ما معنى معاملات فورييه؟ — الرياضيات

تعريف 14.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 14 — متسلسلات فورييه

معاملات فورييه للدالة $f$ هي

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

والمعاملات في الصورة الحقيقية $a_n = c_n + c_{-n}$ ، $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ ، بحيث تكون المجاميع الجزئية لفورييه

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

وعلى $\mathcal{C}$ ، نعرّف الجداء السلّمي الهرميتي $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : فالأسّيات $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ متعامدة ممنظمة (لأن $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ ، بالحساب المباشر)، و $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : فتحليل فورييه هندسةٌ هرميتية (الفصل 13) في البعد غير المنتهي.

أمثلة

مثال 14.3 (أفضل تقريب، مقيسًا)

إلى أي حدّ تقرّب كثيرات الحدود المثلثية ذوات الدرجة الصغيرة السنَّ المنشارية $f(t) = t$ (على $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) في المتوسط التربيعي؟ حسب القضية 14.2 يكون أفضل تقريب من الدرجة $N$ هو $S_N(f)$ ، بخطأ مربّع

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

وهنا $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ ، ومن $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (المثال 14.12): $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . ومن ثم

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: وعدديًا } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

من أجل $N = 1, 2, 3, 4$ — وهو متناقص، لكن ببطء: فالذيل $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ يحكمه التناقص البطيء $\frac1n$ للمعاملات، وهو نفسه بصمة القفزة (التمرين 14.6 مقروءةً في الاتجاه المعاكس). والفكرة الختامية: يحوّل بارسفال جودة التقريب إلى ذيل متسلسلة عددية — ويتنبأ، قبل أي رسم، بأن القفزات تجعل متسلسلات فورييه تتقارب على مضض.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة