Matematika Universitas — Tahun 3 · Bachelor Year 3

20Submanifold ℝn

Bola, torus, grup rotasi: habitat alami geometri dan mekanika bukanlah ruang vektor melainkan himpunan melengkung yang tampak datar bila didekati. Bab ini memberi kalimat itu makna yang persis — yakni submanifold $\R^n$ — beserta kalkulus untuk bekerja padanya. Landasannya adalah teorema fungsi invers, yang di sini dibuktikan lewat titik tetap Banach; sedangkan selebihnya adalah penggantian koordinat: yakni keempat pemerian submanifold yang setara (pelurusan lokal, himpunan aras, grafik, parametrisasi), ruang singgung, dan pengoptimalan terkendala lewat pengali Lagrange — yang, sebagai peragaan perpisahan, membuktikan kembali teorema spektral bagi matriks setangkup dalam tiga baris geometri. Sedangkan soal akhir pekannya membangun grup rotasi $SO(3)$ beserta selimut ganda kuaternioniknya: yakni aljabar ( $Q_8$ Bab 1 yang telah dewasa) yang berjumpa geometri.

20.1 Teorema fungsi invers

Teorema 20.1 (Teorema fungsi invers)

Misalkan $U \subseteq \R^n$ terbuka, $f \colon U \to \R^n$ berkelas $\mathcal C^1$ , dan $a \in U$ dengan $Df(a)$ yang terbalikkan. Maka ada himpunan terbuka $V \ni a$ dan $W \ni f(a)$ sedemikian sehingga $f \colon V \to W$ merupakan bijeksi dengan balikan $\mathcal C^1$ , dan

D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1} \qquad (y \in W).

Dan jika $f$ bersifat $\mathcal C^k$ , maka demikian pula $f^{-1}$ .

Bukti. Normalkanlah: dengan mengganti $f$ oleh $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a + x) - f(a)\bigr)$ , kita boleh mengandaikan $a = 0$ , $f(0) = 0$ , dan $Df(0) = I$ (sebab pernyataan umumnya menyusul lewat pengomposisian dengan bijeksi afinnya). Tulislah $f(x) = x + g(x)$ : maka $Dg(0) = 0$ , dan lewat kekontinuan $Dg$ pilihlah $r > 0$ dengan $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ pada $\bar B(0, r)$ ; sehingga ketaksamaan nilai rata-ratanya memberikan $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12 \norm{x - x'}$ di sana.

Kebijektifannya ke sebuah persekitaran. Untuk $y \in B(0, \frac r2)$ , menyelesaikan $f(x) = y$ berarti mencari titik tetap $\Phi_y(x) = y - g(x)$ ; sedangkan $\Phi_y$ memetakan $\bar B(0, r)$ ke dirinya (sebab $\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq r$ ) dan bersifat Lipschitz- $\frac12$ : sehingga Banach (Teorema 7.4) memberikan satu-satunya solusi $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$ . Lebih lanjut $f$ bersifat injektif pada $\bar B(0,r)$ :

\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')} \geq \tfrac12\norm{x - x'} . \tag{$*$}

Lalu tetapkan $W = B(0, \frac r2)$ dan $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$ : yang terbuka (lewat kekontinuannya), dengan $f \colon V \to W$ yang bijektif.

Kekontinuan dan keterturunan balikannya. Ketaksamaan $(*)$ mengatakan bahwa $\varphi = f^{-1}$ bersifat Lipschitz- $2$ . Tetapkan $y_0 = f(x_0) \in W$ ; lalu keterbalikan $A = Df(x_0)$ (sebab jaraknya ke $I$ adalah $\leq \frac12$ : menurut Neumann, Proposisi 8.4) dan keterturunan $f$ memberikan, untuk $y = f(x)$ di dekat $y_0$ :

\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0) = -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr) = -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),

dengan memakai $(*)$ untuk mengubah $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$ : sehingga $\varphi$ dapat diturunkan di $y_0$ dengan diferensial balikannya. Sedangkan kekontinuan $y \mapsto D\varphi(y) = Df(\varphi(y))^{-1}$ : lewat komposisi pemetaan kontinu (sebab pembalikannya kontinu, Proposisi 8.4): jadi $\varphi \in \mathcal C^1$ ; dan mengangkat rumus yang sama memberikan $\mathcal C^k$ . ∎

