1भूकंप विज्ञान और पृथ्वी का प्रतिचित्रण

22 मई 1960 को, सार्वभौमिक समय 19:11 बजे, 1900 के बाद से दर्ज सबसे बड़े भूकंप ने दक्षिणी चिली के तट पर क्षेपण क्षेत्र को तोड़ा, जिसका परिमाण 9.5 था।

इसकी P तरंगें ग्रह के दूसरी ओर के स्टेशनों तक लगभग बीस मिनट बाद पहुँचीं; इसकी पृष्ठ-तरंगें पृथ्वी का कई बार चक्कर लगा गईं; और कई दिनों के बाद तक सबसे धीमे उपकरणों ने पूरी पृथ्वी को कंपन करते हुए दर्ज किया, जिसके आवर्तकाल एक घंटे के निकट थे, मानो कोई ठोकी गई घंटी हो। इनमें से प्रत्येक संकेत अपने पार की गई चट्टानों के बारे में जानकारी लिए चलता है। लाखों ऐसी तरंगों के आगमन-कालों से, जिन्हें हज़ारों केंद्रों पर पढ़ा गया, भूकंपविज्ञानियों ने न केवल नीचे याद किया गया स्तरित पृथ्वी मॉडल, बल्कि प्रावार के त्रि-आयामी प्रतिचित्र भी बनाए हैं, जिनमें डूबती स्लैब और उठते प्लूम उन क्षेत्रों के रूप में दिखते हैं जहाँ तरंगें औसत से कुछ तेज़ या धीमी चलती हैं। यह अध्याय बताता है कि: किरणें गोलीय पृथ्वी में कैसे चलती हैं, पृष्ठ-तरंगें भूपर्पटी और प्रावार को उनके परिक्षेपण से कैसे खँगालती हैं, और पूरे ग्रह के मुक्त दोलनों का वर्णन कैसे होता है, और कुछ हज़ार यात्रा-काल किस प्रकार एक रैखिक प्रतिलोम समस्या हल करके एक चित्र में बदले जाते हैं।

पहले से ज्ञात

समदैशिक प्रत्यास्थ ठोस में दो प्रकार की काय-तरंगें चलती हैं: P तरंगें, जिनकी चाल $\alpha = \sqrt{(K + \tfrac43\mu)/\rho}$ है, और S तरंगें, जिनकी चाल $\beta = \sqrt{\mu/\rho}$ है, जहाँ $K$ और $\mu$ क्रमशः थोक और अपरूपण मापांक हैं, और $\rho$ घनत्व है; S तरंगें द्रव से होकर नहीं गुज़रतीं (भौतिकी की पुस्तकों के स्नातक वर्ष 3 खंड, सतत प्रत्यास्थता वाले अध्याय में)। जिस तरंग का कला-वेग अपनी आवृत्ति पर निर्भर करता है, वह परिक्षेपी है; उसकी ऊर्जा समूह वेग $U = \mathrm d\omega/\mathrm dk$ से चलती है (भौतिकी की पुस्तकों के स्नातक वर्ष 2 खंड में, तरंगों वाले अध्याय में)। एक परिबद्ध प्रत्यास्थ पिंड असतत प्रसामान्य विधाओं में मुक्त रूप से कंपन करता है (उसी खंड में)। किसी केंद्र की अधिकेंद्री दूरी $\Delta$ वह कोण है पृथ्वी के केंद्र पर अधिकेंद्र और केंद्र के बीच बनता है; यात्रा-काल वक्र वक्र $\Delta$ के विरुद्ध पहले आगमन का समय देता है, और क्रोड प्रत्यक्ष P तरंगों के लिए एक छाया क्षेत्र बनाता है (पुस्तक 2, कक्षा 11)। संदर्भ पृथ्वी मॉडल, भूकंपीय असांतत्य और हेड तरंग पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में देखे गए थे, उसके स्तरित पृथ्वी वाले अध्याय में। न्यूनतम वर्ग और गाउसीय त्रुटि-नियम गणित की पुस्तकों के हैं।

1.1 गोलीय पृथ्वी में किरणें

भूकंपीय तरंगाग्र, अपने स्रोत से दूर और ऐसे माध्यम में जिसके गुण तरंगदैर्घ्य भर में धीरे बदलते हैं, उसकी किरणों द्वारा अनुसरित किए जा सकते हैं: ऐसे वक्र जो हर जगह तरंगाग्र के लंबवत होते हैं और जिनके अनुदिश ऊर्जा चलती है। एकसमान चाल वाले माध्यम में किरणें सीधी होती हैं; जहाँ चाल बदलती है वहाँ वे स्नेल के अपवर्तन नियम से मुड़ती हैं। पृथ्वी में चालें मुख्यतः गहराई पर निर्भर करती हैं, इसलिए पहला मॉडल गोलीय सममित लिया जाता है: विचाराधीन तरंग की (P या S) चाल $v(r)$ केवल त्रिज्या $r$ का फलन होती है।

प्रमेय 1.1 (गोलीय पृथ्वी में स्नेल का नियम)

तरंग-चाल $v(r)$ वाली गोलीय सममित पृथ्वी में मान लीजिए $i$ वह कोण है जो किरण और त्रिज्या $r$ वाले बिंदु पर उस त्रिज्या के बीच बनता है। पूरी किरण के अनुदिश,

$$\frac{r\sin i}{v(r)} = p$$

स्थिर रहता है।

परिभाषा 1.2 (किरण प्राचल, पलटाव बिंदु)

गोलीय सममित पृथ्वी में किसी किरण का स्थिरांक $p = r\sin i/v(r)$ उसका किरण प्राचल है, जिसकी इकाई सेकंड प्रति रेडियन है। पृष्ठ पर यह $p = R\sin i_0/v_0$ है, जहाँ $i_0$ निर्गम-कोण है और $v_0$ पृष्ठ पर की चाल है। वह बिंदु जहाँ किरण क्षैतिज ($i = 90{}^{\circ}$) होती है, वही उसका पलटाव बिंदु है, त्रिज्या $r_t$ पर, जहाँ

$$\frac{r_t}{v(r_t)} = p .$$

इसके नीचे किरण फिर ऊपर उठती है, पलटाव बिंदु से गुज़रने वाली त्रिज्या के सापेक्ष सममित होती है।

मान लीजिए $\eta(r) = r/v(r)$। प्राचल $p$ वाली किरण केवल वहीं विद्यमान हो सकती है जहाँ $\eta \ge p$, क्योंकि $\sin i = p/\eta \le 1$। यदि $\eta$ गहराई के साथ घटता है, जैसा कि अधिकांश प्रावार में होता है, तो हर किरण उस गहराई पर पलटती है जहाँ $\eta$ $p$ तक गिर चुका होता है, और अधिक खड़ी निकलने वाली (छोटे $p$ वाली) किरणें अधिक गहराई पर पलटती हैं। जहाँ $\eta$ गहराई के साथ बढ़ता है, क्योंकि चाल गहराई के साथ तेज़ी से घटती है (कोर–प्रावार सीमा पर ऐसा होता है, जहाँ P चाल 13.7 से $8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ तक गिरती है), कोई किरण नहीं पलट सकती: किरणें नीचे की ओर मुड़ती हैं, परत को पार करती हैं और दूर जाकर निकलती हैं। ऐसी छलांग पृष्ठ पर एक छाया डालती है।

किरण प्राचल केवल किरण का एक स्थिरांक ही नहीं है: उसे यात्रा-काल वक्र से पढ़ा जा सकता है।

प्रमेय 1.3 (यात्रा-काल वक्र की प्रवणता)

मान लीजिए $T(\Delta)$ एक पृष्ठीय स्रोत से एक पृष्ठीय स्टेशन तक, अधिकेंद्री दूरी $\Delta$ (रेडियन में) पर, किरण का यात्रा-काल है। तब

$$\frac{\mathrm dT}{\mathrm d\Delta} = p ,$$

$\Delta$ पर पहुँचने वाली किरण का किरण प्राचल।

यह प्रमेय $\mathrm dT/\mathrm dx = 1/c$ संबंध का गोलीय रूप है, जो यात्रा-काल वक्र की प्रवणता और पृष्ठ के साथ दिखने वाली चाल $c$ के बीच है। दो फलन $T(p)$ और $\Delta(p)$ को चाल-परिच्छेदिका पर समाकलों के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रतिज्ञप्ति 1.4 (यात्रा-काल और दूरी समाकल के रूप में)

$\eta = r/v(r)$ को गहराई के साथ घटता हुआ मानते हुए, प्राचल $p$ की वह किरण जो $r_t$ पर पलटती है, वह निम्न तक पहुँचती है

$$\Delta(p) = 2\int_{r_t}^{R}\frac{p\,\mathrm dr}{r\sqrt{\eta^2 - p^2}}, \qquad T(p) = 2\int_{r_t}^{R}\frac{\eta^2\,\mathrm dr}{r\sqrt{\eta^2 - p^2}},$$

और अंतःखंड काल $\tau(p) = T - p\Delta$ है $\tau(p) = 2\int_{r_t}^{R}\sqrt{\eta^2 - p^2}\,\mathrm dr/r$।

इन समाकलों से ही किसी मॉडल से यात्रा-काल सारणी परिकलित होती है। इस अध्याय की किरण-अनुरेखण स्क्रिप्ट वही योग करती है, संदर्भ मॉडल PREM के 2-km कोशों पर, और उसकी दो प्रकार से जाँच करती है: एकसमान चाल वाले गोले में, जहाँ किरणें जीवाएँ हैं और $T = 2R\sin(\Delta/2)/v$ ठीक-ठीक सत्य है (अभ्यास 5), तथा प्रमेय 1.3 से तुलना करके, जिसका वह उपयोग नहीं करती।

ऊपर का चित्र दिखाता है कि प्रमेय क्या पूर्वानुमान करते हैं। प्रावार की वह सबसे तीव्र किरण, जो क्रोड को बस छूती है, PREM में $98.5{}^{\circ}$ पर पहुँचती है; अगली किरण, जो एक अंश के भाग भर अधिक तीव्र है, क्रोड में प्रवेश करती है, त्रिज्या की ओर अपवर्तित होती है, और दूसरी ओर, $140{}^{\circ}$ से आगे, बाहर निकलती है। हर किरण के लिए समय को दूरी के विरुद्ध आलेखित करने पर नीचे दिए यात्रा-काल वक्र प्राप्त होते हैं।

PREM के माध्यम से परिकलित P-काल $20{}^{\circ}$ पर $273.5\,\mathrm{s}$, $30{}^{\circ}$ पर $369.6\,\mathrm{s}$, $60{}^{\circ}$ पर $607.2\,\mathrm{s}$ और $90{}^{\circ}$ पर $779.7\,\mathrm{s}$: पृथ्वी के एक चौथाई भाग को पार करने में तेरह मिनट लगते हैं।

वास्तविक आगमन ऐसे वक्र से अधिकतम कुछ सेकंड भिन्न होते हैं, और वे कुछ सेकंड टोमोग्राफ़ी के आँकड़े हैं (अनुभाग 1.5 देखिए)।

परिभाषा 1.5 (यात्रा-काल सारणी)

