11Ukuran Hasil Kali, Fubini, Penggantian Variabel

Bukti. (a) Himpunan baiknya: $\{E : E_x \in \mathcal B\ \forall x\}$ merupakan aljabar-$\sigma$ (sebab penampangnya komutatif dengan komplemen dan gabungan terbilang) yang memuat persegi panjangnya. Untuk $f$: $(f_x)^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x$. (b) ($\subseteq$) Untuk persegi panjang himpunan Borel: cukup bahwa kotak terbuka$\times$terbuka bersifat Borel di $\R^{m+n}$ (sebab kotaknya terbuka) dan bahwa persegi panjang Borel umumnya berupa limit — lewat himpunan baik lagi: $\{A : A\times\R^n \in \mathcal B(\R^{m+n})\}$ merupakan aljabar-$\sigma$ yang memuat himpunan terbukanya; lalu iriskan keduanya. ($\supseteq$) Setiap himpunan terbuka $\R^{m+n}$ berupa gabungan terbilang kotak terbuka rasional $U\times V$: yang termuat di aljabar-$\sigma$ hasil kalinya. ∎

Bukti. Keterukuran $x \mapsto \nu(E_x)$. Mula-mula misalkan $\nu$ berhingga. Kelas $\mathcal D$ berisi $E$ yang pemetaannya terukur memuat persegi panjangnya (sebab $\nu((A\times B)_x) = \nu(B)\mathbf 1_A(x)$) dan merupakan sistem-$\lambda$: sebab untuk $E \subseteq F$ di $\mathcal D$, $\nu((F\setminus E)_x) = \nu(F_x) - \nu(E_x)$ (menurut keberhinggaannya); sedangkan untuk $E_n \uparrow E$, $\nu((E_n)_x) \uparrow \nu(E_x)$ (menurut kekontinuan dari bawah), dan limit monoton fungsi terukur tetap terukur. Persegi panjangnya membentuk sistem-$\pi$: sehingga Dynkin (Teorema 9.4) memberikan $\mathcal D = \mathcal A\otimes\mathcal B$. Jika $\nu$ berhingga-$\sigma$, tulislah $Y = \bigcup Y_k$ dengan $Y_k \uparrow$ dan $\nu(Y_k) < \infty$: maka $\nu(E_x) = \lim_k\nu_k(E_x)$ dengan $\nu_k = \nu(\cdot\cap Y_k)$ yang berhingga.

Ukurannya. Keaditifan-$\sigma$ dari $E \mapsto \int\nu(E_x)\dd\mu$ menyusul dari Akibat 10.7 (sebab penampang himpunan yang saling lepas tetap saling lepas). Dan pada persegi panjangnya ia memberikan $\mu(A)\nu(B)$. Ketunggalannya: dua calonnya bersesuaian pada sistem-$\pi$ berisi persegi panjang; sedangkan keberhinggaan-$\sigma$-nya menyediakan persegi panjang $X_k\times Y_k \uparrow X\times Y$ yang berukuran berhingga: Teorema 9.7. Kesetangkupannya: sebab konstruksi urutan lainnya juga merupakan ukuran yang bersesuaian pada persegi panjangnya — yang tunggal, jadi sama. ∎

Bukti. Lewat mesin bakunya. Untuk $f = \mathbf 1_E$ ini adalah Teorema 11.3 (beserta bentuk setangkupnya). Lewat kelinearannya ia berlaku bagi $f \geq 0$ yang sederhana. Sedangkan untuk $f \geq 0$ yang umum: ambillah $s_n \nearrow f$ yang sederhana (Teorema 10.4); maka $\int_Y(s_n)_x \dd\nu \nearrow \int_Y f_x\dd\nu$ untuk setiap $x$ (lewat kekonvergenan monoton di $Y$), sehingga anggota kirinya konvergen lewat kekonvergenan monoton di $X$, sedangkan $\int s_n\,\dd(\mu\otimes\nu) \nearrow \int f$ lewat kekonvergenan monoton pada hasil kalinya. ∎

Bukti. Tonelli yang diterapkan pada $\abs f$ menunjukkan bahwa $\varphi(x) = \int\abs{f_x} \dd\nu$ berintegral berhingga, jadi berhingga hampir di mana-mana: sehingga $f_x \in L^1(\nu)$ untuk hampir setiap $x$. Pecahlah $f = f^+ - f^-$ (pada kasus realnya; sedangkan kasus kompleksnya menurut komponennya): maka Tonelli menghitung setiap integral berulang $f^\pm$ sebagai $\int f^\pm\dd(\mu\otimes\nu) < \infty$, dan selisih yang terdefinisi hampir di mana-mana itu berintegral selisihnya. Setangkup dengan itu untuk urutan yang lain. ∎

