21महासागर गतिकी

फ़्लोरिडा जलडमरूमध्य से होकर खाड़ी धारा लगभग $32\,\mathrm{Sv}$ जल उत्तर की ओर ले जाती है, और तट के साथ-साथ चलते हुए उसकी मात्रा बढ़ती जाती है, लगभग $150\,\mathrm{Sv}$ तक, $40{}^{\circ}$ N के निकट पहुँचती है। उसी महासागर की दूसरी ओर, पुर्तगाल और उत्तरी अफ़्रीका के सामने कुछ भी वैसा दक्षिण की ओर नहीं बहता: खाड़ी धारा जो जल उत्तर ले जाती है वह भूमध्य रेखा की ओर धीमे, चौड़े प्रवाह के रूप में लौटता है, जो हज़ारों किलोमीटर खुले समुद्र में फैला है। उत्तरी गोलार्ध की हर महासागरीय द्रोणी में वही असममित आकार होता है, जिसकी तेज़ धारा पश्चिमी पार्श्व पर होती है। इस असममिति का कारण पवन, समुद्र का घर्षण और पृथ्वी का एक तथ्य है: कोरिऑलिस प्राचल ध्रुव की ओर बढ़ता है।

पहले से ज्ञात

चंद्रमा और सूर्य का ज्वारीय बल, वृहत् और लघु ज्वार, भौतिकी की पुस्तकों में हैं। पवन प्रतिबल, एकमन परत, एकमन परिवहन और एकमन सर्पिल, उत्स्रवण और अवस्रवण, वलय, पश्चिमी सीमा धाराएँ, स्वेर्द्रुप ($1\,\mathrm{Sv} = 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), याम्योत्तर पलट परिसंचरण और गहन जल का निर्माण पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में है, उसके महासागर परिसंचरण वाले अध्याय में; वहाँ पवन प्रतिबल $\vec T$ लिखा गया है, यहाँ $\vec\tau$। कोरिऑलिस प्राचल, $\beta$-समतल, रॉस्बी त्रिज्या और भू-विक्षेपी संतुलन अध्याय 19 में हैं; भ्रमिलता और विभव भ्रमिलता अध्याय 20 में।

21.1 एकमन परत की व्युत्पत्ति

पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में एकमन परिवहन पूरी परत पर बलों के संतुलन से ज्ञात किया गया था, और उसके भीतर वेगों के सर्पिल का केवल कथन किया गया था। अचर भँवर श्यानता $A_z$ वाले विक्षुब्ध घर्षण में सर्पिल समीकरणों से कुछ पंक्तियों में निकलता है। क्षैतिज वेग को एक सम्मिश्र संख्या $W = u + \mathrm iv$ और पवन प्रतिबल $\tau = \tau_x + \mathrm i\tau_y$ के रूप में लिखा जा सकता है; $-\mathrm i$ से गुणा करने पर एक सदिश $90{}^{\circ}$ दक्षिणावर्त घूमकर, ऊपर से देखने पर अपनी दाईं ओर आ जाता है।

प्रमेय 21.1 (स्थिर पवन-चालित सतही परत की वेग-रूपरेखा)

स्थिर, क्षैतिज रूप से एकसमान और अत्यधिक गहरे महासागर में, जिसका अचर घनत्व $\rho$ है, अचर ऊर्ध्वाधर भँवर श्यानता $A_z$ के साथ और कोरिऑलिस प्राचल $f > 0$ पर, पवन प्रतिबल $\tau$ द्वारा चालित धारा निम्न होती है:

$$W(z) = W_0\,\mathrm e^{(1+\mathrm i)z/\delta},\qquad W_0 = \frac{\tau}{\rho\sqrt{fA_z}}\,\mathrm e^{-\mathrm i\pi/4},\qquad \delta = \sqrt{\frac{2A_z}{f}} ,$$

$z \le 0$ के लिए। सतही धारा प्रतिबल की दाईं ओर $45{}^{\circ}$ घूम जाती है; गहराई के साथ वह और दाईं ओर मुड़ती है और $\mathrm e^{z/\delta}$ के रूप में क्षय होती है; कुल परिवहन $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz = -\mathrm i\tau/(\rho f)$ प्रतिबल की दाईं ओर के समकोण पर होता है।

यह प्रमेय पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) के दोनों परिणाम पुनः प्राप्त करता है: एकमन की सतही धारा $45{}^{\circ}$ पर, और परिवहन $\tau/(\rho f)$ जो प्रतिबल के समकोण पर होता है, और $A_z$ से स्वतंत्र है, जो कभी भली-भाँति ज्ञात नहीं होता। $\pi\delta$ गहराई पर धारा सतही धारा के विपरीत बहती है और उसका परिमाण $\mathrm e^{-\pi}$ गुना घटकर $4\,\%$ रह जाता है।

परिभाषा 21.2 (एकमन गहराई; एकमन पंपन)

एकमन गहराई $D_E = \pi\delta = \pi\sqrt{2A_z/f}$ है, वह गहराई जिस पर एकमन सर्पिल की धारा सतही धारा के विपरीत बहती है; यह एकमन परत की मोटाई मापती है। एकमन पंपन वह ऊर्ध्वाधर वेग $w_E$ है, जो एकमन परत के आधार पर एकमन परिवहन के अभिसरण या अपसरण से प्रेरित होता है: जहाँ परिवहन अभिसरित होते हैं, वहाँ नीचे की ओर; और जहाँ वे अपसरित होते हैं, वहाँ ऊपर की ओर, जिसे कभी एकमन चूषण कहते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 21.3 (एकमन पंपन)

समुद्र की सतह पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होने पर, एकमन पंपन निम्न होता है:

$$w_E = \operatorname{curl}_z\frac{\vec\tau}{\rho f} = \frac{1}{\rho f}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} - \frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) + \frac{\beta\tau_x}{\rho f^2} ,$$

ऊपर की ओर धनात्मक।

समुद्र के ऊपर चक्रवाती दिशा में घूमने वाली पवन, जिसका कर्ल धनात्मक है, परत के नीचे से जल ऊपर खींचती है; प्रतिचक्रवाती पवन उसे नीचे धकेलती है। उपोष्णकटिबंधीय महासागरों पर व्यापारिक पवनें भूमध्य रेखा वाले पक्ष पर पूर्व से बहती हैं, और पछुआ पवनें ध्रुव वाले पक्ष पर पश्चिम से। उनके एकमन परिवहन व्यापारिक पवनों के नीचे उत्तर की ओर, और पछुआ पवनों के नीचे दक्षिण की ओर, दोनों के बीच अभिसरित होते हैं: पृष्ठीय जल जमा होता है और नीचे की ओर पंपित होता है, जैसा नीचे दिए चित्र में है। किसी तट के किनारे, जहाँ पवन तट को अपनी बाईं ओर रखकर बहती है (उत्तरी गोलार्ध में), तो परिवहन तट से दूर जाता है, और पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) का तटीय उत्स्रवण एक दीवार के विरुद्ध संकेंद्रित एकमन चूषण है।

21.2 स्वेर्द्रुप संतुलन

एकमन परत के नीचे महासागर भू-विक्षेपी होता है। जल का एक स्तंभ, जो एकमन पंपन से दबा हुआ है, विभव भ्रमिलता $f/h$ बनाए रखने के लिए जहाँ $f$ छोटा है, उस ओर, यानी भूमध्य रेखा की ओर, खिसकना होगा। 1947 में एच. यू. स्वेर्द्रुप ने पवन-चालित प्रवाह की संपूर्ण गहराई के लिए इस तर्क को परिमाणात्मक बनाया।