Teorema 20.2 (Teorema fungsi implisit)

Misalkan $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ bersifat $\mathcal C^1$ di dekat $(a, b)$ , $F(a,b) = 0$ , dan andaikan diferensial parsial $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ bersifat terbalikkan. Maka ada persekitaran $A \ni a$ dan $B \ni b$ beserta sebuah pemetaan $\mathcal C^1$ $\psi \colon A \to B$ dengan

\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\} = \{(x, \psi(x)) : x \in A\},

dan $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x, \psi(x))$ .

Bukti. Terapkan Teorema 20.1 pada $\Theta(x, y) = (x, F(x,y))$ : sebab diferensialnya di $(a,b)$ , yang segitiga blok dengan blok diagonal $I$ dan $D_yF$ yang terbalikkan, bersifat terbalikkan. Lalu balikan lokalnya berbentuk $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x, z))$ ; lalu tetapkan $\psi(x) = h(x, 0)$ : maka $F(x, y) = 0$ jika dan hanya jika $\Theta(x,y) = (x, 0)$ jika dan hanya jika $y = \psi(x)$ , secara lokal. Sedangkan rumusnya: turunkanlah $F(x, \psi(x)) = 0$ lewat aturan rantainya. ∎

20.2 Submanifold: empat definisi

Teorema 20.3 (Pencirian yang setara)

Misalkan $M \subseteq \R^n$ , $d \in \{0, \dots, n\}$ , dan $k \geq 1$ . Pernyataan berikut setara, untuk setiap titik $a \in M$ (dan $M$ disebut submanifold berdimensi $d$ berkelas $\mathcal C^k$ jika keduanya berlaku di setiap $a \in M$ ):

(Pelurusan) Ada sebuah difeomorfisma $\mathcal C^k$ $\Phi$ dari sebuah $\Omega \ni a$ yang terbuka ke sebuah $\Omega' \subseteq \R^n$ yang terbuka dengan

$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$
(Himpunan aras) Ada sebuah submersi $\mathcal C^k$ $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ (yakni $DF(x)$ yang surjektif) pada sebuah $\Omega \ni a$ yang terbuka dengan $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
(Grafik) Sampai permutasi koordinatnya, $M$ secara lokal merupakan grafik sebuah pemetaan $\mathcal C^k$ $\psi \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ .
(Parametrisasi) Ada sebuah imersi $\mathcal C^k$ $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to \R^n$ (dengan $D\varphi(u)$ yang injektif) dan $A$ yang terbuka, sedemikian sehingga $\varphi$ merupakan homeomorfisma dari $A$ ke $M \cap \Omega$ untuk suatu $\Omega \ni a$ yang terbuka.

Bukti. (1) $\Rightarrow$ (2): ambillah $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (yakni koordinat terakhir $\Phi$ ): sebuah submersi (sebab $D\Phi$ terbalikkan). (2) $\Rightarrow$ (3): karena $DF(a)$ surjektif, suatu minor $q \times q$ Jacobinya bersifat terbalikkan (dengan $q = n - d$ ); lalu setelah koordinatnya dipermutasikan, $D_yF(a)$ terbalikkan, dan teorema fungsi implisitnya (Teorema 20.2) menyatakan $M$ secara lokal sebagai grafik $y = \psi(x)$ . (3) $\Rightarrow$ (4): ambillah $\varphi(x) = (x, \psi(x))$ : yakni sebuah imersi (sebab diferensialnya $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\ D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ injektif), sekaligus homeomorfisma ke grafiknya (dengan balikannya: proyeksinya, yang kontinu). (4) $\Rightarrow$ (1): misalkan $\varphi(u_0) = a$ ; lalu lengkapkanlah $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ oleh sebuah pelengkap $E$ (dengan $\dim E = n - d$ ) lalu definisikan $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ pada $A\times E$ : maka $D\Theta(u_0, 0)$ bersifat bijektif (sebab petanya memuat $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ dan $E$ ), sehingga $\Theta$ merupakan difeomorfisma lokal (Teorema 20.1); dan balikannya $\Phi$ meluruskan: sebab di dekat $a$ , titik $M$ tepat berupa $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — dan untuk ini, hipotesis homeomorfisma pada (4) menjamin bahwa $M\cap\Omega$ , untuk $\Omega$ yang kecil, tak memuat lembar lain (sebab $\varphi(u') + v = m \in M$ yang dekat dengan $a$ dengan $v \neq 0$ yang kecil harus dikecualikan: karena $m = \varphi(u'')$ untuk suatu $u''$ di dekat $u_0$ menurut sifat homeomorfismanya, dan keinjektifan lokal $\Theta$ memaksa $v = 0$ ). Lalu $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\}) \cap\Phi(\Omega)$ sampai penyusutannya. ∎

