26ग्रहीय अंतरंग और सतहें

दूरबीन से देखने पर चंद्रमा की दो प्रकार की सतहें दिखती हैं। चमकीली उच्चभूमियाँ क्रेटरों से ढकी हैं, क्रेटर पर क्रेटर: वे एक तीव्र बमबारी द्वारा बड़े क्रेटरों से संतृप्त कर दी गई थीं, वह बमबारी जो लगभग 3.8 अरब वर्ष पहले समाप्त हुई। गहरे रंग के मारिया, जो 4.2 और 1.2 अरब वर्ष पहले के बीच लावा से भरे मैदान हैं, उनमें क्रेटर कहीं कम हैं। अपोलो और लूना मिशनों ने दोनों से चट्टानें लौटाईं, और उनकी रेडियोमेट्रिक आयुओं ने किसी सतह पर क्रेटरों के घनत्व को एक घड़ी में बदल दिया। यह घड़ी अब मंगल, बुध और बर्फीले उपग्रहों के मैदानों की तिथि निर्धारित करती है, जिनसे अभी तक कोई चट्टान वापस नहीं लाई गई है। यह अध्याय ग्रहों के अंतरंगों को उनके गुरुत्व, घूर्णन और ज्वारों में पढ़ता है, फिर उनकी सतहों को उनके क्रेटरों, ज्वालामुखियों और भ्रंशों में।

पहले से ज्ञात

जड़त्व-आघूर्ण गुणक $C = I/MR^2$, इससे और माध्य घनत्व से बना ग्रह का दो-परत मॉडल, स्थलीय और विशाल ग्रह पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) में हैं, उसके तुलनात्मक ग्रहविज्ञान वाले अध्याय में; प्रावार-स्तंभ और बृहत आग्नेय प्रांत उसके हॉटस्पॉट वाले अध्याय में हैं। ग्रहीय विभेदन और उल्कापिंड पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) में हैं, ग्रह-निर्माण वाले अध्याय में। गतिक रूप-गुणक $J_2$, मैककला सूत्र और स्थलमंडलीय आनमन इस पुस्तक में उसके गुरुत्व और भूगणित वाले अध्याय में हैं; रैले संख्या प्रावार संवहन वाले अध्याय में है। ज्वार, केप्लर के नियम और प्रत्यास्थ मापांक भौतिकी की पुस्तकों में हैं; पॉइसन बंटन गणित की पुस्तकों में है।

26.1 गुरुत्व, घूर्णन और ज्वारों से अंतरंग

किसी ग्रह का द्रव्यमान, जो किसी उपग्रह या अंतरिक्ष यान की कक्षा से प्राप्त होता है, उसका माध्य घनत्व देता है; उसके अक्ष का पुरस्सरण और उसका $J_2$ उसके जड़त्व आघूर्ण देते हैं। पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) का दो-परत प्रस्ताव इन दोनों संख्याओं को एक क्रोड में बदल देता है, परंतु केवल तब जब प्रावार का घनत्व चुन लिया जाए: दो मापन तीन अज्ञात राशियों को निश्चित नहीं कर सकते।

हर ग्रह एक वक्र देता है, बिंदु नहीं। मंगल के लिए क्रोड त्रिज्या $1830\,\mathrm{km}$ इनसाइट द्वारा मापी गई, $3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ का प्रावार और $6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ का क्रोड चुनती है। बुध के लिए लगभग $2000\,\mathrm{km}$ त्रिज्या वाला क्रोड त्रिज्या का 82 प्रतिशत भरता है। चंद्रमा का वक्र लगभग समतल है: उसका $C = 0.394$ इतना $\tfrac25$ के निकट है कि एक छोटा क्रोड किसी भी घनत्व का हो, फिट बैठता है, और $0.001$ के बराबर $C$ का परिवर्तन क्रोड त्रिज्या को दो गुने से अधिक खिसका देता है (अभ्यास 26.10 देखिए)। अकेला गुरुत्व छोटे क्रोड को नहीं देख सकता; ज्वार और भूकंपीय तरंगें देख सकती हैं।

परिभाषा 26.1 (लव संख्या)

जब किसी ग्रह पर घात 2 का ज्वारीय विभव कार्य करता है, तो ग्रह विकृत होता है और उसका पुनर्वितरित द्रव्यमान अपना एक विभव जोड़ता है। लव संख्या $k_2$ उस जुड़े विभव का ज्वारीय विभव से अनुपात है, दोनों ग्रह की सतह पर मापे गए।

एक दृढ़ ग्रह में $k_2 = 0$ होता है; समान घनत्व वाला द्रव ग्रह पूरी तरह झुकता है, $k_2 = \tfrac32$ के साथ। इन दोनों के बीच यह संख्या मापती है कि ग्रह का कितना भाग झुक जाता है।

प्रतिज्ञप्ति 26.2 (समान प्रत्यास्थ गोले की लव संख्या)

समान घनत्व $\rho$, त्रिज्या $R$ और पृष्ठ-गुरुत्व $g$ वाला एक असंपीड्य गोला, जिसकी दृढ़ता $\mu$ है, उसके लिए निम्न प्राप्त होता है:

$$k_2 = \frac{3/2}{1 + \dfrac{19\mu}{2\rho g R}} .$$

यह परिणाम केल्विन का है और इसे स्वीकार किया जाता है। अनुपात $\mu/\rho gR$ प्रत्यास्थ दृढ़ता की उस स्व-गुरुत्व से, जो ज्वारीय उभार को वापस खींचता है, तुलना करता है: छोटे ग्रह कठोर होते हैं, बड़े ग्रह झुक जाते हैं। मंगल के लिए, $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$; पृथ्वी के ऊपरी प्रावार की दृढ़ता के साथ, संदर्भ पृथ्वी मॉडल में $80\,\mathrm{km}$ गहराई पर $67\,\mathrm{GPa}$ की, सूत्र $k_2 = 0.109$ देता है। मंगल ग्लोबल सर्वेयर ऑर्बिटर के अनुरेखण ने मंगल का सौर ज्वार मापा: $k_2 = 0.153 \pm 0.017$, जो एक ठोस लौह क्रोड के लिए बहुत बड़ा है। कम से कम क्रोड का बाहरी भाग द्रव है, और उसकी त्रिज्या 2003 में 1520 और $1840\,\mathrm{km}$ के बीच रखी गई थी।