प्रमेय 21.4 (स्वेर्द्रुप संतुलन)

एक स्थायी महासागर में, जिसमें अरेखीय पद और पार्श्व घर्षण नगण्य हैं, एकमन परत के नीचे का आंतरिक भाग भू-विक्षेपी है, और किसी गहराई $-H$ पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो, तो पवन-चालित प्रवाह की प्रति इकाई चौड़ाई पर कुल उत्तरमुखी आयतन परिवहन स्वेर्द्रुप संतुलन का पालन करता है:

$$\beta V = \frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau = \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} - \frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) .$$

यह संतुलन इस बात में उल्लेखनीय है कि इसे किन चीज़ों की ज़रूरत नहीं पड़ती: न प्रवाह की गहराई, न उसकी ऊर्ध्वाधर संरचना, न भँवर श्यानता, केवल पवन का कर्ल और $\beta$। स्वेर्द्रुप ने इसे गति के समीकरणों से निकाला, जिन्हें गति-रहित गहराई तक समाकलित किया गया था, और इसका परीक्षण पूर्वी उष्णकटिबंधीय प्रशांत महासागर में अनुसंधान पोतों कार्नेगी और बुशनेल के हाइड्रोग्राफ़िक खंडों से किया, $34{}^{\circ}$ N और $10{}^{\circ}$ S के बीच, $1000\,\mathrm{m}$ पर गति-रहित गहराई रखकर: पवन से परिकलित परिवहन, घनत्व क्षेत्र से परिकलित परिवहनों से मेल खाते थे, यहाँ तक कि जहाँ धाराएँ पवन के विपरीत बहती थीं। बेहतर पवनों के साथ बाद के कार्य में $500\,\mathrm{m}$ के आसपास की गति-रहित गहराई पर सर्वोत्तम मेल मिला, और 1999 में भूमध्यरेखीय प्रशांत महासागर में माध्य प्रतिबल के मापनों ने वहाँ के प्रवाह को स्वेर्द्रुप संतुलन में पाया। यह संतुलन हर जगह लागू होता है या नहीं, यह दिखाना इसे मान लेने से कठिन है: लगभग हर महासागरीय परिसंचरण सिद्धांत इसी से आरंभ होता है।

इस अध्याय की समस्या की काल्पनिक द्रोणी मान लीजिए: $20{}^{\circ}$ और $50{}^{\circ}$ N के बीच, $6000\,\mathrm{km}$ चौड़ी, पूर्व-पश्चिमी प्रतिबल $\tau_x = -\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ के अंतर्गत, $\tau_0 = 0.1\,\mathrm{Pa}$, $20{}^{\circ}$ N पर पूर्वी, $50{}^{\circ}$ N पर पश्चिमी और $35{}^{\circ}$ N पर शून्य। लगभग पूरी द्रोणी में प्रतिबल कर्ल ऋणात्मक है: जल नीचे की ओर पंपित होता है, $35{}^{\circ}$ N पर लगभग $35\,\mathrm{m}$ प्रति वर्ष, और आंतरिक भाग दक्षिण की ओर बहता है, $35{}^{\circ}$ N पर प्रति मीटर चौड़ाई $4.9\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, पूरी द्रोणी में $29.4\,\mathrm{Sv}$। प्रेक्षित पवनों से परिकलित, उत्तरी अटलांटिक उपोष्ण वलय का स्वेर्द्रुप परिवहन लगभग $28{}^{\circ}$ N के पास $30\,\mathrm{Sv}$ तक पहुँचता है।

स्वेर्द्रुप परिवहन हर बिंदु पर $V$ निर्धारित करता है, परंतु धारा-फलन को सीमा-प्रतिबंध चाहिए, और याम्योत्तर भित्ति केवल एक ही प्रतिबंध ले सकती है। यदि आंतरिक भाग पूर्वी भित्ति से होकर प्रवाह न होने का प्रतिबंध संतुष्ट करता है, तो दक्षिण-दिशा का प्रवाह पश्चिमी भित्ति पर जाने का कोई रास्ता नहीं पाता; द्रव्यमान एक ऐसी धारा द्वारा लौटाया जाता है जिसे घर्षण-रहित स्वेर्द्रुप समीकरण वर्णित नहीं कर सकते।

21.3 पश्चिमी तीव्रीकरण

सन् 1948 में एच. स्टोमेल ने सबसे सरल महासागर में सबसे सरल घर्षण जोड़ा, और पाया कि लौटता प्रवाह पश्चिमी भित्ति से सटकर सिमट जाता है, जैसा पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में उनके वलय के चित्र में दिखाया गया है। यह उन्होंने केवल ऐसे कोरिऑलिस प्राचल के साथ ही पाया, जो उत्तर की ओर बढ़ता है: बिना घूर्णन के, या एकसमान घूर्णन के साथ, उनका वलय सममित था।

परिभाषा 21.5 (पश्चिमी तीव्रीकरण; स्टोमेल मॉडल; मंक सीमा-परत)

पश्चिमी तीव्रीकरण वह स्थिति है, जिसमें पवन-चालित वलय का लौटता प्रवाह एक सँकरी, तीव्र धारा में बदलकर द्रोणी के पश्चिमी पार्श्व से सटकर सिमट जाता है। स्टोमेल मॉडल स्थिर गहराई का एक समांगी महासागर है, आयताकार द्रोणी में, जिसे पूर्व-पश्चिमी पवन प्रतिबल चलाता है और जो गहराई-समाकलित वेग के समानुपाती तल-घर्षण से मंद होता है, जिसकी दर $r$ है; इसका परिवहन धारा-फलन $\psi$ ($U = -\partial\psi/\partial y$, $V = \partial\psi/\partial x$) इस समीकरण का पालन करता है

$$r\nabla^2\psi + \beta\frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau ,\qquad \psi = 0 \text{ भित्तियों पर।}$$

मंक सीमा-परत उसी वलय की पश्चिमी सीमा-परत है, जब पार्श्व भँवर श्यानता $A_H$ तल-घर्षण का स्थान लेती है; इसका चौड़ाई-पैमाना $\delta_M = (A_H/\beta)^{1/3}$।

यह समीकरण स्वेर्द्रुप संतुलन है, जिसमें तल-घर्षण का कर्ल जुड़ा है: गहराई पर समाकलित करने पर, $\beta V = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z \vec\tau - r\zeta_T$, जहाँ $\zeta_T = \nabla^2\psi$ परिवहन की भ्रमिलता है।

प्रमेय 21.6 (स्टोमेल वलय की पश्चिमी सीमा-परत)

एक द्रोणी $0 \le x \le X$, $0 \le y \le L$ में, जहाँ $\tau_x = -\tau_0 \cos(\pi y/L)$ और $\delta_S = r/\beta \ll X$ हो, तो स्टोमेल धारा-फलन $\delta_S/X$ में प्रमुख कोटि तक यह है,

$$\psi = A\sin\frac{\pi y}{L}\Big[(X - x) - X\mathrm e^{-x/\delta_S}\Big], \qquad A = \frac{\pi\tau_0}{\rho\beta L} .$$

आंतरिक भाग $AX\sin(\pi y/L)$ दक्षिण की ओर ले जाता है; चौड़ाई $\delta_S$ की एक सीमा-परत पश्चिमी भित्ति के विरुद्ध उसे उत्तर की ओर लौटाती है; पूर्वी भित्ति के विरुद्ध कोई सीमा-परत नहीं बन सकती।

यही परिणाम भ्रमिलता से भी प्राप्त होता है। आंतरिक भाग के ऊपर पवन हर स्तंभ को ऋणात्मक भ्रमिलता देती है, और स्तंभ दक्षिण की ओर सरककर छोटे $f$ की ओर जाकर उसकी भरपाई करता है। लौटते समय उत्तर की ओर वह ग्रहीय भ्रमिलता प्राप्त करता है, और उसे खोना पड़ता है, जो केवल घर्षण ही कर सकता है। उत्तर-दिशा की धारा में, जिसकी चाल पश्चिमी भित्ति के निकट से पूर्व की ओर घटती है, $\partial v/\partial x < 0$ उसकी अधिकांश चौड़ाई पर है: धारा की भ्रमिलता ऋणात्मक है, और घर्षण, उसके विरुद्ध कार्य करते हुए, वह स्तंभों को आवश्यक धनात्मक भ्रमिलता देता है। पूर्वी भित्ति के विरुद्ध उत्तर-दिशा की धारा की भ्रमिलता धनात्मक होती, और घर्षण गलत चिह्न को हटा देता।

$r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ पर $35{}^{\circ}$ N, $\delta_S = 53\,\mathrm{km}$ के साथ, और उत्तर-दिशा प्रवाह भित्ति से पहले $250\,\mathrm{km}$ घेरता है। वर्ष 1950 में डब्ल्यू. एच. मंक ने तल घर्षण के स्थान पर एक पार्श्विक भंवर श्यानता $A_H$ रखी, जो धारा के भीतर अपरूपण पर कार्य करती है; समीकरण में एक पद $A_H\nabla^4\psi$ जुड़ जाता है, और पश्चिमी भित्ति के निकट संशोधन $\mathrm e^{-x/2\delta_M}$ गुणा एक दोलन हो जाता है, $\cos(\sqrt3x/2\delta_M)$ और $\sin(\sqrt3x/2\delta_M)$। $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ पर उत्तर-दिशा धारा लगभग $225\,\mathrm{km}$ चौड़ी है (चित्र के बेसिन में $233\,\mathrm{km}$), उसके परे एक दुर्बल प्रति-धारा के साथ, एक ऐसा आकार जो खाड़ी धारा और कुरोशियो के निकट है। स्टोमेल की परत की भाँति, धारा का परिवहन घर्षण पर नहीं, बल्कि केवल पवन-प्रतिबल की कर्ल, बेसिन की चौड़ाई और $\beta$ पर निर्भर करता है। अपने समय की पवनों से मंक ने खाड़ी धारा के लिए $36\,\mathrm{Sv}$ और कुरोशियो के लिए $39\,\mathrm{Sv}$ परिकलित किए, जो उस समय मापे गए परिवहन के लगभग आधे थे; एक बेहतर खिंचाव गुणांक और प्रतिबल के सूक्ष्म माध्यों के साथ, $32\,\mathrm{Sv}$ पाया गया खाड़ी धारा के लिए वर्ष 1978 में। मुख्यतः पनडुब्बी केबल से मापी गई फ़्लोरिडा जलडमरूमध्य की खाड़ी धारा $31.7\,\mathrm{Sv}$ वहन करती आई है, औसतन वर्ष 2004 से। धारा के नीचे की ओर वह लगभग $150\,\mathrm{Sv}$ तक बढ़ जाती है, $40{}^{\circ}$ N के निकट, और केप हैटरस के खुले सागर में एक प्रबल पुनःपरिसंचरण, जिसे रैखिक सिद्धांत समाहित नहीं करता, इस समझौते को बिगाड़ देता है।

21.4 गहन परिसंचरण

गहन महासागर कुछ ही स्थानों से भरता है। पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में, गहरा जल वहाँ बनता है जहाँ सतही जल सुदूर उत्तरी अटलांटिक और अंटार्कटिका के चारों ओर ठंडा होकर सघन होता है, और वह बेसिनों में उत्तरी अटलांटिक गहन जल के रूप में फैलता है, तथा अंटार्कटिक तल जल के रूप में। 1958 और 1960 के बीच एच. स्टोमेल, A. B. एरॉन्स और A. J. फ़ॉलर ने पूछा कि यह कैसे फैलता है, और इसके लिए स्वेर्द्रुप के समान भ्रमिलता तर्क का प्रयोग किया।

परिभाषा 21.7 (स्टोमेल–एरॉन्स मॉडल)

गहन परिसंचरण का स्टोमेल–एरॉन्स मॉडल मानता है कि गहरा जल कुछ थोड़े-से उच्च-अक्षांश स्रोतों पर संवहन से आपूर्त होता है, कि वह ऊपरी महासागर में एक धीमे, एकसमान उत्स्रवण $W_0$ द्वारा ताप-प्रवणता परत के आधार से होकर लौटता है, जो ऊष्मा के नीचे की ओर मिश्रण से संतुलित होता है, और कि आंतरिक प्रवाह भू-विक्षेपी है और विभव भ्रमिलता का संरक्षण करता है। परिसंचरण गहरी पश्चिमी सीमा धाराओं से बंद होता है।

प्रतिज्ञप्ति 21.8 (गहन आंतरिक भाग का ध्रुव-अभिमुख प्रवाह)

स्टोमेल–एरॉन्स मॉडल में, समतल तल पर, गहराई-समाकलित गहन आंतरिक भाग का उत्तर-दिशा परिवहन होता है

$$V = \frac{f}{\beta}W_0 = a\tan\varphi\,W_0 ,$$

दोनों गोलार्धों में ध्रुव की ओर, जब $W_0 > 0$।

परिणाम सहज बोध के विपरीत है: गहन आंतरिक भाग स्रोतों की ओर बहता है, न कि उनसे दूर। स्टोमेल और एरॉन्स ने स्वयं को आश्वस्त करने के लिए घूर्णनशील-टंकी प्रयोग बनाए। स्रोतों का जल चलता है पश्चिमी भित्तियों के साथ, गहरी पश्चिमी सीमा धाराओं में, जो आंतरिक भाग को पोषित करती हैं आगे बढ़ते हुए। भूमध्य रेखा और ध्रुव के बीच के महासागर-खंड में, जब पूरा स्रोत $S_0$ ध्रुव के निकट हो, तब पश्चिमी सीमा धारा $2S_0\sin\varphi$ भूमध्य रेखा की ओर वहन करती है, ध्रुव पर स्रोत का दोगुना और भूमध्य रेखा पर कुछ नहीं: $S_0$ से ऊपर का अधिशेष आंतरिक भाग से पुनःपरिसंचरित जल है। यह मॉडल गहन परिसंचरण को मिश्रण से चालित बनाता है, डूबने से नहीं: उत्स्रवण के बिना संवहन केवल गहन भाग को ठंडे जल के स्थिर कुंड से भर देता। इसके पारगमन-काल स्रोतों के निकट कुछ सदियों से लेकर उत्तरी प्रशांत महासागर में लगभग एक हज़ार वर्ष तक के हैं। वास्तविक महासागर-तल पर कटक बेसिनों को विभाजित करते हैं, खुरदरी स्थलाकृति पर मिश्रण प्रबल होता है, और गहन प्रवाह मॉडल की तुलना में कहीं अधिक पूर्व-पश्चिम दिशा में होता है। इसकी स्थायी भविष्यवाणी गहरी पश्चिमी सीमा धारा है: उत्तरी अटलांटिक में वह लगभग $14\,\mathrm{Sv}$ जल $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर दक्षिण की ओर लौटता है, जबकि खाड़ी धारा उष्ण जल को उत्तर की ओर ले जाती है।

मॉडल का आंतरिक भाग, स्वेर्द्रुप के मॉडल की तरह, भू-विक्षेपी है, और गहन सागर की भू-विक्षेपी धाराएँ उसी ढंग से मापी जाती हैं, जिस ढंग से स्वेर्द्रुप ने अपनी मापी थीं: घनत्व से।

परिभाषा 21.9 (गतिक विधि)

गतिक विधि दो जल-सर्वेक्षण केंद्रों के बीच की भू-विक्षेपी धारा की गणना दोनों पर मापे गए घनत्व से करती है, संदर्भ दाब-स्तर के सापेक्ष, जहाँ धारा शून्य या ज्ञात मानी जाती है। दो दाब-पृष्ठों के बीच की भू-विभव दूरी, $\int\alpha\,\mathrm dp$, जहाँ $\alpha = 1/\rho$ विशिष्ट आयतन है, दो भागों में बाँटी जाती है: एक मानक भाग, जो दोनों केंद्रों पर समान है, और भू-विभव विसंगति $\Delta\Phi$; ऊपरी पृष्ठ पर धारा, केंद्रों $A$ और $B$ के बीच की रेखा के लंबवत्, जिनके बीच की दूरी $L$ है, यह होती है:

$$v = \frac{\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A}{fL} .$$

मौसम-विज्ञानी जैसे करते हैं, वैसे दाब को सीधे क्यों नहीं मापा जाता? एक भू-विक्षेपी धारा $10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ की, $30{}^{\circ}$ पर, $7.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$ दाब-प्रवणता चाहिए, यानी $750\,\mathrm{Pa}$ का दाब-अंतर, $100\,\mathrm{km}$ की दूरी पर, जो $7.4\,\mathrm{cm}$ समुद्री जल के भार के बराबर है। समुद्र-तल पर कोई दाब-मापी इतनी बारीकी से अंशांकित नहीं की जा सकती। घनत्व, जिसे कुछ दस-लाखवें भागों तक परिकलित किया जाता है, इसके बजाय एक दाब-पृष्ठ की दूसरे के सापेक्ष ढलान देता है। हल्का, गर्म जल धारा की दाहिनी ओर होता है, बहाव की ओर देखने पर, उत्तरी गोलार्ध में। खाड़ी धारा के आर-पार स्थिर घनत्व के पृष्ठ $100\,\mathrm{km}$ में एक किलोमीटर से अधिक गहराई बदलते हैं।

विधि 21.10 (दो केंद्रों से भू-विक्षेपी धारा)

1. हर केंद्र पर विशिष्ट-आयतन विसंगति $\delta = \alpha(S, T, p) - \alpha(35, 0, p)$ मापी गई लवणता, तापमान और दाब से परिकलित कीजिए।
2. इसे संदर्भ दाब से प्रत्येक दाब $p$ तक समाकलित कीजिए: $\Delta\Phi(p) = \int_p^{p_{\text{संदर्भ}}}\delta\,\mathrm dp$।
3. प्रत्येक दाब पर $v(p) = (\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A)/(fL)$ संदर्भ स्तर के सापेक्ष धारा है, जो धनात्मक होती है जब केंद्र $B$ दाहिनी ओर हो।
4. संदर्भ स्तर पर धारा ज्ञात हो, तो उसे जोड़िए, जो वहाँ बहते एक फ़्लोट से या उपग्रह द्वारा मापी गई समुद्र-पृष्ठ की ढलान से मिली हो।

क्षेत्र-कार्य — फ़्लोटों का जाल

आँकड़े: वर्ष 2024

लगभग चार हज़ार आर्गो फ़्लोट विश्व महासागर में बहते हैं। जहाज़ के किनारे से उतारे जाने पर एक फ़्लोट लगभग $1000\,\mathrm{m}$ तक डूबता है और वहाँ लगभग नौ दिन बहता है; फिर वह $2000\,\mathrm{m}$ तक डूबता है और सतह पर उठता है, रास्ते में चालकता, तापमान और दाब मापते हुए, और चक्र लगभग हर दस दिन में फिर शुरू होता है; गहरे आर्गो फ़्लोट $6000\,\mathrm{m}$ तक प्रोफ़ाइल मापते हैं। जुलाई 2024 में इस जाल ने अपनी तीस लाखवीं प्रोफ़ाइल एकत्र की। इन प्रोफ़ाइलों से समुद्रविज्ञानी हर फ़्लोट पर गतिक विधि की भू-विभव विसंगतियाँ परिकलित करते हैं, और दो बार सतह पर आने के बीच फ़्लोट का अपना विस्थापन ठहराव-गहराई पर माध्य धारा देता है: वह संदर्भ वेग जिसे स्वेर्द्रुप को मानना पड़ा था, अब मापा जाता है।

21.5 महासागरीय ज्वार

दिन में दो बार, और हर दिन लगभग एक घंटे से कुछ कम देर बाद, समुद्र उठता और गिरता है। भौतिकी की पुस्तकें ज्वारीय बल समझाती हैं: चंद्रमा का आकर्षण पृथ्वी के निकटवर्ती पक्ष पर उसके केंद्र की तुलना में अधिक, और दूरवर्ती पक्ष पर कम होता है, इसलिए केंद्र के सापेक्ष जल दोनों ओर चंद्रमा की ओर की रेखा के अनुदिश बाहर खींचा जाता है।

परिभाषा 21.11 (साम्य ज्वार; ज्वारीय घटक)

साम्य ज्वार वह आकार है जो पूरी पृथ्वी को ढकने वाले महासागर की सतह ले लेती, यदि वह ज्वार-जनक विभव का तत्काल अनुसरण करती, बिना जड़त्व के। ज्वारीय घटक आवर्ती पदों में से एक है, जिनमें से प्रत्येक की चंद्रमा और सूर्य की गतियों से तय एक नियत आवृत्ति होती है, और हर स्थान पर पाए जाने वाले आयाम और कला होते हैं, जिनका योग ज्वार बनाता है; इन्हें एक अक्षर और प्रति दिन चक्रों की संख्या से नामित किया जाता है, जैसे M$_2$, मुख्य चंद्र अर्ध-दैनिक घटक।

प्रमेय 21.12 (चंद्रमा का साम्य ज्वार)

चंद्रमा के लिए, जिसका द्रव्यमान $M$ है और जो पृथ्वी के केंद्र से $d$ दूरी पर है, जिसका द्रव्यमान $M_E$ और त्रिज्या $a$ है, चंद्रमा के नीचे के बिंदु से कोण $\theta$ दूर स्थित किसी बिंदु पर साम्य ज्वार इस प्रकार है।

$$\eta = K\,\frac{3\cos^2\theta - 1}{2},\qquad K = \frac{M}{M_E}\Big(\frac{a}{d}\Big)^3 a .$$

