22जलवायु मॉडल

पृथ्वी तक पहुँचने वाले सूर्य के प्रकाश को लीजिए, जो पूरे गोले पर औसतन $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ है, और उस अवरक्त विकिरण के लिए एक नियम लीजिए जिसे पृथ्वी अंतरिक्ष में लौटाती है, जो प्रेक्षणों के तीस वर्षों के एक पुनर्विश्लेषण पर फ़िट किया गया है। मान लीजिए कि जैसे-जैसे सतह ठंडी होती है, ग्रह का एल्बिडो खुली भूमि और समुद्र के एल्बिडो से बढ़कर बर्फ़ के एल्बिडो तक पहुँच जाता है। दोनों फ़्लक्स को संतुलित कीजिए, तो समीकरण के तीन हल होते हैं: $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर एक ग्रह, जो वास्तविक पृथ्वी के माध्य के निकट है; $8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर एक ग्रह; और $-46\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर एक ग्रह, जो ध्रुव से ध्रुव तक जमा हुआ है। जलवायु मॉडल, इन कुछ पंक्तियों से लेकर सबसे बड़े कंप्यूटरों पर चलने वाले प्रोग्रामों तक, यह पूछने के उपकरण हैं कि किसी दिए गए ग्रह की कौन-सी जलवायु है, वह वहाँ कैसे पहुँची, और उसके ऊर्जा-संतुलन में गड़बड़ी होने पर वह कैसे बदलती है।

पहले से ज्ञात

कृष्णिका, स्टीफ़न–बोल्ट्ज़मान नियम, हरितगृह प्रभाव और वायुमंडल का एक-परत मॉडल भौतिकी की पुस्तकों में हैं; एल्बिडो और पृथ्वी का ऊर्जा बजट विद्यालय की पुस्तकों में। बाह्य दीर्घ-तरंग विकिरण, उत्सर्जन तापमान और उत्तर-दक्षिण ऊष्मा परिवहन पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में हैं, उसके विकिरण और ऊष्मा परिवहन वाले अध्याय में। हिम–एल्बिडो प्रतिपुष्टि और हिमगोल पृथ्वी पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) में हैं, उसके प्रीकैम्ब्रियन पृथ्वी वाले अध्याय में; प्रभावी विकिरणी, जलवायु प्रतिपुष्टि प्राचल $\lambda < 0$, साम्य जलवायु संवेदनशीलता (ECS) और क्षणिक जलवायु अनुक्रिया (TCR) उसके मानवजनित जलवायु परिवर्तन वाले अध्याय में; संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान और समष्टि पूर्वानुमान उसके मौसम तंत्र वाले अध्याय में। घूमती पृथ्वी पर गति के समीकरण, द्रवस्थैतिक सन्निकटन के साथ, अध्याय 19 में हैं।

22.1 ग्रह का ऊर्जा-संतुलन

गोले पर और एक वर्ष पर औसत लेने पर, वायुमंडल के शीर्ष पर हर वर्ग मीटर को $Q = S_0/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ प्राप्त होता है, जो सौर विकिरण-तीव्रता $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ का एक-चौथाई है। एक भाग $\alpha$, जिसे ग्रह का एल्बिडो कहते हैं, परावर्तित हो जाता है; शेष $Q(1 - \alpha)$ अवशोषित होता है और अवरक्त के रूप में अंतरिक्ष में लौटाया जाना चाहिए। एक कृष्णिका $\sigma T^4$ उत्सर्जित करती; पृथ्वी का बाह्य दीर्घ-तरंग विकिरण (OLR) इससे कम है, हरितगृह प्रभाव के कारण, और पृथ्वी पर पाए जाने वाले सतह-तापमानों की परास में वह लगभग एक सीधी रेखा है,

जहाँ $T$ डिग्री सेल्सियस में सतह का तापमान है। 1969 में बुडिको ने 260 केंद्रों पर परिकलित बाह्य विकिरण पर ऐसा ही एक नियम फ़िट किया, मेघाच्छादन $n$ के लिए एक सुधार के साथ: $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, $a = 14.0$, $b = 0.14$, $a_1 = 3.0$ और $b_1 = 0.10$ के साथ, $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ प्रति माह में, और $5\,\%$ से कम प्रकीर्णन के साथ। मेघाच्छादन के माध्य 0.5 के लिए यह $A = 199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ और $B = 1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ देता है। वार्षिक आंचलिक माध्य, NCEP–NCAR पुनर्विश्लेषण 1 के 1991–2020 के लिए, क्षेत्रफल से भारित, $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ और $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ देते हैं, रेखा के चारों ओर $10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ के प्रकीर्णन के साथ। नीचे ये मान प्रयोग किए जाते हैं।

परिभाषा 22.1 (ऊर्जा-संतुलन मॉडल)

एक ऊर्जा-संतुलन मॉडल एक जलवायु मॉडल है जो सतह का तापमान परिकलित करता है — एक एकल वैश्विक माध्य, या हर अक्षांश पर एक माध्य — अवशोषित सूर्य के प्रकाश, अंतरिक्ष में उत्सर्जित अवरक्त और, यदि तापमान अक्षांश पर निर्भर है, तो ध्रुवों की ओर ले जाई गई ऊष्मा के संतुलन से। इसके शून्य-आयामी रूप में

$$C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = Q\big(1 - \alpha(T)\big) - (A + BT) ,$$

जहाँ $C$ तंत्र के उस भाग की प्रति एकक क्षेत्रफल ऊष्माधारिता है जो सतह के साथ गर्म होता है।

$\alpha = 0.30$ के साथ साम्य है $T = (238 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; पुनर्विश्लेषण का क्षेत्रीय माध्य $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ है। कार्बन डाइऑक्साइड के परिवर्तन जैसा एक बल $F$ दाईं ओर जुड़ता है। किसी साम्य के निकट अनुक्रिया पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) के जलवायु प्रतिपुष्टि प्राचल $\lambda$ से नियंत्रित होती है: एल्बिडो स्थिर होने पर, $\lambda = -B$।

प्रमेय 22.2 (एक-बक्सा जलवायु की अनुक्रिया-काल)

मान लीजिए कोई जलवायु साम्य में है, और एक स्थिर बल $F$ $t = 0$ पर चालू किया जाता है। यदि साम्य से विचलन $T'$ $C\,\mathrm dT'/\mathrm dt = F + \lambda T'$ का पालन करता है, जहाँ $C > 0$ और $\lambda < 0$ स्थिर हैं, तो

$$T'(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - \mathrm e^{-t/\tau}\Big), \qquad \tau = -\frac{C}{\lambda} .$$

नया साम्य $-F/\lambda$ है, और जलवायु $1 - \mathrm e^{-1} = 0.63$ भाग का मार्ग समय $\tau$ में तय कर लेती है।

कुछ वर्षों में जो ऊष्माधारिता मायने रखती है, वह ऊपरी महासागर की है। जलवायु परिवर्तन पर अंतर-सरकारी पैनल की छठी आकलन रिपोर्ट का द्वि-परत एमुलेटर, जो 44 जलवायु मॉडलों पर अंशांकित है, सतह परत के लिए $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ मान देता है, जो $62\,\mathrm{m}$ गहरे समुद्री जल की एक परत की ऊष्माधारिता है। $\lambda = -B$ के साथ अनुक्रिया-काल $8.1/1.816 = 4.5\text{ वर्ष}$ है। वास्तविक जलवायु गहन महासागर को भी गर्म करती है, बहुत धीरे; अनुभाग 22.4 इसे जोड़ता है।