भूकंपमापियों ने प्रश्न का निपटारा कर दिया। इनसाइट लैंडर ने मंगलकंप रिकॉर्ड किए और क्रोड के शीर्ष से परावर्तित तरंगों का पता लगाया: त्रिज्या $1830\,\mathrm{km}$, जो $1560\,\mathrm{km}$ गहरे प्रावार और 20 से $37\,\mathrm{km}$ मोटी भूपर्पटी के नीचे है। चंद्रमा पर अपोलो अंतरिक्षयात्रियों द्वारा लगाए गए भूकंपमापियों ने चंद्रकंप रिकॉर्ड किए, जिनमें सबसे गहरे, सैकड़ों किलोमीटर नीचे के, पृथ्वी के ज्वारों से उत्पन्न हुए थे। चंद्रमा के क्रोड का अब इस प्रकार वर्णन किया जाता है: $240\,\mathrm{km}$ त्रिज्या का ठोस, लौह-समृद्ध आंतरिक क्रोड, उसके चारों ओर $90\,\mathrm{km}$ मोटा द्रव लौह कवच, और उसके ऊपर आंशिक रूप से गलित एक परत।

26.2 संघट्ट क्रेटरण

अंतरिक्ष से आया कोई पिंड ग्रह से कम से कम उसके पलायन वेग पर टकराता है (पृथ्वी के लिए $11.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$); क्षुद्रग्रह प्रायः पृथ्वी से 15 से $25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ के वेग से, और धूमकेतु अधिकतम $60\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ तक के वेग से टकराते हैं। $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ पर प्रत्येक किलोग्राम $2 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$ ऊर्जा वहन करता है, जो विस्फोटक के एक किलोग्राम की ऊर्जा से लगभग पचास गुना है। यह संघट्ट भूमि में और प्रक्षेप्य में एक आघात-तरंग भेजता है; प्रक्षेप्य पिघलकर वाष्पित हो जाता है, और आघात के पीछे चट्टान बाहर की ओर गति में डाल दी जाती है, और कुछ सेकंडों में एक क्रेटर खुल जाता है।

परिभाषा 26.3 (क्षणिक क्रेटर, सरल क्रेटर, जटिल क्रेटर, इजेक्टा-आवरण)

क्षणिक क्रेटर वह कटोरे-आकार की गुहा है जो उत्खनन-प्रवाह द्वारा उस क्षण खुलती है जब उसका बढ़ना रुकता है; उसकी गहराई उसके व्यास की लगभग एक-तिहाई होती है। एक सरल क्रेटर उभरे किनारे वाला एक कटोरा है, जिसमें क्षणिक क्रेटर मुश्किल से बदला है, और उसकी खड़ी दीवारें अंदर की ओर ब्रेशिया के एक लेंस में ढह जाती हैं। एक जटिल क्रेटर एक बड़ा क्रेटर है जिसका क्षणिक कटोरा ध्वस्त हो गया: तल एक केंद्रीय उत्थान में ऊपर उठ गया, किनारा वेदिकाओं के साथ अंदर की ओर खिसक गया, और तल समतल है। इजेक्टा- आवरण वह उत्खनित चट्टान की परत है, जो किनारे से परे फेंकी गई और क्रेटर के चारों ओर जमा हुई।

$1\,\mathrm{km}$ चौड़े क्रेटर का उत्खनन लगभग छह सेकंड में होता है, जबकि $200\,\mathrm{km}$ चौड़े का लगभग डेढ़ मिनट में होता है। एक संघट्ट कितने आकार का क्रेटर बनाता है, वह यह प्रक्षेप्य की ऊर्जा, गुरुत्व और चट्टान की सामर्थ्य पर निर्भर करता है; इन्हें जोड़ने वाले नियम प्रयोगों और विस्फोटों से मिलाए गए हैं, विमाहीन समूहों के गुणनफलों के रूप में व्यक्त होते हैं, और उन्हें यहाँ स्वीकार किया जाता है। उनका सार ऊर्जाओं के संतुलन में है।

प्रतिज्ञप्ति 26.4 (गुरुत्व-शासन का मापन)

यदि संघट्ट ऊर्जा $E$ का एक नियत भाग उत्खनित चट्टान को, जिसका घनत्व $\rho$ है, गुरुत्व $g$ के विरुद्ध ऊपर उठाता है, तो क्रेटर का व्यास इस प्रकार बढ़ता है

$$D \propto \left(\frac{E}{\rho g}\right)^{1/4} .$$

ऊर्जा का कुछ भाग ऊष्मा, गलन और चट्टान के टूटने में चला जाता है, इसलिए वास्तविक नियम इस नियम और सरल नियमों के बीच रहते हैं: पृथ्वी के लिए अक्सर उद्धृत एक तालिका में क्रेटर को अपने पथरीले प्रक्षेप्य से बीस गुना चौड़ा लिया गया है। गुरुत्व यह भी तय करता है कि क्रेटर कहाँ सरल नहीं रहता। क्षणिक कटोरे की दीवारें तब ढह जाती हैं जब उनमें रुकी चट्टान का भार, जो $\rho g D/3$ की कोटि का है, चट्टान के सामर्थ्य से अधिक हो जाता है, इसलिए संक्रमण व्यास $1/g$ के अनुसार बदलता है: पृथ्वी पर लगभग $4\,\mathrm{km}$ क्रिस्टलीय चट्टान में और $2\,\mathrm{km}$ अवसादों में, और चंद्रमा पर लगभग $20\,\mathrm{km}$, जहाँ गुरुत्व छह गुना दुर्बल है।

26.3 क्रेटर काल-निर्धारण

एकांत छोड़ी गई सतह पर क्रेटर उसी दर से जमा होते हैं जिस दर से पिंड उससे टकराते हैं। उन्हें गिनने से सतह की आयु ज्ञात होती है, बशर्ते दर ज्ञात हो और क्रेटर उसी सतह के हों, न कि उसके नीचे की किसी चीज़ के या किसी पड़ोसी से फेंके गए मलबे के।

परिभाषा 26.5 (क्रेटर आकार–आवृत्ति बंटन)

किसी सतह का क्रेटर आकार–आवृत्ति बंटन उसके क्रेटरों की वह संख्या $N(D)$ है, जिनका व्यास कम से कम $D$ है, प्रति इकाई क्षेत्रफल, $D$ के फलन के रूप में (संचयी बंटन), या व्यास के वर्गों में गिनी गई संख्याएँ, जो सामान्यतः प्रत्येक पिछले से $\sqrt2$ गुना चौड़ा होता है (वृद्धिशील बंटन)।

परिभाषा 26.6 (क्रेटर काल-निर्धारण; उत्पादन और कालक्रम फलन; साम्य घनत्व)

क्रेटर काल-निर्धारण किसी सतह की आयु को उसके क्रेटरों के घनत्व से निर्धारित करना है। क्रेटर उत्पादन फलन वह आकार है जो किसी सतह पर अर्जित क्रेटरों के आकार–आवृत्ति बंटन का होता है, $F(D) = N(D)/N(1\,\mathrm{km})$, जिसे हर आयु पर समान माना जाता है। क्रेटर कालक्रम फलन $N_1(T)$ वह $1\,\mathrm{km}$ और उससे बड़े, प्रति इकाई क्षेत्रफल में जमा हुए क्रेटरों की संख्या है, जो समय $T$ में जमा होती है। किसी सतह पर किसी दिए गए आकार के क्रेटरों के लिए वह क्रेटर साम्य घनत्व पर होती है, जब हर नया क्रेटर औसतन उतने ही पुराने क्रेटर मिटा देता है जितने वह जोड़ता है: उनकी संख्या और नहीं बढ़ती।

किसी सतह की मॉडल आयु एक ही गिनती से निकलती है: किसी भी आकार पर मापा गया $N(D)$ $D$ पर यह $N_1 = N(D)/F(D)$ देता है, और $T$ का वह मान ज्ञात होता है जो $N_1(T) = N_1$ को हल करता है। ये $N(D) = N_1(T)F(D)$ रेखाएँ, स्थिर $T$ के लिए, समकालरेखाएँ कहलाती हैं। मंगल के लिए, व्यापक रूप से प्रयुक्त एक उत्पादन फलन $\log_{10}D$ में घात 11 का बहुपद है, और कालक्रम फलन का रूप यह है

अंतिम तीन अरब वर्षों में यह रैखिक है, उससे पहले तीव्र चरघातांकी। चंद्रमा का फलन उसी रूप का है, जिसमें $a = 5.44 \times 10^{-14}$ और $c = 8.38 \times 10^{-4}$ हैं। यह अपोलो और लूना अवतरण स्थलों की आयुओं पर फिट किया गया था; मंगल का फलन चंद्रमा का है, जिसे मंगल और चंद्रमा पर क्रेटर-निर्माण दरों के अनुपात के एक अनुमान से मापा गया है।

क्रेटर यादृच्छिक रूप से और एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से बनते हैं, इसलिए किसी क्षेत्र पर मिली संख्या $n$ एक पॉइसन चर है।

प्रतिज्ञप्ति 26.7 (मॉडल आयु की गणना-त्रुटि)

यदि $n$ क्रेटर किसी क्षेत्र $A$ पर गिने जाते हैं, तो घनत्व $N = n/A$ का मानक विचलन $\sqrt n/A$, सापेक्ष त्रुटि $1/\sqrt n$, और मॉडल आयु का मानक विचलन

$$\sigma_T = \frac{N_1(T)}{\sqrt n\,N_1'(T)} .$$

केवल गिनती की सापेक्ष त्रुटि सौ क्रेटरों के लिए दस प्रतिशत है। किसी तरुण सतह पर, जहाँ $N_1$ रैखिक है, आयु यही त्रुटि ग्रहण करती है: $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$। किसी पुरानी सतह पर तीव्र फलन इसे $3.8\,\mathrm{Ga}$ पर छह गुना घटा देता है (अभ्यास 26.11 देखिए); पुरानी सतहों की मॉडल आयु तब इसके बजाय फलन के अंशांकन से ही सीमित होती है। गिनती पर दो और सीमाएँ लागू होती हैं। छोटे क्रेटर संतृप्त हो जाते हैं: सबसे पुरानी सतहों पर लगभग $0.7\,\mathrm{km}$ से छोटे क्रेटर साम्य घनत्व पर पहुँच जाते हैं और समय अंकित करना बंद कर देते हैं। और कोई सतह मिटे बिना नवीकृत हो सकती है: एक लावा प्रवाह, जो छोटे क्रेटरों को दबा दे, पर बड़े क्रेटरों के किनारों को नहीं, एक ऐसा बंटन छोड़ जाता है जिसमें मोड़ है: बड़े $D$ पर पुराना और छोटे $D$ पर तरुण। यह मोड़ पुनःसतहीकरण की तिथि बताता है।

परिभाषा 26.8 (पुनःसतहीकरण)

पुनःसतहीकरण किसी ग्रहीय सतह का नवीकरण है, लावा, अवसाद, हिम या विरूपण से होने वाला, जो उसके क्रेटरों को हटा देता है या दबा देता है और उसकी क्रेटर-घड़ी को पुनः शून्य कर देता है।

26.4 पृथ्वी से परे ज्वालामुखीयता और विवर्तनिकी

हर स्थलीय ग्रह अपनी आंतरिक ऊष्मा अपने स्थलमंडल के माध्यम से खोता है। पृथ्वी यह गतिमान प्लेटों से करती है; अन्य ग्रह इसे भिन्न तरीके से करते हैं।

परिभाषा 26.9 (स्थिर ढक्कन)

कोई ग्रह स्थिर ढक्कन वाला होता है जब उसका स्थलमंडल एक ही कठोर कवच हो जो नीचे के प्रावार के संवहन में भाग नहीं लेता: ऊष्मा उसे चालन से और उसमें से ऊपर उठने वाले मैग्मा से पार करती है। पृथ्वी जैसे गतिशील-ढक्कन वाले ग्रह पर स्थलमंडल टूटकर उन प्लेटों में बंट जाता है जो प्रावार में फिर से धंस जाती हैं।

परिभाषा 26.10 (ऊष्मा-नलिका ज्वालामुखीयता)

ऊष्मा-नलिका ज्वालामुखीयता किसी ग्रह की आंतरिक ऊष्मा का मुख्यतः उस तरीके से खोना है जिसमें मैग्मा संकरी नलिकाओं से ऊपर उठकर सतह पर उद्गार करता है, जहाँ लावा ठंडा होकर बाद के लावा से दब जाता है: स्थलमंडल ऊपर से बनता है और ठंडा होकर नीचे ले जाया जाता है।

मंगल का स्थिर ढक्कन है। प्लेटें न होने के कारण, जो उनके स्रोतों से उन्हें दूर ले जातीं, उसके ज्वालामुखी टार्सिस उभार पर लंबे समय तक अपनी जगह पर ही बढ़ते रहे। ओलंपस मॉन्स, सौर तंत्र का ज्ञात सबसे बड़ा ज्वालामुखी, खड़ा है $27\,\mathrm{km}$ ऊँचा, जिसका आधार $600\,\mathrm{km}$ से अधिक चौड़ा है, और उसके चारों ओर $6\,\mathrm{km}$ तक ऊँची कगार है; पास के तीन टार्सिस मॉन्टेस में से हर एक 350 से $400\,\mathrm{km}$ चौड़ा है। इतना बड़ा भार स्थलमंडल को मोड़ देता है, और उसके द्वारा खोदी गई खाई की चौड़ाई, जैसे पृथ्वी पर, ढक्कन की प्रत्यास्थ मोटाई बताती है।