Contoh 20.4

Bola $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$ : yakni himpunan aras submersi $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ pada $\R^n\setminus\{0\}$ (sebab $DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$ ): jadi submanifold $\mathcal C^\infty$ berdimensi $n - 1$ . Sedangkan torus di $\R^3$ : yakni himpunan aras $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ (dengan $0 < r < R$ ). Sementara kerucut $\{x^2 + y^2 = z^2\}$ bukan submanifold di $0$ (Latihan 20.1). Untuk grup matriksnya: $SL_n$ dan $O_n$ merupakan submanifold $M_n(\R)$ (Latihan 20.5 dan 20.6) — yakni titik awal teori Lie.

20.3 Ruang singgung

Definisi 20.5

Misalkan $M$ sebuah submanifold- $d$ dan $a \in M$ . Adapun ruang singgung $T_aM$ adalah himpunan vektor kecepatan $\gamma'(0)$ milik kurva $\mathcal C^1$ $\gamma \colon \intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ dengan $\gamma(0) = a$ .

Proposisi 20.6

Ruang $T_aM$ merupakan subruang berdimensi $d$ dari $\R^n$ , dan:

jika $M = F^{-1}(0)$ secara lokal dengan $F$ sebuah submersi: maka $T_aM = \ker DF(a)$ ;
jika $M$ terparametrikan oleh imersi $\varphi$ (dengan $\varphi(u_0) = a$ ): maka $T_aM = \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

Bukti. Kurva di $M$ memenuhi $F(\gamma(t)) = 0$ ; sehingga aturan rantai di $0$ memberikan $DF(a)\gamma'(0) = 0$ : jadi $T_aM \subseteq \ker DF(a)$ . Sebaliknya, pelurusannya (Teorema 20.3(1)) mengangkut garis $\R^d\times\{0\}$ menjadi kurva $M$ : sehingga setiap vektor sebuah subruang berdimensi $d$ terwujud; lalu membandingkan dimensinya (sebab $\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$ ) memaksa kesamaannya pada (1), dan argumen pengangkutan yang sama memberikan (2) (yakni $D\varphi(u_0)$ yang diterapkan pada garis lurus di $A$ ; lewat dimensinya lagi). ∎

Teorema 20.7 (Pengali Lagrange)

Misalkan $M = F^{-1}(0)$ dengan $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega \to \R^q$ sebuah submersi $\mathcal C^1$ , dan misalkan $f \colon \Omega \to \R$ bersifat $\mathcal C^1$ . Jika pembatasan $f\restriction_M$ berekstremum lokal di $a \in M$ , maka ada real yang tunggal $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (yakni pengali Lagrange) dengan

\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots + \lambda_q\nabla F_q(a) .

Bukti. Untuk setiap kurva $\gamma$ di $M$ yang melalui $a$ : $t \mapsto f(\gamma(t))$ berekstremum lokal di $0$ , sehingga $0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a), \gamma'(0)\rangle$ : jadi $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ (Proposisi 20.6). Kini $\ker DF(a)^\perp = \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (yakni identitas rank dan keortogonalan Tahun ke-2, atau Latihan 13.8 dalam dimensi berhingga: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$ ), yang direntang gradiennya $\nabla F_i(a)$ — yang bebas, sebab $DF(a)$ surjektif: sehingga pengalinya ada dan tunggal. ∎

Contoh 20.8 (Teorema spektralnya, secara geometri)

