम सुघट्य टोपी का विराम प्रतिबल छोटा होता है और उसकी प्रोफ़ाइल अधिक समतल होती है।

17. $4.47 \times 10^{11}\times917 = 4.10 \times 10^{14}\,\mathrm{kg} = 410\,\mathrm{Gt}$।

18. $410/360 = 1.14\,\mathrm{mm}$।

19. $356/0.5 = 711$ वर्ष।

20. जैसे-जैसे सतह नीचे होती है, वह गर्म वायु में पड़ती है और तेज़ी से पिघलती है, ऊँचाई–द्रव्यमान संतुलन प्रतिपुष्टि के कारण; और जैसे-जैसे वह पतली होती है, प्रतिबल तथा प्रवाह भी बदलते हैं। पतलापन तेज़ होता जाता है।

21. $410/243 = 1.7\text{ वर्ष}$: पूरी टोपी 2010–2019 में ग्रीनलैंड की हानि के दो वर्षों से कम है।

22. आर्केल हिमटोपी का समुद्र-तल तुल्यांक $1.1\,\mathrm{mm}$ ($1.14\,\mathrm{mm}$) है।