22.2 हिम, एल्बिडो और बहु साम्यावस्थाएँ

पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) की हिम–एल्बिडो प्रतिपुष्टि एल्बिडो को तापमान पर निर्भर बनाती है। मान लीजिए ऐसे ग्रह के लिए $\alpha = 0.62$ है, जिसकी सतह $T_I = -10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे है, बुडिको के मॉडल में बर्फ़ का एल्बिडो, $\alpha = 0.30$ है और $T_F = +10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर, इनके बीच एक सीधी रेखा, जैसे-जैसे बर्फ़ पीछे हटती है। रैंप इस अध्याय का एक चुनाव है; कोई भी एल्बिडो जो ग्रह ठंडा होने पर बढ़ता है, वही तस्वीर देता है।

परिभाषा 22.3 (बहु जलवायु साम्यावस्थाएँ; सैडल-नोड द्विभाजन)

किसी जलवायु मॉडल में बहु जलवायु साम्यावस्थाएँ तब होती हैं जब समान बाह्य परिस्थितियों के लिए उसकी एक से अधिक स्थायी अवस्थाएँ हों। कोई साम्यावस्था स्थिर होती है यदि उससे छोटा विचलन क्षय हो जाए, और अस्थिर यदि वह बढ़े। एक सैडल-नोड द्विभाजन वह प्राचल का मान है जिस पर एक स्थिर और एक अस्थिर साम्यावस्था आपस में मिलती हैं और एक साथ लुप्त हो जाती हैं।

प्रतिज्ञप्ति 22.4 (तीन साम्यावस्थाएँ और उनकी स्थिरता)

मान लीजिए शुद्ध अधोमुखी फ़्लक्स $N(T) = Q(1 - \alpha(T)) - (A + BT)$ है। एक साम्यावस्था $T^*$, $N(T^*) = 0$, स्थिर है यदि $N'(T^*) < 0$ और अस्थिर है यदि $N'(T^*) > 0$। ऊपर के रैंप के साथ $N' = -B$ हिमगोल और बर्फ़-मुक्त शाखाओं पर है, जो जहाँ भी विद्यमान हैं, वहाँ स्थिर हैं, और $N' = -B - Q\,\mathrm d\alpha/\mathrm dT$ रैंप पर, जो तब अस्थिर है जब $Q\, |\mathrm d\alpha/\mathrm dT| > B$। $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ के लिए मॉडल में तीन साम्यावस्थाएँ हैं, $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (स्थिर), $7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (अस्थिर) और $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (स्थिर)।

जैसे-जैसे $Q$ घटता है, गरम साम्यावस्था ठंडी होती है और रैंप वाली साम्यावस्था गरम होती है। ये रैंप के शिखर पर मिलती हैं, $T = T_F$ पर, जहाँ $Q(1 - 0.30) = A + 10B$: $Q = 328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, जो $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ का सौर स्थिरांक है, आज के मान से $3.3\,\%$ कम। यह एक सैडल-नोड द्विभाजन है: इससे नीचे एकमात्र साम्यावस्था हिमगोल है, और जलवायु उसी में गिर जाती है। सूर्य को फिर उठाने से गरम ग्रह वापस नहीं आता: हिमगोल शाखा तभी समाप्त होती है जब उसका तापमान $T_I$ तक पहुँचता है, $Q(1 - 0.62) = A - 10B$, सौर स्थिरांक $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ पर, आज के मान से $50\,\%$ ऊपर। इन दोनों के बीच ग्रह की अवस्था उसके इतिहास पर निर्भर करती है: मॉडल में हिस्टैरिसिस है। वास्तविक नियोप्रोटेरोज़ोइक में पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) वाले हिमगोल से निकलने का रास्ता चमकीला सूर्य नहीं, बल्कि ज्वालामुखियों की कार्बन डाइऑक्साइड थी, जो लाखों वर्षों में जमा होती रही, जब तक ग्रीनहाउस प्रणोदन हिमविगलन की सीमा तक पहुँचा; तब हिम-रेखा ध्रुवों की ओर कुछ हज़ार वर्षों में पीछे हट गई।

22.3 बुडिको–सेलर्स मॉडल

एक ही तापमान से हिम-रेखा नहीं बनती। 1969 में बुडिको ने तापमान को अक्षांश पर निर्भर रखा और पूछा कि सूर्यप्रकाश में कमी हिम को भूमध्य रेखा की ओर कितनी दूर धकेलेगी।

परिभाषा 22.5 (बुडिको–सेलर्स मॉडल)

बुडिको–सेलर्स मॉडल एक ऊर्जा-संतुलन मॉडल है, जिसमें वार्षिक माध्य तापमान $T(x)$ $x = \sin\varphi$ पर निर्भर करता है, जहाँ $\varphi$ अक्षांश है, और गोलार्ध सममित हैं। प्रत्येक अक्षांश पर

$$C\,\frac{\partial T}{\partial t} = Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - (A + BT) - D(x) ,$$

जहाँ $s(x)$ उस अक्षांश के वार्षिक सूर्यातप का अपने वैश्विक माध्य से भाग है, $D(x)$ ध्रुवाभिमुख ऊष्मा परिवहन का अपसरण है, और एल्बिडो ध्रुवों की ओर हिम-रेखा $x_s$ के पार अपना हिम-मान लेता है, जहाँ $T$ एक क्रांतिक तापमान $T_c$ से नीचे गिरता है। बुडिको ने $D = \beta(T - \bar T)$ लिखा, जो वैश्विक माध्य $\bar T$ की ओर शिथिलन है; विसरणी रूप में, $D = -\mathcal D\,\partial_x\big[(1 - x^2)\,\partial_xT\big]$.

गुणक $x = \sin\varphi$ इसलिए चुना जाता है, क्योंकि $x$ के समान अंतराल गोले के समान क्षेत्रफल घेरते हैं, ताकि वैश्विक माध्य $\int_0^1\cdot\,\mathrm dx$ होता है। बुडिको ने $\beta = 0.235\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ प्रति माह और प्रति अंश पाया, $3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, जो अक्षांश के साथ तापमान के प्रेक्षित वितरण से निकला। उन्होंने हिम पर एल्बिडो 0.62 और उसके किनारे पर 0.50 रखा, जहाँ हिम टूटी हुई है, और वर्तमान हिम-किनारे को औसत अक्षांश $72{}^{\circ}$ N पर लिया; क्रांतिक तापमान वह है जो किनारे को ठीक वहीं रखता है।

प्रतिज्ञप्ति 22.6 (बुडिको के मॉडल की हिम-रेखा)

मान लीजिए $F(x_s) = \int_0^{x_s}s\,\mathrm dx$ सूर्यप्रकाश का वह भाग है जो हिम-रेखा के भूमध्य की ओर पड़ता है, और $\bar\alpha = \alpha_FF + \alpha_I(1 - F)$ सूर्यप्रकाश से भारित माध्य एल्बिडो है। बुडिको के मॉडल की स्थायी अवस्था में,

$$B\bar T = Q(1 - \bar\alpha) - A, \qquad T(x) = \frac{Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - A + \beta\bar T}{B + \beta} ,$$