यात्रा-काल सारणी प्रत्येक भूकंपीय कला के लिए (P, S, PKP, PcP, …) और प्रत्येक उद्गम गहराई के लिए, यात्रा-काल को अधिकेंद्री दूरी के फलन के रूप में देती है, जिसे एक गोलीय सममित संदर्भ मॉडल से परिकलित किया जाता है, जिसके वेग स्वयं एक बड़े समुच्चय के सुस्थिर स्थित भूकंपों के कालों से मेल खाने के लिए समायोजित किए गए थे। प्रेक्षित आगमन से इसके अंतर भूकंप-स्थिति निर्धारण और टोमोग्राफ़ी का आरंभिक बिंदु हैं।

आज प्रयोग में आने वाली सारणियाँ इसी उद्देश्य से बने संदर्भ मॉडलों से परिकलित होती हैं। उदाहरण के लिए मॉडल ak135 में भूपर्पटी की दो परतें हैं, P और S के वेग $20\,\mathrm{km}$ के ऊपर क्रमशः 5.80 और $3.46\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ हैं, और $35\,\mathrm{km}$ पर मोहो तक 6.50 और $3.85\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ हैं, जहाँ प्रावार 8.04 और $4.48\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ से आरंभ होता है; कोर–प्रावार सीमा $2891.5\,\mathrm{km}$ पर है और आंतरिक-कोर सीमा $5153.5\,\mathrm{km}$ पर।

इसके लेखक स्वयं इसके ऊपरी प्रावार को एक कृत्रिम रचना बताते हैं, जो $30{}^{\circ}$ तक के कालों से मेल खाने के लिए बनाई गई है: यह एक औसत है, किसी एक स्थान के नीचे की वास्तविक संरचना नहीं।

प्रतिज्ञप्ति 1.6 (हर्ग्लोट्ज़–वीशर्ट प्रतिलोमन)

मान लीजिए $\eta = r/v(r)$ उन त्रिज्याओं पर, जिनका नमूना लिया गया है, गहराई के साथ सख़्ती से घटता है, और यात्रा-काल वक्र $T(\Delta)$ ज्ञात है, जिससे $p(\Delta) = \mathrm dT/\mathrm d\Delta$ ज्ञात है। तब प्राचल $p_1$ की किरण, जो $\Delta_1$ पर पृष्ठ तक पहुँचती है, वह त्रिज्या पर मुड़ती है

$$r_1 = R\,\exp\!\left(-\frac1\pi\int_0^{\Delta_1} \operatorname{arccosh}\frac{p(\Delta)}{p_1}\,\mathrm d\Delta\right),$$

जहाँ वेग $v(r_1) = r_1/p_1$ है। हर्ग्लोट्ज़–वीशर्ट प्रतिलोमन इस विधि से यात्रा-काल वक्र से बिंदु-दर-बिंदु $v(r)$ निकालता है।

इस सूत्र का आधार प्रतिज्ञप्ति 1.4 में $\Delta(p)$ का समाकल है, जो अज्ञात $r(\eta)$ के लिए एक एबेल समाकल समीकरण है; इसका प्रतिलोमन यहाँ स्वीकार किया गया है। अभ्यास 12 इसे एकसमान गोले पर जाँचता है। इसकी दो सीमाएँ हैं। इसके लिए $\eta$ का गहराई के साथ घटना आवश्यक है: निम्न-वेग परत यात्रा-काल वक्र में एक अंतराल बनाती है, और प्रतिलोमन उस परत के भीतर नहीं देख सकता। और इसे पूरा वक्र चाहिए, जिसमें प्रत्येक त्रिगुणन की बाद की शाखाएँ भी सम्मिलित हैं, जिन्हें भूकंपलेख पर चुनना कठिन है। इन सीमाओं के कारण ही अब संदर्भ मॉडल अग्र मॉडलिंग और न्यूनतम वर्ग से बनाए जाते हैं (अनुभाग 1.4 देखिए)।

1.2 पृष्ठ तरंगें

मुक्त पृष्ठ तरंगों को बाँध लेता है। अर्ध-समष्टि के पृष्ठ के निकट P और S गतियाँ संचरण के ऊर्ध्वाधर तल में मिलकर एक ऐसी तरंग बना सकती हैं जो पृष्ठ के साथ चलती है और गहराई के साथ क्षीण होती है; और जहाँ कोई मंद परत तेज़ चट्टान पर होती है, वहाँ क्षैतिज अपरूपण तरंगें पूर्ण परावर्तन से परत में बँध जाती हैं।

परिभाषा 1.7 (रैले तरंग, लव तरंग)

रैले तरंग एक पृष्ठ तरंग है जिसकी कण-गति संचरण की दिशा वाले ऊर्ध्वाधर तल में होती है: मुक्त पृष्ठ द्वारा युग्मित P और ऊर्ध्वाधर ध्रुवीकृत S गतियाँ, दीर्घवृत्तीय कण-गति के साथ, जो एकसमान अर्ध-समष्टि के पृष्ठ पर प्रतिगामी है, और जिसका आयाम लगभग एक तरंगदैर्घ्य में गहराई के साथ क्षीण होता है। लव तरंग एक पृष्ठ तरंग है जिसकी कण-गति क्षैतिज और संचरण की दिशा के लंबवत होती है: क्षैतिज ध्रुवीकृत S तरंगें जो अपने नीचे की चट्टान से धीमी परतों में बँध जाती हैं।

एकसमान अर्ध-समष्टि पर, जहाँ $\lambda = \mu$ (पॉइसन ठोस) है, रैले तरंग $0.9194\,\beta$ वेग से चलती है और परिक्षेपित नहीं होती (अभ्यास 6)। लव तरंग एकसमान अर्ध-समष्टि पर बिल्कुल नहीं हो सकती: उसे परतों की आवश्यकता होती है, और उसका वेग परत और उसके नीचे की चट्टान के S वेगों के बीच होता है।

प्रमेय 1.8 (लव तरंगों का परिक्षेपण: अर्ध-समष्टि पर एक परत में)

मोटाई $H$, अपरूपण मापांक $\mu_1$ और S वेग $\beta_1$ वाली एक परत अपरूपण मापांक $\mu_2$ और S वेग $\beta_2 > \beta_1$ वाले अर्ध-समष्टि पर स्थित है। एक लव कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ वाली एक लव तरंग कला-वेग $c = \omega/k$ के साथ संचरित होती है, जहाँ $\beta_1 < c < \beta_2$, यदि और केवल यदि

$$\tan\!\left(kH q_1\right) = \frac{\mu_2 q_2}{\mu_1 q_1}, \qquad q_1 = \sqrt{\frac{c^2}{\beta_1^2} - 1},\quad q_2 = \sqrt{1 - \frac{c^2}{\beta_2^2}} .$$

मूल विधा वह मूल है जिसके लिए $0 < kHq_1 < \pi/2$; अधिस्वर के लिए $kHq_1$ का मान $(n\pi, n\pi + \pi/2)$ में होता है।

किसी दिए गए आवर्त के लिए समीकरण को द्विभाजन विधि से $c$ के लिए हल किया जाता है; समूह वेग $U = \mathrm d\omega/\mathrm dk$ से प्राप्त होता है। लघु आवर्तों पर ($kH$ बड़ा) मूल $c = \beta_1$ के निकट होता है: तरंग परत में रहती है। दीर्घ आवर्तों पर ($kH \to 0$) $kHq_1 \to 0$ होना चाहिए और दायाँ पक्ष भी छोटा होना चाहिए, जिससे $c \to \beta_2$ होता है: तरंग अर्ध-समष्टि में गहराई तक पहुँचती है और उसके वेग से चलती है। इन दोनों के बीच कला-वेग आवर्त के साथ लगातार बढ़ता है।

परिभाषा 1.9 (पृष्ठ-तरंग परिक्षेपण)

पृष्ठ-तरंग परिक्षेपण रैले या लव तरंग की कला और समूह वेगों की उसके आवर्त पर निर्भरता है। स्तरित पृथ्वी में यह इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि लंबे आवर्त की तरंग अधिक गहराई तक पहुँचती है (मूल विधा के लिए लगभग एक तरंगदैर्घ्य का एक-तिहाई) और तेज़ चट्टान का औसत लेती है; भूकंप और एक स्टेशन के बीच, या दो स्टेशनों के बीच मापे गए परिक्षेपण वक्र $c(T)$ और $U(T)$ को S वेग के लिए गहराई के फलन के रूप में प्रतिलोमित किया जाता है।

इस मॉडल पर $20\,\mathrm{s}$ पर कला-वेग $3.79\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है और $100\,\mathrm{s}$ पर $4.444\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; समूह-वेग 3.384 और $4.333\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ हैं। कुछ हज़ार किलोमीटर दूर दर्ज किए गए भूकंपलेख पर लंबे आवर्तकाल पहले पहुँचते हैं और 20-s वाली तरंगें सबसे बाद में, जिससे तरंग-समूह एक लंबे, धीरे-धीरे छोटे होते दोलन में फैल जाता है। अनेक पथों पर अनेक आवर्तकालों पर समूह-वेग मापने से भूपर्पटी की मोटाई और सबसे ऊपरी प्रावार के मानचित्र मिलते हैं, जो काय-तरंग यात्रा-कालों से स्वतंत्र होते हैं।

1.3 पृथ्वी घंटी की तरह बजती है: सामान्य विधाएँ

बहुत लंबे आवर्तकाल की पृष्ठ-तरंग की तरंगदैर्घ्य पृथ्वी की त्रिज्या के समान होती है; वह पूरे गोले के चारों ओर घूमती है और स्वयं से मिलती है। जो तरंगें रचनात्मक रूप से व्यतिकरण करती हैं, वे पूरे गोले की स्थायी तरंगें, अर्थात् उसकी सामान्य विधाएँ होती हैं, और किसी बड़े भूकंप के बाद वे अंतिम संकेत होती हैं जो सबसे अंत में क्षीण होता है। इनका सिद्धांत, प्रत्यास्थ, स्व-गुरुत्वाकर्षी पृथ्वी के लिए एक आइगेनमान समस्या, इस अध्याय से परे है; पर इनका वर्णन नहीं।

एक गोलाकार सममित पृथ्वी की विधाएँ दो परिवारों में आती हैं। टॉरॉइडल विधाओं ${}_nT_\ell$ में गति क्षैतिज होती है, गोलीय कोशों का एक-दूसरे के सापेक्ष मरोड़ना, बिना त्रिज्या या आयतन में परिवर्तन के: ये लव तरंगों की स्थायी तरंगें हैं। स्फेरॉइडल विधाओं ${}_nS_\ell$ में गति की त्रिज्यीय और क्षैतिज दोनों घटक होते हैं, और पृथ्वी का आकार बदलता है: ये रैले तरंगों की स्थायी तरंगें हैं, जो काय-तरंगों और गुरुत्व से युग्मित होती हैं। सूचकांक $\ell$ कोणीय कोटि है, अर्थात् सतह पर प्रतिरूप की नोडल रेखाओं की संख्या; $n$ त्रिज्या के साथ गति के नोडों को गिनता है, $n = 0$ मूल विधा के लिए। सबसे निम्न स्फेरॉइडल विधा ${}_0S_2$ पृथ्वी को बारी-बारी से प्रोलेट और ओब्लेट स्फेरॉइड में खींचती है; सबसे निम्न टॉरॉइडल विधा ${}_0T_2$ उत्तरी और दक्षिणी गोलार्धों को विपरीत दिशाओं में मरोड़ती है। इनके प्रेक्षित आवर्तकाल ये हैं:

प्रत्येक आवर्तकाल पूरे ग्रह पर उसके प्रत्यास्थ मापांकों और घनत्व का माध्य है, जो इस आधार पर भारित होता है कि विधा कहाँ गति करती है: टॉरॉइडल विधाएँ केवल ठोस प्रावार और भूपर्पटी को अनुभव करती हैं, स्फेरॉइडल विधाएँ क्रोड को भी। सैकड़ों विधाओं के आवर्तकालों को फिट करना आंतरिक भाग को तौलने का एकमात्र भूकंपीय तरीका है: यह केवल चालों को नहीं, घनत्व को भी बाँधता है, और PREM को इन्हें यात्रा-कालों के साथ एक साथ फिट करने के लिए बनाया गया था। पृथ्वी का घूर्णन और दीर्घवृत्तता प्रत्येक विधा को, जिसकी कोटि $\ell$ है, $2\ell + 1$ थोड़ी भिन्न आवृत्तियों में विभाजित करते हैं, जो ज़ीमन प्रभाव का समतुल्य है।

इतिहास — चिली के भूकंप के बाद पृथ्वी

1960 के चिली भूकंप को दीर्घ-आवर्तकाल लोलक भूकंपमापियों और विकृतिमापियों द्वारा दर्ज किया गया; ये वे उपकरण हैं जो चट्टान में लंगर डाली गई एक लंबी क्षैतिज छड़ या तार की लंबाई में परिवर्तन मापते हैं। कुछ दिनों के अभिलेख के वर्णमापी विश्लेषण ने सबसे निम्न विधाओं के पूर्वानुमानित आवर्तकालों पर तीखे शिखर दिखाए: पूरी पृथ्वी घंटी की तरह बज उठी थी, और एक गोलाकार, स्व-गुरुत्वाकर्षी पृथ्वी के प्रत्यास्थ सिद्धांत के अनुमान सही निकले। कैलिफ़ोर्निया में आइज़ाबेला के विकृतिमापी का अभिलेख 1978 में आधुनिक विधियों से फिर से विश्लेषित किया गया: उसमें ${}_0T_3$, ${}_0T_4$, ${}_0S_4$ और ${}_0S_5$ का विभाजन स्पष्ट दिखा, जो पृथ्वी के घूर्णन और दीर्घवृत्तता से होता है, और पुष्टि हुई कि ${}_0S_2$ और ${}_0S_3$ के लिए भी ऐसा ही है।

सामान्य-विधा भूकंप विज्ञान, जो एक भूकंप से जन्मा, अब बहुत-चौड़े-बैंड केंद्रों के नेटवर्कों का उपयोग करता है, जो हर बड़े भूकंप को दर्ज करते हैं।

1.4 रैखिक प्रतिलोम समस्याएँ

अब तक इस अध्याय की हर विधि एक मॉडल से आँकड़े परिकलित करती है। इमेजिंग का कार्य इसके विपरीत है।

परिभाषा 1.10 (अग्र समस्या, प्रतिलोम समस्या)

मान लीजिए पृथ्वी के एक मॉडल का वर्णन $\mathbf m$ सदिश से होता है, जिसमें $M$ प्राचल हैं, और प्रेक्षणों का वर्णन $\mathbf d$ सदिश से होता है, जिसमें $N$ आँकड़े हैं। अग्र समस्या यह परिकलित करना है कि दिया गया मॉडल किसी भौतिक सिद्धांत द्वारा कौन-से आँकड़े $\mathbf d = g(\mathbf m)$ उत्पन्न करेगा। प्रतिलोम समस्या यह है कि ऐसे आँकड़ों से मॉडल का अनुमान लगाया जाए जिनमें त्रुटियाँ हैं, $\mathbf d = g(\mathbf m) + \mathbf e$, और यह बताना है कि मॉडल का प्रत्येक भाग कितनी अच्छी तरह निर्धारित है। समस्या रैखिक तब होती है जब $g(\mathbf m) = \mathsf G\mathbf m$ हो, जहाँ $N\times M$ का एक नियत आव्यूह $\mathsf G$ है, जिसे कर्नल कहते हैं।

यात्रा-कालों के माध्यम से एक सीधी रेखा फिट करना एक रैखिक प्रतिलोम समस्या है, जिसमें $M = 2$ (अभ्यास 7)। एक यात्रा-काल टोमोग्राफ़ी में हज़ारों प्राचल होते हैं। तीन स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं। यदि $N > M$ है और आँकड़े हर प्राचल को बाँधते हैं, तो समस्या अतिनिर्धारित है: कोई मॉडल हर आँकड़े को ठीक-ठीक नहीं बैठाता, और सर्वोत्तम को सांख्यिकीय अर्थ में खोजा जाता है। यदि प्राचलों का कोई संयोजन आँकड़ों को अपरिवर्तित छोड़ता है ($\mathsf G\mathbf m_0 = \mathbf 0$ किसी $\mathbf m_0 \ne \mathbf 0$ के लिए), तो समस्या उस दिशा में अल्पनिर्धारित है, और उस प्रकार के आँकड़ों की कितनी भी मात्रा उसे ठीक नहीं करेगी। वास्तविक समस्याएँ मिश्रित होती हैं: मॉडल के कुछ भागों में अतिनिर्धारित और कुछ में अल्पनिर्धारित।

प्रमेय 1.11 (भारित न्यूनतम-वर्ग अनुमान)

मान लीजिए $\mathbf d = \mathsf G\mathbf m + \mathbf e$, जहाँ त्रुटियों $\mathbf e$ का शून्य माध्य है और सहप्रसरण आव्यूह $\mathsf C_d$ है (स्वतंत्र त्रुटियों के लिए विकर्ण $\sigma_i^2$)। यदि आव्यूह $\mathsf N = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathsf G$ व्युत्क्रमणीय है, तो वह मॉडल जो नीचे दिए गए बेमेल को न्यूनतम करता है,

$$\chi^2(\mathbf m) = (\mathbf d - \mathsf G\mathbf m)^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1} (\mathbf d - \mathsf G\mathbf m)$$

वह भारित न्यूनतम-वर्ग अनुमान है

$$\hat{\mathbf m} = \mathsf N^{-1}\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathbf d ,$$

यह अनभिनत है, और इसका सहप्रसरण आव्यूह $\mathsf C_{\hat m} = \mathsf N^{-1}$ है।

भार वही करते हैं जो सहज ज्ञान माँगता है: जिस आँकड़े की त्रुटि आधी है, वह चार गुना गिना जाता है। सहप्रसरण आव्यूह प्रत्येक प्राचल को उसकी मानक त्रुटि $\sqrt{(\mathsf N^{-1})_{jj}}$ और उनके बीच के सहसंबंध देता है। यदि मॉडल सही हो और त्रुटियाँ गाउसीय हों, तो न्यूनतम $\chi^2$ एक $\chi^2$ नियम का पालन करता है, जिसकी $N - M$ स्वातंत्र्य-कोटियाँ हैं: $N - M$ से बहुत अधिक मान का अर्थ है कि त्रुटियाँ कम आँकी गई थीं या मॉडल बहुत सरल है; बहुत कम मान का अर्थ है कि त्रुटियाँ अधिक आँकी गई थीं।

जब $\mathsf N$ विचित्र हो या लगभग विचित्र हो, तब अनुमान या तो अस्तित्व में नहीं होता, या उन दिशाओं में प्रवर्धित शोर से प्रभावित होता है जहाँ प्राचल कम बाधित हैं। इसका मानक उपाय यह है कि ऐसा मॉडल माँगा जाए जो आँकड़ों से उचित रूप से मेल खाए और अनावश्यक रूप से बड़ा न हो।

परिभाषा 1.12 (अवमंदित न्यूनतम वर्ग, समझौता वक्र)

एक अवमंदन प्राचल $\varepsilon > 0$ के लिए, अवमंदित न्यूनतम वर्ग अनुमान वह मॉडल है जो

$$\Phi_\varepsilon(\mathbf m) = \chi^2(\mathbf m) + \varepsilon^2\|\mathbf m\|^2 , \qquad \mathbf m_\varepsilon = \left(\mathsf N + \varepsilon^2\mathsf I\right)^{-1} \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathbf d .$$

को न्यूनतम करता है। समझौता वक्र वह वक्र है जो $\varepsilon$ के बदलने पर युग्म (मॉडल का आकार $\|\mathbf m_\varepsilon\|$, बेमेल $\chi^2(\mathbf m_\varepsilon)$) द्वारा खींचा जाता है: छोटा अवमंदन आँकड़ों से निकट मेल खाता है पर बड़ा, खुरदरा मॉडल देता है; बड़ा अवमंदन छोटा मॉडल और खराब मेल देता है।

यह सूत्र प्रमेय 1.11 की तरह प्राप्त होता है: $\Phi_\varepsilon$ की प्रवणता $-2\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}(\mathbf d - \mathsf G\mathbf m) + 2\varepsilon^2\mathbf m$ है, और $\mathsf N + \varepsilon^2 \mathsf I$ सदैव व्युत्क्रमणीय होता है, क्योंकि इसके अभिलक्षणिक मान वही हैं जो $\mathsf N$ के (सभी $\ge 0$) हैं, परंतु $\varepsilon^2$ से बढ़े हुए। अवमंदन प्रायः चुना जाता है, समझौता वक्र के घुटने के निकट, या इस प्रकार कि $\chi^2$ लगभग आँकड़ों की संख्या के बराबर हो, यानी वह बेमेल जो अकेली त्रुटियों से अपेक्षित है। इसकी कीमत यह है कि अनुमान अब अनभिनत नहीं रहता।

परिभाषा 1.13 (मॉडल विभेदन आव्यूह)

आँकड़ों से मॉडल का एक रैखिक अनुमान $\mathbf m_\varepsilon = \mathsf H_\varepsilon \mathbf d$ के लिए, जहाँ मॉडल $\mathbf m$ है और आँकड़े $\mathbf d = \mathsf G\mathbf m + \mathbf e$, मॉडल विभेदन आव्यूह होता है, $\mathsf R = \mathsf H_\varepsilon\mathsf G$, ताकि

$$\mathbf m_\varepsilon = \mathsf R\,\mathbf m + \mathsf H_\varepsilon\mathbf e .$$

अवमंदित न्यूनतम वर्ग के लिए $\mathsf R = (\mathsf N + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1} \mathsf N$ है। पंक्ति $j$ (जो $\mathsf R$ की है) दिखाती है कि प्राचल $j$ का अनुमान सच्चे प्राचलों को कैसे औसत करता है; $\mathsf R = \mathsf I$ का अर्थ है पूर्ण विभेदन।