शुक्र, जो आकार में पृथ्वी का जुड़वाँ है, संघट्ट क्रेटरों की संख्या में पृथ्वी को छोड़कर किसी भी चट्टानी ग्रह से कहीं कम है। उसकी सतह की विशेषताएँ औसतन 150 मिलियन वर्ष जितनी तरुण हो सकती हैं, उनके बीच कुछ पुराने टुकड़े हैं: ज्वालामुखीयता और विरूपण ने उसकी अधिकांश सतह को नवीकृत किया, शायद टुकड़ों में और लंबे समय में, शायद अधिक तेज़ी से। शुक्र पर हज़ारों ज्वालामुखी हैं और प्लेटों के गतिमान होने का कोई संकेत नहीं।

आयो, बृहस्पति का सबसे अंदरूनी बड़ा उपग्रह, अपनी सतह से $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ से अधिक ऊष्मा खोता है, जो पृथ्वी के औसत $0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ से लगभग 27 गुना है। इसकी ऊष्मा रेडियोधर्मिता की नहीं है: यह ज्वारों द्वारा उत्पन्न होती है।

परिभाषा 26.11 (ज्वारीय ऊष्मन)

ज्वारीय ऊष्मन वह ऊष्मा है जो किसी पिंड के भीतर उस विरूपण के घर्षण से उत्पन्न होती है, जो एक बदलता हुआ ज्वार उस पर डालता है। उत्केंद्र कक्षा में तुल्यकाली घूर्णन करने वाला एक उपग्रह अपने ग्रह के ज्वार को हर कक्षा के दौरान प्रबलता में बदलता और आगे-पीछे झूलता हुआ देखता है।

प्रतिज्ञप्ति 26.12 (तुल्यकाली उपग्रह की ज्वारीय शक्ति)

त्रिज्या $R$ वाला एक उपग्रह, जो तुल्यकाली घूर्णन करता है, माध्य गति $n$ और छोटी उत्केंद्रता $e$ वाली कक्षा में, निम्नलिखित शक्ति का क्षय करता है:

$$\dot E = \frac{21}{2}\,\frac{k_2}{Q}\,\frac{(nR)^5}{G}\,e^2 ,$$

जहाँ $Q$ उपग्रह का ज्वारीय गुण-गुणक है, इसलिए $k_2/Q$ ज्वारीय विरूपण के उस भाग को मापता है जो ऊष्मा के रूप में खो जाता है।

यह प्रतिज्ञप्ति स्वीकार की जाती है। ऊर्जा का क्षय करने वाले ज्वार कक्षा को वृत्ताकार भी बना देते हैं; परंतु आयो की कक्षा दीर्घवृत्तीय ही रहती है, जिसकी उत्केंद्रता 0.004 है, क्योंकि यूरोपा और गैनीमीड के सटीक समय पर लगने वाले खिंचाव उसे विक्षुब्ध करते हैं, और उनके कक्षीय आवर्तकाल $1.77$, $3.55$ और $7.15$ दिन लगभग ठीक 1:2:4 के अनुपात में रहते हैं (अभ्यास 26.8 देखिए)। इसकी सतह हर कक्षा में $100\,\mathrm{m}$ तक ऊपर-नीचे होती है। ज्वालामुखी आयो को लावा से इतनी तेज़ी से ढकते हैं कि उस पर क्रेटर बन नहीं पाते; इसकी ऊष्मा कैसे निकलती है, इसका एक मॉडल ऊष्मा-नलिका ज्वालामुखीयता है, जो एक मोटा, ठंडा स्थलमंडल इसकी दहकती सतह के नीचे बनाए रखेगा।

परिभाषा 26.13 (उपसतही महासागर)

उपसतही महासागर किसी उपग्रह या बौने ग्रह की बर्फ़ की परत के नीचे द्रव जल की एक वैश्विक परत है, जो ज्वारीय और रेडियोजेनिक ऊष्मा से द्रव अवस्था में बनी रहती है।

परिभाषा 26.14 (हिम-ज्वालामुखीयता)

हिम-ज्वालामुखीयता जल, लवणीय घोल या अन्य वाष्पशील द्रवों और वाष्पों का, पिघली चट्टान के बजाय, किसी उपग्रह या बौने ग्रह की बर्फ़ीली सतह पर उद्गार है।

यूरोपा की बर्फ़ की परत, जिसे जूनो यान के माइक्रोवेव रेडियोमीटर ने उस क्षेत्र में मापा जिसके ऊपर से वह उड़ा, औसतन लगभग $29\,\mathrm{km}$ मोटी है; उसके नीचे एक खारा महासागर है, जिसमें पृथ्वी के सभी महासागरों के कुल जल से दोगुना जल है। शनि के उपग्रह एन्सेलेडस पर, जो केवल लगभग $500\,\mathrm{km}$ चौड़ा है, कैसिनी यान ने 2005 में बर्फ़ के कणों और गैस के फ़व्वारे पाए, जो दक्षिणी ध्रुव के पास गर्म भ्रंशों से निकलते हैं, लगभग $400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ की गति से। इसके गुरुत्व और इसके घूर्णन की डगमगाहट से पता चला कि ये फ़व्वारे एक वैश्विक महासागर से जल लेते हैं, जो औसतन 20 से $25\,\mathrm{km}$ मोटी बर्फ़ की परत के नीचे है और दक्षिणी ध्रुव पर संभवतः केवल 1 से $5\,\mathrm{km}$ मोटी है।

26.5 बड़े क्रोड और छोटे क्रोड

मापे गए चार क्रोड एक अजीब परिवार बनाते हैं। अपनी त्रिज्या के सापेक्ष, पृथ्वी का क्रोड सतह की ओर 0.55 दूरी तक पहुँचता है और मंगल का 0.54; चंद्रमा का 0.19; बुध का 0.82। पुस्तक 4 (स्नातक वर्ष 2) में बताया गया विभेदन प्रत्येक पिंड के भीतर धातु को सिलिकेट से अलग करता है, पर धातु के अनुपात को इतना भिन्न नहीं बना सकता। यह काम विशाल संघट्ट कर सकते हैं। माना जाता है कि चंद्रमा लगभग 4.5 अरब वर्ष पहले मंगल के आकार के एक पिंड और युवा पृथ्वी की टक्कर के मलबे से बना; संघट्टक की धातु पृथ्वी के क्रोड में मिल गई, जबकि चंद्रमा ने अधिकतर प्रावार की चट्टान बटोरी, इसीलिए उसका क्रोड छोटा है। इसी प्रकार के संघट्टों ने बुध के सिलिकेट प्रावार का बड़ा भाग छीन लिया होगा और उसे लौह-समृद्ध ग्रह बना दिया होगा, जिसका क्रोड उसके अधिकांश भाग को भरता है। क्रोड, क्रेटरों की तरह, टक्करों का इतिहास दर्ज करते हैं।