और $x_s$ पर हिम-रेखा, जहाँ $T = T_c$ और किनारे का एल्बिडो $\alpha_e$ है, उसके लिए निम्न संबंध आवश्यक है:

$$Q(x_s) = \frac{(B + \beta)T_c + A(1 + \beta/B)}{s(x_s)(1 - \alpha_e) + (\beta/B)\big(1 - \bar\alpha(x_s)\big)} .$$

हिम-रेखा वहाँ स्थायी है जहाँ $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$ है, और वहाँ अस्थायी है जहाँ $\mathrm dQ/\mathrm dx_s < 0$ है।

इसका अर्थ शून्य-आयामी मॉडल वाला ही है: स्थायी शाखा के साथ थोड़ा अधिक सूर्यप्रकाश हिम-रेखा को ध्रुव की ओर धकेलता है। वह तापमान जिस पर किनारा आज स्थित है, $T_c = -12.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तय करता है; पुनर्विश्लेषण $72{}^{\circ}$ पर $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ देता है, जो दोनों गोलार्धों का माध्य है। मॉडल की नीचे दी गई रूपरेखा उष्णकटिबंध में प्रेक्षित रूपरेखा से ठंडी है, और ध्रुवों के निकट कहीं अधिक गर्म: एक अकेला गुणांक $\beta$ पूरी रूपरेखा में फिट नहीं बैठ सकता। इसका वैश्विक माध्य, $12.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ और भूमध्य रेखा पर इसका तापमान, $22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, प्रेक्षित $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ और $25.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ के निकट हैं।

स्थायी शाखा का एक न्यूनतम है। इन मानों के साथ वह $47.7{}^{\circ}$ पर है, $Q/Q_0 = 0.9713$ के लिए: सूर्यप्रकाश में $2.87\,\%$ की कमी हिम को मध्य अक्षांशों तक ले आती है, और इससे आगे की कोई भी कमी उसे भूमध्य रेखा तक भेज देती है। बुडिको ने अपने स्वयं के गुणांकों के साथ एक छोटी सीमा पाई: $1.6\,\%$ की कमी ने उनकी हिम को लगभग $50{}^{\circ}$ के औसत अक्षांश तक पहुँचाया, जिसके बाद वह स्वतः भूमध्य रेखा की ओर बढ़ गई और औसत तापमान शून्य से कई दर्जन अंश नीचे गिर गया। OLR और एल्बिडो का फिट संख्या को बदलता है; वक्र की आकृति, उसका न्यूनतम और उसके आगे का अनियंत्रित विस्तार नहीं बदलते। मॉडल का विसरणी रूप, जिसे $x$ में लीजेंडर बहुपदों से हल किया जाता है, वही आकृति देता है (अभ्यास 22.10 बिना हिम वाले ग्रह से निपटता है)।

22.4 द्वि-परत मॉडल

एक-बॉक्स मॉडल का प्रतिक्रिया काल, जो कुछ वर्ष है, ऊपरी महासागर का है। उसके नीचे गहन महासागर सदियों तक ऊष्मा अवशोषित करता है, और जब तक वह ऐसा करता है, सतह अपने साम्य से ठंडी रहती है।

परिभाषा 22.7 (द्वि-परत ऊर्जा-संतुलन मॉडल)

द्वि-परत ऊर्जा-संतुलन मॉडल जलवायु को एक सतही परत से, जिसका तापमान विचलन $T$ और ऊष्मा धारिता $C$ है, तथा एक गहन महासागर से, जिसका तापमान विचलन $T_d$ और ऊष्मा धारिता $C_d$ है, ऊष्मा-विनिमय गुणांक $\gamma > 0$ से युग्मित करके निरूपित करता है:

$$C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = F + \lambda T - \gamma(T - T_d), \qquad C_d\,\frac{\mathrm dT_d}{\mathrm dt} = \gamma(T - T_d) .$$

प्रमेय 22.8 (तीव्र और मंद अनुक्रियाएँ)

माना $\lambda < 0$, $\gamma > 0$, $C, C_d > 0$ है, और एक स्थिर बल $F$, जो $t = 0$ पर साम्य से आरंभ होता है, तब

$$T(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - a_f\,\mathrm e^{-t/\tau_f} - a_s\,\mathrm e^{-t/\tau_s}\Big), \qquad a_f + a_s = 1 ,$$

जहाँ $1/\tau_f$ और $1/\tau_s$ निम्न द्विघात समीकरण के मूल हैं: $r^2 - \big((\gamma - \lambda)/C + \gamma/C_d\big)r - \lambda\gamma/(CC_d) = 0$। जब $C \ll C_d$ हो,

$$\tau_f \approx \frac{C}{\gamma - \lambda}, \qquad \tau_s \approx \frac{C_d(\gamma - \lambda)}{-\lambda\gamma}, \qquad a_f \approx \frac{-\lambda}{\gamma - \lambda} .$$

मूल्यांकन के एमुलेटर में, जो 44 मॉडलों पर अंशांकित है, $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $C_d = 110\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ और $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ है; इसका प्रतिपुष्टि प्राचल लगभग $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ पर नमूना लिया गया है। ये मान $\tau_f = 4.1\text{ वर्ष}$ और $\tau_s = 262\text{ वर्ष}$ देते हैं, साथ ही $a_f = 0.67$: $62\,\%$ तापन एक दशक के भीतर आ जाता है, शेष अधिकांश सदियों में आता है। एमुलेटर पहले समीकरण के ऊष्मा-विनिमय को भी प्रभाविता $\varepsilon = 1.34$ से गुणा करता है, जो सतह को और धीमा कर देता है; यहाँ इसे 1 रखा गया है।

यह मॉडल पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) की दो संवेदनशीलताएँ देता है। इसका ECS $-F_{2\times}/\lambda = 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ है। दशकों तक चलने वाले रैंप के दौरान सदियों के समय-पैमाने वाला गहन महासागर मुश्किल से गरम हुआ है, और सतह तीव्र संतुलन के निकट है, $T \approx F/(\gamma - \lambda)$: TCR लगभग $3.93/1.95 = 2.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ है, जबकि समाकलन के लिए $1.99\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ है। प्रभाविता के साथ, $\gamma$ $\kappa = \varepsilon\gamma = 0.84\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ द्वारा प्रतिस्थापित होता है, और $\text{TCR} = F_{2\times}/(\kappa - \lambda) = 1.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ है, जो रिपोर्ट द्वारा आकलित सर्वोत्तम अनुमान है, जो ECS भी आकलित करती है, जिसका मान $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ है, संभावित 2.5 से $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक (उच्च विश्वास)। मूल्यांकन पाता है कि मॉडलों के बीच $\gamma$ और $\varepsilon$ के अंतर 10 से $20\,\%$ उनके TCR के प्रसार का समझाते हैं।

यह इतना सरल मॉडल, जिसे किसी बड़े मॉडल के वैश्विक तापमान को दोहराने के लिए समायोजित किया गया हो, एक एमुलेटर है। मूल्यांकन ने एक सरल जलवायु मॉडल चलाया, जिसका तापमान-मॉड्यूल यह द्वि-परत मॉडल है, दस लाख सदस्यों की समष्टि के रूप में, जिसके प्राचलों की परासों पर प्रतिचयन किया गया, और उनमें से वे 2237 सदस्य रखे गए जिन्होंने 1850 से देखी गई तापन, महासागर द्वारा अवशोषित ऊष्मा, वायु की कार्बन डाइऑक्साइड और उत्सर्जन का वह अंश जो उसमें रहता है।

