ما معنى قابلة للتفاضل؟

مثال 15.4 (الدوال القطرية، مرة واحدة وإلى الأبد)

نضع $r(x) = \norm x_2$ على $\R^n\setminus\{0\}$ و$f = g \circ r$ حيث $g$ دالة $C^1$ بمتغير واحد. أولا، $r$ قابلة للتفاضل بعيدا عن $0$: انطلاقا من $r^2 = \sum x_i^2$،

وهي المتجهة القطرية الواحدية (نفاضل $r^2$ ونقسم — أو نطبق قاعدة السلسلة على $\sqrt{\cdot}$). ثم تعطي قاعدة السلسلة، من أجل كل دالة قطرية،

وإليك حالة محسوبة: $g(r) = \frac1r$ يعطي $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$، وهو حقل مقلوب المربع في الجاذبية والكهرباء الساكنة — اتجاهه قطري وقيمته $\frac{1}{\norm x^2}$. والخلاصة: تدرجات الدوال القطرية قطرية لأن مجموعات المستوى كرات، ولأن التدرج عمودي على مجموعات المستوى؛ أما في $x = 0$ فعلى النقيض، $r$ ليست قابلة للتفاضل (لا يوافق أي تطبيق خطي مرشح القيمة $\norm h$ من جميع الاتجاهات) — فالمنحنيات القطرية الملساء تحتاج إلى $g'(0) = 0$ كي تعبر المبدأ بسلاسة.

مثال 15.6 (ثابت ليبشيتز انطلاقا من متراجحة القيمة المتوسطة)

هل $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ ليبشيتزية على $\R^2$؟ وبأي ثابت؟ تدرجها هو $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$، ومربع معياره

(نحصر $\cos^2x$ و$\sin^2x$ كلا على حدة بالمقدار $1$)، ومنه $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ في كل نقطة، وتطبيق المبرهنة 15.5 على القطعة الواصلة بين نقطتين كيفما كانتا يعطي

إذن $f$ ليبشيتزية بالثابت $1$، والثابت أمثلي (بجوار المبدأ يبلغ ميل $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ القيمة $1$). والخلاصة: متراجحة القيمة المتوسطة تحول حصرا نقطيا على التفاضل إلى مقياس اتصال شامل — وهي الطريق المعتاد إلى تقديرات ليبشيتز في كل بعد، والمحرك الكامن داخل التمرين 15.12.