29आकाशगंगा और मंदाकिनियाँ

सौरमंडल में सूर्य से दूर के ग्रह धीरे चलते हैं: बुध उसकी परिक्रमा $47.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ की चाल से करता है, नेप्च्यून $5.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ की चाल से, जैसा केपलर का तीसरा नियम एक केंद्रीय द्रव्यमान से बँधे पिंडों से यही माँगता है। आकाशगंगा के तारे ऐसा व्यवहार नहीं करते। बीस हज़ार से अधिक लाल दानवों की गतियों से मापने पर उनकी वृत्तीय कक्षाओं की चाल केंद्र से $5\,\mathrm{kpc}$ पर $227\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, सूर्य पर $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, और $25\,\mathrm{kpc}$ पर, जहाँ शायद ही कोई तारे या गैस बचे हों, अब भी $198\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है। यदि दिखने वाला द्रव्यमान ही सब कुछ होता, तो बाहरी तारे कहीं अधिक धीमे होते। कुछ अदृश्य चीज़ उन्हें थामे रखती है। यह अध्याय हमारी आकाशगंगा का वर्णन करता है, उसके घूर्णन से उसका भार ज्ञात करता है, अन्य मंदाकिनियों को प्रकारों में छाँटता है, और उन विधियों की श्रृंखला पर चढ़ता है जिनसे उनकी दूरियाँ और ब्रह्मांड का विस्तार मापे जाते हैं।

पहले से ज्ञात

आकाशगंगा, डॉप्लर प्रभाव, केपलर के नियम, गोलीय कोश के आकर्षण पर न्यूटन का प्रमेय, अदीप्त द्रव्य, कृष्ण विवर और उनकी श्वार्ज़्शील्ड त्रिज्या, अधिनवतारा, श्वेत वामन, परमाणु हाइड्रोजन की 21-cm रेखा और हबल का नियम भौतिकी की पुस्तकों में हैं। वार्षिक लंबन, पारसेक, फ़्लक्स और दीप्ति, दृश्य और निरपेक्ष कांतियाँ, दूरी-मापांक, प्रकाशमितीय बैंड और वर्ण-सूचकांक पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में हैं, उसके दूरबीनों और प्रकाशमिति वाले अध्याय में। अंतरतारकीय माध्यम और उसकी धूल पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) में हैं, उसके अंतरतारकीय माध्यम और तारा निर्माण वाले अध्याय में।

29.1 आकाशगंगा की संरचना

पृथ्वी से देखने पर आकाशगंगा पूरे आकाश में फैली प्रकाश की एक पट्टी के रूप में दिखती है, जिसे धूल की काली धारियाँ पार करती हैं और जो नक्षत्र धनु की ओर सबसे चमकीली है, जहाँ उसका केंद्र स्थित है। यह पट्टी वह चक्रिका है जिसमें सूर्य स्थित है, जिसे भीतर से किनारे की ओर से देखा गया है।

परिभाषा 29.1 (मंदाकिनीय चक्रिका, मोटी चक्रिका, मंदाकिनीय उभार और तारकीय प्रभामंडल)

मंदाकिनीय चक्रिका आकाशगंगा का चपटा घटक है, जो तारों, गैस और धूल से बना है और अपने केंद्र के चारों ओर लगभग वृत्तीय कक्षाओं में घूमता है; इसका घनत्व अपने मध्य-तल से ऊँचाई के साथ और केंद्र से दूरी के साथ लगभग चरघातांकी रूप से घटता है, एक ऊँचाई-मापक और एक लंबाई-मापक के पैमाने पर। मोटी चक्रिका एक दूसरी, अधिक पुरानी चक्रिका है, जिसका ऊँचाई-मापक बड़ा और द्रव्यमान छोटा है। मंदाकिनीय उभार मंदाकिनीय उभार तारों का वह केंद्रीय जमाव है जो चक्रिका से बाहर की ओर फूला होता है। तारकीय प्रभामंडल वह विरल, लगभग गोलाभ घटक है जो पुराने तारों और गोलीय गुच्छों से बना है, और चक्रिका तथा उभार को घेरता है।

आकाशगंगा एक पट्टीदार सर्पिल है। सूर्य के आसपास पतली चक्रिका का ऊँचाई-मापक लगभग $300\,\mathrm{pc}$ है और मोटी चक्रिका का लगभग $900\,\mathrm{pc}$; उनके लंबाई-मापक लगभग $2.6\,\mathrm{kpc}$ और $2.0\,\mathrm{kpc}$ हैं। मोटी चक्रिका में लगभग $6 \times 10^{9}$ सौर द्रव्यमान हैं, पतली चक्रिका का लगभग पाँचवाँ भाग। किनारे से देखने पर उभार एक बक्से या मूँगफली जैसा होता है: यह तारों की एक पट्टी का मोटा हुआ भीतरी भाग है, लगभग $5\,\mathrm{kpc}$ अर्ध-लंबाई की, जिसकी लंबी अक्ष सूर्य से केंद्र की ओर जाने वाली रेखा से $27{}^{\circ}$ का कोण बनाती है। तारकीय प्रभामंडल में तारों का लगभग केवल एक प्रतिशत है। कुल मिलाकर आकाशगंगा के तारों का भार लगभग $5 \times 10^{10}$ सौर द्रव्यमान है।

परिभाषा 29.2 (तारकीय समष्टि)

एक तारकीय समष्टि किसी मंदाकिनी के तारों का एक समूह है जिसके तारे आयु, रासायनिक संघटन और कक्षाओं की एक परास साझा करते हैं। पतली चक्रिका के युवा तारे, जो हीलियम से भारी तत्त्वों से समृद्ध हैं और लगभग वृत्ताकार कक्षाओं में हैं, परंपरागत रूप से समष्टि I कहलाते हैं; प्रभामंडल और गोलीय गुच्छों के पुराने तारे, जो भारी तत्त्वों में निर्धन हैं और जिनकी कक्षाओं में बड़ी यादृच्छिक गतियाँ हैं तथा शुद्ध घूर्णन कम है, समष्टि II कहलाते हैं।

मोटी चक्रिका इन दोनों के बीच स्थित है: इसके तारे अधिकतर पतली चक्रिका के तारों से पुराने हैं और, दिए गए लोह-अंश पर, हल्के तत्त्वों में समृद्ध हैं, जिन्हें खगोलविद अल्फ़ा तत्त्व कहते हैं, जिनका मापन लोहे के सापेक्ष किया जाता है। तारकीय प्रभामंडल एक जीवाश्म अभिलेख है: इसका अधिकांश भाग छोटी मंदाकिनियों से बना है जो आकाशगंगा में गिरीं और इसके ज्वार से टूट गईं, और उनकी कुछ तारा-धाराएँ आज भी आकाश में अनुसरित की जा सकती हैं।

परिभाषा 29.3 (मंदाकिनीय निर्देशांक)

किसी दिशा के मंदाकिनीय निर्देशांक ये हैं: उसका मंदाकिनीय अक्षांश $b$, जो मंदाकिनीय तल से कोण है (उत्तरी मंदाकिनीय ध्रुव की ओर धनात्मक), और उसका मंदाकिनीय देशांतर $\ell$, जो तल में मंदाकिनीय केंद्र की दिशा ($\ell = 0$) से $\ell = 90{}^{\circ}$ तक मापा जाता है, वह दिशा जिधर आकाशगंगा का घूर्णन सूर्य को ले जाता है। यह तल 1958 में आकाशगंगा के प्रमुख परमाणु हाइड्रोजन तल के रूप में परिभाषित किया गया था; उत्तरी मंदाकिनीय ध्रुव का दक्षिणावर्त आरोहण $192.25{}^{\circ}$ ($12^\mathrm{h}49^\mathrm{m}$) और क्रांति $27.4{}^{\circ}$ पर स्थित है (विषुव 1950)।

सूर्य तल में पूरी तरह नहीं है: वह उससे लगभग $25\,\mathrm{pc}$ उत्तर में है। केंद्र से उसकी दूरी, $R_0$, लंबे समय तक मंदाकिनीय खगोल-विज्ञान की सबसे अनिश्चित संख्या रही। अब इसे ज्यामितीय रूप से मापा जाता है: तारा S2 आकाशगंगा के केंद्रीय कृष्ण विवर का चक्कर $16$-वर्षीय कक्षा में लगाता है। आकाश में कोणीय आकार तथा दृष्टि-रेखा के अनुदिश वेग, 27 वर्षों तक अनुसरित करने पर, केंद्र तक की दूरी सीधे देते हैं: $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$, जिसकी सांख्यिकीय त्रुटि $13\,\mathrm{pc}$ और व्यवस्थित त्रुटि $22\,\mathrm{pc}$ है। सभी विधियों की समीक्षा $R_0 = (8.2 \pm 0.1)\,\mathrm{kpc}$ देती है।

29.2 घूर्णन और अदीप्त-द्रव्य प्रभामंडल

परिभाषा 29.4 (स्थानीय विराम मानक)

स्थानीय विराम मानक (LSR) वह संदर्भ-तंत्र है जो मंदाकिनीय केंद्र के परितः उस वृत्ताकार कक्षा पर चलता है जो सूर्य की वर्तमान स्थिति से होकर गुजरती है। निकटवर्ती तारों और गैस के वेग इसके सापेक्ष दिए जाते हैं।

सूर्य LSR के सापेक्ष लगभग $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ की गति से मंदाकिनीय केंद्र की ओर, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ घूर्णन की दिशा में और $7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ उत्तरी मंदाकिनीय ध्रुव की ओर गति करता है: एक छोटी विशिष्ट गति, जो कुछ सौ किलोमीटर प्रति सेकंड की गति $V_0$ वाली कक्षा के ऊपर होती है। पृथ्वी से देखने पर आकाशगंगा के केंद्र का रेडियो स्रोत मंदाकिनीय तल के अनुदिश प्रति वर्ष $6.411\,\mathrm{mas}$ बहता दिखता है; इस बहाव का लगभग सब कुछ सूर्य की कक्षा का प्रतिबिंब है, और इससे सूर्य की केंद्र के परितः कुल गति, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ प्राप्त होती है (अभ्यास 29.2 देखिए)।

परिभाषा 29.5 (घूर्णन वक्र; ऊर्ट स्थिरांक)

किसी चपटी मंदाकिनी की घूर्णन वक्र उसके तल में वृत्ताकार कक्षा की गति $V(R)$ है, जो उसके केंद्र से दूरी $R$ का फलन है। आकाशगंगा के लिए, $V_0 = V(R_0)$ और $V'_0 = \mathrm{d}V/\mathrm{d}R$ को $R_0$ पर लेकर, ऊर्ट स्थिरांक होते हैं

$$A = \frac12\left(\frac{V_0}{R_0} - V'_0\right), \qquad B = -\frac12\left(\frac{V_0}{R_0} + V'_0\right).$$

$A$ चकती के घूर्णन के अपरूपण को और $B$ उसकी भ्रमिलता को मापता है: ठोस पिंड की भाँति घूमती चकती में $V'_0 = V_0/R_0$ और $A = 0$ होता है; सपाट घूर्णन वक्र पर $A = -B$ होता है। उनका अंतर LSR का कोणीय वेग है, $A - B = V_0/R_0 = \omega_0$, और उनका योग ढाल है, $A + B = -V'_0$।

प्रमेय 29.6 (ऊर्ट के सूत्र)

सूर्य से $d \ll R_0$ दूरी पर, मंदाकिनीय तल में देशांतर $\ell$ पर स्थित, वृत्ताकार कक्षा में चलने वाला एक तारा LSR के सापेक्ष अरीय वेग $v_r$ और अनुप्रस्थ वेग $v_t$ ($\ell$ बढ़ने की दिशा में धनात्मक) रखता है

$$v_r = A\,d\sin 2\ell, \qquad v_t = d\,(A\cos 2\ell + B),$$

$d/R_0$ में प्रथम कोटि तक।

निकटवर्ती तारों के दृष्टि-वेग इसलिए आकाश में घूमते हुए $\sin 2\ell$ के अनुसार बदलते हैं, और उनकी स्वगतियाँ $\cos 2\ell$ के अनुसार, $B$ से निर्धारित माध्य के चारों ओर बदलती हैं। गैया की पहली सूची के $304\,267$ तारों की स्वगति और लंबन से, लगभग $230\,\mathrm{pc}$ की विशिष्ट दूरी पर, ऊर्ट स्थिरांक $A = (15.3 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ और $B = (-11.9 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ प्राप्त हुए। अक्षसममित चक्रिका में न होने वाले दो और पद, जिन्हें $C$ और $K$ कहते हैं, लगभग $-3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ आए: स्थानीय चक्रिका पट्टी और सर्पिल भुजाओं से विक्षोभित है।

21-सेंटीमीटर रेखा से घूर्णन वक्र

परमाणु हाइड्रोजन चक्रिका को भरता है और 21-सेंटीमीटर रेखा उत्सर्जित करता है, $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$ पर; रेडियो तरंगें उस धूल के आर-पार जाती हैं जो दृश्य तरंगदैर्घ्य पर दूर की चक्रिका को छिपाती है। तल में किसी दृष्टि-रेखा के अनुदिश, गैस का हर बादल अपनी रेखा को अपने दृष्टि-वेग के डॉप्लर विस्थापन पर जोड़ता है, और रेखा की प्रोफ़ाइल वेगों का स्पेक्ट्रम होती है। सौर वृत्त के भीतर एक वेग विशेष रूप से चुना जाता है।

प्रमेय 29.7 (स्पर्शबिंदु विधि)

मान लीजिए गैस वृत्तीय कक्षाओं में घूमती है, जिनका कोणीय वेग $\omega(R)$ है और जो बाहर की ओर घटता है। देशांतर $0 < \ell < 90{}^{\circ}$ की किसी दृष्टि-रेखा के अनुदिश, LSR के सापेक्ष दृष्टि-वेग स्पर्शबिंदु पर सबसे बड़ा होता है, जहाँ दृष्टि-रेखा किसी कक्षा को स्पर्श करती है, अर्थात $R = R_0\sin\ell$ पर, और इसका सबसे बड़ा मान निम्न है:

$$v_\mathrm{max} = V(R_0\sin\ell) - V_0\sin\ell .$$

इस प्रकार हर 21-सेंटीमीटर प्रोफ़ाइल का सबसे बड़ा वेग, $V$ का $R_0\sin\ell$ पर मान देता है, और $0{}^{\circ}$ से $90{}^{\circ}$ तक के देशांतरों की श्रेणी केंद्र से सूर्य तक का घूर्णन वक्र देती है। सौर वृत्त से परे कोई दृष्टि-रेखा किसी कक्षा को स्पर्श नहीं करती, और विधि विफल हो जाती है: वहाँ हर अनुरेखक की दूरी भी उसके वेग के साथ मापनी पड़ती है। वर्ष 2014 से एक उपग्रह एक अरब से अधिक तारों के लंबन माप चुका है, और बाहरी घूर्णन वक्र अब तारों द्वारा अनुरेखित होता है।

ऊपर की आकृति का यह वक्र तेईस हज़ार से अधिक दीप्तिमान लाल दानवों की स्थिति, दूरी और वेग से मापा गया है, तारकीय हाइड्रोडायनामिक्स के उस समीकरण की सहायता से, जो तारकीय समष्टि की माध्य गतियों को उन्हें बाँधे रखने वाले गुरुत्व से जोड़ता है। इसे जीन्स समीकरण कहते हैं। सूर्य पर यह $V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ देता है, जिसकी व्यवस्थित अनिश्चितता दो से पाँच प्रतिशत है; उससे आगे यह $(1.7 \pm 0.1)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ प्रति किलोपारसेक की दर से धीरे-धीरे घटता है। यह उस तरह नहीं गिरता जैसा दृश्य द्रव्यमान से अपेक्षित है।

आकाशगंगा का द्रव्यमान ज्ञात करना

चक्रिका का गुरुत्व गोले जैसा नहीं होता, परंतु द्रव्यमान मॉडल का वेग-वक्र सरलता से परिकलित किया जा सकता है, जब प्रत्येक घटक का विभव बंद रूप में हो। नीचे के समतल में दिए विभव आकाशगंगा के तारों के एक प्रकाशित मॉडल के हैं।

प्रतिज्ञप्ति 29.8 (तीन द्रव्यमान मॉडलों के वृत्तीय वेग)

तल $z = 0$ में वृत्तीय वेग $V^2 = R\,\partial\Phi/\partial R$ निम्न के लिए यह होता है:

• द्रव्यमान $M$ और क्रोड-त्रिज्या $b$ का प्लमर गोला, जिसका विभव $\Phi = -GM/\sqrt{r^2 + b^2}$:

  $$V^2 = \frac{GMR^2}{(R^2 + b^2)^{3/2}}\,;$$

• मियामोटो–नागाई चक्रिका, जिसका द्रव्यमान $M$, पैमाना-लंबाई $a$ और पैमाना-ऊँचाई $b$ है, जिसका विभव $\Phi = -GM\big/\sqrt{R^2 + \bigl(a + \sqrt{z^2 + b^2}\,\bigr)^2}$:

  $$V^2 = \frac{GMR^2}{\bigl(R^2 + (a + b)^2\bigr)^{3/2}}\,;$$
• घनत्व वाला नवारो–फ़्रेंक–व्हाइट प्रभामंडल $\rho = \rho_0\big/\bigl[x(1 + x)^2\bigr]$, $x = r/R_s$: $r$ के भीतर का द्रव्यमान $M(r) = 4\pi\rho_0R_s^3\bigl[\ln(1 + x) - x/(1 + x)\bigr]$ है और $V^2 = GM(r)/r$।

कई घटकों के लिए वेगों के वर्ग जुड़ते हैं।

आकृति में प्रयुक्त मॉडल में एक प्लमर उभार है, जिसका द्रव्यमान $1.07 \times 10^{10}$ सौर द्रव्यमान और $b = 0.3\,\mathrm{kpc}$ है, साथ ही एक पतली चक्रिका और एक मोटी चक्रिका, प्रत्येक का द्रव्यमान $3.94 \times 10^{10}$ सौर द्रव्यमान है, जिनके $(a, b) = (5.3\,\mathrm{kpc}, 0.25\,\mathrm{kpc})$ और $(2.6\,\mathrm{kpc}, 0.8\,\mathrm{kpc})$ हैं। $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ प्रति सौर द्रव्यमान मानने पर, इसके तारे अकेले सूर्य को $184\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ की कक्षीय चाल देंगे, और $20\,\mathrm{kpc}$ पर एक तारे की $134\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ चाल; मापी गई चालें 229 और $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ हैं। मापों पर फ़िट किए गए, तारों को स्थिर रखते हुए एक प्रभामंडल का $R_s = 14.75\,\mathrm{kpc}$ और $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ सौर द्रव्यमान प्रति घन किलोपारसेक है, जो उसके लेखकों द्वारा फ़िट किए गए प्रभामंडल के समान है ($R_s = (14.8 \pm 0.4)\,\mathrm{kpc}$, $\rho_0 = (1.06 \pm 0.09 \times 10^{7})\,$ सौर द्रव्यमान प्रति घन किलोपारसेक)। लगभग $14\,\mathrm{kpc}$ से परे प्रभामंडल प्रमुख हो जाता है।

परिभाषा 29.9 (अदीप्त-द्रव्य प्रभामंडल)

किसी मंदाकिनी का अदीप्त-द्रव्य प्रभामंडल लगभग गोलाकार अदीप्त द्रव्य का वितरण है, जिसमें उसके तारे और गैस अंतःस्थापित होते हैं; यह उसके दृश्य घटकों से कहीं बड़ा और अधिक द्रव्यमान वाला होता है, और इसका अनुमान उसके गुरुत्व से लगाया जाता है: घूर्णन वक्र से, उपग्रह मंदाकिनियों और प्रभामंडल तारों की गतियों से, तथा प्रकाश के मुड़ने से।

प्रमेय 29.10 (त्रिज्या के भीतर द्रव्यमान)

गोलाकार द्रव्यमान-वितरण के लिए, त्रिज्या $r$ पर वृत्तीय वेग उसके भीतर का द्रव्यमान देता है, $M(r) = rV^2/G$। समतल घूर्णन वक्र, $V =$ स्थिर, जिसका अर्थ है $M(r) \propto r$ और घनत्व $\rho(r) = V^2/(4\pi G r^2)$।

चपटी चक्रिकाओं के लिए $rV^2/G$ ठीक-ठीक $r$ के भीतर का द्रव्यमान नहीं है, परंतु यह वह द्रव्यमान है जो एक गोले को वही कक्षा उत्पन्न करने के लिए चाहिए, और इसे यहाँ, जैसा प्रचलित है, गतिकीय द्रव्यमान के रूप में प्रयोग किया गया है। नीचे की आकृति इसकी तुलना तारों और पूरी आकाशगंगा के लिए करती है।

प्रभामंडल कितनी दूर तक फैला है और कुल मिलाकर उसका कितना भार है, यह चक्रिका का घूर्णन वक्र नहीं बता सकता। अपने समायोजित प्रोफ़ाइल के साथ उसकी विरियल त्रिज्या, लगभग $190\,\mathrm{kpc}$, तक बाहर की ओर बढ़ाने पर, मापन के लेखकों द्वारा समायोजित प्रभामंडल लगभग $7 \times 10^{11}$ सौर द्रव्यमान रखता है; अन्य अनुमानों की एक समीक्षा $1.3 \times 10^{12}$ देती है, जिसमें से बैरियॉन केवल लगभग सात प्रतिशत हैं। सूर्य के निकट अदीप्त द्रव्य विरल है: लगभग $0.30\,\mathrm{GeV}$ द्रव्यमान-ऊर्जा प्रति घन सेंटीमीटर, जो प्रोटॉन के द्रव्यमान का एक-तिहाई है; इसीलिए यह केवल अपने संचित गुरुत्व से महसूस होता है।

29.3 मंदाकिनियाँ

परिभाषा 29.11 (हबल अनुक्रम; दीर्घवृत्तीय, लेंसाकार, सर्पिल और अनियमित मंदाकिनियाँ)

हबल अनुक्रम मंदाकिनियों को उनकी दिखावट के आधार पर वर्गीकृत करता है। एक दीर्घवृत्तीय मंदाकिनी (प्रकार E) तारों का एक चिकना तंत्र है, जिसकी दीप्ति केंद्र से लगातार घटती है और जिसमें कोई चक्रिका नहीं होती; इसे E$n$ से चिह्नित किया जाता है, जहाँ $n = 10(1 - b/a)$ और $b/a$ दृश्य अक्ष-अनुपात है, E0 (गोल) से E7 तक। एक सर्पिल मंदाकिनी में केंद्रीय उभार के चारों ओर सर्पिल भुजाओं वाली एक चक्रिका होती है; इसे घटते उभार, अधिक खुली भुजाओं और तारा-निर्माण गुच्छों में अधिक टूटी भुजाओं के क्रम में Sa, Sb, Sc से चिह्नित किया जाता है, और यदि केंद्र को एक पट्टी पार करती हो तो SBa, SBb, SBc से। एक लेंसाकार मंदाकिनी (S0) में चक्रिका और उभार होते हैं, पर भुजाएँ नहीं होतीं। एक अनियमित मंदाकिनी (Irr, Im) में कोई सुसंगठित संरचना नहीं होती।

वर्ग आकाश में दिखने वाली आकृतियों का वर्णन करते हैं, और एक ही संकेत के भीतर एक परास छिपी होती है: सबसे छोटे अक्ष के अनुदिश देखी गई दीर्घवृत्तीय मंदाकिनी अपनी वास्तविक चपटाई चाहे जो हो, गोल दिखती है, और पड़ोसी वर्गों के बीच की सीमाएँ विवेक का विषय हैं। हमारे निकट की मंदाकिनियों की एक सूची में आकाशगंगा को S(B)bc के रूप में सूचीबद्ध किया गया है, Sb और Sc के बीच की एक पट्टीदार सर्पिल; उसका बड़ा पड़ोसी एंड्रोमेडा (M31) एक Sb है, त्रिभुज मंदाकिनी (M33) एक Sc है, और बृहत् और लघु मैगेलैनिक बादल अनियमित हैं।

सर्पिल भुजाएँ लिपटी हुई क्यों नहीं हैं? ऐसी चक्रिका में जिसका घूर्णन वक्र समतल है, केंद्र से आधी दूरी पर स्थित एक तारा आधे समय में एक चक्कर पूरा करता है। तारों की एक सर्पिल हर फेरे में और कसती जाती, और चक्रिका के कुछ फेरों के बाद वह एक कसी कुंडली बन जाती (अभ्यास 29.11 देखिए)।

परिभाषा 29.12 (घनत्व-तरंग सिद्धांत)

घनत्व-तरंग सिद्धांत सर्पिल भुजाओं को चक्रिका में अधिक घनत्व की एक तरंग के रूप में समझाता है, एक ऐसा सर्पिल प्रारूप जो अपनी ही कोणीय चाल से, जिसे प्रारूप-चाल कहते हैं, दृढ़तापूर्वक घूमता है, जबकि तारे और गैस उसमें से होकर गुज़रते हैं, भीड़ वाली भुजा में प्रवेश करते समय धीमे पड़ते हैं और उससे निकलते समय तेज़ हो जाते हैं, जैसे यातायात जाम में से गाड़ियाँ गुज़रती हैं।

यह सिद्धांत, जिसे 1964 में प्रस्तावित किया गया, भुजाओं को लिपटने की समस्या से मुक्त करता है। भुजा में प्रवेश करती गैस संपीड़ित होती है, और वहाँ तारे बनते हैं: भुजाएँ युवा तारों और चमकती गैस से पहचानी जाती हैं, जबकि पुराने तारे कहीं अधिक समान रूप से फैले होते हैं। क्या भुजाएँ दीर्घजीवी तरंगें हैं, यह अब भी विवादित है; चक्रिकाओं के कंप्यूटर अनुकरण प्रायः ऐसी भुजाएँ उगाते हैं जो क्षणिक होती हैं, जो घुलती और पुनः बनती हैं, और कोई गुज़रती मंदाकिनी या पट्टी दो-भुजाओं वाले सर्पिल को प्रेरित कर सकती है।

परिभाषा 29.13 (अतिद्रव्यमान कृष्ण विवर)

एक अतिद्रव्यमान कृष्ण विवर किसी मंदाकिनी के केंद्र में स्थित दस लाख या उससे अधिक सौर द्रव्यमान वाला कृष्ण विवर होता है।

आकाशगंगा के केंद्र में, संहत रेडियो स्रोत सैजिटेरियस A* तारों के बीच कसी और तेज़ कक्षाओं में स्थित है। इन कक्षाओं के लिए लगभग चार मिलियन सूर्यों के बराबर केंद्रीय द्रव्यमान चाहिए, $4.2 \pm 0.2 \times 10^{6}$ सौर द्रव्यमान, मापनों की एक समीक्षा में। सैजिटेरियस A* दूर की मंदाकिनियों के सापेक्ष मुश्किल से गति करता है: सूर्य की कक्षा हटाने पर इसकी अवशिष्ट गति अधिक से अधिक कुछ किलोमीटर प्रति सेकंड है, इसलिए यह उस द्रव्यमान का कम से कम एक चौथाई धारण करता है। इसका आकार इसकी श्वार्ज़शिल्ड त्रिज्या के तुल्य है, और इसका घनत्व, जो प्रति घन पारसेक $4 \times 10^{23}$ सौर द्रव्यमान से ऊपर है, कृष्ण विवर से अपेक्षित घनत्व के बहुत निकट है: यह प्रमाण इतना प्रबल है कि सैजिटेरियस A* के कृष्ण विवर होने में कोई संदेह नहीं रहता।

परिभाषा 29.14 (स्थानीय समूह; मंदाकिनी गुच्छ)

स्थानीय समूह मंदाकिनियों का वह गुरुत्वाकर्षण से बद्ध समूह है जिस पर आकाशगंगा और एंड्रोमेडा का प्रभुत्व है, और इनमें से प्रत्येक के अपने उपग्रह मंदाकिनियाँ हैं। मंदाकिनी गुच्छ गुरुत्वाकर्षण से बद्ध सबसे बड़े तंत्रों में से एक है: इसमें अनेक मंदाकिनियाँ होती हैं, जो एक गर्म गैस के साथ, जो X-किरणें उत्सर्जित करती है, मुख्यतः अदीप्त द्रव्य के एक साझे गर्त में बँधी रहती हैं।

सूर्य से $3\,\mathrm{Mpc}$ के भीतर सौ से अधिक मंदाकिनियाँ हैं, जिनमें से अधिकांश बौनी हैं। बृहत मैगेलैनिक मेघ लगभग $50\,\mathrm{kpc}$ पर है, और एंड्रोमेडा $783\,\mathrm{kpc}$ पर है और $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ की गति से हमारी ओर आ रहा है, और समूह के बद्ध सदस्य समूह के द्रव्यमान-केंद्र से लगभग $1.06\,\mathrm{Mpc}$ के भीतर स्थित हैं, आकाशगंगा और एंड्रोमेडा के बीच, जहाँ वे ब्रह्मांड के प्रसार से अलग हो जाते हैं। इसका द्रव्यमान दो बड़ी मंदाकिनियों की एक-दूसरे की ओर गति से ज्ञात होता है, जो $5 \times 10^{12}$ सौर द्रव्यमान की कोटि का है। एक विशाल मंदाकिनी गुच्छ में, गर्म गैस, जिसका तापमान लगभग $10^{8}\,\mathrm{K}$ है, तारों के द्रव्यमान का लगभग दस गुना द्रव्यमान रखती है; मंदाकिनियाँ और गैस मिलाकर भी गुरुत्वाकर्षण गर्त की गहराई के लिए बहुत हल्की हैं, और गुच्छ का अधिकांश द्रव्यमान, जो $10^{15}$ सौर द्रव्यमान की कोटि का है, अदीप्त है।

29.4 दूरी सोपान

लंबन केवल ज्यामिति से दूरी देता है, परंतु लंबन दूरी के साथ घटते हैं। इनका सबसे अच्छा सूचीपत्र उन तारों का लंबन मापता है, जो परिमाण 15 से चमकीले हैं, जिसकी अनिश्चितता 0.02 से $0.03\,\mathrm{mas}$ तक है, इसलिए लगभग $4\,\mathrm{kpc}$ तक $10\,\%$ की दूरी प्राप्त होती है; बृहत मैगेलैनिक मेघ, जो $50\,\mathrm{kpc}$ पर है, का लंबन $0.02\,\mathrm{mas}$ है। इससे आगे दूरियाँ उन वस्तुओं पर टिकती हैं, जिनकी दीप्ति ज्ञात है।

परिभाषा 29.15 (मानक मोमबत्ती; दूरी सोपान)

मानक मोमबत्ती वस्तुओं का ऐसा वर्ग है जिनका निरपेक्ष कांति ज्ञात है, या जिसे दूरी से स्वतंत्र रूप से मापे गए किसी गुण से निकाला जा सकता है, ताकि उसकी दृश्य कांति उसका दूरी-मापांक दे सके। दूरी सोपान उन विधियों की वह शृंखला है, जिसकी प्रत्येक विधि उन वस्तुओं पर अंशांकित होती है, जो इतनी निकट हों कि पिछली विधि से भी मापी जा सकें, और जो लंबनों से दूरियाँ विस्तारित ब्रह्मांड तक ले जाती है।

परिभाषा 29.16 (सीफ़ीड परिवर्ती; लेविट नियम)

सीफ़ीड परिवर्ती एक युवा, दीप्तिमान, स्पंदनशील तारा है, जिसकी चमक सख़्ती से नियमित आवर्त काल के साथ बदलती है, लगभग एक दिन से लेकर कई सप्ताह तक। लेविट नियम, या आवर्त–दीप्ति संबंध, सीफ़ीड के माध्य निरपेक्ष कांति और उसके आवर्त के लघुगणक के बीच का रैखिक संबंध है, जिसमें अधिक दीप्तिमान तारों के आवर्त लंबे होते हैं।

1908 में लघु मैगेलैनिक मेघ में यह संबंध खोजा गया, जिसके तारे लगभग एक ही दूरी पर हैं। जिस मंदाकिनी में सीफ़ीड होता है, उसकी धूल उसे मंद और लाल कर देती है; परंतु मंदन दृश्य प्रकाश में निकट अवरक्त से अधिक होता है, और किसी दिए गए प्रकार की धूल के लिए इसका अनुपात स्थिर रहता है, और I और V बैंडों के परिमाणों का संयोजन $W_I = I - 1.55\,(V - I)$, जिसे वेसेनहाइट सूचकांक कहते हैं, और इसे इस प्रकार चुना जाता है कि मंदन निरस्त हो जाए। नीचे का चित्र बृहत मैगेलैनिक मेघ के 2315 सीफ़ीडों के लिए यह दिखाता है: लेविट नियम एक कसी हुई रेखा है, जिसका प्रकीर्णन $0.078\,\mathrm{mag}$ है, अर्थात एक ही तारे के लिए दूरी में

$3.6\,\%$ है।

परिभाषा 29.17 (लाल दानव शाखा का शीर्ष)

लाल दानव शाखा का शीर्ष (TRGB) किसी पुराने तारकीय समष्टि के लाल दानवों की दीप्तियों की तीखी ऊपरी सीमा है, जिसे उनके क्रोड में हीलियम के प्रज्वलन से तय किया जाता है, यानी हीलियम फ़्लैश; I बैंड में यह हर पुरानी समष्टि में लगभग एक ही निरपेक्ष कांति पर होती है, जो $M_I \approx -4.05$ है और वर्ण $V - I = 1.6$ पर मापी जाती है, और जो रासायनिक संघटन पर केवल कमज़ोर रूप से निर्भर करती है।

यह शीर्ष मंदाकिनियों के विरल तारकीय प्रभामंडलों में मापा जाता है, जहाँ धूल कम होती है और भीड़ भी कम; यह पुराने प्रभामंडल तारों का उपयोग करता है, जहाँ सीफ़ीड युवा चक्रिका तारों का उपयोग करते हैं, और दोनों विधियाँ कोई भौतिकी साझा नहीं करतीं। सीफ़ीड और TRGB कुछ दर्जन मेगापारसेक तक पहुँचते हैं, उन मंदाकिनियों तक जहाँ एक दुर्लभ और कहीं अधिक चमकीली मानक मोमबत्ती विस्फोट कर चुकी है: टाइप Ia अधिनवतारा, जो एक श्वेत वामन का तापनाभिकीय विस्फोट है, जैसा भौतिकी की पुस्तकों में स्मरण कराया गया है, जिसकी शिखर निरपेक्ष कांति, प्रकाश-वक्र के आकार और अपने वर्ण के लिए सुधार करने के बाद, इतनी होती है: $M_B = (-19.253 \pm 0.027)\,\mathrm{mag}$। ऐसे अधिनवतारे सैकड़ों मेगापारसेक तक देखे जाते हैं।

परिभाषा 29.18 (टली–फ़िशर संबंध)

टली–फ़िशर संबंध एक सर्पिल मंदाकिनी की दीप्ति, या बेहतर रूप से तारों और गैस के द्रव्यमान, और उसके सपाट घूर्णन वक्र की चाल के बीच का सहसंबंध है; बैरियोनिक रूप में, $M_\mathrm{b} = A\,V^4$, यह लगभग 30 से $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ तक लागू होता है।

मंदाकिनी का 21-cm स्पेक्ट्रम उसकी अधिकतम घूर्णन चाल देता है; यह संबंध उसकी दीप्ति उसकी दूरी से स्वतंत्र रूप से देता है, और उसका फ़्लक्स फिर दूरी देता है: यह उन सर्पिल मंदाकिनियों के लिए एक पायदान है जो एकल तारों के लिए बहुत दूर हैं। आकाशगंगा अपनी दीप्ति और घूर्णन के आधार पर इस संबंध पर ठीक बैठती है।

सोपान के शीर्ष पर अधिनवतारे ब्रह्मांड का प्रसार मापते हैं। हबल का नियम, जैसा भौतिकी की पुस्तकों में स्मरण कराया गया है, किसी दूर की मंदाकिनी के अपसरण वेग $cz$ को उसकी दूरी $d$ के समानुपाती बनाता है, $cz = H_0 d$ छोटे रेडशिफ़्ट $z$ के लिए; हबल स्थिरांक $H_0$ ढलान है, और अधिनवतारे, अपनी सोपान से प्राप्त दूरियों के साथ, उसे देते हैं।