22.5 सामान्य परिसंचरण मॉडल

ऊर्जा-संतुलन मॉडल में उसकी प्रतिपुष्टियाँ और उसका परिवहन दिया जाता है; सामान्य परिसंचरण मॉडल उन्हें भौतिकी के नियमों से परिकलित करता है।

परिभाषा 22.9 (सामान्य परिसंचरण मॉडल; गतिक क्रोड; प्राचलीकरण)

एक सामान्य परिसंचरण मॉडल (GCM) वायुमंडल, महासागर, या दोनों के युग्मित रूप का एक संख्यात्मक मॉडल है, जो घूर्णन करती पृथ्वी पर किसी तरल की गति, सातत्य और ऊर्जा के समीकरण हल करता है, वायुमंडल के लिए द्रवस्थैतिक सन्निकटन के साथ, जिन्हें “आदिम समीकरण” कहते हैं, त्रि-आयामी जालिका पर, जो पूरे गोले को ढकती है, समय में आगे बढ़ते हुए हल किए जाते हैं। इसका गतिक क्रोड वह भाग है जो इन समीकरणों को जालिका द्वारा विभेदित गतियों के लिए हल करता है। एक प्राचलीकरण एक जालिका-कोष्ठ से छोटी प्रक्रिया के प्रभाव को विभेदित चरों पर निरूपित करता है, जैसे बादल, संवहन, प्रक्षुब्धता और गुरुत्व तरंगें, जिन्हें विभेदित चरों के एक सूत्र से व्यक्त किया जाता है, जिसके प्राचल मॉडलकार चुनते हैं।

विभेदन तय करता है कि किसका प्राचलीकरण करना होगा। 1990 के सामान्य परिसंचरण मॉडलों के जालिका-कोष्ठ लगभग $500\,\mathrm{km}$ चौड़े थे; पिछले मूल्यांकन के वैश्विक मॉडलों के लगभग $100\,\mathrm{km}$; क्षेत्रीय मॉडलों के 25 से $50\,\mathrm{km}$, और एक समर्पित अंतर-तुलना ने लगभग 50, 25 और यहाँ तक कि $10\,\mathrm{km}$ की वैश्विक जालिकाओं की खोज की है। एक अकेला संवहनी बादल किसी वैश्विक कोष्ठ से कहीं छोटा होता है: संवहन का प्राचलीकरण किया जाता है, और उसे विभेदित करने योग्य पर्याप्त सूक्ष्म क्षेत्रीय मॉडल अब अंतर-तुलनाओं में शामिल हैं।

परिभाषा 22.10 (पृथ्वी तंत्र मॉडल)

एक पृथ्वी तंत्र मॉडल (ESM) वायुमंडल और महासागर का एक सामान्य परिसंचरण मॉडल है, जो समुद्री हिम, भूमि की सतह और उसकी वनस्पति, तथा कार्बन चक्र के मॉडलों से युग्मित होता है, ताकि ग्रीनहाउस गैसों की सांद्रता और सतह के गुण उस जलवायु पर प्रतिक्रिया दे सकें जिसे वे स्वयं बनाने में सहायक होते हैं।

पृथ्वी तंत्र मॉडल मूल्यांकन द्वारा प्रयुक्त सबसे जटिल मॉडल हैं। 1990 के दशक में युग्मित वायुमंडल-महासागर मॉडल अत्याधुनिक थे; 2010 तक भूमि, वनस्पति और कार्बन चक्र जोड़े जा चुके थे, और हिमचादर मॉडल अब उनसे युग्मित किए जा रहे हैं। इनके अधिकांश प्रक्षेपण फिर भी ग्रीनहाउस गैसों की निर्धारित सांद्रता के साथ चलाए जाते हैं; केवल उत्सर्जन-चालित प्रयोगों में मॉडल का कार्बन चक्र उन्हें परिकलित करता है। ऊर्जा-संतुलन मॉडलों और पृथ्वी तंत्र मॉडलों के बीच मध्यवर्ती जटिलता के मॉडलों की एक श्रेणी है, जो कई हज़ार वर्षों तक सुपरकंप्यूटर के बिना चलाने के लिए पर्याप्त सस्ते हैं।

परिभाषा 22.11 (स्पिन-अप)

किसी जलवायु मॉडल का स्पिन-अप वह स्थिर बल के अंतर्गत, किसी आरंभिक अवस्था से, तब तक का समाकलन है जब तक उसके धीमे घटक — विशेषकर गहन महासागर और कार्बन भंडार — बहना बंद न कर दें; प्रयोग उसी अवस्था से शुरू होते हैं जिस तक वह पहुँचता है।

दो-परत मॉडल दिखाता है कि स्पिन-अप लंबा क्यों होता है: उसका धीमा समय-मापक्रम $262$ वर्ष है, और उनमें से तीन के बाद, लगभग आठ शताब्दियों के बाद भी, बहाव आरंभिक असंतुलन का $5\,\%$ है। आकलन में यह उल्लेख है कि मॉडलों के स्पिन-अप में उपयोग की गई भिन्न-भिन्न रणनीतियों ने उनके प्रदर्शन को प्रभावित किया।

22.6 मॉडलों का मूल्यांकन

किसी मॉडल की जाँच देखे गए जलवायु से की जाती है; कठिनाई यह है कि उसे भी उसी के अनुसार समायोजित किया गया है। हर प्राचलीकरण के ऐसे प्राचल होते हैं जिनकी स्वीकार्य परास भौतिकी और प्रेक्षण से तय होती है, और जैसे-जैसे घटक जोड़े जाते हैं, मॉडलकार उन्हें तब तक परिष्कृत करते हैं जब तक अनुकृत जलवायु कुछ ट्यूनिंग लक्ष्यों पर खरी न उतरे: माध्य जलवायु — उदाहरण के लिए, माध्य तापमान, जो आज के सूर्यप्रकाश में प्रेक्षित तापमान के निकट हो — क्षेत्रीय विशेषताएँ, या ऐतिहासिक काल की प्रवृत्तियाँ। तभी मॉडल अंतर-तुलनाओं के लिए जारी किया जाता है।

परिभाषा 22.12 (मॉडल अंतर-तुलना परियोजना)

मॉडल अंतर-तुलना परियोजना प्रयोगों का एक समन्वित समूह है — वही बल, वही प्रोटोकॉल, वही निर्गम — जिसे कई मॉडलिंग समूह अपने-अपने मॉडलों से चलाते हैं, ताकि परिणामों की तुलना की जा सके। युग्मित मॉडल अंतर-तुलना परियोजना (CMIP) क्रमिक चरणों में चलती है; इसका छठा चरण, CMIP6, छठे आकलन का एक प्रमुख साक्ष्य-स्रोत रहा।