यदि $\mathsf N$ के लांबिक अभिलक्षणिक सदिश $\mathbf u_k$ और अभिलक्षणिक मान $\lambda_k$ हों, तो $\mathsf R = \sum_k \frac{\lambda_k}{\lambda_k + \varepsilon^2} \mathbf u_k\mathbf u_k^{\mathsf T}$ है: वे दिशाएँ जिन्हें आँकड़े अच्छी तरह बाधित करते हैं ($\lambda_k \gg \varepsilon^2$) लगभग अपरिवर्तित निकल जाती हैं, और जिन्हें वे कम बाधित करते हैं, वे दबा दी जाती हैं। $\mathsf R$ का ट्रेस उन प्राचलों की गणना करता है जिन्हें आँकड़े प्रभावी रूप से विभेदित करते हैं, और अनुमान का सहप्रसरण, $\mathsf H_\varepsilon\mathsf C_d\mathsf H_\varepsilon^{\mathsf T}$ उसी अनुपात में सिकुड़ता है, जिस अनुपात में विभेदन घटता है: अवमंदन विभेदन का मूल्य देकर स्थिरता खरीदता है।

1.5 भूकंपीय टोमोग्राफ़ी

परिभाषा 1.14 (भूकंपीय टोमोग्राफ़ी, यात्रा-काल अवशिष्ट)

किसी आगमन का यात्रा-काल अवशिष्ट प्रेक्षित यात्रा-काल में से संदर्भ मॉडल द्वारा पूर्वानुमानित समय घटाने पर प्राप्त होता है, $\delta t = T_{\text{प्रेक्षित}} - T_{\text{संदर्भ}}$, स्रोत की स्थिति और उद्गम-काल, केंद्र की ऊँचाई और पृथ्वी की दीर्घवृत्तीयता के लिए संशोधन के बाद। भूकंपीय टोमोग्राफ़ी वह है, जिसमें संदर्भ मॉडल से भूकंपीय वेगों के त्रि-विमीय विचलन $\delta v(\mathbf x)$ का अनुमान, बड़ी संख्या में अवशिष्टों (या तरंगरूपों) से, एक प्रतिलोम समस्या हल करके किया जाता है।

लघुता को $s = 1/v$ से लिखिए। किसी किरण $\Gamma$ के अनुदिश यात्रा-काल $T = \int_\Gamma s\,\mathrm dl$ है; परंतु किरण स्वयं वेगों पर निर्भर करती है, जिससे समस्या अरैखिक प्रतीत होती है। प्रथम कोटि का उत्तर यह है कि इससे कोई अंतर नहीं पड़ता।

प्रतिज्ञप्ति 1.15 (रैखिकीकृत यात्रा-काल अवशिष्ट)

यदि संदर्भ मॉडल की लघुता $s_0$ को $s_0 + \delta s$ तक विक्षुब्ध किया जाए, तो दो स्थिर बिंदुओं के बीच का यात्रा-काल प्रथम कोटि तक, $\delta s$ में, इतना बदलता है:

$$\delta t = \int_{\Gamma_0}\delta s\,\mathrm dl ,$$

जहाँ समाकलन संदर्भ मॉडल की किरण $\Gamma_0$ के अनुदिश लिया जाता है; उसी कोटि तक सापेक्षिक वेग विसंगति $\delta v/v_0 = -\delta s/s_0$ होती है।

$M$ कोषों में क्षेत्र को एकसमान लघुता विक्षोभ $\delta s_j$ वाले कोषों में बाँटिए। किरण $i$ का अवशिष्ट $\delta t_i = \sum_j L_{ij}\,\delta s_j$ हो जाता है, जहाँ $L_{ij}$ संदर्भ किरण $i$ की कोष $j$ में लंबाई है: यह एक रैखिक प्रतिलोम समस्या है जिसका कर्नेल किरण-लंबाइयों का आव्यूह है, जिसकी लगभग सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं। अवशिष्ट छोटे होते हैं: $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ वाले प्रावार में $200\,\mathrm{km}$ आर-पार का एक क्षेत्र, जो $3\,\%$ तेज़ है, ऊर्ध्वाधर किरण को लगभग $0.7\,\mathrm{s}$ आगे बढ़ा देता है (अभ्यास 9)।

विधि 1.16 (एक यात्रा-काल टोमोग्राफ़ी)

1. सभी केंद्रों पर किसी एक कला (मान लीजिए P) के आगमन-काल चुनिए, उन भूकंपों के लिए जिनका स्थान सुज्ञात है; यात्रा-काल सारणी के सापेक्ष अवशिष्टों की गणना कीजिए, दीर्घवृत्तीयता और केंद्र की ऊँचाई के लिए संशोधन के बाद।
2. संदर्भ किरणें अनुरेखित कीजिए और क्षेत्र को कोषों में बाँटिए (या $\delta s$ को चिकने फलनों पर प्रसारित कीजिए); किरण-लंबाइयों का आव्यूह भरिए।
3. हर अवशिष्ट को चयन की परिशुद्धता से उसकी त्रुटि दीजिए, और अवमंदन मानों की एक श्रेणी के लिए अवमंदित न्यूनतम-वर्ग समस्या हल कीजिए; समझौता वक्र खींचिए और उसके घुटने के पास का अवमंदन चुनिए।
4. विभेदन की जाँच कीजिए: किसी ज्ञात कृत्रिम मॉडल से उन्हीं किरणों द्वारा प्राप्त होने वाले अवशिष्ट परिकलित कीजिए, उनमें त्रुटि जोड़िए, उसी अवमंदन से प्रतिलोमन कीजिए, और तुलना कीजिए।
5. केवल वे विसंगतियाँ व्याख्यायित कीजिए जिन्हें परीक्षण दिखाता है कि किरणें पुनः प्राप्त कर सकती हैं, और उनके आयामों को निम्न सीमाएँ समझिए।

परिभाषा 1.17 (शतरंज-पट परीक्षण)

शतरंज-पट परीक्षण एक विभेदन परीक्षण है जिसमें कृत्रिम मॉडल तेज़ और धीमे कोषों का एक नियमित प्रतिरूप होता है: वास्तविक किरण-ज्यामिति से परिकलित कृत्रिम अवशिष्टों में वास्तविक त्रुटियों के आकार का शोर जोड़ा जाता है, और उन्हें उसी प्राचलीकरण और अवमंदन से प्रतिलोमित किया जाता है। जहाँ प्रतिरूप पुनः प्राप्त होता है, वहाँ उस आकार की संरचनाएँ विभेदित की जा सकती हैं; जहाँ वह धुंधला या लुप्त हो जाता है, वहाँ नहीं।

नीचे के चित्र एक मॉडल खंड पर परीक्षण चलाते हैं, जो $800\,\mathrm{km}$ चौड़ा और $400\,\mathrm{km}$ गहरा है, और जिसे $50\,\mathrm{km}$ के 128 कोषों में बाँटा गया है। इसके आधार के साथ बीस स्रोत स्थित हैं और ऊपरी सतह के साथ बत्तीस केंद्र, और केवल वे किरणें प्रयुक्त होती हैं जो ऊर्ध्वाधर से $45{}^{\circ}$ के भीतर हैं: 480 किरणें जो सभी तीव्र ढाल पर ऊपर की ओर जाती हैं, दूर के भूकंपों से आने वाली किरणों की ज्यामिति जो एक जाल के नीचे से उठती है। कृत्रिम मॉडल में $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ के आसपास $2\times2$ कोषों के खंड हैं, जो $3\,\%$ तेज़ या धीमे हैं; अवशिष्टों में $0.05\,\mathrm{s}$ का गाउसीय शोर है।

परीक्षण हर टोमोग्राफ़िक प्रतिबिंब की तीन सीमाएँ स्पष्ट करता है। विभेदन किरणों द्वारा तय होता है: जहाँ सभी किरणें समांतर हों, वहाँ विसंगति उनके अनुदिश फैल जाती है, और जिस कक्ष को कुछ ही किरणें पार करती हैं, वह मुश्किल से निर्धारित होता है। अवमंदन आयामों को घटा देता है: पुनर्प्राप्त विसंगतियाँ निम्न सीमाएँ होती हैं। और प्रतिबिंब संदर्भ मॉडल और प्राचलीकरण पर निर्भर करता है: केवल संदर्भ से विचलन मानचित्रित होते हैं, और एक कक्ष से छोटी कोई चीज़ नहीं। इन सावधानियों के साथ, वैश्विक P- और S-तरंग प्रतिबिंब पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) के क्षेपण अध्याय में वर्णित स्लैब को, खाइयों से नीचे उतरते पटलाकार तेज़ क्षेत्रों के रूप में दिखाते हैं, जिनमें से कुछ 670-km असांतत्य के ऊपर चपटे होते हैं, और कुछ निचले प्रावार में धँस जाते हैं; और प्रशांत महासागर तथा अफ़्रीका के नीचे, क्रोड के ऊपर, विस्तृत धीमे क्षेत्र मिलते हैं, और कुछ हॉटस्पॉट के नीचे संकरी धीमी नलिकाएँ, ये उसी पुस्तक के प्रावार-स्तंभों के संभावित उम्मीदवार हैं।

क्षेत्र-कार्य — एक ब्रॉडबैंड स्टेशन और महासागर-तल पर तैनाती

एक स्थायी ब्रॉडबैंड स्टेशन एक शांत स्थान है: भूकंपमापी एक आधार-शैल से बोल्ट किए गए कंक्रीट स्तंभ पर खड़ा होता है, जो किसी दबे कक्ष या छोटी सुरंग में, एक तापीय कवच के नीचे होता है, क्योंकि कुछ सौवें अंश डिग्री का हवा का झोंका या तापमान-परिवर्तन उपकरण को दूर के भूकंप से अधिक झुका देता है। इसके तीन घटक, ऊर्ध्वाधर, उत्तर और पूर्व, लगातार अंकीकृत होकर एक डेटा केंद्र को भेजे जाते हैं उपग्रह समय-मुहर के साथ। महासागर के नीचे किसी क्षेत्र का प्रतिबिंब लेने के लिए एक सर्वेक्षण दल इसके बजाय जहाज़ से महासागर-तल भूकंपमापी गिराता है: प्रत्येक लंगर के सहारे डूबता है, एक वर्ष तक समुद्र-तल पर अभिलेख लेता है, और जब जहाज़ लौटकर ध्वनिक संकेत भेजता है, तो उसे छोड़ दिया जाता है और वह सतह पर लौट आता है। दल फिर उसकी घड़ी-विचलन पढ़ता है, अभिलेख सुधारता है, और हज़ारों आगमन टोमोग्राफ़ी में जोड़ देता है।

1.6 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

एक P-किरण सतह से निकलती है ($R = 6371\,\mathrm{km}$, $v_0 = 5.80\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$) किरण प्राचल $p = 500\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$ के साथ। (क) इसका निर्गम कोण परिकलित कीजिए। (ख) PREM P-तरंग चाल $771\,\mathrm{km}$ गहराई पर $11.066\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ देता है, और $871\,\mathrm{km}$ पर $11.245\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ देता है। दोनों गहराइयों पर $r/v$ परिकलित कीजिए और रैखिक अंतर्वेशन द्वारा किरण की पलटाव गहराई ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.1.

(क) $\sin i_0 = pv_0/R = 500\times5.80/6371 = 0.4552$, अतः $i_0 = 27.1{}^{\circ}$। (ख) $771\,\mathrm{km}$ पर, $r = 5600\,\mathrm{km}$ और $r/v = 5600/11.066 = 506.1\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$; $871\,\mathrm{km}$ पर, $r = 5500\,\mathrm{km}$ और $r/v = 5500/11.245 = 489.1\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$। जहाँ $r/v = p = 500$ होता है, वहाँ किरण पलटती है: $z_t = 771 + 100\times(506.1 - 500)/(506.1 - 489.1) = 771 + 36 = 807\,\mathrm{km}$।

अभ्यास 1.2 ★

इस अध्याय में PREM से परिकलित P-समय $30{}^{\circ}$ पर $369.6\,\mathrm{s}$ तथा $40{}^{\circ}$ पर $455.5\,\mathrm{s}$ हैं। (क) इनके बीच यात्रा-काल वक्र की प्रवणता का अनुमान लगाइए, $\mathrm{s}$ प्रति अंश में और $\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$ में। (ख) इससे पृष्ठ के अनुदिश तरंग-अग्र की आभासी चाल निकालिए, $\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ में। (ग) $35{}^{\circ}$ पर पहुँचने वाली किरण के पलटाव बिंदु पर P-चाल क्या है, यदि वह त्रिज्या $5450\,\mathrm{km}$ पर पलटती है?

हल

हल — अभ्यास 1.2.

(क) $(455.5 - 369.6)/10 = 8.59\,\mathrm{s}$ प्रति अंश, और $8.59\times180/\pi = 492.2\,\mathrm{s}\,\mathrm{rad}^{-1}$। (ख) चाप का एक अंश $6371\pi/180 = 111.19\,\mathrm{km}$ है, अतः तरंग-अग्र सतह को $111.19/8.59 = 12.94\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ की दर से पार करता है, जो सतह की किसी भी चट्टान से कहीं अधिक तेज़ है; अतः किरण तीखे कोण से पहुँचती है। (ग) पलटाव बिंदु पर $v = r_t/p = 5450/492.2 = 11.07\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, निचले प्रावार में P तरंग की चाल।

अभ्यास 1.3 ★

इस अध्याय के लव-तरंग मॉडल में परत के लिए $\beta_1 = 3.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho_1 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ तथा अर्ध-अंतरिक्ष के लिए $\beta_2 = 4.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho_2 = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है। (क) दोनों कर्तन मापांक परिकलित कीजिए। (ख) $20\,\mathrm{s}$ पर कला-वेग $3.79\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है: तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए और उसकी तुलना परत की मोटाई $35\,\mathrm{km}$ से। (ग) $20\,\mathrm{s}$ पर समूह-वेग $3.384\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $100\,\mathrm{s}$ पर $4.333\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ हैं, तो $4000\,\mathrm{km}$ दूर एक स्टेशन पर 20-s तरंगें 100-s तरंगों के कितने मिनट बाद पहुँचती हैं?

हल

हल — अभ्यास 1.3.

(क) $\mu_1 = \rho_1\beta_1^2 = 2700\times3500^2 = 3.31 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ ($33.1\,\mathrm{GPa}$); $\mu_2 = 3300\times4500^2 = 6.68 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ ($66.8\,\mathrm{GPa}$)। (ख) $\lambda = cT = 3.79\times20 = 75.8\,\mathrm{km}$, परत की मोटाई का 2.17 गुना: तरंग अर्ध-अंतरिक्ष में काफ़ी गहराई तक पहुँचती है, जो इसी कारण इसकी चाल पहले ही $\beta_1$ से ऊपर है। (ग) $4000/3.384 = 1182\,\mathrm{s}$ और $4000/4.333 = 923\,\mathrm{s}$: 20-s तरंगें 100-s तरंगों से $259\,\mathrm{s}$, या $4.3\,\mathrm{min}$ बाद पहुँचती हैं।

अभ्यास 1.4 ★

${}_0S_2$ और ${}_0T_2$ के प्रेक्षित आवर्तकाल $53.89\,\mathrm{min}$ और $44.01\,\mathrm{min}$ हैं। (क) इनकी आवृत्तियाँ $\mathrm{mHz}$ में परिकलित कीजिए। (ख) पृथ्वी एक दिन में इनमें से प्रत्येक के कितने दोलन पूरे करती है? (ग) दो वर्णक्रमीय शिखर तभी पृथक किए जा सकते हैं जब अभिलेख कम से कम उनके आवृत्ति-अंतर के व्युत्क्रम जितनी अवधि तक चले। इन दो विधाओं को पृथक करने के लिए अभिलेख कितनी देर चलना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 1.4.

(क) ${}_0S_2$: $1/(53.89\times60) = 3.093 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz} = 0.3093\,\mathrm{mHz}$; ${}_0T_2$: $1/(44.01\times60) = 0.3787\,\mathrm{mHz}$। (ख) $1440/53.89 = 26.7$ और $1440/44.01 = 32.7$ दोलन प्रतिदिन। (ग) अंतर $0.0694\,\mathrm{mHz}$ है, जिसका व्युत्क्रम $14\,400\,\mathrm{s}$ है: कम से कम $4.0\,\mathrm{h}$ का अभिलेख चाहिए, व्यवहार में इससे कहीं अधिक, क्योंकि क्षीणन से शिखर चौड़े हो जाते हैं और विभाजित हो जाते हैं।

अभ्यास 1.5 ★★

त्रिज्या $R$ और एकसमान चाल $v$ वाले गोले में किरणें सीधी जीवाएँ होती हैं। (क) दिखाइए कि $\Delta$ तक पहुँचने वाली किरण का यात्रा-काल $T = 2R\sin(\Delta/2)/v$ होता है। (ख) $R = 6371\,\mathrm{km}$ और $v = 10.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ लेकर $30{}^{\circ}$ और $90{}^{\circ}$ पर $T$ परिकलित कीजिए, और PREM के समयों $369.6\,\mathrm{s}$ और $779.7\,\mathrm{s}$ से तुलना कीजिए। (ग) समझाइए कि एकसमान गोला क्यों $30{}^{\circ}$ पर क्यों अधिक तेज़ और $90{}^{\circ}$ पर अधिक धीमा है।

हल

हल — अभ्यास 1.5.

(क) गोले के दो बिंदुओं के बीच की जीवा, जो केंद्र पर कोण $\Delta$ से अलग है, इसकी लंबाई $2R\sin(\Delta/2)$ है, और इसे $v$ चाल से तय किया जाता है। (ख) $30{}^{\circ}$ पर: $2\times6371\times\sin15{}^{\circ}/10.0 = 329.8\,\mathrm{s}$, जबकि प्रेक्षित मान $369.6\,\mathrm{s}$ है; $90{}^{\circ}$ पर: $2\times6371\times\sin45{}^{\circ}/10.0 = 901.0\,\mathrm{s}$, जबकि प्रेक्षित मान $779.7\,\mathrm{s}$ है। (ग) $30{}^{\circ}$ वाली किरण पलटती है ऊपरी प्रावार में, जहाँ वास्तविक चाल लगभग 8 से $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है, जो एकसमान $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ से कम है; $90{}^{\circ}$ वाली किरण अपना अधिकांश पथ निचले प्रावार में बिताती है, जहाँ चाल 11 से $13.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है, और उसमें नीचे की ओर झुकती है, इसलिए वास्तविक पृथ्वी अधिक तेज़ है।

अभ्यास 1.6 ★★

पॉइसन ठोस पर ($\lambda = \mu$, अतः $\alpha^2 = 3\beta^2$) रैले तरंग की चाल $c$ संतुष्ट करती है, जिसमें $\xi = c^2/\beta^2$ है, $(2 - \xi)^2 = 4\sqrt{1 - \xi/3}\,\sqrt{1 - \xi}$। (क) इसका वर्ग कीजिए और दिखाइए कि मूल $(\xi - 4)(3\xi^2 - 12\xi + 8) = 0$ को संतुष्ट करते हैं। (ख) दिखाइए कि $0 < \xi < 1$ वाला एकमात्र मूल $\xi = 2 - 2/\sqrt3$ है, और $c/\beta$ परिकलित कीजिए। (ग) ak135 ऊपरी भूपर्पटी में $\beta = 3.46\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है। रैले चाल और रैले तरंग का S-तरंग के पीछे विलंब, $1000\,\mathrm{km}$ पर परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.6.

(क) वर्ग करने पर, $(2 - \xi)^4 = 16(1 - \xi/3)(1 - \xi)$। विस्तार करने पर: $16 - 32\xi + 24\xi^2 - 8\xi^3 + \xi^4 = 16 - \tfrac{64}{3}\xi + \tfrac{16}{3}\xi^2$, अतः $\xi^4 - 8\xi^3 + \tfrac{56}{3}\xi^2 - \tfrac{32}{3}\xi = 0$, अर्थात $\xi\,(3\xi^3 - 24\xi^2 + 56\xi - 32) = 0$, और $3\xi^3 - 24\xi^2 + 56\xi - 32 = (\xi - 4)(3\xi^2 - 12\xi + 8)$। मूल $\xi = 0$ कोई तरंग नहीं है। (ख) द्विघात के मूल $2 \pm 2/\sqrt3$ हैं, अर्थात 3.155 और 0.8453; केवल $\xi = 0.8453$ अंतराल $(0, 1)$ में आता है (और $\xi = 4$ नहीं आता), और यह अवर्गित समीकरण को संतुष्ट करता है, दोनों पक्ष $4/3$ के बराबर हैं। अतः $c/\beta = \sqrt{0.8453} = 0.9194$। (ग) $c = 0.9194\times3.46 = 3.181\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; $1000\,\mathrm{km}$ की दूरी पर, $314.4 - 289.0 = 25.3\,\mathrm{s}$ S तरंग के बाद।

अभ्यास 1.7 ★★

एक अपवर्तन रेखा के चार स्टेशनों पर हेड-तरंग आगमन, विस्फोट-बिंदु से 50, 100, 150 और $200\,\mathrm{km}$ दूरी पर, 9.0, 15.3, 21.5 और $27.9\,\mathrm{s}$ पर आते हैं, जिनकी त्रुटियाँ 0.1, 0.1, 0.2 और $0.2\,\mathrm{s}$ हैं। भारित न्यूनतम वर्ग द्वारा $T = a + bx$ का फ़िट कीजिए: $\mathsf G$ और $\mathsf C_d$ लिखिए, प्रसामान्य समीकरण बनाइए, और $a$, $b$, उनकी मानक त्रुटियाँ, चाल $1/b$ उसकी त्रुटि के साथ, और न्यूनतम $\chi^2$ दीजिए। क्या फ़िट स्वीकार्य है?

हल

हल — अभ्यास 1.7.

$\mathsf G$ की पंक्तियाँ $(1, x_i)$ हैं और $\mathsf C_d^{-1} = \operatorname{diag} (100, 100, 25, 25)$ ($\mathrm{s}^{-2}$)। प्रसामान्य समीकरण इस प्रकार हैं

$$\begin{pmatrix} 250 & 23750 \\ 23750 & 2\,812\,500 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3665 \\ 418125 \end{pmatrix},$$

जिसका निर्धारक $1.390\,625 \times 10^{8}$ है। अतः $b = (250\times418125 - 23750\times3665)/1.390\,625 \times 10^{8} = 0.125\,75\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$ और $a = (2812500\times3665 - 23750\times418125)/1.390\,625 \times 10^{8} = 2.713\,\mathrm{s}$। सहप्रसरण $\mathsf N^{-1}$ है: $\sigma_b = \sqrt{250/1.390\,625 \times 10^{8}} = 0.001\,34\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$, $\sigma_a = \sqrt{2812500/1.390\,625 \times 10^{8}} = 0.142\,\mathrm{s}$। चाल $1/b = 7.95\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है, जिसकी त्रुटि $\sigma_b/b^2 = 0.08\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: सबसे ऊपरी प्रावार की चाल। अवशिष्ट हैं $-0.001$, $0.011$, $-0.076$ और $0.036\,\mathrm{s}$, और $\chi^2 = 0.19$, $4 - 2 = 2$ स्वातंत्र्य-कोटि के लिए: अपेक्षा से कम, अतः बताई गई त्रुटियाँ, यदि कुछ हो, तो बड़ी हैं; समंजन स्वीकार्य है।

अभ्यास 1.8 ★★

एक किरण दो कोशिकाओं को पार करती है, जिनकी लंबाइयाँ $30\,\mathrm{km}$ और $40\,\mathrm{km}$ हैं, और इसका अवशिष्ट $0.50\,\mathrm{s}$ है। (क) $\mathsf N = \mathsf G^{\mathsf T} \mathsf G$ विचित्र क्यों है? (ख) वे मॉडल, जो अवशिष्ट को ठीक-ठीक फ़िट करते हैं, उनमें से न्यूनतम मानदंड वाला मॉडल $\mathbf m = \mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T})^{-1}\mathbf d$ है: उसे परिकलित कीजिए। (ग) आव्यूह $\mathsf R = \mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T})^{-1}\mathsf G$ और उसका ट्रेस परिकलित कीजिए। (घ) यदि वास्तविक विसंगति केवल पहली कोशिका में $0.01\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$ है, तो क्या पुनर्प्राप्त होता है?

हल

हल — अभ्यास 1.8.

(क) $\mathsf G = (30\;\;40)$ एक ही पंक्ति है: $\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G$ कोटि एक का $2\times2$ आव्यूह है, अतः वह अव्युत्क्रमणीय है; $30m_1 + 40m_2 = 0$ वाला कोई भी मॉडल जोड़ा जा सकता है, बिना आँकड़े को बदले। (ख) $\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} = 900 + 1600 = 2500$, अतः $\mathbf m = (30, 40)\times0.50/2500 = (0.006, 0.008)\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$। (ग) $\mathsf R = \frac{1}{2500} \begin{pmatrix} 900 & 1200 \\ 1200 & 1600 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.36 & 0.48 \\ 0.48 & 0.64 \end{pmatrix}$, ट्रेस 1 का: एक आँकड़ा प्राचलों के एक संयोजन को विभेदित करता है। (घ) $\mathsf R\,(0.01, 0) = (0.0036, 0.0048)\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$: विसंगति किरण के अनुदिश फैलती है, अधिकांश उस कोष्ठ में जाती है जहाँ किरण लंबी है।

अभ्यास 1.9 ★★

प्रावार का एक स्लैब-क्षेत्र अपने परिवेश से $3\,\%$ तेज़ है, जहाँ $v = 9.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है। (क) इसमें से ऊर्ध्वाधर रूप से गुजरने वाली किरण का $200\,\mathrm{km}$ लंबाई में, प्रतिज्ञप्ति 1.15 द्वारा, अवशिष्ट और ठीक-ठीक परिकलित कीजिए। (ख) उसकी $100\,\mathrm{km}$ मोटाई को स्लैब के अभिलंब से $40{}^{\circ}$ पर पार करने वाली किरण के लिए भी यही कीजिए। (ग) रैखिकीकरण की सापेक्ष त्रुटि क्या है?

हल

हल — अभ्यास 1.9.

(क) रैखिकृत: $\delta t = -(\delta v/v)L/v = -0.03\times200/9.0 = -0.667\,\mathrm{s}$; सटीक रूप से, $L/(1.03v) - L/v = 200/9.27 - 200/9.0 = -0.647\,\mathrm{s}$। (ख) स्लैब में पथ $100/\cos40{}^{\circ} = 130.5\,\mathrm{km}$: $-0.03\times130.5/9.0 = -0.435\,\mathrm{s}$ रैखिकृत और $-0.422\,\mathrm{s}$ सटीक। (ग) सटीक मान रैखिकृत मान को $1.03$ से भाग देने पर मिलता है: $3\,\%$ की त्रुटि, जो स्वयं $\delta v/v$ की कोटि की है, जैसा प्रथम-कोटि के सिद्धांत से अपेक्षित है।

अभ्यास 1.10 ★★★

प्रमेय 1.8 में, कोटि $n$ का एक अधिस्वर केवल पर्याप्त छोटे आवर्तकालों पर विद्यमान है। (क) दिखाइए कि इसके कटऑफ़ पर इसका कला-वेग $\beta_2$ और $kHq_1 = n\pi$ है। (ख) कटऑफ़ कोणीय आवृत्ति $\omega_n = n\pi\beta_1\beta_2/\bigl(H\sqrt{\beta_2^2 - \beta_1^2}\bigr)$ निगमित कीजिए। (ग) अध्याय के मॉडल के लिए प्रथम अधिस्वर का कटऑफ़ आवर्तकाल ($H = 35\,\mathrm{km}$, $\beta_1 = 3.5$, $\beta_2 = 4.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$) परिकलित कीजिए। (घ) दिखाइए कि मूल विधा का कोई कटऑफ़ नहीं है, और उसका कला-वेग लघु आवर्तकालों पर $\beta_1$ की ओर प्रवृत्त होता है।

हल

हल — अभ्यास 1.10.

(क) अधिस्वर तब तक विद्यमान रहता है जब तक उसका अर्ध-अंतरिक्ष भाग क्षय होता है, $c < \beta_2$; अपनी कट-ऑफ़ पर $c = \beta_2$, अतः $q_2 = 0$ और $\tan(kHq_1) = 0$, जहाँ $kHq_1$ $[n\pi, n\pi + \pi/2)$ में है: $kHq_1 = n\pi$। (ख) $k = \omega/\beta_2$ लेने पर और $q_1 = \sqrt{\beta_2^2/\beta_1^2 - 1} = \sqrt{\beta_2^2 - \beta_1^2}/\beta_1$, $\omega_nH\sqrt{\beta_2^2 - \beta_1^2}/(\beta_1\beta_2) = n\pi$, जो सूत्र है। (ग) $\sqrt{4.5^2 - 3.5^2} = \sqrt8 = 2.828$; $\omega_1 = \pi\times3.5\times4.5/(35\times2.828) = 0.4998\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, जिसका आवर्तकाल $2\pi/0.4998 = 12.57\,\mathrm{s}$: अधिक आवर्तकालों पर केवल मूल विधा विद्यमान है। (घ) $n = 0$ के लिए कट-ऑफ़ आवृत्ति शून्य है: मूल विधा सभी आवर्तकालों पर विद्यमान है। लघु आवर्तकालों पर $kH \to \infty$ जबकि $kHq_1$ $\pi/2$ से नीचे रहता है, अतः $q_1 \to 0$ और $c \to \beta_1$।

अभ्यास 1.11 ★★★

अभ्यास 8 की किरण लीजिए, इकाई आँकड़ा त्रुटि के साथ। (क) दिखाइए कि किसी भी $\varepsilon > 0$ के लिए, $(\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1}\mathsf G^{\mathsf T} = \mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1}$ सत्य है। (ख) अवमंदित विभेदन आव्यूह $\mathsf R_\varepsilon = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G/(\|\mathbf g\|^2 + \varepsilon^2)$ निगमित कीजिए, जहाँ $\mathbf g = (30, 40)$ है, और उसका ट्रेस। (ग) $\varepsilon^2 = 0$, 2500 और $10\,000$ के लिए ट्रेस और आँकड़ा अवशिष्ट ($\mathrm{km}^{2}$ में) परिकलित कीजिए। समझौते का वर्णन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.11.

(क) $\mathsf G^{\mathsf T}(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} + \varepsilon^2\mathsf I) = (\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G + \varepsilon^2\mathsf I)\mathsf G^{\mathsf T}$; बाईं ओर से $(\mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G + \varepsilon^2 \mathsf I)^{-1}$ और दाईं ओर से $(\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} + \varepsilon^2\mathsf I)^{-1}$ से गुणा कीजिए। $\varepsilon > 0$ के लिए दोनों व्युत्क्रमणीय हैं। (ख) यहाँ $\mathsf G\mathsf G^{\mathsf T} = \|\mathbf g\|^2 = 2500$ एक संख्या है, इसलिए $\mathsf R_\varepsilon = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf G/(2500 + \varepsilon^2)$, जिसका ट्रेस $2500/(2500 + \varepsilon^2)$ है। (ग) अनुमानित आँकड़ा $\mathbf g\cdot\mathbf m_\varepsilon = 0.50\times2500/(2500 + \varepsilon^2)$ और अवशिष्ट $0.50\,\varepsilon^2/(2500 + \varepsilon^2)$ है। मान इस प्रकार हैं: $\varepsilon^2 = 0$ के लिए: ट्रेस 1, अवशिष्ट 0; 2500 के लिए: ट्रेस 0.5, अवशिष्ट $0.25\,\mathrm{s}$; $10\,000$ के लिए: ट्रेस 0.2, अवशिष्ट $0.40\,\mathrm{s}$। अधिक अवमंदन से मॉडल छोटा होता है, विभेदन घटता है और बेमेल बढ़ता है।

अभ्यास 1.12 ★★★

अभ्यास 5 के एकसमान गोले में: (क) प्रमेय 1.3 द्वारा दिखाइए कि $p(\Delta) = (R/v)\cos(\Delta/2)$ है, और इसकी जाँच $p$ की परिभाषा (जीवा का निर्गम कोण) से कीजिए। (ख) दिखाइए कि $\Delta_1$ तक पहुँचने वाली किरण $r_1 = R\cos(\Delta_1/2)$ पर पलटती है। (ग) यह स्वीकार करते हुए कि $\int_0^{\Delta_1}\operatorname{arccosh}\bigl(\cos(\Delta/2) /\cos(\Delta_1/2)\bigr)\,\mathrm d\Delta = \pi\ln\bigl(1/\cos(\Delta_1/2)\bigr)$, दिखाइए कि हर्ग्लोट्ज़–वीशर्ट सूत्र $r_1$ और वेग $v$ लौटाता है।

हल

हल — अभ्यास 1.12.