Misalkan $A$ sebuah matriks setangkup real $n\times n$ lalu maksimumkan $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ pada bola $S^{n-1}$ (yang kompak: sehingga maksimumnya tercapai, di suatu $v_1$ ). Lalu Lagrange dengan $F(x) = \norm x^2 - 1$ : $\nabla f = 2Ax$ dan $\nabla F = 2x$ memberikan $Av_1 = \lambda_1v_1$ — yakni sebuah vektor eigen, dengan $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$ . Lalu batasilah $A$ ke $v_1^\perp$ (yang invarian: sebab $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$ ) lalu iterasikan: diperolehlah basis ortonormal berisi vektor eigen. Jadi teorema spektral Tahun ke-2, yang dibuktikan kembali lewat pengoptimalan murni — dan bayangan berdimensi tak berhingga argumen yang sama membuktikan Lema 15.6.

Metode 20.9

Untuk membuktikan sebuah himpunan merupakan submanifold: tampilkanlah ia secara lokal sebagai $F^{-1}(0)$ dengan $DF$ yang surjektif pada himpunannya (yakni jalur yang paling lazim), atau sebagai sebuah grafik. Untuk menghitung dimensi dan ruang singgungnya: $d = n - q$ dan $T_a = \ker DF(a)$ . Untuk mengoptimalkan padanya: pakailah Lagrange — dan periksalah selalu kekompakannya (atau kekoersifannya) lebih dahulu, agar ada ekstremum yang teoremanya dapat berlaku padanya, lalu ingatlah bahwa persamaan pengalinya hanya perlu: kumpulkanlah semua titik kritisnya, lalu bandingkan nilainya. Sedangkan untuk grup matriksnya, turunkanlah kurvanya di identitasnya untuk mengenali ruang singgungnya.

20.4 Latihan

Latihan 20.1 ★

(a) Periksalah bahwa berikut ini merupakan submanifold $\mathcal C^\infty$ lalu berikan dimensinya: $S^{n-1}$ ; hiperboloid $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$ ; dan torus pada Contoh 20.4. (b) Tunjukkan bahwa kerucut $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq \R^3$ bukan submanifold- $2$ di $0$ : tentukanlah banyaknya komponen terhubung $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$ , lalu bandingkan dengan banyaknya yang akan dipaksa sebuah pelurusan (Teorema 20.3(1)) bagi sebuah bidang dikurangi sebuah titik.

Solusi

Solusi Latihan 20.1.

(a) Masing-masing berupa $F^{-1}(0)$ bagi sebuah submersi: $\norm x^2 - 1$ pada $\R^n\setminus\{0\}$ (dengan gradien $2x \neq 0$ ): jadi berdimensi $n-1$ ; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (dengan gradien $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ pada hiperboloidnya, yang $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$ padanya): jadi berdimensi $2$ ; sedangkan fungsi torusnya $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$ dengan $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ bersifat $\mathcal C^\infty$ di dekat torusnya (sebab $\rho \geq R - r > 0$ di sana) dengan $\nabla G \neq 0$ (sebab komponen- $z$ -nya adalah $2z$ , dan di tempat $z = 0$ komponen radialnya adalah $2(\rho - R)\ne0$ karena $\abs{\rho - R} = r$ ): jadi berdimensi $2$ .

(b) Untuk $\varepsilon$ yang kecil, $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ tepat berkomponen terhubung $2$ (yakni tudung tertusuk atas dan bawahnya, yang masing-masingnya terhubung lintasan: hubungkanlah lewat lingkaran dan sinarnya). Seandainya $C$ merupakan submanifold- $2$ di $0$ , maka sebuah pelurusan akan memberikan homeomorfisma dari $C\cap\Omega$ ke sebuah kepingan terbuka sebuah bidang yang mengirim $0$ ke sebuah titik $p$ ; padahal persekitaran bidang tertusuk yang kecil di sekitar $p$ berkomponen satu, dan homeomorfisma mengawetkan banyaknya komponen persekitaran tertusuknya: jadi bertentangan.

Latihan 20.2 ★

Hitunglah ruang singgungnya: (a) $T_aS^{n-1}$ untuk sembarang $a$ (jawabannya: $a^\perp$ ); (b) bidang singgung torus pada Contoh 20.4 di sembarang titik khatulistiwa luarnya $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$ ; (c) garis singgung heliks $\varphi(t) = (\cos t, \sin t, t)$ di $\varphi(t_0)$ , sambil memeriksa Proposisi 20.6(2).