आँकड़े: वर्ष 2021

CMIP6 के जिन $29$ मॉडलिंग समूहों ने बताया कि उन्होंने ट्यूनिंग कैसे की, उनमें से $23$ ने अपने मॉडल को ऐतिहासिक काल में प्रेक्षित तापन से ट्यून नहीं किया, और $25$ ने उसकी ECS को ट्यून नहीं किया: अधिकांश मॉडलों की संवेदनशीलता एक उद्भूत गुण है, निवेश नहीं। औसतन CMIP6 मॉडलों की ECS और TCR पिछले चरण के मॉडलों से अधिक हैं, और उनका प्रसार रिपोर्ट द्वारा आकलन की गई परासों से चौड़ा है; कुछ मॉडलों में इसका कारण मध्य और उच्च अक्षांशों के बादलों की प्रतिपुष्टि पाया गया। कुछ सबसे संवेदनशील मॉडल हाल के प्रेक्षित तापन और अतीत की जलवायु को कम अच्छी तरह दोहराते हैं। इसलिए आकलन ने ECS और TCR की परासें मॉडलों से सीधे नहीं लीं, बल्कि प्रतिपुष्टि प्रक्रियाओं की समझ से, उपकरणीय अभिलेख, अतीत की जलवायु और उद्भूत व्यवरोधों से लीं; वह सबसे संवेदनशील मॉडलों को कम संभाविता और उच्च प्रभाव वाले परिणामों के मार्गदर्शक के रूप में लेता है (उच्च विश्वास)।

परिभाषा 22.13 (बृहत् समष्टि; उद्भूत व्यवरोध)

बृहत् समष्टि वह अनेक अनुकरणों का समूह है जो एक ही मॉडल द्वारा, एक ही काल पर समान बलों के अंतर्गत किए जाते हैं, और केवल अपनी आरंभिक अवस्थाओं में भिन्न होते हैं। उद्भूत व्यवरोध वह संबंध है जो भिन्न-भिन्न मॉडलों की एक समष्टि में पाया जाता है और वर्तमान जलवायु की किसी प्रेक्षणीय राशि और भविष्य की किसी राशि, जैसे ECS, के बीच होता है; पहली का प्रेक्षित मान फिर दूसरी की परास को संकीर्ण कर देता है।

जलवायु अराजक है, इसलिए आरंभिक अवस्था के सूक्ष्म अंतर भी बृहत् समष्टि के सदस्यों को भिन्न मार्गों पर भेज देते हैं: सदस्यों का प्रसार आंतरिक परिवर्तनशीलता को मापता है, और उनका माध्य बाध्य अनुक्रिया को। कई मॉडलों की बृहत् समष्टियों ने आकलन को समर्थन दिया। किसी उद्भूत व्यवरोध को भौतिक कारण चाहिए। कुछ दर्जन मॉडलों में हज़ारों प्रेक्षणीय राशियों को आज़माया जा सकता है, और कुछ संयोग से ECS से सहसंबद्ध निकल आएँगी; आकलन ने उन्हें रखा जिनका भौतिक आधार था, जिनमें से कई उष्णकटिबंधीय बादलों से संबंधित हैं, और चेतावनी दी कि समष्टि के सभी मॉडलों में साझा पूर्वाग्रह इस विधि को निष्फल कर देता है।

प्रयोगशाला में — एक मॉडलिंग केंद्र

एक जलवायु मॉडलिंग केंद्र में मॉडल एक ऐसा प्रोग्राम है जो एक दल द्वारा लिखा और रखरखाव किया जाता है: वायुमंडल, महासागर, समुद्री हिम और भूमि अलग-अलग घटक हैं, जो अपनी सीमाओं पर एक युग्मक के ज़रिए फ़्लक्स का आदान-प्रदान करते हैं। किसी चलाने से पहले प्रयोग के बल पढ़े जाते हैं — ग्रीनहाउस गैसों की सांद्रता, एरोसोल, प्रोटोकॉल का भूमि उपयोग। ग्लोब को टुकड़ों में बाँटा जाता है, जिन्हें सुपरकंप्यूटर के प्रोसेसर साथ-साथ गणना करते हैं, और एक सदी की मॉडल जलवायु फ़ील्डों के एक बड़े अभिलेख के रूप में लौटती है। वैज्ञानिक उन्हें स्क्रीनों पर दिखाते हैं, पुनर्विश्लेषणों और उपग्रह अभिलेखों से उनकी तुलना करते हैं, और मानक निर्गम अंतर-तुलना के अभिलेखागार को भेजते हैं, जहाँ अन्य समूह उनकी तुलना अपने मॉडलों से करते हैं।

22.7 अभ्यास

अभ्यास 22.1 ★

बुडिको का OLR नियम है $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, जहाँ $a = 14.0$, $b = 0.14$, $a_1 = 3.0$, $b_1 = 0.10$, $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ प्रति माह में और $T$ ${}^{\circ}\mathrm{C}$ में। $n = 0.5$ के मेघाच्छादन के लिए $A$ और $B$ परिकलित कीजिए, और उन्हें $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ तथा $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ में बदलिए, जहाँ एक माह 365.25 दिनों वाले वर्ष का बारहवाँ भाग है। यह नियम $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर कितना OLR देता है?

हल

हल — अभ्यास 22.1.

$A = 14.0 - 1.5 = 12.5$ और $B = 0.14 - 0.05 = 0.09$, $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ प्रति माह में। एक माह $2.63 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ का है, इसलिए $1\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ प्रति माह $4.184 \times 10^{7}/2.63 \times 10^{6} = 15.91\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ होता है: $A = 199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $B = 1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$। $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर, $199 + 21.5 = 220\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$।

अभ्यास 22.2 ★

$Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ और $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ के साथ साम्य तापमान परिकलित कीजिए, एल्बिडो 0.30 और 0.31 के लिए। एल्बिडो में 0.01 की वृद्धि इस ग्रह को कितना ठंडा करती है?

हल

हल — अभ्यास 22.2.

$(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; 0.31 के लिए, $(234.6 - 211.9)/1.816 = 12.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$। एल्बिडो के हर 0.01 पर $3.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ का ह्रास होता है, और $3.4/1.816 = 1.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$।

अभ्यास 22.3 ★

समुद्री जल की मिश्रित परत, जिसकी गहराई $60\,\mathrm{m}$ है, उसकी प्रति वर्ग मीटर ऊष्माधारिता परिकलित कीजिए, जहाँ $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ और $c_p = 3992\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ है, उसे $\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$ और $\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$ में व्यक्त कीजिए। प्रमेय 22.2 की अनुक्रिया-काल $\lambda = -B = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ और $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ के लिए परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.3.

$C = 1025\times3992\times60 = 2.46 \times 10^{8}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$; इसे एक वर्ष के $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ से भाग देने पर $7.78\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$। तब $\tau = 7.78/1.816 = 4.3\text{ वर्ष}$, और $7.78/1.33 = 5.8\text{ वर्ष}$।

अभ्यास 22.4 ★

दो-परत मॉडल के लिए, जहाँ $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ और $F_{2\times} = 3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ के साथ ECS, लगभग TCR $F_{2\times}/ (\gamma - \lambda)$, और इन दोनों का अनुपात परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.4.

ECS $= 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx 3.93/1.95 = 2.02\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; अनुपात $0.68$।

अभ्यास 22.5 ★★

पाठ के शून्य-आयामी मॉडल में सौर स्थिरांक $1340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ लीजिए। तीनों साम्यावस्थाएँ ज्ञात कीजिए और प्रत्येक पर शुद्ध फ़्लक्स की प्रवणता $N'(T)$ निकालिए; कौन-सी स्थायी हैं?

हल

हल — अभ्यास 22.5.