द्रव्यमान-अनुपात $0.0123$ के साथ, $d = 384\,400\,\mathrm{km}$ और $a = 6371\,\mathrm{km}$, $K = 0.357\,\mathrm{m}$ पर समुद्र चंद्रमा के नीचे और उसके ठीक विपरीत ओर $0.36\,\mathrm{m}$ ऊँचा रहता है, और दोनों के बीच वाले वृहत् वृत्त पर $0.18\,\mathrm{m}$ नीचा, यानी कुल परास $0.54\,\mathrm{m}$ है। अक्षांश $\varphi$ पर, जब चंद्रमा क्रांति $\delta$ पर और घंटा कोण $H$ पर हो, तब $\cos\theta = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H$ होता है। पृथ्वी के दोनों उभारों के नीचे घूमने पर कोई स्थान एक चंद्र दिवस, यानी $24\,\mathrm{h}$ $50\,\mathrm{min}$ में दो उच्च जल से होकर गुजरता है: यह अर्ध-दैनिक ज्वार है। जब चंद्रमा भूमध्य रेखा के उत्तर या दक्षिण में होता है, तो दोनों उभार झुक जाते हैं, और एक दिन के दो उच्च जल असमान होते हैं, जैसा नीचे का चित्र दिखाता है। सूर्य भी उसी रूप का ज्वार उठाता है, $0.46$ गुना बड़ा; अमावस्या और पूर्णिमा पर दोनों जुड़ जाते हैं, स्प्रिंग ज्वार पर; और चौथाई चंद्र पर आंशिक रूप से एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

साम्य ज्वार का हार्मोनिक विश्लेषण इसके घटक देता है। सबसे बड़े पाँच घटक, अपने साम्य आयामों सहित, नीचे की सारणी में दिए गए हैं। कम से कम 39 घटक चाहिए, ताकि किसी बंदरगाह के ज्वार का अनुमान उसके सबसे बड़े पद के हज़ारवें भाग तक सटीक हो सके; और सभी घटकों को अलग करने के लिए किसी गेज को 18.6 वर्ष से अधिक चलाना होगा, जो चंद्र ज्वारों के मॉड्यूलेशन की अवधि है।

वास्तविक ज्वार साम्य ज्वार नहीं है। चंद्रमा के नीचे उभार को भूमध्य रेखा पर बनाए रखने के लिए ज्वार को एक चंद्र दिवस में पृथ्वी के चारों ओर यात्रा करनी होगी, लगभग $460\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की गति से, जिस गति तक एक लंबी गुरुत्व तरंग केवल $22\,\mathrm{km}$ गहरे महासागर में ही पहुँचती है; और महाद्वीप उसे रोक देते हैं। इसके बजाय ज्वार एक बलपूर्वक प्रेरित लंबी तरंग है, जो प्रत्येक द्रोणी में अनुनाद के निकट हिलोरें लेती है, और पृथ्वी का घूर्णन इसे द्रोणी के चारों ओर घूमने पर विवश करता है।

परिभाषा 21.13 (केल्विन तरंग)

एक महासागरीय केल्विन तरंग एक लंबी गुरुत्व तरंग है जो तट के साथ, या भूमध्य रेखा के साथ चलती है, जिसमें उसके आर-पार कोई वेग नहीं होता, और तट से दूर जाते हुए उसकी ऊँचाई रॉस्बी त्रिज्या पर घातांकीय रूप से घटती है। तट के साथ चलते समय, उत्तरी गोलार्ध में तट इसके दाईं ओर और दक्षिणी गोलार्ध में बाईं ओर रहता है।

प्रमेय 21.14 (तटीय केल्विन तरंग)

एक समान गहराई $H$ वाले महासागर में, जो $f$-समतल पर है और जहाँ $f > 0$ है, एक सीधे तट से घिरा है जो $y = 0$ के अनुदिश है और $y > 0$ में स्थित है, रैखिक उथले-जल समीकरणों के ऐसे हल होते हैं जिनमें $v = 0$ है

$$\eta = \mathrm e^{-y/L_R}F(x - ct),\qquad u = \frac{g}{c}\,\eta,\qquad c = \sqrt{gH},\quad L_R = \frac{c}{f},$$

किसी भी प्रोफ़ाइल $F$ के लिए, और ऐसा कोई हल नहीं है जिसमें $v = 0$ हो और जो $-x$ की दिशा में चलता हो।

गहन महासागर में, जिसकी गहराई $4000\,\mathrm{m}$ है, $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और मध्य अक्षांशों पर रॉस्बी त्रिज्या लगभग $2000\,\mathrm{km}$ है: ज्वार पूरी द्रोणी के चारों ओर घूम जाता है। मग्नतट सागर में, जिसकी गहराई $50\,\mathrm{m}$ है, $c = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ है, रॉस्बी त्रिज्या $200\,\mathrm{km}$ से कम है, और M$_2$ तरंगदैर्घ्य लगभग $1000\,\mathrm{km}$ है। एक खाड़ी में, एक तट के साथ केल्विन तरंग के रूप में प्रवेश करने वाला ज्वार सामने के तट के अनुदिश लौटता है, और वहाँ भी तट इसकी दाईं ओर रहता है; दोनों तरंगें बीच के बिंदुओं पर एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं।

परिभाषा 21.15 (एम्फ़िड्रोमिक बिंदु; सह-ज्वार रेखा; सह-परास रेखा)

एक एम्फ़िड्रोमिक बिंदु वह बिंदु है जहाँ किसी ज्वारीय घटक का आयाम शून्य होता है और जिसके चारों ओर उसका उच्च जल घूमता है। सह-ज्वार रेखा वे स्थान जोड़ती है जहाँ किसी घटक का उच्च जल एक ही समय पर आता है; एक सह-परास रेखा समान ज्वारीय परास वाले स्थानों को जोड़ती है। सह-ज्वार रेखाएँ एम्फ़िड्रोमिक बिंदुओं से निकलती हैं; सह-परास रेखाएँ उनके चारों ओर वृत्त बनाती हैं।

उपग्रह ऊँचाई-मापन से बने महासागरीय ज्वार के मानचित्र, जो गहरे समुद्र में लगभग $2\,\mathrm{cm}$ तक सटीक हैं, हर जगह यह संरचना दिखाते हैं: M$_2$ शिखा उत्तरी गोलार्ध की द्रोणियों के एम्फ़िड्रोमिक बिंदुओं के चारों ओर वामावर्त घूमती है और दक्षिणी गोलार्ध में दक्षिणावर्त, और सबसे बड़े परास तटों पर होते हैं। ज्वार $3.75\,\mathrm{TW}$ ऊर्जा का क्षय करते हैं, जिनमें से $3.5\,\mathrm{TW}$ महासागर में होता है, जिसमें M$_2$ ऊर्जा का लगभग दो-तिहाई भाग मग्नतटों और उथले सागरों पर और एक-तिहाई आंतरिक तरंगों से गहन महासागर में खप जाता है। यह ऊर्जा दिन को लगभग $2.07\,\mathrm{ms}$ प्रति शताब्दी बढ़ाती है, और चंद्रमा को प्रति वर्ष $3.86\,\mathrm{cm}$ दूर धकेलती है; और गहन महासागर में क्षय हुआ भाग महासागर को मिश्रित करता है, उस मिश्रण का कुछ भाग देता है जो स्टोमेल–एरॉन्स चित्र में गहन परिसंचरण को चलाता है।

21.6 अभ्यास

अभ्यास 21.1 ★

$40{}^{\circ}$ N पर समुद्र पर $0.12\,\mathrm{Pa}$ का पछुआ पवन प्रतिबल लगता है ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$)। प्रति मीटर चौड़ाई एकमन आयतन परिवहन, और उसकी दिशा, तथा $1000\,\mathrm{km}$ लंबे खंड के आर-पार परिवहन, स्वेर्द्रुप में, परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.1.

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\tau/(\rho f) = 0.12/(1025\times9.37 \times 10^{-5}) = 1.25\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, पवन की दाईं ओर, दक्षिण की ओर $1000\,\mathrm{km}$ के पार, $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $1.25\,\mathrm{Sv}$।

अभ्यास 21.2 ★

$A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ लेकर $45{}^{\circ}$ N पर एकमन गहराई परिकलित कीजिए। इस गहराई पर सतही धारा का कितना भाग शेष रहता है?