Bukti. Terapkan Tonelli pada $\mathbf 1_{\{(x,t) : 0 < t < f(x)\}}$ di $X \times \intoo0{+\infty}$ (yang terukur: sebab ia $\{(x,t): f(x) - t > 0\}\cap\{t > 0\}$, yakni gabungan bertipe Borel atas $(x,t)\mapsto f(x) - t$ yang terukur): maka mengintegralkan terhadap $t$ lebih dahulu memberikan $\int f\,\dd\mu$; sedangkan terhadap $x$ lebih dahulu, $\int_0^\infty\mu(f > t)\dd t$. Untuk $f^p$: substitusikan $t = s^p$ pada $\int\mu(f^p > t) \dd t$, yakni terapkan rumus pertamanya pada $f^p$ lalu gantilah variabelnya pada integral satu dimensinya (sebab $\{f^p > s^p\} = \{f > s\}$). ∎

Bukti. Pemetaan $(x, y) \mapsto f(x-y)g(y)$ terukur (sebab $(x,y)\mapsto x - y$ kontinu; lalu komposisikan dan kalikan). Lewat Tonelli:

(lewat keinvarianan translasi $\lambda_d$ pada integral dalamnya). Jadi integral rangkapnya berhingga; lalu Fubini memberikan kekonvergenan mutlak hampir di mana-mana beserta batas normanya $\norm{f*g}_1 \leq \norm f_1\norm g_1$. Kekomutatifannya: substitusikan $y \mapsto x - y$ (lewat keinvarianan translasi dan pencerminan — sebab keinvarianan pencerminannya berlaku pada kotak, jadi di mana-mana lewat ketunggalannya). Keasosiatifannya: lewat Tonelli–Fubini pada integral rangkap tiga. ∎

Bukti. Ukuran $\mu_T(A) = \lambda_d(T(A))$ merupakan ukuran Borel (sebab homeomorfisma mengawetkan himpunan Borel, Soal 9.1), invarian terhadap translasi (sebab $T(A + x) = T(A) + Tx$), dan berhingga pada kotak satuannya: sehingga lewat pencirian ukuran Lebesgue (Latihan 9.6, yang buktinya berlaku kata demi kata di $\R^d$ dengan kubus diadik), $\mu_T = c(T)\lambda_d$ dengan $c(T) = \lambda_d(T(\intco01^d))$. Pemetaan $T \mapsto c(T)$ bersifat multiplikatif (sebab $c(ST) = c(S)c(T)$, lewat pengomposisian), sehingga cukup dihitung $c$ pada pembangkit $GL_d$: yakni matriks elementernya. Untuk yang diagonal $\operatorname{diag}(a, 1, \dots, 1)$: ia memetakan kubus satuannya ke kotak bervolume $\abs a$: jadi $c = \abs a = \abs\det$. Untuk transposisi koordinatnya: ia mempermutasikan kubusnya: jadi $c = 1 = \abs\det$. Untuk transveksi $T(x) = x + \alpha x_2e_1$: peta kubus satuannya adalah prisma yang tergeser; lalu lewat Tonelli ukurannya adalah $\int\lambda_1(\text{penampang})\dd x_2 \cdots \dd x_d = 1$, sebab setiap penampang-$x_1$-nya berupa selang berpanjang $1$: jadi $c = 1 = \abs{\det}$. Setiap matriks terbalikkan merupakan hasil kali matriks semacam itu (lewat eliminasi Gauss), dan baik $c$ maupun $\abs\det$ bersifat multiplikatif: sehingga $c(T) = \abs{\det T}$. Lalu rumus integralnya menyusul lewat mesin bakunya (indikator, sederhana, kekonvergenan monoton). ∎

Bukti. Tulis $J(x) = \abs{\det D\Phi(x)}$. Jantung buktinya adalah ketaksamaan

lalu Langkah 4 di bawah meningkatkan $(*)$ — yang diterapkan pada $\Phi$ maupun $\Phi^{-1}$ — menjadi kesamaan teoremanya. Perhatikan bahwa $\Phi^{-1}$ sendiri merupakan difeomorfisma $\mathcal C^1$ dengan Jacobi $\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = J(\Phi^{-1}y)^{-1}$ (lewat aturan rantai pada $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$).

Langkah 1: $(*)$ untuk kubus, dengan faktor kesesatannya. Tetapkan sebuah kubus tertutup $Q \subseteq U$ berpusat $x_0$ dan bersisi $2r$ (yakni bola norma-sup). Klaimnya: untuk setiap $\varepsilon > 0$, jika $\Phi$ dapat diturunkan pada $Q$ dengan $\norm{D\Phi(x) - D\Phi(x_0)} \leq \varepsilon$ pada $Q$ (dalam norma operator untuk norma-sup), maka

sebab untuk $x \in Q$, ketaksamaan nilai rata-rata yang diterapkan pada $\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x - x_0)$ memberikan $\norm{\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x-x_0)}_\infty \leq \varepsilon\norm{x - x_0}_\infty \leq \varepsilon r$, dan $D\Phi(x_0)^{-1}$ menarik cacat itu menjadi pembesaran kubusnya sebesar $\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\,r$. Menurut Teorema 11.10,