(क) अभ्यास 5 से, $T = (2R/v)\sin(\Delta/2)$, इसलिए $\mathrm dT/\mathrm d\Delta = (R/v)\cos(\Delta/2)$। केंद्र पर कोण $\Delta$ बनाने वाली जीवा शीर्ष-कोण $\Delta$ वाले समद्विबाहु त्रिभुज का आधार है, इसलिए वह स्रोत पर त्रिज्या से $i_0 = (\pi - \Delta)/2$ कोण बनाती है, और $p = R\sin i_0/v = (R/v)\cos(\Delta/2)$: वही। (ख) पलटाव बिंदु जीवा के मध्य में है, केंद्र से $R\cos(\Delta_1/2)$ दूरी पर; समतुल्य रूप से $r_1 = p_1v$। (ग) यहाँ $p(\Delta)/p_1 = \cos(\Delta/2)/\cos(\Delta_1/2)$, और सूत्र से $r_1 = R\exp\bigl(-\ln(1/\cos(\Delta_1/2))\bigr) = R\cos(\Delta_1/2)$ मिलता है, जैसा (ख) में है; चाल $r_1/p_1 = R\cos(\Delta_1/2)\big/ \bigl((R/v)\cos(\Delta_1/2)\bigr) = v$ है।

1.7 समस्या: स्टेशन K के नीचे का स्लैब

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — किरणें, लव तरंगें और लघु टोमोग्राफ़ी, एक काल्पनिक स्टेशन के नीचे

स्टेशन K एक महाद्वीप पर एक क्षेपण क्षेत्र के ऊपर स्थित है। यह समस्या इसके अभिलेखों का तीन प्रकार से उपयोग करती है: किरणें उसकी भूपर्पटी में, उसके पार लव तरंगों का परिक्षेपण, और नीचे प्रावार की एक लघु टोमोग्राफ़ी।

भाग I — प्रवणता में किरणें। इतनी छोटी दूरियों पर, जहाँ पृथ्वी की वक्रता की उपेक्षा की जा सके, K के नीचे P वेग गहराई के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, $v(z) = v_0 + gz$, जहाँ $v_0 = 5.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ और $g = 0.05\,\mathrm{s}^{-1}$ ($z$ km में)।

1. समतल परतों में स्नेल का नियम $p = \sin i/v$ स्थिर रखता है। एक किरण K से $\sin i_0 = 0.8$ के साथ निकलती है: $i_0$ और $p$ परिकलित कीजिए।
2. यह किस गहराई पर पलटती है, और वहाँ वेग क्या है?
3. दिखाइए कि किरण के अनुदिश $\mathrm di/\mathrm ds = pg$ है, इसलिए वह वृत्त का एक चाप है; उसकी त्रिज्या और उसके केंद्र की गहराई दीजिए।
4. वह क्षैतिज दूरी $X$ परिकलित कीजिए जिस पर किरण पृष्ठ पर लौटती है।
5. दिखाइए कि $\mathrm dT = \mathrm di/(g\sin i)$ है, और यात्रा-काल $T$ ठीक-ठीक परिकलित कीजिए।
6. $X$ और $T$ का $p = 0.15\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$ के लिए परिकलित कीजिए, और जाँचिए कि दो किरणों के बीच $\Delta T/\Delta X$ का मान $p$ के दो मानों के बीच आता है।

भाग II — लव तरंगें और भूपर्पटी। K के नीचे की भूपर्पटी एक परत है, जिसका S वेग $\beta_1 = 3.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ और घनत्व $\rho_1 = 2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ है, और वह $\beta_2 = 4.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho_2 = 3.3\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ वाले प्रावार के ऊपर है; इसकी मोटाई $H$ अज्ञात है। K और एक पड़ोसी स्टेशन के बीच लव तरंग का कला-वेग मापा जाता है: $3.99\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ का मान $25\,\mathrm{s}$ पर, और $4.25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ का मान $40\,\mathrm{s}$ पर।

7. $\mu_1$ और $\mu_2$ को $\mathrm{GPa}$ में परिकलित कीजिए।
8. $25\,\mathrm{s}$ पर $k$, $q_1$ और $q_2$ परिकलित कीजिए।
9. मूल विधा के परिक्षेपण समीकरण को $H$ के लिए हल कीजिए।
10. $40\,\mathrm{s}$ पर भी यही कीजिए। क्या दोनों परिणाम सुसंगत हैं?
11. दोनों आवर्तकालों के बीच समूह वेग का आकलन $\Delta\omega/\Delta k$ के रूप में कीजिए, और उसकी तुलना कला-वेगों से कीजिए।
12. प्रत्येक आवर्तकाल पर तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए, और समझाइए कि दोनों आवर्तकाल भूपर्पटी और सबसे ऊपरी प्रावार को भिन्न अनुपातों में क्यों संवेदित करते हैं।

भाग III — चार कोशिकाओं में एक टोमोग्राफ़ी। K के नीचे, ऊर्ध्वाधर काट में प्रावार का एक खंड, $200\,\mathrm{km}$ गुणा $200\,\mathrm{km}$ का, चार वर्गाकार कोशिकाओं में विभाजित है, प्रत्येक $100\,\mathrm{km}$ की: 1 (ऊपर बाएँ), 2 (ऊपर दाएँ), 3 (नीचे बाएँ) और 4 (नीचे दाएँ); खाई और महासागर बाईं ओर हैं। संदर्भ वेग $v_0 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है। एक आदर्श प्रयोग में छह सीधी किरणें इसे पार करती हैं: A ऊपरी पंक्ति के साथ (कोशिकाएँ 1 और 2), B निचली पंक्ति के साथ (3 और 4), C बाएँ स्तंभ के नीचे (1 और 3), D दाएँ स्तंभ के नीचे (2 और 4), E 1 और 4 से होकर विकर्ण के साथ, F 2 और 3 से होकर विकर्ण के साथ। उनके अवशिष्ट ये हैं:

किरण	A	B	C	D	E	F
$\delta t$ ($\mathrm{s}$)	$0.16$	$-0.48$	$-0.36$	$0.11$	$-0.15$	$-0.27$
त्रुटि $\sigma$ ($\mathrm{s}$)	0.05	0.05	0.05	0.05	0.10	0.10

मॉडल $\mathbf m$ को कोशिकाओं के मंदता-विचलन मानिए, $\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$ में ($1\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1} = 10^{-3}\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$), ताकि $\mathsf G$ की प्रविष्टियाँ $\mathrm{km}$ में किरण-लंबाइयाँ हों, जिन्हें 1000 से भाग दिया गया है।

13. $\mathsf G$ लिखिए, जो एक $6\times4$ आव्यूह है।
14. दिखाइए कि $\mathsf N = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathsf G$ की पंक्तियाँ $(10, 4, 4, 2)$, $(4, 10, 2, 4)$, $(4, 2, 10, 4)$ और $(2, 4, 4, 10)$ हैं।
15. $\mathbf b = \mathsf G^{\mathsf T}\mathsf C_d^{-1}\mathbf d$ परिकलित कीजिए।
16. जाँचिए कि $(1,1,1,1)$, $(1,-1,-1,1)$, $(1,1,-1,-1)$ और $(1,-1,1,-1)$ $\mathsf N$ के आइगेनसदिश हैं, जिनके आइगेनमान 20, 4, 8 और 8 हैं, और निष्कर्ष निकालिए कि $\mathsf N^{-1}$ की पंक्तियाँ $(11, -4, -4, 1)/80$, $(-4, 11, 1, -4)/80$, $(-4, 1, 11, -4)/80$ और $(1, -4, -4, 11)/80$ हैं।
17. भारित न्यूनतम-वर्ग अनुमान $\hat{\mathbf m}$ परिकलित कीजिए।
18. इसे सापेक्ष वेग विचलन $\delta v/v_0$ प्रतिशत में बदलिए।
19. प्रत्येक कोशिका की मानक त्रुटि $\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$ में और प्रतिशत में दीजिए, और कोशिकाओं 1 और 2 के बीच, तथा कोशिकाओं 1 और 4 के बीच सहसंबंध दीजिए। उनके चिह्नों की व्याख्या कीजिए।
20. फ़िट के बाद छह किरणों के अवशिष्ट और न्यूनतम $\chi^2$ परिकलित कीजिए। क्या यह दिए गए त्रुटियों से सुसंगत है?

भाग IV — अवमंदन, विभेदन और स्लैब।

21. $\varepsilon^2 = 4$ के लिए ($\mathsf N$ की इकाइयों में) $\mathsf R = (\mathsf N + 4\mathsf I)^{-1}\mathsf N$ के आइगेनमान दीजिए, और दिखाइए कि $\mathsf R$ का विकर्ण $2/3$ है, कोशिकाओं के बीच प्रविष्टियाँ $1/12$ हैं, जो एक पंक्ति या स्तंभ की किरण साझा करती हैं, और कोशिकाओं 1 और 4 के बीच तथा 2 और 3 के बीच $0$ है।
22. कोशिका 3 का अवमंदित अनुमान और उसका वेग विचलन परिकलित कीजिए। वह अनवमंदित से छोटा क्यों है?
23. अवमंदित मॉडल का $\chi^2 = 15.8$ और मानदंड $2.91\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$ है; अनवमंदित का $\chi^2 = 0.50$ और $4.24\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$; आप किसे रखेंगे, और यह समस्या अवमंदन की आवश्यकता क्यों नहीं रखती?
24. अवमंदित $\mathsf R$ की पंक्ति 3 पढ़िए: कोशिका 3 का अनुमान किन कोशिकाओं के साथ धुंधला हो गया है?
25. कौन-सी कोशिका तेज़ है, और कौन-सी धीमी? तेज़ कोशिका की, जो K के नीचे और महासागर की ओर है, क्षेपण क्षेत्र के संदर्भ में व्याख्या कीजिए।
26. स्लैब कोशिका का P-वेग विचलन प्रतिशत में, उसकी मानक त्रुटि के साथ दीजिए।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. $i_0 = \arcsin 0.8 = 53.13{}^{\circ}$ और $p = 0.8/5.0 = 0.16\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$।

2. किरण वहाँ मुड़ती है जहाँ $v = 1/p = 6.25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ है, अर्थात $z = (6.25 - 5.0)/0.05 = 25\,\mathrm{km}$ पर।

3. किरण के अनुदिश $\sin i = pv$ का अवकलन करने पर $\cos i\,\mathrm di/ \mathrm ds = pg\,\mathrm dz/\mathrm ds = pg\cos i$, अतः $\mathrm di/\mathrm ds = pg$: दिशा स्थिर दर से घूमती है, जैसे त्रिज्या $1/(pg) = 1/(0.16\times0.05) = 125\,\mathrm{km}$ वाले वृत्त की वक्रता हो। पलटाव बिंदु पर किरण $25\,\mathrm{km}$ गहराई पर क्षैतिज है और केंद्र ठीक $125\,\mathrm{km}$ ऊपर है: $z = -100\,\mathrm{km}$ पर, अर्थात सतह से $v_0/g$ ऊपर, जहाँ बहिर्वेशित चाल शून्य हो जाती।

4. स्रोत पर वृत्त की त्रिज्या किरण के लंबवत है, इसलिए वह क्षैतिज से $i_0$ कोण बनाती है, और केंद्र क्षैतिजतः $125\cos i_0$ दूरी पर है; सममिति से $X = 2\times125\times\cos i_0 = 2\times125\times0.6 = 150\,\mathrm{km}$, या $X = 2\sqrt{1 - p^2v_0^2}/(pg)$।

5. $\mathrm dT = \mathrm ds/v$ में $\mathrm ds = \mathrm di/(pg)$ और $v = \sin i/p$ रखने पर: $\mathrm dT = \mathrm di/(g\sin i)$। तब

$$T = \frac2g\int_{i_0}^{\pi/2}\frac{\mathrm di}{\sin i} = \frac2g\ln\cot\frac{i_0}2 = \frac2g\operatorname{arccosh}\frac1{pv_0} .$$