Solusi

Solusi Latihan 20.2.

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$ . (b) Di $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ : $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$ , sehingga bidang singgungnya adalah $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$ : yakni bidang tegak yang menyinggung khatulistiwa luarnya. (c) Heliksnya merupakan kurva terbenam dengan $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ : sehingga garis singgungnya di $\varphi(t_0)$ adalah $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$ , seperti yang ditetapkan Proposisi 20.6(2).

Latihan 20.3 ★★

Misalkan $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (yakni $z \mapsto z^2$ ). (a) Di titik mana saja Teorema 20.1 berlaku? (b) Tunjukkan bahwa $f$ terbalikkan secara lokal tetapi tak secara global pada $\R^2\setminus\{0\}$ , lalu tampilkan secara eksplisit kedua balikan lokalnya yang terdefinisi pada sebuah persekitaran $(1, 0)$ (yakni kedua cabang akar kuadratnya). (c) Lakukan pembahasan yang sama bagi pemetaan koordinat kutub $(r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$ .

Solusi

Solusi Latihan 20.3.

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$ dengan $\det = 4(x^2 + y^2)$ : sehingga teoremanya berlaku di setiap titik kecuali titik asalnya. (b) Karena $f(-z) = f(z)$ : ia tak pernah injektif pada himpunan yang setangkup terhadap $0$ ; sedangkan pada $\R^2\setminus\{0\}$ ia difeomorfisma lokal di mana-mana namun $2$ -ke- $1$ secara global. Lalu di dekat $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$ , kedua balikannya adalah kedua cabang akar kuadratnya: yakni dalam notasi kompleksnya $w \mapsto \pm\sqrt w$ (dengan cabang pokoknya), yakni

(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u + \sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u + \sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).

(c) Jacobinya $r > 0$ : jadi difeomorfisma lokal pada $\intoo0\infty\times\R$ , tetapi $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ memberikan titik yang sama: jadi terbalikkan secara lokal (sebab sudutnya tertentukan sampai $2\pi$ pada sebuah setengah bidang), tetapi tak pernah secara global.

Latihan 20.4 ★★

(Folium) Misalkan $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ dan $\mathcal C = F^{-1}(0)$ . (a) Tunjukkan bahwa di dekat setiap titik $\mathcal C$ selain titik asalnya, $\mathcal C$ merupakan submanifold- $1$ yang secara lokal berupa grafik terhadap $x$ atau terhadap $y$ (yang mana, di mana?). (b) Hitunglah garis singgungnya di $(\frac32, \frac32)$ . (c) Apa yang terjadi di titik asalnya? (Sebab dua cabangnya bersilangan: tampilkanlah dua kurva $\mathcal C^1$ di $\mathcal C$ yang melalui $0$ dengan kecepatan yang bebas, lalu simpulkan bahwa tak ada pelurusan yang ada.)

Solusi

Solusi Latihan 20.4.

(a) Gradien $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ lenyap jika dan hanya jika $y = x^2$ dan $x = y^2$ , yakni $x^4 = x$ : yaitu di $(0,0)$ dan $(1,1)$ ; sedangkan hanya $(0,0)$ yang terletak pada $\mathcal C$ (sebab $F(1,1) = -1$ ). Jadi pada $\mathcal C\setminus\{0\}$ , $F$ merupakan submersi: yakni submanifold- $1$ , yang secara lokal berupa grafik $y = \psi(x)$ di tempat $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ dan $x = \chi(y)$ di tempat $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (dan setidaknya satu berlaku di luar titik asalnya).

(b) Di $(\frac32, \frac32)$ : $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32) (1, 1) = \frac94(1,1)$ : sehingga garis singgungnya $x + y = 3$ .