$Q = 335\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$। हिमगोल: $(335\times0.38 - 211.9)/1.816 = -46.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; उष्ण: $(335\times0.70 - 211.9)/1.816 = 12.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, जो अब भी $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर है; रैंप: $335(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ से $T = 8.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ मिलता है। $N' = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ पहली दो अवस्थाओं पर, जो स्थायी हैं, और $-1.816 + 335\times0.016 = +3.54$ रैंप पर, जो अस्थायी है।

अभ्यास 22.6 ★★

पाठ के एल्बिडो रैंप को खिसकाइए: $\alpha = 0.62$ $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे, $0.30$ $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर, बीच में रैखिक। $A$ और $B$ यथावत् रखिए। किस सौर स्थिरांक पर उष्ण शाखा समाप्त होती है, और वह $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ से कितने प्रतिशत नीचे है? किस सौर स्थिरांक पर हिमगोल पिघलता है? सीमा का आकार क्या तय करता है?

हल

हल — अभ्यास 22.6.

उष्ण शाखा वहाँ समाप्त होती है जहाँ उसका तापमान $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक पहुँचता है: $0.70\,Q = A$, $Q = 302.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, जिसका सौर स्थिरांक $1211\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ है, जो आज से $11.0\,\%$ कम है। हिमगोल पिघलता है जब $0.38\,Q = A - 20B$, $Q = 462.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 = 1848\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$। देहली $B(T^* - T_F)/(Q_0(1 - \alpha_F))$ है, आज के तापमान $T^*$ और उस तापमान के बीच का अंतर, जिस पर हिम फैलना शुरू होता है, उसे सूर्य के प्रकाश में बदलने पर: $1.816\times14.37/238 = 11.0\,\%$ यहाँ, और $1.816\times4.37/238 = 3.3\,\%$ पाठ में।

अभ्यास 22.7 ★★

पाठ के मापदंडों वाला एक मॉडल ग्रह हिमगोल अवस्था में है। (क) आज के सौर स्थिरांक पर इसका तापमान क्या है? (ख) सूर्य को यथावत् रखते हुए, कौन-सा प्रणोदन $F$ हिमगोल के तापमान को $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक ले जाएगा? यह कार्बन डाइऑक्साइड के दोगुने होने के प्रणोदन $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ का कितना गुना है? (ग) बर्फ़ हट जाने के बाद, यदि प्रणोदन हटा दिया जाए, तो ग्रह किस अवस्था में स्थिर होगा?

हल

हल — अभ्यास 22.7.

(क) $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$। (ख) $340\times0.38 + F = 211.9 - 18.2$: $F = 64.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, दोगुने होने के प्रणोदन का 16 गुना है। (ग) जब तक प्रणोदन रहता है, तब ग्रह उष्ण शाखा पर कूद जाता है, $(238.0 + 64.5 - 211.9)/1.816 = 50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; इसे हटाने के बाद ग्रह उष्ण शाखा के साथ ठंडा होता है उष्ण शाखा के साथ $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक, जो आज के सूर्य पर विद्यमान है: वह हिमगोल पर वापस नहीं लौटता।

अभ्यास 22.8 ★★

मॉडल X, एक काल्पनिक दो-परत मॉडल, में $C = 7.0$ और $C_d = 90\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.70$ और $\lambda = -1.10\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ है। इसके दोनों समय-मापक्रम ठीक-ठीक तथा प्रमेय 22.8 के सन्निकटनों से परिकलित कीजिए, साथ ही अंश $a_f$, इसका ECS और लगभग TCR निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 22.8.

$\Sigma = 1.80/7.0 + 0.70/90 = 0.2649\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.10\times0.70/ (7.0\times90) = 1.222 \times 10^{-3}\,\mathrm{yr}^{-2}$। मूलों से $\tau_f = 3.84\text{ वर्ष}$ और $\tau_s = 213\text{ वर्ष}$; सन्निकटन $7.0/1.80 = 3.89\text{ वर्ष}$ और $90\times1.80/(1.10\times0.70) = 210\text{ वर्ष}$। $a_f = 0.597$ ठीक-ठीक, $1.10/1.80 = 0.611$ लगभग। ECS $= 3.93/1.10 = 3.57\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx 3.93/1.80 = 2.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$।

अभ्यास 22.9 ★★

पाठ के बुडिको मॉडल में $\bar T = 12.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\beta = 3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $72{}^{\circ}$ पर हिम-रेखा, विषुवत रेखा पर $s = 1.221$ और ध्रुव पर $0.506$, तथा $\alpha = 0.30$ और $0.62$ है। विषुवत रेखा और ध्रुव पर तापमान परिकलित कीजिए, और परिवहन द्वारा वहाँ से हटाई या वहाँ लाई गई ऊष्मा $\beta(T - \bar T)$ प्रति वर्ग मीटर निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 22.9.

हर $B + \beta = 5.555$। भूमध्य रेखा: $(340\times1.221\times0.70 - 211.9 + 3.74\times12.81)/5.555 = 22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; ध्रुव: $(340\times0.506\times0.38 - 211.9 + 47.9)/5.555 = -17.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$। परिवहन भूमध्य रेखा पर $3.74\times(22.8 - 12.8) = 37\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ हटाता है और ध्रुव तक $3.74\times30.6 = 114\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ पहुँचाता है।

अभ्यास 22.10 ★★★

बिना हिम वाले एक ग्रह ($\alpha = 0.30$ सर्वत्र) में विसरणी परिवहन $D = -\mathcal D\,\partial_x[(1 - x^2)\partial_xT]$ तथा सूर्यातप $s(x) = 1 + s_2P_2(x)$, $P_2 = (3x^2 - 1)/2$ है। (क) दिखाइए कि $\partial_x[(1 - x^2)\partial_xP_2] = -6P_2$। (ख) दिखाइए कि $T = T_0 + T_2P_2(x)$ एक स्थायी हल है, जहाँ $T_0 = (Q(1 - \alpha) - A)/B$ और $T_2 = Qs_2(1 - \alpha)/(B + 6\mathcal D)$ है। (ग) पुनर्विश्लेषण का सूर्यातप $s_2 = -0.476$ देता है। परिवहन के बिना विषुवत रेखा और ध्रुव के बीच तापमान का अंतर क्या होगा? (घ) कौन-सा $\mathcal D$ प्रेक्षित अंतर, $55.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, देता है?

हल

हल — अभ्यास 22.10.

(क) $(1 - x^2)P_2' = 3x - 3x^3$, जिसका अवकलज $3 - 9x^2 = -6P_2$ है। (ख) परिवहन पद $-\mathcal D T_2(-6P_2) = 6\mathcal DT_2P_2$ है। संतुलन $Q(1 + s_2P_2)(1 - \alpha) - A - B(T_0 + T_2P_2) - 6\mathcal DT_2P_2 = 0$ सभी $x$ के लिए तभी सही है जब इसका स्थिर भाग और इसका $P_2$ भाग शून्य हो, जिससे $T_0$ और $T_2$ मिलते हैं। (ग) $T(0) - T(1) = T_2(-\tfrac12 - 1) = -1.5\,T_2$। परिवहन के बिना $T_2 = 340\times(-0.476)\times0.70/1.816 = -62.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: अंतर $94\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ है। (घ) $T_2 = -55.3/1.5 = -36.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, इसलिए $B + 6\mathcal D = 113.3/36.9 = 3.07$ और $\mathcal D = 0.21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$।

अभ्यास 22.11 ★★★

(क) प्रमेय 22.8 के द्विघात समीकरण को $r^2 - \Sigma r + \Pi = 0$ के रूप में लिखिए और दिखाइए कि यदि $4\Pi \ll \Sigma^2$ हो, तो इसके मूल $\Sigma$ और $\Pi/\Sigma$ के लगभग बराबर होते हैं। (ख) एक रैखिक रूप से बढ़ते प्रणोदन $F = kt$ के लिए दिखाइए कि जब $t \gg \tau_f$ हो, और जब तक $T_d$ छोटा रहता है, $T \approx kt/(\gamma - \lambda)$ होता है; इससे लगभग TCR निकालिए। (ग) पाठ की संख्याएँ जाँचिए: $\Sigma$, $\Pi$, दोनों समय-मापक्रम, और अनुपात $4\Pi/\Sigma^2$।

हल

हल — अभ्यास 22.11.

(क) $r = \tfrac12\Sigma\big(1 \pm \sqrt{1 - 4\Pi/\Sigma^2}\big)$; $\sqrt{1 - \epsilon} \approx 1 - \epsilon/2$ लेने पर, मूल $\Sigma - \Pi/\Sigma \approx \Sigma$ और $\Pi/\Sigma$ हैं। (ख) $T_d = 0$ के साथ, $C\,\mathrm dT/\mathrm dt = kt - (\gamma - \lambda)T$ है, जिसका विराम से आरंभ होने वाला हल $T = k(t - \tau_f)/(\gamma - \lambda) + k\tau_f\mathrm e^{-t/\tau_f}/(\gamma - \lambda)$, $\tau_f = C/(\gamma - \lambda)$। $t \gg \tau_f$ के लिए, $T \approx kt/(\gamma - \lambda)$, और दोगुने होने पर, $kt = F_{2\times}$: TCR $\approx F_{2\times}/(\gamma - \lambda)$। (ग) $\Sigma = 1.95/8.1 + 0.62/110 = 0.2464\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.33\times0.62/(8.1\times110) = 9.25 \times 10^{-4}\,\mathrm{yr}^{-2}$; $\tau_f = 4.12\text{ वर्ष}$ और $\tau_s = 262\text{ वर्ष}$ (लगभग $1/\Sigma = 4.06\text{ वर्ष}$ और $\Sigma/\Pi = 266\text{ वर्ष}$); $4\Pi/\Sigma^2 = 0.061$।

अभ्यास 22.12 ★★★

एक काल्पनिक आठ मॉडलों की समष्टि वर्तमान जलवायु का एक प्रेक्षणीय $X$ और उनका ECS देती है:

$X$	0.2	0.5	0.6	0.8	1.0	1.1	1.3	1.5
ECS (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	2.3	2.7	3.1	3.2	3.8	3.9	4.4	4.6

(क) समष्टि के ECS का माध्य और मानक विचलन परिकलित कीजिए। (ख) न्यूनतम वर्ग से ECS $= a + bX$ का समंजन कीजिए; सहसंबंध और अवशिष्टों का मानक विचलन परिकलित कीजिए। (ग) प्रेक्षित $X$ $0.7 \pm 0.1$ है। यह व्यवरोध कौन-सा ECS देता है, और किस प्रसार के साथ? (घ) किस बात से आप इस व्यवरोध पर संदेह करेंगे?

हल

हल — अभ्यास 22.12.

(क) माध्य $3.50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, मानक विचलन $0.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$। (ख) ECS $= 1.88 + 1.86\,X$; सहसंबंध $0.992$; अवशिष्ट मानक विचलन $0.11\,{}^{\circ}\mathrm{C}$। (ग) $1.88 + 1.86\times0.7 = 3.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, और उसका प्रसार $\sqrt{(1.86\times0.1)^2 + 0.11^2} = 0.22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ है, जो समष्टि के प्रसार का लगभग एक-चौथाई है। (घ) $X$ को प्रतिपुष्टियों से जोड़ने वाली कोई भौतिक क्रियाविधि नहीं है; $X$ कई प्रेक्षणीय राशियों को आज़माकर चुना गया है, इसलिए सहसंबंध संयोग हो सकता है; एक पूर्वाग्रह सभी आठों मॉडलों में साझा है; और एक ही परिवार के मॉडलों को स्वतंत्र गिना गया है।

22.8 समस्या: हिमगोल से कितना निकट?

समस्या 22.1

सप्ताहांत समस्या — साम्यावस्थाएँ, स्थायित्व और हिमाच्छादन देहली

एक मॉडल ग्रह का आज का सौर स्थिरांक $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ है और OLR नियम $A + BT$ है, जहाँ $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ और $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ है। इसका एल्बिडो $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे 0.62, $+10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से ऊपर 0.30, बीच में रैखिक, और इसकी पृष्ठ ऊष्मा धारिता $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ है। $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ मान लीजिए।

भाग I — संतुलन में ग्रह।

1. ग्रह के प्रति वर्ग मीटर औसत सूर्यप्रकाश $Q_0$ परिकलित कीजिए, और इस गुणक को समझाइए।
2. एल्बिडो 0.30 के साथ अवशोषित सूर्यप्रकाश और $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर OLR परिकलित कीजिए।
3. उष्ण साम्यावस्था परिकलित कीजिए।
4. हिमगोल साम्यावस्था परिकलित कीजिए, और जाँच कीजिए कि वह हिम शाखा पर स्थित है।
5. एल्बिडो रैंप पर स्थित तीसरी साम्यावस्था परिकलित कीजिए।
6. अवशोषित सूर्यप्रकाश को कृष्ण पिंड के रूप में अंतरिक्ष में वापस भेजने वाला उत्सर्जन तापमान परिकलित कीजिए, और उसकी उष्ण साम्यावस्था से तुलना कीजिए।

भाग II — स्थायित्व और समय।

7. प्रत्येक साम्यावस्था पर शुद्ध फ़्लक्स की प्रवणता $N'(T)$ परिकलित कीजिए, और बताइए कौन-कौन स्थायी हैं।
8. मध्यवर्ती साम्यावस्था से एक छोटा विचलन $\mathrm e^{t/\tau}$ के रूप में बढ़ता है। $\tau$ परिकलित कीजिए।
9. उष्ण साम्यावस्था का अनुक्रिया काल परिकलित कीजिए।
10. $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ का विकिरणी प्रणोदन, जो कार्बन डाइऑक्साइड के दोगुने होने के बराबर है, चालू कर दिया जाता है। साम्य पर तापन परिकलित कीजिए, और उसकी तुलना वास्तविक जलवायु के लिए आकलित ECS से कीजिए।
11. मॉडल को तापन का $95\,\%$ पूरा करने में कितना समय लगता है? वास्तविक जलवायु को अधिक समय क्यों लगता है?