यहाँ $\cot(26.57{}^{\circ}) = 2$, इसलिए $T = 40\ln2 = 27.73\,\mathrm{s}$।

6. $p = 0.15$ के लिए: $pv_0 = 0.75$, $\sqrt{1 - 0.5625} = 0.6614$, $X = 2\times0.6614/0.0075 = 176.4\,\mathrm{km}$ और $T = 40\operatorname{arccosh} (1.3333) = 40\times0.7954 = 31.81\,\mathrm{s}$। तब $\Delta T/\Delta X = 4.08/26.4 = 0.155\,\mathrm{s}\,\mathrm{km}^{-1}$, 0.15 और 0.16 के बीच, जैसा $\mathrm dT/\mathrm dX = p$ अपेक्षित है।

7. $\mu_1 = 2700\times3500^2 = 33.1\,\mathrm{GPa}$ और $\mu_2 = 3300\times4500^2 = 66.8\,\mathrm{GPa}$।

8. $k = 2\pi/(cT) = 2\pi/(3.99\times25) = 0.062\,99\,\mathrm{rad}\,\mathrm{km}^{-1}$; $q_1 = \sqrt{(3.99/3.5)^2 - 1} = 0.5474$; $q_2 = \sqrt{1 - (3.99/4.5)^2} = 0.4624$।

9. $\tan(kHq_1) = 66.825\times0.4624/(33.075\times0.5474) = 1.707$; मूल विधा $kHq_1 = \arctan1.707 = 1.041$ लेती है, अतः $H = 1.041/(0.06299\times0.5474) = 30.2\,\mathrm{km}$।

10. $40\,\mathrm{s}$ पर: $k = 2\pi/170 = 0.03696$, $q_1 = 0.6888$, $q_2 = 0.3287$, $\tan(kHq_1) = 0.964$, $kHq_1 = 0.7671$ और $H = 0.7671/(0.03696\times0.6888) = 30.1\,\mathrm{km}$। दोनों परिणाम कला-वेगों की परिशुद्धता के भीतर मेल खाते हैं: भूपर्पटी लगभग $30\,\mathrm{km}$ मोटी है।

11. $\omega = 0.2513$ और $0.1571\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 0.06299$ और $0.036\,96\,\mathrm{rad}\,\mathrm{km}^{-1}$: $U \approx 0.0942/0.02603 = 3.62\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, दोनों कला-वेगों से कम है, जैसा होना चाहिए जब $c$ आवर्त के साथ बढ़ता है।

12. $\lambda = 3.99\times25 = 99.8\,\mathrm{km}$ और $4.25\times40 = 170\,\mathrm{km}$। मूल विधा नीचे अपने तरंगदैर्घ्य के एक अंश तक नमूना लेती है: 25-s तरंग अधिकतर भूपर्पटी में रहती है, 40-s तरंग प्रावार में काफ़ी गहराई तक पहुँचती है, इसलिए उसकी चाल $\beta_2$ के अधिक निकट है। दो आवर्त जो एक ही $H$ तय करते हैं, यह जाँच है कि दो-परत मॉडल पर्याप्त है।

13. कोशिकाओं 1 से 4 के स्तंभों और पंक्तियों A से F के साथ, इकाई के रूप में $1000\,\mathrm{km}$ लेते हुए ($\sqrt2\times100/1000 = 0.1414$):

$$\mathsf G = \begin{pmatrix} 0.1 & 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0 & 0.1 \\ 0.1414 & 0 & 0 & 0.1414 \\ 0 & 0.1414 & 0.1414 & 0 \end{pmatrix}.$$

14. $\mathsf C_d^{-1} = \operatorname{diag}(400, 400, 400, 400, 100, 100)$। पंक्ति या स्तंभ किरण $0.1^2\times400 = 4$ का योगदान देती है, विकर्ण किरण $0.1414^2\times100 = 2$ का योगदान देती है। कोशिका 1 को किरणें A, C (प्रत्येक 4) और E (2) पार करती हैं: 10। कोशिकाएँ 1 और 2 किरण A साझा करती हैं: 4; कोशिकाएँ 1 और 3 किरण C साझा करती हैं: 4; कोशिकाएँ 1 और 4 किरण E साझा करती हैं: 2; और इसी प्रकार सममिति से बाकी, जिससे दी गई चार पंक्तियाँ मिलती हैं।

15. पंक्ति या स्तंभ किरण अपनी प्रत्येक कोशिका में $0.1\times400\,\delta t = 40\, \delta t$ का योगदान देती है, विकर्ण किरण $0.1414\times100\,\delta t = 14.14\,\delta t$ का योगदान देती है। कोशिका 1: $40(0.16 - 0.36) + 14.14\times(-0.15) = -10.12$; कोशिका 2: $40(0.16 + 0.11) + 14.14\times(-0.27) = 6.98$; कोशिका 3: $40(-0.48 - 0.36) + 14.14\times(-0.27) = -37.42$; कोशिका 4: $40(-0.48 + 0.11) + 14.14\times(-0.15) = -16.92$।

16. $(1,1,1,1)$ के लिए $\mathsf N$ की प्रत्येक पंक्ति का योग 20 है। इसी प्रकार $(1,-1,-1,1)$ के लिए पंक्ति 1 $10 - 4 - 4 + 2 = 4$ देती है और बाकी पंक्तियाँ भी उसी प्रतिरूप की हैं। $(1,1,-1,-1)$ के लिए $10 + 4 - 4 - 2 = 8$, और $(1,-1,1,-1)$ के लिए, $10 - 4 + 4 - 2 = 8$ है। ये सदिश लांबिक हैं और इनका मानक 2 है, इसलिए $\mathsf N^{-1} = \sum_k \mathbf u_k\mathbf u_k^{\mathsf T}/(4\lambda_k)$; इसका $(1,1)$ अवयव $\tfrac14(\tfrac1{20} + \tfrac14 + \tfrac18 + \tfrac18) = \tfrac{11}{80}$, इसका $(1,2)$ अवयव $\tfrac14(\tfrac1{20} - \tfrac14 + \tfrac18 - \tfrac18) = -\tfrac4{80}$, इसका $(1,4)$ अवयव $\tfrac14(\tfrac1{20} + \tfrac14 - \tfrac18 - \tfrac18) = \tfrac1{80}$ है, और इसी प्रकार आगे।

17. $\hat{\mathbf m} = \mathsf N^{-1}\mathbf b$: $\hat m_1 = (11\times(-10.121) - 4\times6.982 - 4\times(-37.418) - 16.921)/80 = -0.081$; इसी प्रकार $\hat m_2 = 1.844$, $\hat m_3 = -3.706$ और $\hat m_4 = -0.931\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$ प्राप्त होते हैं।

18. $\delta v/v_0 = -v_0\,\delta s = -8.0\times10^{-3}\,\hat m$, प्रतिशत में $-0.8\,\hat m$: कोशिका 1 $+0.07$, कोशिका 2 $-1.48$, कोशिका 3 $+2.96$, कोशिका 4 $+0.75\,\%$।

19. $\mathsf N^{-1}$ का हर विकर्ण अवयव $11/80$ है: हर कोशिका की मानक त्रुटि $\sqrt{0.1375} = 0.371\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$ है, अर्थात $0.30\,\%$। कोशिका 1 और 2 का सहसंबंध $-4/11 = -0.36$ है: ये किरण A साझा करती हैं, और एक कोशिका में रखी मंदता को दूसरी के विरुद्ध समायोजित किया जा सकता है। कोशिकाएँ 1 और 4, जो केवल कम परिशुद्ध विकर्ण E साझा करती हैं, दुर्बल और धनात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं, $+1/11 = +0.09$।

20. पूर्वानुमानित अवशिष्ट $0.176$, $-0.464$, $-0.379$, $0.091$, $-0.143$ और $-0.263\,\mathrm{s}$; फ़िट के बाद के अवशिष्ट $-0.016$, $-0.016$, $0.019$, $0.019$, $-0.007$ और $-0.007\,\mathrm{s}$, और $\chi^2 = 0.50$, $6 - 4 = 2$ स्वातंत्र्य कोटियों के लिए, दी गई त्रुटियों के अनुरूप हैं, यदि कोई झुकाव है तो वह छोटे मानों की ओर है।

21. आइगेनसदिश $\mathsf N$ के ही हैं, और आइगेनमान $\lambda/(\lambda + 4)$ हैं: $20/24 = 5/6$, $4/8 = 1/2$, $8/12 = 2/3$ दो बार। प्रश्न 16 की तरह, $R_{11} = \tfrac14(\tfrac56 + \tfrac12 + \tfrac23 + \tfrac23) = \tfrac23$; $R_{12} = \tfrac14(\tfrac56 - \tfrac12 + \tfrac23 - \tfrac23) = \tfrac1{12}$; $R_{13} = \tfrac14(\tfrac56 - \tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac23) = \tfrac1{12}$; $R_{14} = \tfrac14(\tfrac56 + \tfrac12 - \tfrac23 - \tfrac23) = 0$।

22. $\mathbf b$ को आइगेनसदिशों पर प्रक्षेपित कीजिए: $\mathbf b\cdot\mathbf u_k/4 = -14.37$, $0.849$, $12.80$ और $-9.40$ आइगेनमान 20, 4, 8 और 8 के लिए। अवमंदित अनुमान इन्हें $\lambda + 4$ से भाग देता है, न कि $\lambda$ से; कोशिका 3 (घटक $1, -1, -1, 1$) के लिए, $m_3 = -14.37/24 - 0.849/8 - 12.80/12 - 9.40/12 = -2.555\,\mathrm{ms}\,\mathrm{km}^{-1}$, यह $+2.04\,\%$ की वेग विसंगति के बराबर है। अवमंदन हर घटक को शून्य की ओर खींचता है, सबसे अधिक उन्हें जो कमज़ोर रूप से बाधित हैं।

23. अनवमंदित मॉडल, जो आँकड़ों को उनकी त्रुटियों की सीमा के भीतर फ़िट करता है, ($\chi^2 = 0.50$, 2 स्वातंत्र्य कोटियों के लिए), जबकि अवमंदित मॉडल उनसे बुरी तरह बेमेल है ($15.8$)। अवमंदन की आवश्यकता केवल तब होती है जब $\mathsf N$ एकवचन या लगभग ऐसा हो; यहाँ इसका सबसे छोटा आइगेनमान 4 है, जो छोटा नहीं है, अनुमान स्थिर है और इसकी त्रुटियाँ मध्यम हैं।

24. पंक्ति 3 $(1/12, 0, 2/3, 1/12)$ है: कोशिका 3 का अवमंदित अनुमान अपने वास्तविक मान के दो-तिहाई के बराबर है, साथ ही कोशिका 1 और 4 के एक-बारहवें भाग का, किरण C और किरण B के साथ लगे उसके पड़ोसी, और कोशिका 2 का कुछ भी नहीं।

25. कोशिका 3, बाईं ओर की निचली कोशिका, लगभग $3\,\%$ तेज़ है; कोशिका 2 धीमी है। महासागरीय स्थलमंडल की एक ठंडी, घनी स्लैब महाद्वीप के नीचे धँसती हुई आसपास के प्रावार से तेज़ होती है, इसलिए गहरी और K के महासागर वाले पक्ष पर स्थित तेज़ कोशिका ही स्लैब है; उसके ऊपर की धीमी कोशिका, दूसरी ओर, वहाँ स्थित है जहाँ प्रावार-पच्चर गर्म है।

26. प्रश्न 18 और 19 से, स्लैब कोशिका की P-वेग विसंगति $(3.0 \pm 0.3)\,\%$ है।