(c) Parametrisasi rasionalnya $x = \frac{3t}{1 + t^3}$ dan $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ melalui $0$ di $t = 0$ dengan kecepatan $(3, 0)$ ; sedangkan menukar $x \leftrightarrow y$ (sebab kurvanya setangkup, atau parametrikan ulang lewat $1/t$ ) memberikan kurva $\mathcal C^1$ kedua yang melalui $0$ dengan kecepatan $(0, 3)$ . Padahal dua arah singgung yang bebas mustahil bagi sebuah submanifold- $1$ (sebab ruang singgungnya sebuah garis, Proposisi 20.6): jadi $\mathcal C$ bukan submanifold di titik asalnya — yakni persilangan diri yang transversal.

Latihan 20.5 ★★

Misalkan $F(M) = M^{\mathsf T}M$ dari $M_n(\R)$ ke ruang $S_n$ berisi matriks setangkup. (a) Tunjukkan $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ dan bahwa $DF(M)$ bersifat surjektif ke $S_n$ di setiap $M \in O_n$ (diberikan $S \in S_n$ , cobalah $H = \frac12MS$ ). (b) Simpulkan bahwa $O_n = F^{-1}(I)$ merupakan submanifold $\mathcal C^\infty$ yang kompak berdimensi $\frac{n(n-1)}2$ , dengan $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$ , yakni matriks antisetangkupnya. (c) Tunjukkan bahwa $\eu^{tH} \in O_n$ untuk setiap $H$ yang antisetangkup: sehingga arah singgungnya terintegralkan menjadi kurva di grupnya.

Solusi

Solusi Latihan 20.5.

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$ : sehingga $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ . Lalu untuk $M \in O_n$ dan $S$ yang setangkup, $H = \frac12MS$ memberikan $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$ : jadi surjektif ke $S_n$ .

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ dengan $F$ sebuah submersi (ke $S_n$ yang berdimensi $\frac{n(n+1)}2$ ) di setiap titiknya: jadi submanifold berdimensi $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ . Dan kompak: sebab tertutup ( $F$ kontinu) dan terbatas (karena kolomnya vektor satuan). Singgungnya di $I$ : $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$ .

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (sebab transposnya lewat deretnya; dan eksponensial matriks yang komutatif saling mengalikan, Teorema 19.8).

Latihan 20.6 ★★

(a) Tunjukkan bahwa $\det \colon M_n(\R) \to \R$ berdiferensial $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M) ^{\mathsf T}H\bigr)$ , yang tak nol di setiap $M \in SL_n$ . (b) Simpulkan bahwa $SL_n(\R)$ merupakan submanifold berdimensi $n^2 - 1$ dengan $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ . (c) Apakah $GL_n(\R)$ sebuah submanifold? Berdimensi berapa?

Solusi

Solusi Latihan 20.6.

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ untuk $M$ yang terbalikkan (lewat uraian $\det$ di dekat $I$ : yakni suku linear $\prod(1 + \lambda_i)$ ); lalu dengan $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ : $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com} (M)^{\mathsf T}H\bigr)$ , dan rumusnya diperluas ke setiap $M$ lewat kepadatan dan kekontinuannya. Sedangkan pada $SL_n$ , $\det M = 1$ : sehingga $D\det(M) \ne 0$ (sebab nilainya pada $H = M$ adalah $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$ ).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ dengan $\det$ sebagai submersi di sana (sebab nilainya di $\R$ ): jadi berdimensi $n^2 - 1$ ; dan $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ .

(c) $GL_n$ merupakan himpunan bagian terbuka $M_n(\R)$ (Latihan 6.8): jadi submanifold berdimensi penuh $n^2$ (dengan pelurusannya: yakni peta identitasnya).

Latihan 20.7 ★★

Lewat pengali Lagrange: (a) carilah ekstremum $f(x,y) = xy$ pada lingkaran $x^2 + y^2 = 1$ ; (b) tunjukkan bahwa di antara semua vektor peluang $(p_1, \dots, p_n)$ (yang positif dan berjumlah $1$ ), entropi $-\sum p_i\ln p_i$ dimaksimumkan tepat pada distribusi seragamnya; (c) carilah titik elips $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ yang terdekat ke $(1, 0)$ , lalu periksalah persamaan pengalinya secara geometri (lewat kesejajaran normalnya).

Solusi

Solusi Latihan 20.7.

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ dan $x^2 + y^2 = 1$ : sehingga $y = 2\lambda x$ dan $x = 2\lambda y$ memberikan $x^2 = y^2 = \frac12$ . Nilai $xy$ -nya: $\pm\frac12$ : jadi maksimumnya $\frac12$ di $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$ , dan minimumnya $-\frac12$ di $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (sebab himpunan kendalanya kompak: sehingga ekstremumnya ada).

(b) Pada interior simpleksnya (dengan $p_i > 0$ ), Lagrange bagi $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ dengan kendala $\sum p_i = 1$ : $-\ln p_i - 1 = \lambda$ untuk setiap $i$ : sehingga semua $p_i$ sama, $p_i = \frac1n$ , dengan $H = \ln n$ . Lalu maksimum atas simpleks kompaknya tercapai; dan seandainya ia tercapai pada batasnya (dengan suatu $p_i = 0$ ), maka distribusinya hidup pada $\leq n - 1$ titik sehingga lewat induksi $H \leq \ln(n-1) < \ln n$ : jadi titik kritis interiornya adalah maksimum globalnya — yakni ketidaktahuan seragam yang memaksimumkan entropinya.

(c) Minimumkan $(x-1)^2 + y^2$ pada elips kompaknya: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$ . Jika $y \neq 0$ : maka $\lambda = 1$ , lalu $2(x - 1) = \frac x2$ memberikan $x = \frac43$ dan $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ : sehingga jarak $^2$ $= \frac19 + \frac59 = \frac23$ . Sedangkan jika $y = 0$ : $x = \pm2$ , dengan jarak $1$ dan $3$ . Jadi titik terdekatnya: $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$ , pada jarak $\sqrt{2/3} < 1$ . Sedangkan persamaan pengalinya mengatakan bahwa ruas dari $(1,0)$ ke titik terdekatnya sejajar dengan $\nabla$ (elipsnya): sehingga ia memotong elipsnya secara ortogonal, seperti yang dituntut geometrinya.

Latihan 20.8 ★★★

Tuliskanlah Contoh 20.8 selengkapnya: buktikan lewat induksi bahwa matriks setangkup real memiliki basis ortonormal berisi vektor eigen, dengan $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ sebagai maksimum terkendala berturutan hasil bagi Rayleighnya. Lalu turunkan rumus Courant–Fischer Latihan 15.8 dalam dimensi berhingga langsung dari konstruksi ini.

Solusi

Solusi Latihan 20.8.

Lewat induksi pada $n$ ; dan $n = 1$ trivial. Fungsi Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ mencapai maksimumnya $\lambda_1$ pada $S^{n-1}$ yang kompak di suatu $v_1$ ; lalu Lagrange (Teorema 20.7, dengan bolanya sebagai himpunan aras) memberikan $2Av_1 = 2\lambda v_1$ , dan $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$ . Sedangkan hiperbidang $v_1^\perp$ bersifat invarian- $A$ (menurut kesetangkupannya: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$ ); pembatasannya setangkup, dan induksinya melahirkan basis eigen ortonormal $v_2, \dots, v_n$ milik $v_1^\perp$ bernilai eigen $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ , yang masing-masingnya maksimum $f$ pada bola komplemen ortogonal sisanya. Lalu Courant–Fischer menyusul persis seperti pada Latihan 15.8: uraikan $x = \sum c_iv_i$ ; lalu pada sebuah ruang uji berdimensi $k$ iriskanlah dengan $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (lewat pencacahan dimensi di $\R^n$ ) untuk memperoleh $\min \leq \lambda_k$ , sedangkan $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ mencapai $\min = \lambda_k$ .

Latihan 20.9 ★★★

(Ketaksamaan Hadamard) Untuk $M \in GL_n(\R)$ yang berkolom $c_1, \dots, c_n$ :

\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,

dengan kesamaannya jika dan hanya jika kolomnya ortogonal. (Susutkanlah ke kolom bernorma $1$ lewat penskalaan; lalu maksimumkan $\det$ pada hasil kali bola yang kompak $(S^{n-1})^n$ ; lalu pada sebuah pemberi maksimum, Lagrange pada setiap kolomnya secara terpisah memberikan $\nabla_{c_i}\det = \lambda_ic_i$ , sedangkan $\nabla_{c_i}\det$ adalah kolom ke- $i$ $\operatorname{com}(M)$ : lalu turunkan bahwa $M^{\mathsf T}M$ diagonal, sehingga $= I$ , sehingga $\det = \pm1$ .) Bacaan geometrinya: bahwa volume sebuah paralelepipedum paling banyak hasil kali panjang rusuknya.