26.6 अभ्यास

अभ्यास 26.1 ★

बुध का माध्य घनत्व $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है, जड़त्व-आघूर्ण गुणक 0.35 और त्रिज्या $2440\,\mathrm{km}$ है। दो-परत मॉडल से, जिसमें प्रावार का घनत्व $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है, क्रोड की सापेक्ष त्रिज्या उसकी त्रिज्या किलोमीटर में और उसका घनत्व परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 26.1.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750$; $x^2 = (4750 - 3300)/(5429 - 3300) = 0.681$, $x = 0.825$, क्रोड $0.825\times2440 = 2010\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3300 + 2129/0.825^3 = 7090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

अभ्यास 26.2 ★

$50\,\mathrm{m}$ व्यास का एक पथरीला प्रक्षेप्य, जिसका घनत्व $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है, $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ की गति से पृथ्वी से ऊर्ध्वाधर टकराता है। इसका द्रव्यमान और उसकी गतिज ऊर्जा ज्यूल में और विस्फोटक के मेगाटन में ($1\,\mathrm{Mt} = 4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$) परिकलित कीजिए। बीस प्रक्षेप्य-व्यास के नियम से कितने व्यास का क्रेटर प्राप्त होता है?

हल

हल — अभ्यास 26.2.

$m = 3500\times\tfrac43\pi(25)^3 = 2.29 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$; $E = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12\times2.29 \times 10^{8}\times(2.0 \times 10^{4})^2 = 4.6 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$, या $4.6 \times 10^{16}/4.2 \times 10^{15} = 11\,\mathrm{Mt}$। नियम से प्राप्त क्रेटर का व्यास $20\times50\,\mathrm{m} = 1\,\mathrm{km}$ होता है।

अभ्यास 26.3 ★

मंगल के एक मैदान पर, जिसका क्षेत्रफल $100\,000\,\mathrm{km}^{2}$ है, 120 क्रेटर $1\,\mathrm{km}$ और उससे बड़े गिने जाते हैं। $N_1$, उसकी सापेक्ष त्रुटि और मैदान की मॉडल आयु उसकी त्रुटि के साथ परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 26.3.

$N_1 = 120/100\,000 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$, सापेक्ष त्रुटि $1/\sqrt{120} = 9\,\%$। रैखिक भाग पर, $T = N_1/c = 1.2 \times 10^{-3}/4.875 \times 10^{-4} = 2.46\,\mathrm{Ga}$ (घातांकी पद, $8 \times 10^{-7}$, नगण्य है), और $\sigma_T = T/\sqrt{120} = 0.22\,\mathrm{Ga}$.

अभ्यास 26.4 ★

आयो, जिसकी त्रिज्या $1821.5\,\mathrm{km}$ है, $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ की दर से ऊष्मा खोता है। उसकी कुल ऊष्मा हानि परिकलित कीजिए और पृथ्वी की $47\,\mathrm{TW}$ से उसकी तुलना कीजिए, कुल में और प्रति वर्ग मीटर ($0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$) में।

हल

हल — अभ्यास 26.4.

क्षेत्रफल $4\pi(1.8215 \times 10^{6})^2 = 4.17 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$; शक्ति $2.5\times 4.17 \times 10^{13} = 1.04 \times 10^{14}\,\mathrm{W} = 104\,\mathrm{TW}$, जो पृथ्वी की कुल शक्ति का 2.2 गुना है, बारह गुना छोटे पृष्ठ से निकलती है, और पृथ्वी के फ़्लक्स से $2.5/0.092 = 27$ गुना अधिक है।

अभ्यास 26.5 ★★

मंगल का द्रव्यमान $6.417 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ और त्रिज्या $3389.5\,\mathrm{km}$ है। (क) उसका माध्य घनत्व, पृष्ठीय गुरुत्व और $\rho gR$ परिकलित कीजिए। (ख) उसे एकसमान असंपीड्य गोला मानते हुए, जिसकी दृढ़ता $67\,\mathrm{GPa}$ है, उसकी लव संख्या $k_2$ परिकलित कीजिए। (ग) मापा गया मान $0.153 \pm 0.017$ है। तुलना क्या दर्शाती है?

हल

हल — अभ्यास 26.5.

(क) $\bar\rho = 6.417 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; $g = GM/R^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$। (ख) $19\mu/(2\rho gR) = 19\times6.7 \times 10^{10}/9.94 \times 10^{10} = 12.8$, $k_2 = 1.5/13.8 = 0.109$। (ग) मापा गया मान 2.6 मानक विचलन से बड़ा है: मंगल एक ऐसे ठोस ग्रह से अधिक मान देता है जिसकी प्रावार दृढ़ता हो, जैसा भीतर द्रव क्रोड होने पर होता।

अभ्यास 26.6 ★★

पृथ्वी पर ($g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) सरल से जटिल क्रेटर का संक्रमण क्रिस्टलीय चट्टान में लगभग $4\,\mathrm{km}$ पर और अवसाद में $2\,\mathrm{km}$ पर होता है। (क) मान लीजिए कि संक्रमण-व्यास $1/g$ के अनुपात में बदलता है, चंद्रमा पर ($g = 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) और मंगल तथा बुध पर ($g = 3.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) पूर्वानुमान लगाइए; उसकी तुलना चंद्रमा पर देखे गए $20\,\mathrm{km}$ से कीजिए। (ख) यदि ढहना तब शुरू होता है जब $\rho gD/3$ चट्टान की सामर्थ्य $Y$ से अधिक हो, तो पृथ्वी का क्रिस्टलीय संक्रमण किस सामर्थ्य का मान देता है, $\rho = 2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ के लिए?

हल

हल — अभ्यास 26.6.

(क) चंद्रमा: $4\times9.8/1.62 = 24\,\mathrm{km}$ क्रिस्टलीय चट्टान में, $12\,\mathrm{km}$ अवसाद में; मंगल और बुध: $4\times9.8/3.7 = 10.6\,\mathrm{km}$ और $5.3\,\mathrm{km}$। चंद्रमा की $20\,\mathrm{km}$ गहराई उसके दो पूर्वानुमानों के बीच पड़ती है: नियम कुछ दसियों प्रतिशत तक सही है। (ख) $Y = \rho gD/3 = 2600\times9.8\times4000/3 = 34\,\mathrm{MPa}$, विभंजित चट्टान की सामर्थ्य है, न कि अक्षत क्रिस्टल की।

अभ्यास 26.7 ★★

एक पृष्ठ पर $1\,\mathrm{km}$ और उससे अधिक व्यास के $2.0 \times 10^{-3}$ क्रेटर प्रति वर्ग किलोमीटर हैं। मंगल का क्रेटर कालक्रम फलन से इसकी मॉडल आयु समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करके ज्ञात कीजिए। चंद्र फलन से कौन-सी आयु प्राप्त होती, और दोनों को आपस में क्यों नहीं बदला जा सकता?