हल

हल — अभ्यास 21.2.

$f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/1.031 \times 10^{-4}} = 98\,\mathrm{m}$। वहाँ की धारा सतही धारा की $\mathrm e^{-\pi} = 0.043$ गुनी होती है, और विपरीत दिशा में बहती है।

अभ्यास 21.3 ★

$30{}^{\circ}$ N पर पवन प्रतिबल का कर्ल $-1 \times 10^{-7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$ है, जो एक $5000\,\mathrm{km}$ चौड़ी द्रोणी के आर-पार है ($a = 6371\,\mathrm{km}$)। $\beta$, प्रति इकाई चौड़ाई स्वेर्द्रुप परिवहन, और कुल परिवहन, उसकी दिशा सहित, परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.3.

$\beta = 2\Omega\cos30{}^{\circ}/a = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $V = -1 \times 10^{-7}/(1025\times1.98 \times 10^{-11}) = -4.92\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $5000\,\mathrm{km}$ के पार $-24.6\,\mathrm{Sv}$: दक्षिण की ओर।

अभ्यास 21.4 ★

M$_2$ और S$_2$ के आवर्तकालों से, वसंत ज्वार और लघु ज्वार के चक्र का आवर्तकाल परिकलित कीजिए, अर्थात दोनों घटकों के दो संरेखणों के बीच का समय।

हल

हल — अभ्यास 21.4.

दोनों ज्वारीय घटक $1/(1/12 - 1/12.4206) = 354\,\mathrm{h}$ के बाद फिर से समान कला में आ जाते हैं: $14.77$ दिन, अर्थात् एक सिनोडिक मास का आधा।

अभ्यास 21.5 ★★

पछुआ पवन प्रतिबल $35{}^{\circ}$ N पर शून्य से रैखिक रूप से बढ़कर $45{}^{\circ}$ N पर $0.1\,\mathrm{Pa}$ हो जाता है, जो उससे $1110\,\mathrm{km}$ और उत्तर में है। $40{}^{\circ}$ N पर एकमन पंपन परिकलित कीजिए, प्रतिज्ञप्ति 21.3 के दोनों पद रखते हुए, मीटर प्रति वर्ष में। क्या पानी ऊपर की ओर धकेला जाता है या नीचे की ओर?

हल

हल — अभ्यास 21.5.

$40{}^{\circ}$ N पर, $f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\beta = 1.75 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_x = 0.05\,\mathrm{Pa}$ और $\partial\tau_x/\partial y = 0.1/1.11 \times 10^{6} = 9.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$ मिलता है। पहला पद, $-9.0 \times 10^{-8}/(1025\times9.37 \times 10^{-5}) = -9.38 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; दूसरा पद, $0.05\times1.75 \times 10^{-11}/(1025\times (9.37 \times 10^{-5})^2) = +9.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. $w_E = -8.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-26.5\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: पानी नीचे की ओर धकेला जाता है।

अभ्यास 21.6 ★★

स्टोमेल वलय में, जहाँ $r = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $\beta = 2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ है। चौड़ाई $\delta_S$ परिकलित कीजिए। यदि सीमा-धारा ऊपरी $800\,\mathrm{m}$ में $30\,\mathrm{Sv}$ वहन करती है, तो $\delta_S$ चौड़ाई के भीतर उसकी माध्य चाल क्या है?

हल

हल — अभ्यास 21.6.

$\delta_S = 2 \times 10^{-6}/2 \times 10^{-11} = 100\,\mathrm{km}$; गति $= 30 \times 10^{6}/(1 \times 10^{5}\times800) = 0.375\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$।

अभ्यास 21.7 ★★

मंक चौड़ाई $\delta_M$ और उत्तरवाही जेट की चौड़ाई परिकलित कीजिए, $(2\pi/\sqrt3)\,\delta_M$, $30{}^{\circ}$ N पर, $A_H = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ के लिए। चौड़ाई कैसे बदलती है, यदि $A_H$ आठ गुना छोटा हो?

हल

हल — अभ्यास 21.7.

$\beta = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\delta_M = (10^4/1.98 \times 10^{-11})^{1/3} = 79.6\,\mathrm{km}$, और जेट की चौड़ाई $3.628\,\delta_M = 289\,\mathrm{km}$ है। $A_H$ के आठ गुना कम होने पर दोनों आधे हो जाते हैं, क्योंकि $8^{1/3} = 2$।

अभ्यास 21.8 ★★

दो केंद्र, जो एक-दूसरे से $80\,\mathrm{km}$ दूर हैं, पश्चिम ($A$) से पूर्व ($B$) की ओर जाती रेखा पर $36{}^{\circ}$ N पर स्थित हैं। $1000\,\mathrm{dbar}$ सतह के सापेक्ष, समुद्र-तल की भू-विभव विसंगति $A$ पर $14.5\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ और $B$ पर $21.3\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ है। $1000\,\mathrm{dbar}$ के सापेक्ष सतही धारा और उसकी दिशा परिकलित कीजिए। कौन-से केंद्र में अधिक गर्म जल-स्तंभ है?

हल

हल — अभ्यास 21.8.

$f = 8.57 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $v = (21.3 - 14.5)/(8.57 \times 10^{-5}\times8 \times 10^{4}) = 0.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $B$ दाईं ओर होने से धनात्मक, $A$ से $B$ की ओर देखने पर पूर्व की ओर, धारा उत्तर की ओर जाती है। समुद्र की सतह $6.8/9.81 = 0.69\,\mathrm{m}$ ऊँची रहती है, $B$ पर; $B$ पर जल-स्तंभ हल्का और गर्म है, जो धारा की दाईं ओर है।

अभ्यास 21.9 ★★

चंद्रमा के साम्य ज्वार के लिए $K = 0.357\,\mathrm{m}$ और सौर और चंद्र ज्वार का अनुपात $0.46$ है। साम्य परास (पिंडों के नीचे उच्च जल घटा $90{}^{\circ}$ पर निम्न जल) वसंत और लघु ज्वार पर, तथा उनका अनुपात परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.9.

वसंत-ज्वार परास $1.5K(1 + 0.46) = 0.78\,\mathrm{m}$; लघु-ज्वार परास $1.5K(1 - 0.46) = 0.29\,\mathrm{m}$; अनुपात $1.46/0.54 = 2.7$।

अभ्यास 21.10 ★★★

भूमध्यरेखीय $\beta$-समतल पर, $f = \beta_0y$ जहाँ $\beta_0 = 2\Omega/a$ है। दर्शाइए कि $\eta = G(y)F(x - ct)$, $v = 0$ वाली केल्विन तरंग $G = \exp(-\beta_0y^2/2c)$ हो जाती है, जो भूमध्य रेखा के दोनों ओर बंधित है, और पूर्व की ओर चलती है। इसका बंधन-पैमाना $\sqrt{c/\beta_0}$ परिकलित कीजिए, $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ चाल वाली तरंग के लिए।

हल

हल — अभ्यास 21.10.