भाग III — सैडल-नोड द्विभाजन।

12. जैसे-जैसे सूर्य मंद होता है, किस तापमान पर उष्ण साम्यावस्था मध्यवर्ती साम्यावस्था से मिलती है? वहाँ $Q$ परिकलित कीजिए।
13. द्विभाजन पर सौर स्थिरांक, और आज से उसकी प्रतिशत में गिरावट परिकलित कीजिए।
14. उसके ठीक नीचे जलवायु कहाँ जाती है? उसका तापमान परिकलित कीजिए।
15. जिस सौर स्थिरांक पर हिमगोल गलता है, उसे परिकलित कीजिए, और आज से उसकी प्रतिशत में वृद्धि भी दीजिए।
16. जब $S_0$ को घटाकर द्विभाजन से नीचे ले जाया जाता है और $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ पर वापस लाया जाता है, तब तापमान द्वारा अनुसरित पाश का रेखाचित्र बनाइए।

भाग IV — हिम रेखा। ग्रह के लिए बुडिको का अक्षांशीय मॉडल, जिसमें $\beta = 3.739\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ है, और हिम एल्बिडो हिम रेखा के ध्रुव की ओर 0.62, भूमध्य की ओर 0.30, किनारे पर 0.50 और पुनर्विश्लेषण का सूर्यातप लेकर अपनाइए:

अक्षांश	$0{}^{\circ}$	$30{}^{\circ}$	$40{}^{\circ}$	$47.5{}^{\circ}$	$55{}^{\circ}$	$60{}^{\circ}$	$72{}^{\circ}$
$s(x_s)$	1.2211	1.0730	0.9647	0.8688	0.7650	0.6947	0.5643
$F(x_s)$	0	0.5865	0.7324	0.8192	0.8863	0.9205	0.9738

17. हिम रेखा $72{}^{\circ}$ पर होने पर माध्य एल्बिडो $\bar\alpha$ और माध्य तापमान $\bar T$ परिकलित कीजिए।
18. वह क्रांतिक तापमान $T_c$ परिकलित कीजिए, जिस पर किनारा आज $72{}^{\circ}$ पर होता है, और पुनर्विश्लेषण के मान $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से उसकी तुलना कीजिए।
19. प्रतिज्ञप्ति 22.6 में $Q(x_s)$ का अंश और अनुपात $\beta/B$ परिकलित कीजिए।
20. हिम रेखा $30{}^{\circ}$, $40{}^{\circ}$, $47.5{}^{\circ}$, $55{}^{\circ}$ और $60{}^{\circ}$ के लिए $Q(x_s)/Q_0$ परिकलित कीजिए।
21. इन मानों का न्यूनतम कहाँ है? कौन-सी हिम रेखाएँ स्थायी हैं?
22. आज के सूर्य के साथ मॉडल कौन-सी अन्य हिम रेखा की अनुमति देता है, और क्या वह स्थायी है? क्या आज हिमगोल संभव है? (स्तंभ $0{}^{\circ}$ का उपयोग कीजिए।)
23. अक्षांशीय मॉडल की देहली की तुलना भाग III की देहली से, बुडिको के $1.6\,\%$ से, और देहली पर हिम के अक्षांश की उनके $50{}^{\circ}$ से तुलना कीजिए।
24. मॉडल ग्रह को जो हिमाच्छादित कर देती है, सौर स्थिरांक की उस गिरावट को दो सार्थक अंकों तक, प्रतिशत में दीजिए।

हल

हल — समस्या 22.1.

1. $Q_0 = 1360/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: ग्रह सूर्य का प्रकाश $\pi R^2$ क्षेत्रफल की डिस्क पर ग्रहण करता है और उसे $4\pi R^2$ क्षेत्रफल के गोले पर फैलाता है।

2. $340\times0.70 = 238.0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $211.9 + 1.816\times15 = 239.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$।

3. $(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$।

4. $(129.2 - 211.9)/1.816 = -45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, जो $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे है।

5. $340(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$: $T = (183.6 - 211.9)/(1.816 - 5.44) = 7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$।

6. $(238.0/5.670 \times 10^{-8})^{1/4} = 254.5\,\mathrm{K}$, $-18.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: यह गर्म साम्य से $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ नीचे है, जिसमें ग्रह का ग्रीनहाउस प्रभाव $A$ और $B$ में समाहित है।

7. हिमगोल और गर्म साम्य पर $N' = -B = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, दोनों स्थायी हैं; बीच वाले साम्य पर $-1.816 + 5.44 = +3.62$ है, जो अस्थायी है।

8. $\tau = 8.1/3.62 = 2.2\text{ वर्ष}$।

9. $8.1/1.816 = 4.5\text{ वर्ष}$।

10. $3.93/1.816 = 2.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, जो आकलित सर्वोत्तम अनुमान $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे है और उसकी संभावित परास ($2.5$ से $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) से भी नीचे है: मॉडल का $B$, जो अक्षांशों के आर-पार फ़िट किया गया है, पूरी जलवायु का प्रतिपुष्टि प्राचल नहीं है।

11. $\mathrm e^{-t/\tau} = 0.05$, $t = 3\tau = 13\text{ वर्ष}$ पर। वास्तविक जलवायु गहन महासागर को भी गर्म करती है, जिसका समय-पैमाना सदियों का है।

12. $T_F = 10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर; $Q = (211.9 + 18.2)/0.70 = 328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$।

13. $S_0 = 1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, आज से $3.3\,\%$ कम है।

14. हिमगोल तक, $(328.7\times0.38 - 211.9)/1.816 = -47.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$।

15. $Q = (211.9 - 18.2)/0.38 = 509.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 = 2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, जो आज से $50\,\%$ अधिक है।

16. गर्म शाखा से नीचे $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक उतरते हुए, $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ पर $-48\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक गिरावट, फिर हिमगोल शाखा पर ऊपर चढ़ते हुए $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ पर $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक: ग्रह जमा रहता है। केवल $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ से आगे ही यह वापस उछलकर गर्म शाखा पर पहुँचेगा।

17. $\bar\alpha = 0.30\times0.9738 + 0.62\times0.0262 = 0.3084$; $\bar T = (340\times0.6916 - 211.9)/1.816 = 12.80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$।

18. $T_c = (340\times0.5643\times0.50 - 211.9 + 3.739\times12.80)/ 5.555 = -12.26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, जो $72{}^{\circ}$ पर पुनर्विश्लेषण से $3.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ अधिक गर्म है।

19. $5.555\times(-12.26) + 211.9\times3.059 = 580.1$, जहाँ $\beta/B = 2.059$।

20. हर 1.7053, 1.7473, 1.7565, 1.7488 और 1.7362 हैं, और $Q/Q_0 = 1.0005$, $0.9764$, $0.9713$, $0.9756$ और $0.9827$ हैं।

21. $47.5{}^{\circ}$ के पास, $0.971$ पर। न्यूनतम के ध्रुव की ओर की हिम रेखाएँ स्थायी हैं, $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$; भूमध्य रेखा की ओर वाली अस्थायी हैं।

22. $Q/Q_0 = 1$ $30{}^{\circ}$ और $40{}^{\circ}$ के बीच भी है, $30{}^{\circ}$ के निकट (अंतर्वेशन से $30.2{}^{\circ}$): एक अस्थायी हिम रेखा। $0{}^{\circ}$ पर, $Q/Q_0 = 580.1/(0.6106 + 0.7824)/340 = 1.225$: हिमगोल आज के सूर्य से $22\,\%$ तक अधिक चमकीले किसी भी सूर्य के लिए टिकता है, इसलिए यह आज भी संभव है।

23. $2.9\,\%$, जबकि शून्य-आयामी मॉडल के लिए $3.3\,\%$ और बुडिको के लिए $1.6\,\%$; दहलीज़ पर हिम लगभग $48{}^{\circ}$ पर ठहरती है, बुडिको के $50{}^{\circ}$ के मुकाबले। अक्षांशीय मॉडल वैश्विक मॉडल की तुलना में पहले हिमनद बनाता है, क्योंकि जहाँ हिम बनती है वहाँ सूर्य का प्रकाश सबसे कमज़ोर होता है।

24. मॉडल ग्रह सौर स्थिरांक में $2.9\,\%$ की गिरावट पर हिमनद बनता है (गणना से $2.87\,\%$)।