हल

हल — अभ्यास 26.7.

मंगल: $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 2.0 \times 10^{-3}$; रैखिक अनुमान $4.1$ Ga बहुत अधिक पुराना है, क्योंकि वहाँ घातांकी पद बड़ा है; द्विभाजन विधि से $T = 3.34\,\mathrm{Ga}$ मिलता है (घातांकी पद $3.6 \times 10^{-4}$, रैखिक पद $1.63 \times 10^{-3}$)। चंद्र फलन से प्राप्त मान $2.39\,\mathrm{Ga}$ है। प्रत्येक फलन एक ही पिंड के लिए अंशांकित होता है: संघट्टों की दर और किसी दिए गए प्रक्षेप्य से बने क्रेटरों का आकार चंद्रमा और मंगल के बीच भिन्न होते हैं।

अभ्यास 26.8 ★★

आयो, यूरोपा और गैनिमीड के कक्षीय आवर्तकाल 1.769138, 3.551181 और $7.154\,553$ दिन हैं। (क) क्रमागत आवर्तकालों के अनुपात परिकलित कीजिए। (ख) $1/P_I - 3/P_E + 2/P_G$ परिकलित कीजिए और टिप्पणी कीजिए। (ग) अनुनाद क्यों वह उत्केंद्रता बनाए रख सकता है जिसे अन्यथा ज्वार हटा देते हैं?

हल

हल — अभ्यास 26.8.

(क) $3.551181/1.769138 = 2.0073$ और $7.154553/3.551181 = 2.0147$, दोनों $2$ के निकट हैं। (ख) $0.565247 - 0.844789 + 0.279542 = 0.000000$ प्रति दिन, $1 \times 10^{-7}$ की सीमा तक: तीनों माध्य गतियाँ बद्ध हैं, एक ऐसा अनुनाद जो प्रत्येक संयोजन पर उपग्रहों की सापेक्ष स्थितियाँ बनाए रखता है। (ग) खिंचाव कक्षा के उन्हीं बिंदुओं पर दोहराते हैं, इसलिए वे औसतन निरस्त होने के बजाय जुड़ते हैं; वे उत्केंद्रता को उतनी ही तेज़ी से बढ़ाते हैं जितनी तेज़ी से ज्वार उसे क्षीण करते हैं।

अभ्यास 26.9 ★★

आयो $1.769\,138$ दिन में बृहस्पति की परिक्रमा करता है, जिसकी उत्केंद्रता 0.004 है। $k_2/Q$ की प्रति इकाई पर ज्वारीय-शक्ति प्रस्ताव से मिलने वाली शक्ति परिकलित कीजिए, और वह $k_2/Q$ मान ज्ञात कीजिए जिससे आयो की ऊष्मा-हानि की आपूर्ति हो सके, जो अभ्यास 26.4 में है।

हल

हल — अभ्यास 26.9.

$n = 2\pi/(1.769138\times86400) = 4.111 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $nR = 74.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $(nR)^5/G = 3.53 \times 10^{19}\,\mathrm{W}$; $\tfrac{21}{2}e^2(nR)^5/G = 10.5\times1.6 \times 10^{-5}\times3.53 \times 10^{19} = 5.9 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ प्रति एकक $k_2/Q$। फिर $k_2/Q = 1.04 \times 10^{14}/5.9 \times 10^{15} = 0.018$.

अभ्यास 26.10 ★★★

चंद्रमा के लिए $\bar\rho = 3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $C = 0.394$। (क) दर्शाइए कि द्वि-परत मॉडल में $\mathrm dx^2/\mathrm dC = \tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$ स्थिर $\rho_m$ पर सत्य है। (ख) वह प्रावार घनत्व जो $x = 0.19$ का क्रोड देता है, $3288\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, लेकर $x$ और $\rho_c$ क्या हैं, जब $C = 0.395$ और जब $C = 0.393$? (ग) जड़त्व आघूर्ण से एक छोटे क्रोड को आँकने के बारे में यह क्या कहता है?

हल

हल — अभ्यास 26.10.

(क) $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$ यह $C$ में रैखिक है, जिसकी प्रवणता $\tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$ है। (ख) प्रवणता $2.5\times3340/52 = 161$ है: $x^2$ बदलता है $0.161$ से, $0.001$ के $C$ अंतर पर। $C = 0.395$ के लिए, $x^2 = 0.036 + 0.161 = 0.197$, $x = 0.44$, $\rho_c = 3880\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; $C = 0.393$ के लिए, $x^2 < 0$: बिल्कुल कोई क्रोड नहीं। (ग) $C = \tfrac25$ के निकट जड़त्व आघूर्ण एक छोटे क्रोड को मुश्किल से महसूस करता है: इसका तीसरा सार्थक अंक तय करता है कि एक बड़ा हल्का क्रोड है या कोई भी नहीं। भूकंपीय तरंगों, ज्वार और चुंबकीय क्षेत्र की आवश्यकता है।

अभ्यास 26.11 ★★★

(क) 100 क्रेटरों के लिए, $1.0\,\mathrm{Ga}$ पुराने मंगल-पृष्ठ और $3.8\,\mathrm{Ga}$ पुराने एक पृष्ठ की मॉडल आयु की गणना-त्रुटि परिकलित कीजिए। (ख) कालक्रम फलन के रैखिक भाग पर दर्शाइए कि $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$ होता है। (ग) तब पुराने पृष्ठों की आयुएँ अब भी अनिश्चित क्यों हैं?

हल

हल — अभ्यास 26.11.

(क) $\sigma_T = N_1/(10\,N_1')$: $1.0\,\mathrm{Ga}$ पर, $N_1 \approx N_1' \approx 4.875 \times 10^{-4}$, $\sigma_T = 0.10\,\mathrm{Ga}$; $3.8\,\mathrm{Ga}$ पर, $N_1 = 1.07 \times 10^{-2}$ और $N_1' = 6.15 \times 10^{-2}$, $\sigma_T = 0.017\,\mathrm{Ga}$, छह गुना छोटा। (ख) $N_1 = cT$, $N_1' = c$ मानकर $\sigma_T = cT/(\sqrt n\,c) = T/\sqrt n$। (ग) स्वयं कालक्रम फलन अनिश्चित है: यह चंद्रमा के कुछ काल-निर्धारित स्थलों और चंद्रमा से मंगल तक के पैमाने के अंतरण पर टिका है, ऐसी त्रुटियाँ जिन्हें कोई गिनती घटा नहीं सकती।

अभ्यास 26.12 ★★★

त्रिज्या $1560.8\,\mathrm{km}$ वाला यूरोपा $3.551\,181$ दिन में परिक्रमा करता है, जिसकी उत्केंद्रता 0.009 है। (क) यदि यूरोपा ने आयो जैसे $k_2/Q$ के साथ ज्वार का क्षय किया होता, तो आयो की ज्वारीय शक्ति का कितना भाग वह उत्पन्न करता, और ऊष्मा-प्रवाह कितना होता? (ख) बर्फ़ के नीचे महासागर वाले उपग्रह के लिए यह धारणा संदिग्ध क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 26.12.

(क) अनुपात $(n_ER_E/n_IR_I)^5(e_E/e_I)^2 = (0.4982\times0.8569)^5 \times(0.009/0.004)^2 = 0.0142\times5.06 = 0.072$: लगभग $7.5 \times 10^{12}\,\mathrm{W}$, या $7.5 \times 10^{12}/(4\pi(1.5608 \times 10^{6})^2) = 0.24\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$। (ख) एक महासागर बर्फ़ की परत को अंतःभाग से पृथक करता है: परत किसी ठोस चंद्रमा से कहीं अधिक मुड़ती है, और उसकी बर्फ़ आयो की गर्म चट्टान से भिन्न प्रकार से ऊर्जा का क्षय करती है, अतः $k_2$ और $Q$ दोनों बदलते हैं।

26.7 समस्या: मंगल के दो मैदान

समस्या 26.1

सप्ताहांत समस्या — मंगल का क्रोड और दो काल्पनिक लावा मैदानों की आयु

मंगल का द्रव्यमान $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, त्रिज्या $3389.5\,\mathrm{km}$ और जड़त्व-आघूर्ण गुणक 0.366 है। दो काल्पनिक मैदान, A और B, इसके ज्वालामुखीय प्रांतों पर स्थित हैं; उनके क्रेटर $\sqrt2$ चौड़े खानों में चित्रों पर गिने गए हैं।

भाग I — क्रोड।

1. मंगल का माध्य घनत्व परिकलित कीजिए।
2. द्वि-परत मॉडल लेकर, जिसमें प्रावार का घनत्व $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ हो, क्रोड की सापेक्ष त्रिज्या, उसकी किलोमीटर में त्रिज्या और उसका घनत्व परिकलित कीजिए।
3. इनसाइट ने क्रोड की त्रिज्या $1830\,\mathrm{km}$ मापी। अब द्वि-परत मॉडल के लिए प्रावार और क्रोड के कौन-से घनत्व आवश्यक हैं?
4. उस क्रोड-घनत्व की तुलना पृथ्वी के बाह्य क्रोड के घनत्व से कीजिए, उसके ठीक ऊपरी शीर्ष पर, जो संदर्भ पृथ्वी मॉडल में $9900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ है, और बताइए कि मंगल के लिए कम मान क्यों अपेक्षित है, और यह और क्या संकेत देता है।
5. मंगल की एकसमान-गोला लव संख्या, जिसकी दृढ़ता $67\,\mathrm{GPa}$ है, 0.109 होती है; मापा गया मान 0.153 है। कौन-सा प्रेक्षण पहले आया, और उसने क्रोड के बारे में पहले ही क्या कहा था?
6. मंगल की भूपर्पटी 20 से $37\,\mathrm{km}$ मोटी है। ग्रह के आयतन का कितना भाग यह धारण करती है? क्या इसे नज़रअंदाज़ करना उचित था?

भाग II — मैदान A पर गणनाएँ। मैदान A का $80\,000\,\mathrm{km}^{2}$ क्षेत्रफल घेरता है। इसके क्रेटर, व्यास-खानों के अनुसार (km):

खाना	1–1.41	1.41–2	2–2.83	2.83–4	4–5.66	5.66–8	8–11.3	11.3–16	16–22.6
मैदान A	38	6	5	3	0	0	0	1	1
मैदान B	48	8	31	12	7	2	0	2	2

7. मैदान A की संचयी गणनाएँ, $1\,\mathrm{km}$ से ऊपर, परिकलित कीजिए।
8. $N(1\,\mathrm{km})$ प्रति वर्ग किलोमीटर और उसका मानक विचलन परिकलित कीजिए।
9. क्रेटर उत्पादन फलन $F(2\,\mathrm{km}) = 0.147$ और $F(1.41\,\mathrm{km}) = 0.355$ देता है। क्या $1.41\,\mathrm{km}$ और $2\,\mathrm{km}$ पर गणनाएँ उत्पादन फलन के आकार से संगत हैं?
10. क्या मैदान A क्रेटर साम्य घनत्व के निकट कहीं है, $1\,\mathrm{km}$ पर $0.072\,\mathrm{km}^{-2}$?
11. खाने $\sqrt2$ चौड़े क्यों चुने गए हैं?
12. छोटे क्रेटरों के गुच्छे और शृंखलाएँ गणना से बाहर रखी जाती हैं। क्यों?

भाग III — मॉडल आयु। मंगल ग्रह के कालक्रम फलन का उपयोग कीजिए।

13. मैदान A की मॉडल आयु परिकलित कीजिए। जाँच कीजिए कि घातांकीय पद उपेक्षित किया जा सकता है।
14. इसकी गणना-त्रुटि परिकलित कीजिए।
15. चंद्र कालक्रम से कौन-सी आयु प्राप्त होती?
16. मैदान B का क्षेत्रफल $120\,000\,\mathrm{km}^{2}$ है। इसके $2\,\mathrm{km}$ और उससे बड़े क्रेटरों का उपयोग करके $N(2\,\mathrm{km})$, फिर $N_1$, और फिर समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करके उसकी मॉडल आयु परिकलित कीजिए।
17. उस आयु की गणना-त्रुटि परिकलित कीजिए।
18. दोनों आयुओं की सापेक्ष त्रुटियों की तुलना कीजिए और इस अंतर की व्याख्या कीजिए।

भाग IV — मैदान B के दबे हुए क्रेटर।

19. यदि मैदान B की पूरी सतह प्रश्न 16 वाली आयु की होती, तो 1 और $2\,\mathrm{km}$ के बीच के क्रेटर उसमें कितने होने चाहिए? उसमें कितने हैं?
20. मान लीजिए कि लावा ने $2\,\mathrm{km}$ से छोटे प्रत्येक क्रेटर को एक समय $T_r$ पर दबा दिया और बड़े क्रेटरों को छोड़ दिया। $1$–$2\,\mathrm{km}$ के क्रेटरों से $T_r$ परिकलित कीजिए।
21. $T_r$ की गणना-त्रुटि परिकलित कीजिए।
22. मंगल ग्रह पर एक ताज़ा सरल क्रेटर की गहराई उसकी चौड़ाई के पाँचवें भाग के बराबर मान लीजिए (यह इस समस्या की एक कल्पना है)। लावा कितना मोटा होना चाहिए कि $2\,\mathrm{km}$ का क्रेटर दब जाए, और बड़े क्रेटर अब भी क्यों दिखते हैं?
23. क्या मैदान B और मैदान A का लावा ज्वालामुखीयता के एक ही घटनाक्रम का हिस्सा हो सकता है?
24. मैदान A की मॉडल आयु, अरब वर्षों में और दो सार्थक अंकों तक, दीजिए।

हल

हल — समस्या 26.1.

1. $\bar\rho = 6.4169 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

2. $\tfrac52C\bar\rho = 3600$; $x^2 = (3600 - 3500)/(3934 - 3500) = 0.230$, $x = 0.479$, $1620\,\mathrm{km}$ का क्रोड; $\rho_c = 3500 + 434/0.479^3 = 7450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

3. $x = 1830/3389.5 = 0.540$; $\rho_m = (3600 - 0.2915\times 3934)/(1 - 0.2915) = 3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_c = 3462 + 472/0.1574 = 6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

4. यह एक तिहाई कम है। मंगल के क्रोड में दाब पृथ्वी के क्रोड की तुलना में बहुत कम है, अतः उसकी धातु कम संपीड़ित होती है; और इतना हल्का क्रोड संकेत देता है कि लोहे के साथ कहीं अधिक हल्के तत्व मिले हुए हैं।

5. लव संख्या (2003) इनसाइट (2021) से बहुत पहले सामने आ गई थी: उसने पहले ही दिखा दिया था कि कम से कम बाह्य क्रोड द्रव है, और उसकी त्रिज्या 1520 और $1840\,\mathrm{km}$ के बीच रखी, एक ऐसा परास जिसमें भूकंपीय मान समाहित है।

6. $1 - (1 - 20/3389.5)^3 = 1.8\,\%$ से $1 - (1 - 37/3389.5)^3 = 3.2\,\%$ तक आयतन का, और द्रव्यमान का अंश उससे कम: प्रावार से हल्का होने के कारण यह प्रभावी प्रावार घनत्व को थोड़ा घटाता है, मॉडल की अनिश्चितता से छोटा एक प्रभाव है।

7. $1\,\mathrm{km}$ से: 54; 1.41 से: 16; 2 से: 10; 2.83 से: 5; 4, 5.66, 8 और 11.3 से: 2; 16 से: 1.

8. $N = 54/80000 = 6.75 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $\sigma = \sqrt{54}/80000 = 0.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$ ($14\,\%$).

9. अपेक्षित $54\times0.355 = 19$ क्रेटर $1.41\,\mathrm{km}$ से, और $54\times0.147 = 7.9$ $2\,\mathrm{km}$ से; गिने गए 16 और 10, एक मानक विचलन के भीतर ($\sqrt{19} = 4.4$, $\sqrt{7.9} = 2.8$): संगत है।

10. नहीं: यह $0.072/6.75 \times 10^{-4} = 107$ गुना कम है। गणना समय दर्ज करती है।

11. $\log D$ में समान चौड़ाई के वर्ग परास को समान रूप से ढकते हैं और तीव्र बंटन के वर्गों में तुलनीय संख्या में क्रेटर रखते हैं।

12. ये द्वितीयक क्रेटर हैं, जो एक बड़े प्राथमिक क्रेटर से बाहर फेंके गए शिलाखंडों द्वारा बने हैं; ये अंतरिक्ष से आए स्वतंत्र संघट्ट नहीं हैं, अतः ये ऐसे क्रेटर जोड़ देते जिन्हें कालक्रम फलन नहीं गिनता।

13. $T = 6.75 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.385\,\mathrm{Ga}$; घातांकीय पद, $3.22 \times 10^{-14}(e^{9.6} - 1) = 4.7 \times 10^{-10}$, $N_1$ का दस लाखवाँ भाग है।

14. $\sigma_T = T/\sqrt{54} = 0.19\,\mathrm{Ga}$: $1.38 \pm 0.19$ Ga.

15. $6.75 \times 10^{-4}/8.38 \times 10^{-4} = 0.81\,\mathrm{Ga}$, यह लगभग आधा छोटा है।

16. $31 + 12 + 7 + 2 + 0 + 2 + 2 = 56$ क्रेटर; $N(2\,\mathrm{km}) = 56/120000 = 4.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$; $N_1 = 4.67 \times 10^{-4}/0.1473 = 3.17 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$। $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 3.17 \times 10^{-3}$ पर द्विभाजन से $T = 3.54\,\mathrm{Ga}$ प्राप्त होता है (घातांकीय पद $1.45 \times 10^{-3}$, रैखिक पद $1.73 \times 10^{-3}$)।

17. $N_1' = 3.22 \times 10^{-14}\times6.93\,e^{6.93\times3.54} + 4.875 \times 10^{-4} = 1.05 \times 10^{-2}$; $\sigma_T = 3.17 \times 10^{-3}/(\sqrt{56}\times 1.05 \times 10^{-2}) = 0.040\,\mathrm{Ga}$.

18. मैदान A: $14\,\%$; मैदान B: $1.1\,\%$। कालक्रम के तीव्र, प्रारंभिक भाग में क्रेटर घनत्व में बड़ा परिवर्तन आयु में छोटे परिवर्तन का अर्थ है; रैखिक भाग पर आयु उतनी ही अनिश्चित है जितनी गणना।

19. $120000\times3.17 \times 10^{-3}\times(1 - 0.1473) = 324$; यह $48 + 8 = 56$ क्रेटर ढोता है।

20. $N_1 = 56/(120000\times0.8527) = 5.47 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $T_r = 5.47 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.12\,\mathrm{Ga}$.

21. $\sigma = 1.12/\sqrt{56} = 0.15\,\mathrm{Ga}$.

22. $2\,\mathrm{km}$ का क्रेटर $400\,\mathrm{m}$ गहरा है: लावा कम से कम उतना मोटा रहा होगा। बड़े क्रेटर अधिक गहरे हैं और उनके किनारे ऊँचे खड़े हैं; उनमें से कुछ भर गए थे और अब भी दिखते हैं।

23. $1.38 \pm 0.19$ और $1.12 \pm 0.15$ Ga में $0.26\,\mathrm{Ga}$ का अंतर है, लगभग एक संयुक्त मानक विचलन ($\sqrt{0.19^2 + 0.15^2} = 0.24$) के बराबर है: गणनाएँ एक ही घटना की अनुमति देती हैं, यद्यपि वे इसे सिद्ध नहीं करतीं।

24. युवा लावा मैदान A की मॉडल आयु 1.4 अरब वर्ष ($1.38 \pm 0.19$ Ga) है।