प्रमेय 21.14 के अनुसार, $u = \pm(g/c)\eta$ के लिए $F(x \mp ct)$, और $fu = -g\,\partial\eta/\partial y$ हो जाता है $\beta_0y(\pm g/c)G = -gG'$, अतः $G = \exp(\mp\beta_0y^2/2c)$। केवल ऊपरी चिह्न, यानी पूर्व की ओर जाने वाली तरंग भूमध्य रेखा के दोनों ओर सीमित रहती है। $\beta_0 = 2.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\sqrt{2.5/2.29 \times 10^{-11}} = 330\,\mathrm{km}$।

अभ्यास 21.11 ★★★

(क) गहन महासागर के अंतर्भाग के लिए $V = a\tan\varphi\,W_0$ व्युत्पन्न कीजिए, $\beta v = f\,\partial w/\partial z$ से। (ख) $W_0 = 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ लेकर $V$ का मान $30{}^{\circ}$ N पर, और बेसिन के आर-पार कुल ध्रुवाभिमुख परिवहन परिकलित कीजिए, जिसकी चौड़ाई $5000\,\mathrm{km}$ है। (ग) पानी कहाँ से आना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 21.11.

(क) तल से $\beta v = f\,\partial w/\partial z$ का समाकलन, जहाँ $w = 0$ है, गहन परत के ऊपरी सिरे तक, जहाँ $w = W_0$ है: $\beta V = fW_0$, और $f/\beta = a\tan\varphi$। (ख) $V = 6.371 \times 10^{6}\times0.577\times10^{-7} = 0.368\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $5000\,\mathrm{km}$ के पार $1.84\,\mathrm{Sv}$, ध्रुव की ओर। (ग) यह उच्च-अक्षांश स्रोतों द्वारा पोषित गहन पश्चिमी सीमा धारा से आता है; आंतरिक भाग स्रोतों की ओर बहता है, और सीमा धारा उनसे दूर की ओर बहती है।

अभ्यास 21.12 ★★★

भू-विक्षेपी धारा $W_g = u_g + \mathrm iv_g$ एक समतल समुद्र-तल पर $z = 0$ पर बहती है, जहाँ भँवर श्यानता $A_z$ है और तल पर फिसलन शून्य है। (क) दर्शाइए कि $W = W_g(1 - \mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta})$, $\delta = \sqrt{2A_z/f}$। (ख) दर्शाइए कि इस तली एकमन परत की परिवहन-न्यूनता ऊर्ध्वाधर वेग $w = \tfrac12\delta\zeta_g$ को अंतर्भाग में पंप करती है, $\zeta_g$ भू-विक्षेपी धारा की भ्रमिलता है। (ग) $A_z = 0.01\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $4000\,\mathrm{m}$ गहरे महासागर के लिए $\delta$, स्पिन-डाउन दर $r = f\delta/2H$ और उसका व्युत्क्रम दिनों में परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.12.

(क) तल से ऊपर की ओर $z$ मापने पर, $A_zW'' = \mathrm if(W - W_g)$, दाब-प्रवणता वही है जो ऊपर के भू-विक्षेपी प्रवाह की है। $W - W_g = C\mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta}$ ऊपर की ओर सीमित है, और $W(0) = 0$ से $C = -W_g$ प्राप्त होता है। (ख) परिवहन त्रुटि $\int_0^\infty(W - W_g)\,\mathrm dz = -W_g\delta/(1+\mathrm i) = -\tfrac12\delta(1 - \mathrm i)W_g$, अर्थात् $-\tfrac12\delta(u_g + v_g,\ v_g - u_g)$। भू-विक्षेपी प्रवाह अपसारी-रहित होने से, $w = -\nabla\cdot(\text{त्रुटि}) = \tfrac12\delta(\partial_x v_g - \partial_y u_g) = \tfrac12\delta\zeta_g$। (ग) $\delta = \sqrt{0.02/10^{-4}} = 14.1\,\mathrm{m}$; $r = 10^{-4}\times14.1/8000 = 1.77 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-1}$, अर्थात् $65$ दिन का स्पिन-डाउन समय।

21.7 समस्या: अम्मार सागर में एक वलय

समस्या 21.1

सप्ताहांत समस्या — एकमन पंपन, स्वेर्द्रुप परिवहन, पश्चिमी सीमा धारा और एक काल्पनिक महासागर का ज्वार

अम्मार सागर एक काल्पनिक महासागरीय बेसिन है, एक आयत जो $20{}^{\circ}$ से $50{}^{\circ}$ N तक फैला है, $6000\,\mathrm{km}$ चौड़ा और $4000\,\mathrm{m}$ गहरा। पवन प्रतिबल पूर्व-पश्चिम दिशा का है: $\tau_x = -\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$, जहाँ $\tau_0 = 0.1\,\mathrm{Pa}$। लीजिए $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, और जहाँ $\beta$-समतल माँगा गया हो, वहाँ $35{}^{\circ}$ N पर उसका मान।

भाग I — एकमन परत।

1. $20{}^{\circ}$, $35{}^{\circ}$ और $50{}^{\circ}$ N पर पवन प्रतिबल परिकलित कीजिए।
2. उन्हीं अक्षांशों पर $f$ परिकलित कीजिए।
3. $20{}^{\circ}$ पर प्रति इकाई चौड़ाई एकमन आयतन परिवहन और $50{}^{\circ}$ N पर भी, उसकी दिशा सहित परिकलित कीजिए। क्या परिवहन बेसिन में अभिसरित होते हैं या अपसरित?
4. $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ लेकर $35{}^{\circ}$ N पर एकमन गहराई परिकलित कीजिए।
5. $35{}^{\circ}$ N पर एकमन पंपन परिकलित कीजिए, मीटर प्रति सेकंड और प्रति वर्ष में।
6. यह पंपन सतही जल को $500\,\mathrm{m}$ नीचे धकेलने में कितने वर्ष लगेंगे?

भाग II — स्वेर्द्रुप अंतर्भाग।

7. बेसिन की दक्षिण से उत्तर तक लंबाई $L$ और $\beta$ $35{}^{\circ}$ N पर परिकलित कीजिए।
8. $35{}^{\circ}$ N पर पवन प्रतिबल का कर्ल परिकलित कीजिए।
9. $35{}^{\circ}$ N पर प्रति इकाई चौड़ाई स्वेर्द्रुप परिवहन, उसकी दिशा सहित परिकलित कीजिए।
10. $35{}^{\circ}$ N पर बेसिन के आर-पार अंतर्भाग का कुल परिवहन स्वेर्द्रुप में परिकलित कीजिए।
11. यदि यह प्रवाह ऊपरी $1000\,\mathrm{m}$ में फैला हो, तो उसकी माध्य चाल क्या है, और एक कण को $1000\,\mathrm{km}$ दक्षिण की ओर जाने में कितने वर्ष लगते हैं?
12. दर्शाइए कि $35{}^{\circ}$ N पर $fw_E/\beta$ वही परिवहन देता है, और समझाइए कि यह क्यों होता है, एक स्तंभ की विभव भ्रमिलता के आधार पर।

भाग III — पश्चिमी सीमा धारा।

13. समझाइए कि वापसी प्रवाह बेसिन की पूर्वी भुजा के साथ क्यों नहीं चल सकता।
14. $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ तली घर्षण लेकर स्टोमेल चौड़ाई $\delta_S$ परिकलित कीजिए।
15. पश्चिमी दीवार पर प्रति इकाई चौड़ाई उत्तरवाही परिवहन परिकलित कीजिए, $A(X/\delta_S - 1)$, और यदि यह ऊपरी $1000\,\mathrm{m}$ को भरे, तो माध्य चाल भी परिकलित कीजिए।
16. दीवार से कितनी दूरी पर उत्तरवाही प्रवाह समाप्त होता है?
17. स्टोमेल सीमा-परत का उत्तरवाही परिवहन परिकलित कीजिए, और समझाइए कि यह अंतर्भाग परिवहन से लगभग $1.5\,\mathrm{Sv}$ कम क्यों है।
18. $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ लेकर $\delta_M$ और मंक के उत्तरवाही जेट की चौड़ाई परिकलित कीजिए।
19. मंक का जेट अंतर्भाग परिवहन का $1 + \mathrm e^{-\pi/\sqrt3}$ गुना वहन करता है। इसे परिकलित कीजिए, और बताइए कि अतिरिक्त कहाँ जाता है।