Langkah 2: $(*)$ untuk kubus kompak, lewat pembagian. Misalkan $Q \subseteq U$ sebuah kubus kompak dan $\varepsilon > 0$. Pada $Q$, $D\Phi$ kontinu seragam dan $\norm{D\Phi^{-1}}$ terbatas (menurut kekompakannya); lalu bagilah $Q$ menjadi $2^{kd}$ subkubus $Q_i$ yang cukup kecil sehingga osilasi $D\Phi$ pada masing-masingnya $\leq \varepsilon$. Langkah 1 pada setiap subkubusnya (berpusat $x_i$):

dengan langkah terakhirnya sebab $\sum_i\abs{\det D\Phi(x_i)}\mathbf 1_{Q_i} \to J$ secara seragam pada $Q$ (menurut kekontinuan $\det D\Phi$) — yakni pembandingan jumlah Riemann. Lalu biarkan $\varepsilon \to 0$: sehingga $(*)$ berlaku bagi kubus kompak.

Langkah 3: $(*)$ untuk setiap Borel $A$. Fungsi himpunan $A \mapsto \lambda_d(\Phi(A))$, pada himpunan bagian Borel dari $U$, merupakan ukuran (sebab $\Phi$ bijeksi ke $V$ yang mengawetkan himpunan Borel dan kelepasan terbilang), dan demikian pula $A \mapsto \int_AJ$. Setiap himpunan bagian terbuka $U$ berupa gabungan terbilang kubus kompak diadik yang hampir saling lepas (lewat penguraian diadik bakunya: ambillah kubus diadik maksimal yang termuat di himpunan terbukanya), dan kedua ukurannya aditif melintasinya (sebab batas kubusnya bersifat nol-$\lambda_d$, dan peta-$\Phi$-nya bersifat nol menurut Langkah 2 yang diterapkan pada selimut kubus tipis atas sisinya): sehingga $(*)$ beralih dari kubus ke himpunan terbuka. Untuk Borel $A$ yang umum: habiskan $U$ oleh kompak $K_m \uparrow U$ dengan $K_m \subseteq \mathring K_{m+1}$, lalu tetapkan $m$; maka pada $\mathring K_{m+1}$, $J$ terbatas oleh suatu $M_m$. Lewat keteraturan luar $\lambda_d$ (dengan bukti seperti pada Teorema 9.13, memakai kotak), pilihlah himpunan terbuka $O_n$ dengan $A \cap K_m \subseteq O_n \subseteq \mathring K_{m+1}$ dan $\lambda_d\bigl(O_n \setminus (A\cap K_m)\bigr) \to 0$. Maka

Lalu biarkan $m \to \infty$: kekontinuan dari bawah pada kirinya, dan kekonvergenan monoton pada kanannya. Dengan demikian $(*)$ tegak.

Langkah 4: kesamaannya dan rumus integralnya. Mula-mula perluaslah $(*)$ dari himpunan ke integral: untuk setiap $g \geq 0$ yang terukur pada $V$,

Sungguh, untuk $g = \mathbf 1_B$ ini adalah $(*)$ dengan $A = \Phi^{-1}(B)$; lalu kelinearannya memperluasnya ke $g$ yang sederhana, dan kekonvergenan monotonnya ke setiap $g \geq 0$ (yakni mesin bakunya). Kini terapkan $(**)$ dua kali: mula-mula pada $g$, lalu — untuk difeomorfisma $\Phi^{-1}$ — pada fungsi $x \mapsto g(\Phi(x))J(x)$:

sebab $J(\Phi^{-1}y)\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = \abs{\det\bigl( D\Phi(\Phi^{-1}y)\,D\Phi^{-1}(y)\bigr)} = 1$ (lewat aturan rantai pada $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$). Jadi semua ketaksamaannya menjadi kesamaan: sehingga rumusnya berlaku bagi $g \geq 0$, dan bagi fungsi $L^1$ lewat penguraiannya. ∎

Bukti. Hitunglah $I = \int_{\R^d}\eu^{-\norm x_2^2}\dd\lambda_d$ dua kali. Lewat Tonelli ia terfaktorkan: $I = G^d = \pi^{d/2}$. Sedangkan lewat rumus kue berlapis (Proposisi 11.8) dengan $f = \eu^{- \norm x^2}$, yang himpunan arasnya berupa bola: $\{f > t\} = B\bigl(0, \sqrt{-\ln t}\bigr)$ untuk $0 < t < 1$, yang berukuran $v_d(-\ln t)^{d/2}$ (sebab pendilatan oleh $\rho$ menskalakan $\lambda_d$ dengan $\rho^d$: Teorema 11.10), sehingga

Lalu samakan keduanya. (Nilainya: $\Gamma(\frac32) = \frac{\sqrt\pi}2$, $\Gamma(2) = 1$, dan seterusnya.) Perhatikan bahwa $v_d \to 0$ saat $d \to \infty$ — dan soal akhir pekannya mengukur secepat apa, lewat Stirling. ∎