परिभाषा 29.19 (हबल तनाव)

हबल तनाव वह असहमति है, जो दूरी सोपान से स्थानीय रूप से मापे गए हबल स्थिरांक के मान और कॉस्मिक माइक्रोवेव पृष्ठभूमि से मानक ब्रह्मांड-विज्ञान मॉडल के साथ निकाले गए मान के बीच पाई जाती है।

आँकड़े: वर्ष 2022

42 टाइप Ia अधिनवतारों के मेज़बान मंदाकिनियों के सीफ़ीड, गाया लंबनों पर स्थिर किए गए, NGC 4258 के मेसर और बृहत मैगेलैनिक मेघ के ग्रहण-द्विक तारे देते हैं, $H_0 = (73.04 \pm 1.04)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$। लाल दानव शाखा का शीर्ष, लगभग सौ अधिनवतारों को अंशांकित करते हुए, 2019 में $H_0 = 69.8 \pm 0.8 \pm 1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ दिया (सांख्यिकीय और व्यवस्थित)। प्लैंक उपग्रह का कॉस्मिक माइक्रोवेव पृष्ठभूमि का मानचित्र, मानक ब्रह्मांड-विज्ञान मॉडल से पढ़ा जाने पर, $H_0 = (67.4 \pm 0.5)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ सूचित करता है। सीफ़ीड का मान और पृष्ठभूमि का मान पाँच मानक विचलनों से भिन्न हैं; TRGB का मान इन दोनों के बीच पड़ता है। इस असंगति का स्रोत ज्ञात नहीं है: या तो किसी एक सोपान में अभी तक न खोजी गई त्रुटि, या मॉडल में छूट गई भौतिकी।

प्रयोगशाला में — एक खगोलमितीय उपग्रह और उसका सूचीपत्र

उपग्रह गैया एक निर्धारित प्रतिरूप में आकाश को स्कैन करता है, ताकि मिशन के दौरान हर तारे को बार-बार मापा जाए। धरती पर, एक डेटा-प्रसंस्करण संघ की समन्वय इकाइयाँ इन मापनों को एक अरब से अधिक स्रोतों में से हर एक के लिए स्थिति, लंबन और उचित गति में बदलती हैं: आकाश पर किसी तारे की छोटी गतियों में से लंबन वह भाग है जो हर वर्ष दोहराता है, और उचित गति वह भाग है जो संचित होता है। हर सूचीपत्र के साथ ऐसे शोधपत्र जारी होते हैं जो उसके प्रसंस्करण और सत्यापन का वर्णन करते हैं, और इस खंड के चित्रों में हर दूरी जो किसी लंबन पर आधारित है, वह ऐसे ही किसी सूचीपत्र पर टिकी है।

आँकड़े: वर्ष 2022

गैया का तीसरा सूचीपत्र, जो 13 जून 2022 को 34 महीनों के प्रेक्षणों से जारी हुआ, लगभग 1.46 अरब स्रोतों के लिए स्थिति, लंबन और उचित गति, परिमाण 3 से 21 तक के, और 33 मिलियन तारों के लिए माध्य त्रिज्य वेग देता है। इसकी लंबन अनिश्चितताएँ 0.02 से $0.03\,\mathrm{mas}$ तक, परिमाण 15 से चमकीले तारों के लिए, $0.07\,\mathrm{mas}$ परिमाण 17 पर, और $0.5\,\mathrm{mas}$ परिमाण 20 पर हैं।

29.5 अभ्यास

अभ्यास 29.1 ★

सूर्य का मंदाकिनीय वर्ष। (क) $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$ और $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ लेकर, मंदाकिनीय केंद्र के परितः सूर्य की कक्षा का आवर्तकाल मिलियन वर्षों में परिकलित कीजिए। (ख) सौरमंडल बनने के बाद से, जो $4.54\,\mathrm{Gyr}$ पहले हुआ, सूर्य कितनी बार परिक्रमा कर चुका है?

हल

हल — अभ्यास 29.1.

(क) $2\pi R_0 = 2\pi\times2.523 \times 10^{17}\,\mathrm{km} = 1.585 \times 10^{18}\,\mathrm{km}$; $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ की गति से इसमें $6.92 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ लगते हैं, अर्थात् $219\,\mathrm{Myr}$। (ख) $4540/219 = 20.7$: लगभग बीस चक्कर।

अभ्यास 29.2 ★

सैजिटेरियस A* की प्रतिक्षेप गति। (क) $1\,\mathrm{mas}$ प्रति वर्ष की उचित गति $1\,\mathrm{kpc}$ पर $1\,\mathrm{au}$ प्रति वर्ष की अनुप्रस्थ चाल है: इसे व्यक्त कीजिए किलोमीटर प्रति सेकंड में। (ख) मान लीजिए सैजिटेरियस A* मंदाकिनीय केंद्र पर, $8.178\,\mathrm{kpc}$ की दूरी पर, विराम अवस्था में है, और मंदाकिनीय समतल के अनुदिश $6.411\,\mathrm{mas}$ प्रति वर्ष बहता है। केंद्र के परितः सूर्य की चाल परिकलित कीजिए और उसकी तुलना समीक्षा के मान $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ से कीजिए। (ग) घूर्णन की दिशा में सूर्य की विशिष्ट गति, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, घटाइए और घूर्णन वक्र के $V_0$ से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 29.2.

(क) $1\,\mathrm{au}/1\,\mathrm{yr} = 1.496 \times 10^{8}/3.156 \times 10^{7} = 4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$। (ख) $v = 4.74\times6.411\times8.178 = 248.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, जो समीक्षा के $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ मान के भीतर है। (ग) $248.5 - 11 = 237.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, लगभग $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ अधिक है, लाल दानवों के $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ मान से: दोनों भिन्न $R_0$ मानों पर आधारित हैं (8.178 और $8.122\,\mathrm{kpc}$), और स्थानीय विराम मानक स्वयं लगभग $15\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ तक वास्तविक वृत्तीय कक्षा के सापेक्ष बह सकता है।

अभ्यास 29.3 ★

दीर्घवृत्तीय मंदाकिनियों का वर्गीकरण। (क) एक दीर्घवृत्तीय मंदाकिनी की समप्रकाश-रेखाओं का अक्ष-अनुपात 0.6 है: उसका वर्ग बताइए। (ख) E7 का अक्ष-अनुपात क्या होता है? (ग) E0 मंदाकिनी एक चपटी संरचना क्यों हो सकती है?

हल

हल — अभ्यास 29.3.

(क) $n = 10(1 - 0.6) = 4$: E4। (ख) $b/a = 1 - 7/10 = 0.3$। (ग) वर्गीकरण दृश्य अक्ष-अनुपात का उपयोग करता है: अपनी लघु अक्ष की दिशा से देखा गया चपटा दीर्घवृत्तज वृत्ताकार रूपरेखा रखता है और E0 के रूप में वर्गीकृत होता है।

अभ्यास 29.4 ★

लंगर। बृहत् मैगेलैनिक मेघ की दूरियाँ ($\mu = 18.477$), एंड्रोमेडा ($\mu = 24.47$) और NGC 4258 ($\mu = 29.398$) की दूरियाँ परिकलित कीजिए। मेघ के किसी तारे का लंबन क्या होगा, और मेघ की दूरी लंबनों से क्यों नहीं मापी जा सकती?

हल

हल — अभ्यास 29.4.

$d = 10^{\mu/5 + 1}$ pc: LMC $49.6\,\mathrm{kpc}$, एंड्रोमेडा $783\,\mathrm{kpc}$, NGC 4258 $7.58\,\mathrm{Mpc}$। मेघ के एक तारे का लंबन $1/49.6\,\mathrm{kpc} = 0.020\,\mathrm{mas}$ है, जो सबसे अच्छी सूची की चमकीले तारों के लिए अनिश्चितता के आकार के बराबर है: एक अकेला लंबन बिल्कुल भी दूरी नहीं देता, और मेघ की स्थिति अन्य साधनों से तय होती है (ग्रहणी युग्म तारे), जिनसे सीफ़ीड मापनी शुरू होती है।

अभ्यास 29.5 ★★

ऊर्ट स्थिरांक $A = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ और $B = -11.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ से: (क) LSR की कोणीय चाल परिकलित कीजिए और $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$ लेकर वृत्तीय वेग $V_0$ परिकलित कीजिए; (ख) सूर्य पर घूर्णन वक्र की प्रवणता परिकलित कीजिए। (ग) इसकी तुलना लाल दानवों के घूर्णन वक्र ($V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, प्रवणता $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ प्रति किलोपारसेक) से कीजिए और सुझाइए कि दोनों भिन्न क्यों हैं, यह देखते हुए कि उसी माप में $C$ और $K$ शून्येतर पाए गए।

हल

हल — अभ्यास 29.5.

(क) $\omega_0 = A - B = 27.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ और $V_0 = 27.2\times8.178 = 222\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$। (ख) $V'_0 = -(A + B) = -3.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: धीरे-धीरे नीचे गिरता वक्र। (ग) दोनों लाल दानवों के मानों से नीचे हैं (229 और $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ प्रति किलोपारसेक); उस वक्र के लेखकों ने भी यही पाया, कि $V_0$ का मान $R_0$ और इन ऊर्ट स्थिरांकों से लगभग दो मानक विचलन कम है। ऊर्ट के सूत्र एक अक्षसममित चक्रिका में वृत्ताकार कक्षाएँ मानते हैं; शून्येतर $C$ और $K$ दिखाते हैं कि स्थानीय वेग-क्षेत्र पट्टी द्वारा और सर्पिल भुजाओं द्वारा विक्षुब्ध है, और स्थानीय $A$ और $B$ उन विक्षोभों को वहन करते हैं।

अभ्यास 29.6 ★★

एक समतल घूर्णन वक्र और स्थानीय घनत्व। (क) गोलीय मंदाकिनी के लिए, जिसका घूर्णन वक्र $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ पर समतल है, घनत्व परिकलित कीजिए $8.178\,\mathrm{kpc}$ पर, सौर द्रव्यमान प्रति घन पारसेक में ($G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ प्रति सौर द्रव्यमान)। (ख) दिखाइए कि एक सौर द्रव्यमान प्रति घन पारसेक $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ के बराबर है, और स्थानीय अदीप्त-द्रव्य घनत्व, $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, को सौर द्रव्यमान प्रति घन पारसेक में व्यक्त कीजिए। (ग) (क) का घनत्व बड़ा क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 29.6.

(क) $\rho = V^2/(4\pi GR^2) = 229^2/(4\pi\times4.301 \times 10^{-6}\times 8.178^2) = 1.45 \times 10^{7}$ सौर द्रव्यमान प्रति घन किलोपारसेक, या $0.0145$ प्रति घन पारसेक। (ख) $M_\odot c^2 = 1.9884 \times 10^{30}\times (2.998 \times 10^{8})^2 = 1.787 \times 10^{47}\,\mathrm{J} = 1.115 \times 10^{57}\,\mathrm{GeV}$, और $1\,\mathrm{pc}^{3} = (3.0857 \times 10^{18}\,\mathrm{cm})^3 = 2.938 \times 10^{55}\,\mathrm{cm}^{3}$: अनुपात $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ है। फिर $0.30/37.96 = 0.0079$ सौर द्रव्यमान प्रति घन पारसेक। (ग) समतल-वक्र घनत्व वह सारा द्रव्यमान गिनता है जो कक्षाओं को थामे रखता है, जिनमें तारे और गैस भी सम्मिलित हैं, मानो वह एक गोले में फैला हो; अदीप्त द्रव्य उसका केवल एक भाग है, यहाँ लगभग आधा।

अभ्यास 29.7 ★★

एक सीफ़ीड दूरी। एक काल्पनिक सर्पिल मंदाकिनी में आवर्तकाल $30\,\mathrm{d}$ वाला एक सीफ़ीड है, जिसका माध्य वेसेनहाइट सूचकांक $W_I = 25.00\,\mathrm{mag}$ है। (क) बृहत् मैगेलैनिक मेघ के लेविट नियम का उपयोग करके, $W_I = -3.314\log_{10}P + 15.888$, और मेघ के दूरी-मापांक 18.477 से, सीफ़ीड का निरपेक्ष वेसेनहाइट परिमाण परिकलित कीजिए। (ख) मंदाकिनी की दूरी परिकलित कीजिए। (ग) नियम का प्रकीर्णन $0.077\,\mathrm{mag}$ है: एक सीफ़ीड से और पचास सीफ़ीडों से सापेक्ष दूरी त्रुटि क्या है?

हल

हल — अभ्यास 29.7.

(क) $W_I(\mathrm{LMC}) = -3.314\times1.4771 + 15.888 = 10.993\,\mathrm{mag}$, अतः $M_W = 10.993 - 18.477 = -7.484\,\mathrm{mag}$। (ख) $\mu = 25.00 + 7.484 = 32.484$ और $d = 10^{32.484/5 + 1}~\mathrm{pc} = 31.4\,\mathrm{Mpc}$। (ग) $\delta d/d = (\ln 10/5)\,\delta\mu = 0.4605\times0.077 = 3.5\,\%$ एक तारे के लिए, $3.5/\sqrt{50} = 0.5\,\%$ पचास के लिए, यदि उनकी त्रुटियाँ स्वतंत्र हों (मेघ की अपनी दूरी की त्रुटि इन सभी में समान रूप से जुड़ती है)।

अभ्यास 29.8 ★★

एक TRGB दूरी। एक काल्पनिक मंदाकिनी के प्रभामंडल में लाल दानव शाखा का शीर्ष $I = 26.00\,\mathrm{mag}$ पर मिलता है; दृष्टि-रेखा के अनुदिश धूल I बैंड को $0.05\,\mathrm{mag}$ से मंद करती है। $M_I = -4.05$ लेकर, दूरी-मापांक और दूरी परिकलित कीजिए। शीर्ष की $0.04\,\mathrm{mag}$ की अनिश्चितता दूरी में क्या अर्थ रखती है?

हल

हल — अभ्यास 29.8.

$\mu = I - A_I - M_I = 26.00 - 0.05 + 4.05 = 30.00$, अतः $d = 10^{7}~\mathrm{pc} = 10.0\,\mathrm{Mpc}$। $0.04\,\mathrm{mag}$ की त्रुटि दूरी में $0.4605\times0.04 = 1.8\,\%$ के बराबर है।

अभ्यास 29.9 ★★

अधिनवतारों से हबल स्थिरांक। सुचारु प्रसार वाले एक अधिनवतारा के लिए, $\log_{10}(cz) - 0.2\,m_B = a_B$, जो अधिनवतारों के हबल आरेख का अंतःखंड है, और दूरी-मापांक $m_B - M_B = 5\log_{10}(d/\mathrm{Mpc}) + 25$ है। (क) दिखाइए कि $\log_{10}H_0 = 0.2\,M_B + a_B + 5$ ($H_0$ किलोमीटर प्रति सेकंड प्रति मेगापारसेक में)। (ख) $M_B = -19.253$ और $a_B = 0.714158$ लेकर $H_0$ परिकलित कीजिए। (ग) कौन-सा $M_B$ $H_0 = 67.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ देगा? कितने परिमाणों से, और दूरियों के कितने भिन्नांश से, ये दोनों अंशांकन भिन्न हैं?

हल

हल — अभ्यास 29.9.

(क) $d = cz/H_0$ से $5\log_{10}d = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$ प्राप्त होता है, अतः $m_B - M_B - 25 = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$; जहाँ $\log_{10}(cz) = a_B + 0.2\,m_B$, $5\log_{10}H_0 = 5a_B + M_B + 25$, जो यही परिणाम है। (ख) $\log_{10}H_0 = -3.8506 + 0.714158 + 5 = 1.8636$, अतः $H_0 = 73.04\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$। (ग) $M_B = 5(\log_{10}67.4 - 5.714158) = -19.427\,\mathrm{mag}$: अधिनवतारे $0.174\,\mathrm{mag}$ अधिक चमकीले हैं, अतः सभी दूरियाँ $10^{0.2\times0.174} = 1.084$ गुना बड़ी हैं, यह $73.04/67.4$ का अनुपात है। हबल तनाव दूरी-पैमाने में आठ प्रतिशत की असहमति है।

अभ्यास 29.10 ★★★

टली–फ़िशर नियम कहाँ से आता है। (क) द्रव्यमान $M$ की एक चक्रिका-मंदाकिनी त्रिज्या $R$ है और $V$ से घूमती है: दिखाइए कि $M \approx RV^2/G$। (ख) यदि सभी सर्पिल मंदाकिनियों का माध्य पृष्ठ घनत्व $\Sigma = M/(\pi R^2)$ एक ही हो, तो दिखाइए कि $M \propto V^4$। (ग) एक ही बैरिऑनिक संबंध पर स्थित दो काल्पनिक मंदाकिनियाँ 100 और $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ पर घूमती हैं: उनके द्रव्यमानों का अनुपात क्या है? (घ) दो मंदाकिनियाँ एक ही चाल से घूमती हैं और उनकी दीप्ति समान है; एक का फ़्लक्स दूसरे का चार गुना है। उनकी दूरियों की तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 29.10.

(क) किनारे पर, वृत्ताकार कक्षा में स्थित एक तारे के लिए $V^2/R \approx GM/R^2$ होता है (गोलीय सन्निकटन)। (ख) $R = \sqrt{M/(\pi\Sigma)}$, अतः $V^2 = GM/R = G\sqrt{\pi\Sigma}\,M^{1/2}$ और $M = V^4/(\pi\Sigma G^2) \propto V^4$; समान द्रव्यमान-दीप्ति अनुपात मानने पर $L \propto V^4$ भी। (ग) $(100/229)^4 = 0.036$: तेज़ मंदाकिनी 27 गुना अधिक द्रव्यमान वाली है। (घ) समान दीप्ति पर फ़्लक्स $1/d^2$ के अनुसार घटता है, अतः कम दीप्त मंदाकिनी दोगुनी दूरी पर है।

अभ्यास 29.11 ★★★

कुंडलन समस्या। एक चक्रिका समतल खंड वाले वक्र के साथ $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ पर घूमती है। (क) इस चाल को किलोपारसेक प्रति अरब वर्ष में बदलिए। (ख) शून्य समय पर तारों की एक सीधी भुजा 4 से $12\,\mathrm{kpc}$ तक फैली है। दोनों सिरों पर कक्षीय आवर्तकाल परिकलित कीजिए। (ग) $1\,\mathrm{Gyr}$ के बाद, उसका भीतरी सिरा अपने बाहरी सिरे से किस कोण से आगे बढ़ गया है? यह सर्पिल के कितने चक्कर के बराबर है, और भुजा कैसी दिखेगी? (घ) घनत्व-तरंग इससे कैसे बचती है?

हल

हल — अभ्यास 29.11.

(क) $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.0227\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$, अतः $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ के बराबर $234.2\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$ है। (ख) $2\pi R/V$: $4\,\mathrm{kpc}$ पर $107\,\mathrm{Myr}$, $12\,\mathrm{kpc}$ पर $322\,\mathrm{Myr}$। (ग) $\Delta\phi = Vt\,(1/4 - 1/12) = 234.2\times0.1667 = 39.0\,\mathrm{rad}$, 6.2 चक्कर: भुजा 4 और $12\,\mathrm{kpc}$ के बीच छह कसे चक्करों की कुंडली होगी, जो देखी गई भुजाओं से कहीं अधिक कसी है, और हर अगले घूर्णन पर और भी कसी होती जाएगी। (घ) घनत्व-तरंग में प्रतिरूप एक ही कोणीय वेग से, ठोस पिंड की भाँति घूमता है; तारे और गैस उसमें से होकर गुज़रते हैं, इसलिए भुजाओं का आकार नहीं लिपटता।

अभ्यास 29.12 ★★★

केंद्र पर स्थित कृष्ण विवर। केंद्रीय द्रव्यमान को $4.2 \times 10^{6}$ सौर द्रव्यमान और $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$ मान लीजिए। (क) तारा S2 इसकी परिक्रमा $16$ वर्ष में करता है: उसकी कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष खगोलीय इकाइयों में (सौर इकाइयों में केप्लर का तीसरा नियम, $a^3 = MP^2$ जिसमें $a$ au में, $P$ वर्षों में और $M$ सौर द्रव्यमानों में है) और उसका कोणीय आकार पृथ्वी से देखा गया परिकलित कीजिए। (ख) कृष्ण विवर की श्वार्ट्सचाइल्ड त्रिज्या मीटर में और खगोलीय इकाइयों में, तथा पृथ्वी से उसके व्यास द्वारा अंतरित कोण, माइक्रोआर्कसेकंड में परिकलित कीजिए। (ग) इसकी श्वार्ट्सचाइल्ड त्रिज्या के भीतर द्रव्यमान का माध्य घनत्व, सौर द्रव्यमान प्रति घन पारसेक में, परिकलित कीजिए, और उसकी तुलना सैजिटेरियस A* की गति द्वारा निर्धारित निम्न सीमा से कीजिए, जो $4 \times 10^{23}$ सौर द्रव्यमान प्रति घन पारसेक है।

हल

हल — अभ्यास 29.12.

(क) $a = (4.2\times10^6\times16^2)^{1/3} = 1024\,\mathrm{au}$; $8178\,\mathrm{pc}$ पर यह $1024/8178 = 0.125{}^{\prime\prime}$ कोण अंतरित करता है (एक पारसेक पर एक au एक आर्कसेकंड के बराबर होता है)। (ख) $R_S = 2GM/c^2 = 2\times6.674 \times 10^{-11} \times8.35 \times 10^{36}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.24 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.083\,\mathrm{au}$; व्यास $2R_S$ का कोण $0.166/8178 = 2.0 \times 10^{-5}$ आर्कसेकंड अंतरित करता है, लगभग $20\,\text{µ}\mathrm{as}$। (ग) $R_S = 4.02 \times 10^{-7}\,\mathrm{pc}$, और $M/(\tfrac43\pi R_S^3) = 1.5 \times 10^{25}$ सौर द्रव्यमान प्रति घन पारसेक, जो सैजिटेरियस A* की गति और आकार से तय निचली सीमा से चालीस गुना है: यह सीमा कृष्ण विवर के अपने घनत्व के चालीस गुने के भीतर आती है।

29.6 समस्या: आकाशगंगा का द्रव्यमान मापना

समस्या 29.1

सप्ताहांत समस्या — तारों और गैस की गतियों से $20\,\mathrm{kpc}$ के भीतर के अदीप्त द्रव्य तक

मान लीजिए $R_0 = 8.18\,\mathrm{kpc}$ और $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ प्रति सौर द्रव्यमान, और $4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ उस उचित गति के लिए जो $1\,\mathrm{kpc}$ पर $1\,\mathrm{mas}$ प्रति वर्ष है। सभी वेगें LSR के सापेक्ष हैं। अध्याय के ऊर्ट और स्पर्शबिंदु प्रमेयों का, और गतिकीय द्रव्यमानों के लिए गोलीय सन्निकटन $M = RV^2/G$ का उपयोग कीजिए।

भाग I — स्थानीय घूर्णन। लाल-क्लंप तारों का एक काल्पनिक सर्वेक्षण, जो सभी $d = 1.00\,\mathrm{kpc}$ दूरी पर मंदाकिनीय समतल में हैं, माध्य अरीय वेग देता है: $\ell = 45{}^{\circ}$ पर $+15.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $\ell = 135{}^{\circ}$ पर $-15.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, तथा देशांतर में माध्य उचित गतियाँ $\ell = 90{}^{\circ}$ पर $-5.91\,\mathrm{mas}$ प्रति वर्ष और $\ell = 0{}^{\circ}$ पर $+0.55\,\mathrm{mas}$ प्रति वर्ष।

1. ऊर्ट का सूत्र अरीय वेगों का क्या पूर्वानुमान देता है $\ell = 45{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$, $135{}^{\circ}$ और $180{}^{\circ}$ पर?
2. दो अरीय वेगों से $A$ परिकलित कीजिए।
3. $B$ को $\ell = 90{}^{\circ}$ पर उचित गति से परिकलित कीजिए।
4. $B$ को $\ell = 0{}^{\circ}$ पर उचित गति से फिर से परिकलित कीजिए, और तुलना कीजिए।
5. LSR की कोणीय चाल और वृत्तीय वेग $V_0$ परिकलित कीजिए।
6. सूर्य पर घूर्णन वक्र की प्रवणता परिकलित कीजिए। क्या वक्र बढ़ता, समतल खंड या घटता है?
7. सूर्य की कक्षा का आवर्तकाल और $4.54\,\mathrm{Gyr}$ में परिभ्रमणों की संख्या परिकलित कीजिए।

भाग II — आंतरिक घूर्णन वक्र। मान लीजिए $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$। 21-cm प्रोफ़ाइलों में सबसे ऊँचे अरीय वेग $\ell = 40{}^{\circ}$, $50{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ और $70{}^{\circ}$ पर 82.9, 55.6, 32.4 और $14.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ हैं।

8. स्पर्शबिंदु विधि को $0{}^{\circ} < \ell < 90{}^{\circ}$ की आवश्यकता क्यों होती है (या उसका दर्पण चतुर्थांश), और यह सौर वृत्त से परे क्यों विफल हो जाती है?
9. प्रत्येक देशांतर के लिए स्पर्शबिंदु की त्रिज्या परिकलित कीजिए।
10. प्रत्येक स्पर्शबिंदु पर $V(R)$ परिकलित कीजिए।
11. किलोहर्ट्ज़ में, $\ell = 40{}^{\circ}$ के स्पर्शबिंदु पर गैस की रेखा अपनी विराम आवृत्ति $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$ से कितनी विस्थापित है, और किस दिशा में?
12. लाल दानव वक्र से तुलना कीजिए, जो $5.27\,\mathrm{kpc}$ पर $226.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ देता है, और $7.22\,\mathrm{kpc}$ पर $229.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ देता है। क्या आंतरिक वक्र बढ़ता, समतल खंड या घटता है?
13. यदि $\ell = 40{}^{\circ}$ के स्पर्शबिंदु पर चाल उस केंद्रीय बिंदु-द्रव्यमान की होती जो सूर्य को $V_0$ पर धारण करता है, तो वह कितनी होती? यह तुलना द्रव्यमान के वितरण के बारे में क्या बताती है?