भाग IV — अम्मार सागर का ज्वार।

20. बेसिन में केल्विन तरंग की चाल और रॉस्बी त्रिज्या $35{}^{\circ}$ N पर परिकलित कीजिए।
21. M$_2$ केल्विन तरंग का तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए।
22. एक केल्विन तरंग को बेसिन के तटों की एक परिक्रमा करने में कितना समय लगता है, और वह कितने M$_2$ आवर्तकालों के बराबर है?
23. साम्य ज्वार को चंद्रमा के नीचे बने रहने के लिए $35{}^{\circ}$ N वृत्त के चारों ओर किस चाल से चलना होगा, और महासागर की किस गहराई में एक लंबी तरंग इतनी तेज़ चलेगी?
24. बेसिन का एम्फ़िड्रोमिक बिंदु कहाँ होने की अपेक्षा है, और उसके चारों ओर उच्च जल किस दिशा में घूमता है?
25. $35{}^{\circ}$ N पर अर्ध-दैनिक साम्य आयाम परिकलित कीजिए, $\tfrac34 K\cos^2\varphi$ के लिए, जहाँ $K = 0.357\,\mathrm{m}$, और भूमध्य रेखा पर चंद्रमा के लिए।
26. अम्मार सागर के वलय को बंद करने वाली पश्चिमी सीमा धारा का परिवहन दीजिए।

हल

हल — समस्या 21.1.

1. $\tau_x = -0.1\,\mathrm{Pa}$ (पुरवा), 0 और $+0.1\,\mathrm{Pa}$ (पछुआ)।

2. $f = 4.99 \times 10^{-5}$, $8.37 \times 10^{-5}$ और $1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$।

3. $V_E = -\tau_x/(\rho f)$: $+1.96\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (उत्तर), $20{}^{\circ}$ N पर और $-0.87\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (दक्षिण), $50{}^{\circ}$ N पर। ये अभिसरित होते हैं।

4. $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/8.37 \times 10^{-5}} = 109\,\mathrm{m}$।

5. $\tau_x = 0$ $35{}^{\circ}$ N पर, अतः $w_E = -(1/\rho f)\, \partial\tau_x/\partial y = -\pi\tau_0/(\rho fL) = -1.10 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-34.7\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, नीचे की ओर।

6. $500/34.7 = 14.4\text{ वर्ष}$।

7. $L = a\times\pi/6 = 3336\,\mathrm{km}$; $\beta = 1.875 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$।

8. $\operatorname{curl}_z\vec\tau = -\pi\tau_0/L = -9.42 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$।

9. $V = -9.42 \times 10^{-8}/(1025\times1.875 \times 10^{-11}) = -4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, दक्षिण की ओर।

10. $4.90\times6 \times 10^{6} = 2.94 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $29.4\,\mathrm{Sv}$ दक्षिण की ओर।

11. $4.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $1000\,\mathrm{km}$ $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$ में, $6.5$ वर्ष।

12. $fw_E/\beta = 8.37 \times 10^{-5}\times(-1.10 \times 10^{-6})/ 1.875 \times 10^{-11} = -4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: वही, क्योंकि एकमन परिवहन वहाँ शून्य होता है जहाँ $\tau_x = 0$ है। $w_E$ की दर से दबा हुआ एक स्तंभ अपनी विभव भ्रमिलता $f/h$ केवल छोटे $f$ की ओर, यानी दक्षिण की ओर खिसककर बनाए रखता है, $\beta V_g = fw_E$ की दर से।

13. केवल वही सीमा-परत संभव है जिसमें आंतरिक क्षेत्र को किया गया सुधार दीवार से दूर की ओर क्षीण होता है; $\beta > 0$ के साथ यह $\mathrm e^{-x/\delta_S}$ है, जो पूर्व की ओर क्षीण होता है, और यह केवल पश्चिमी दीवार से ही होता है। भ्रमिलता के संदर्भ में, उत्तर की ओर बहती धारा में घर्षण पूर्वी दीवार के विरुद्ध धनात्मक भ्रमिलता हटा देता, जो गलत चिह्न होता।

14. $\delta_S = 10^{-6}/1.875 \times 10^{-11} = 53.3\,\mathrm{km}$।

15. $A = 4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $X/\delta_S = 112.5$: $4.90\times111.5 = 546\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ का प्रवाह $1000\,\mathrm{m}$ के आर-पार।

16. जहाँ $(X/\delta_S)\mathrm e^{-x/\delta_S} = 1$: $x = \delta_S\ln(X/\delta_S) = 252\,\mathrm{km}$।

17. $A(X - \delta_S - x_0) = 4.90\times(6000 - 53 - 252)\times 10^3 = 27.9\,\mathrm{Sv}$। आंतरिक प्रवाह अब भी दक्षिण की ओर बह रहा है, दीवार से सटी पट्टी में; कमी, $A(x_0 + \delta_S) = 1.5\,\mathrm{Sv}$, वह आंतरिक परिवहन है जो उसी पट्टी को पार कर गया होता।

18. $\delta_M = (5 \times 10^{3}/1.875 \times 10^{-11})^{1/3} = 64.4\,\mathrm{km}$; जेट $3.628\times64.4 = 233\,\mathrm{km}$।

19. $1.163\times29.4 - A\times233\,\mathrm{km} = 34.2 - 1.1 = 33.0\,\mathrm{Sv}$; अधिक भाग, जो आंतरिक परिवहन का $16\,\%$ है, जेट के ठीक पूर्व की प्रति-धारा में दक्षिण की ओर लौटता है।

20. $c = \sqrt{9.81\times4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 198/8.37 \times 10^{-5} = 2370\,\mathrm{km}$।

21. $198\times12.4206\times3600 = 8860\,\mathrm{km}$।

22. परिमाप $2(6000 + 3336) = 18\,670\,\mathrm{km}$, $26.2\,\mathrm{h}$, 2.1 M$_2$ आवर्त।

23. वृत्त $2\pi a\cos35{}^{\circ} = 32\,790\,\mathrm{km}$ है, जिसे एक चंद्र दिवस, $24.84\,\mathrm{h}$ में तय करना है: $367\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, जिसके लिए $c^2/g = 13.7\,\mathrm{km}$ जल-स्तंभ आवश्यक होता है।

24. जब रॉस्बी त्रिज्या बेसिन की चौड़ाई के तुल्य हो और M$_2$ तरंगदैर्घ्य उसकी लंबाई के तुल्य हो, तो लगभग एक एम्फ़िड्रोमिक बिंदु बनता है, जो बेसिन के केंद्र के समीप होता है; उच्च जल उसके चारों ओर वामावर्त घूमता है, तट को अपनी दाहिनी ओर रखते हुए।

25. $\tfrac34\times0.357\times\cos^235{}^{\circ} = 0.18\,\mathrm{m}$।

26. पश्चिमी सीमा धारा उत्तर की ओर लौटाती है $29\,\mathrm{Sv}$, जिसे आंतरिक क्षेत्र दक्षिण की ओर ले जाता है (गणना के अनुसार $29.4\,\mathrm{Sv}$)।