भाग III — दृश्य द्रव्यमान। अध्याय के द्रव्यमान मॉडल का उपयोग कीजिए, सौर द्रव्यमान और किलोपारसेक इकाइयों में: एक प्लमर उभार $M = 1.067 \times 10^{10}$, $b = 0.3$; एक पतली मियामोतो–नागाई चक्रिका $M = 3.944 \times 10^{10}$, $a = 5.3$, $b = 0.25$; उसी द्रव्यमान की एक मोटी चक्रिका, जिसके $a = 2.6$, $b = 0.8$ हैं।

14. मॉडल का कुल दृश्य द्रव्यमान परिकलित कीजिए और उसकी तुलना आकाशगंगा के तारकीय द्रव्यमान के समीक्षा-मान, $(5 \pm 1 \times 10^{10})\,$ सौर द्रव्यमान से कीजिए।
15. $20\,\mathrm{kpc}$ पर केवल उभार का वृत्तीय वेग परिकलित कीजिए।
16. $20\,\mathrm{kpc}$ पर पतली और मोटी चक्रिका के वृत्तीय वेग परिकलित कीजिए।
17. सभी दृश्य द्रव्यमान का वृत्तीय वेग $20\,\mathrm{kpc}$ पर परिकलित कीजिए।
18. $R_0$ पर वही परिकलित कीजिए, और $V_0$ से तुलना कीजिए।
19. यदि सभी दृश्य द्रव्यमान केंद्र पर संकेंद्रित होता, तो $20\,\mathrm{kpc}$ पर वेग क्या होता? मॉडल का मान उसके निकट क्यों है?

भाग IV — अदीप्त द्रव्य। लाल दानव $20\,\mathrm{kpc}$ पर $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ का वृत्तीय वेग देते हैं।

20. $20\,\mathrm{kpc}$ के भीतर गतिकीय द्रव्यमान परिकलित कीजिए।
21. दृश्य पदार्थ का गतिकीय द्रव्यमान $20\,\mathrm{kpc}$ के भीतर परिकलित कीजिए।
22. $20\,\mathrm{kpc}$ के भीतर अदीप्त द्रव्य का द्रव्यमान परिकलित कीजिए, और दिखाइए कि इसका अंश $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2$ है।
23. पूरे वक्र पर बैठाए गए NFW प्रभामंडल का $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ सौर द्रव्यमान प्रति घन किलोपारसेक और $R_s = 14.8\,\mathrm{kpc}$ है। इसका $20\,\mathrm{kpc}$ के भीतर द्रव्यमान और उससे निहित अदीप्त अंश परिकलित कीजिए। पिछले उत्तर से यह भिन्न क्यों है?
24. उस प्रभामंडल का $R_0$ पर घनत्व परिकलित कीजिए, सौर द्रव्यमान प्रति घन पारसेक में और $\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ में (एक सौर द्रव्यमान प्रति घन पारसेक $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ है)।
25. $20\,\mathrm{kpc}$ के भीतर द्रव्यमान का अदीप्त-द्रव्य अंश, जो मापे गए वेग से प्राप्त हो, प्रतिशत में, दो सार्थक अंकों तक दीजिए।

हल

हल — समस्या 29.1.

भाग I.

1. $v_r = A\,d\sin2\ell$: $45{}^{\circ}$ पर $+A d$, $90{}^{\circ}$ पर 0, $135{}^{\circ}$ पर $-A d$, और $180{}^{\circ}$ पर 0।

2. $A = (15.4 + 15.2)/(2\times1.00\,\mathrm{kpc}) = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

3. $90{}^{\circ}$ पर, $v_t = d(B - A) = 4.74\times(-5.91)\times1.00 = -28.02\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, अतः $B = 15.3 - 28.02 = -12.72\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

4. $0{}^{\circ}$ पर, $v_t = d(A + B) = 4.74\times0.55 = 2.61\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, अतः $B = 2.61 - 15.3 = -12.69$: दोनों $0.03$ के भीतर मेल खाते हैं।

5. $\omega_0 = A - B = 28.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ और $V_0 = 28.0\times8.18 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

6. $V'_0 = -(A + B) = -2.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: मंद गति से घटता हुआ।

7. $P = 2\pi/\omega_0$: $2\pi\times8.18\,\mathrm{kpc}/229.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 219\,\mathrm{Myr}$; $4540/219 = 20.7$ चक्कर।

भाग II.

8. स्पर्श बिंदु के लिए ऐसी दृष्टि-रेखा चाहिए जो केंद्र के सूर्य की तुलना में अधिक निकट से गुज़रे, अर्थात $\sin\ell > 0$ और $\ell < 90{}^{\circ}$ (या प्रतिबिंब चतुर्थांश, $270{}^{\circ} < \ell < 360{}^{\circ}$, जहाँ सबसे बड़ा वेग सबसे ऋणात्मक हो)। सौर वृत्त के बाहर केंद्र तक की दूरी दृष्टि-रेखा के पूरे मार्ग में बढ़ती जाती है: कोई बिंदु अलग नहीं किया जाता, और केवल वेग से यह नहीं बताया जा सकता कि गैस कहाँ है।

9. $R = 8.18\sin\ell$: $5.26\,\mathrm{kpc}\text{, }6.27\,\mathrm{kpc}\text{, }7.08\,\mathrm{kpc}\text{ और }7.69\,\mathrm{kpc}$।

10. $V = v_\mathrm{max} + V_0\sin\ell$: $82.9 + 147.2 = 230.1$, $55.6 + 175.4 = 231.0$, $32.4 + 198.3 = 230.7$, $14.9 + 215.2 = 230.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

11. $\Delta\nu = \nu v/c = 1.420\,406 \times 10^{9}\times82.9/299792 = 393\,\mathrm{kHz}$, कम आवृत्तियों की ओर: गैस दूर जा रही है।

12. लाल दानवों के वेग से लगभग $3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ के भीतर: 5 और $8\,\mathrm{kpc}$ के बीच वक्र समतल है।

13. बिंदु-द्रव्यमान के लिए $V = V_0\sqrt{R_0/R} = 229\times\sqrt{8.18/5.26} = 286\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ पहले स्पर्श बिंदु पर प्राप्त होता है, जो पाए गए $230\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ से कहीं अधिक तेज़ है: द्रव्यमान केंद्र पर संकेंद्रित नहीं है, इसका अधिकांश भाग 5 और $8\,\mathrm{kpc}$ के बीच तथा उससे आगे स्थित है।

भाग III.

14. $1.067 \times 10^{10} + 2\times3.944 \times 10^{10} = 8.96 \times 10^{10}$ सौर द्रव्यमान, समीक्षा के $5 \pm 1 \times 10^{10}$ से लगभग दोगुना; मॉडल के तारे संभवतः बहुत भारी हैं, जिससे नीचे पाया गया अदीप्त द्रव्य कम आँका गया होगा।

15. $V_b^2 = GMR^2/(R^2 + b^2)^{3/2} = 4.301 \times 10^{-6}\times1.067 \times 10^{10} \times400/(400.09)^{3/2}$, $V_b = 47.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

16. पतली: $(a + b)^2 = 30.80$, $V^2 = 4.301 \times 10^{-6}\times3.944 \times 10^{10} \times400/(430.8)^{3/2}$, $V = 87.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$। मोटी: $(a + b)^2 = 11.56$, $V = 90.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

17. $V_\mathrm{vis} = \sqrt{47.9^2 + 87.1^2 + 90.1^2} = 134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

18. $8.18\,\mathrm{kpc}$ पर: 74.8, 108.4 और $127.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, कुल मिलाकर $183.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ की तुलना में: दृश्य द्रव्यमान सूर्य की स्थिति पर ही कम पड़ जाता है।

19. $\sqrt{G\times8.96 \times 10^{10}/20} = 138.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$। मॉडल का $134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ निकट है, क्योंकि $20\,\mathrm{kpc}$ पर, चक्रिका की चार से छह मापनीय लंबाई बाहर, लगभग संपूर्ण दृश्य द्रव्यमान स्थित है कक्षा के भीतर: दृश्य वक्र केप्लरीय हो गया है।

भाग IV.

20. $M = 20\times200^2/4.301 \times 10^{-6} = 1.860 \times 10^{11}$ सौर द्रव्यमान।

21. $M_\mathrm{vis} = 20\times134.2^2/4.301 \times 10^{-6} = 8.37 \times 10^{10}$ सौर द्रव्यमान।

22. $M_\text{अदीप्त} = 1.860 \times 10^{11} - 8.37 \times 10^{10} = 1.02 \times 10^{11}$; क्योंकि दोनों द्रव्यमान $RV^2/G$ हैं, जो समान $R$ पर लिए गए हैं, अतः अंश है $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2 = 1 - (134.2/200)^2 = 0.550$.

23. $x = 20/14.8 = 1.351$, $\ln(2.351) - 1.351/2.351 = 0.8549 - 0.5748 = 0.2801$, $M = 4\pi\times1.06 \times 10^{7}\times14.8^3\times0.2801 = 1.21 \times 10^{11}$ सौर द्रव्यमान; अदीप्त अंश $1.21/(1.21 + 0.837) = 0.59$ है। प्रभामंडल को पूरे वक्र पर फ़िट किया गया है, जो $20\,\mathrm{kpc}$ पर इसे पार कर जाता है: वहाँ मापन चिकने मॉडल ($209\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$) से लगभग $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ नीचे गिरते हैं।

24. $x = 8.18/14.8 = 0.553$, $\rho = 1.06 \times 10^{7}/(0.553\times1.553^2) = 7.95 \times 10^{6}$ सौर द्रव्यमान प्रति घन किलोपारसेक, $0.0080$ प्रति घन पारसेक, या $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, वह मान जो फ़िट के लेखक उद्धृत करते हैं।

25. $1 - 8.37/18.60 = 0.550$: $20\,\mathrm{kpc}$ के भीतर के द्रव्यमान का अदीप्त-द्रव्य अंश है: $55\,\%$.