Solusi

Solusi Latihan 20.9.

Menskalakan setiap kolomnya menjadi bernorma satuan membagi $\abs{\det}$ dengan $\prod\norm{c_i}$ : sehingga cukup dibuktikan $\abs{\det M} \leq 1$ bila semua kolomnya satuan, dengan kesamaannya jika dan hanya jika $M \in O_n$ . Lalu fungsi $\det$ kontinu pada $(S^{n-1})^n$ yang kompak: sehingga ia mencapai maksimum $m \geq \det I = 1 > 0$ di suatu $M$ . Lalu dengan menetapkan semua kolomnya kecuali yang ke- $i$ , $\det$ bersifat linear terhadap $c_i$ dengan gradien berupa kolom ke- $i$ $\operatorname{com}(M)$ ; sehingga Lagrange pada bola ke- $i$ -nya: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$ . Sedangkan identitas $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ berbunyi $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,\delta_{ij}$ , yakni $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$ ; lalu dengan mengambil $j = i$ : $\lambda_i = \det M = m \neq 0$ , dan lalu $j \neq i$ memberikan $\langle c_i, c_j\rangle = 0$ : sehingga kolomnya ortonormal, $M \in O_n$ , dan $m = \abs{\det M} = 1$ . Karena itu $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ selalu, dengan kesamaannya tepat bagi kolom yang ortogonal (skalakan kembali): sehingga volume sebuah paralelepipedum terbesar, bagi panjang rusuk yang diberikan, saat rusuknya saling tegak lurus.

Latihan 20.10 ★★

Di dekat titik yang mana lingkaran $S^1$ berupa grafik $y = \psi(x)$ ? Dan grafik $x = \chi(y)$ ? Periksalah pencirian grafiknya (Teorema 20.3(3)) secara eksplisit di $(1, 0)$ , lalu terangkan dalam satu kalimat mengapa suatu permutasi koordinat selalu mencukupi tetapi tak ada satu pun yang selalu berhasil.

Solusi

Solusi Latihan 20.10.

Grafik $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ berhasil di dekat setiap titik yang $y \neq 0$ ; sedangkan $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ di dekat setiap titik yang $x \neq 0$ ; dan di $(1, 0)$ : grafik $x = \sqrt{1 - y^2}$ atas $y \in \intoo{-1}1$ , yang merupakan Teorema 20.3(3) dengan koordinatnya ditukar. Sedangkan suatu permutasi selalu berhasil karena garis singgungnya, yang berdimensi satu, tak dapat sekaligus tegak dan mendatar — tetapi ia dapat menjadi salah satunya, sehingga tak ada pilihan koordinat “terikat” yang tetap yang melayani setiap titiknya.

Latihan 20.11 ★★

(Grup ortogonal sebagai submanifold, secara kuantitatif) (a) Tunjukkan bahwa $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ bersifat kompak: yakni terbatas (sebab setiap kolomnya vektor satuan, sehingga $\norm M \leq \sqrt n$ untuk norma matriks Euclidnya) dan tertutup. (b) Tunjukkan bahwa ruang singgungnya di $I$ adalah ruang berisi matriks antisetangkup, yang berdimensi $\frac{n(n-1)}2$ , dan di sebuah $A \in O_n$ yang umum: $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\}$ . (c) Turunkan bahwa pemetaan $t \mapsto A\exp(tK)$ merupakan, untuk setiap $K$ yang antisetangkup, sebuah kurva di $O_n$ yang melalui $A$ dengan kecepatan $AK$ (periksalah $\exp(tK) \in O_n$ dengan memakai $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ dan $\exp(-X)\exp(X) = I$ ): sehingga setiap vektor singgungnya terwujud oleh sebuah kurva yang eksplisit, tanpa memerlukan teorema fungsi implisit.

Solusi

Solusi Latihan 20.11.

(a) Pemetaan pendefinisinya $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ bersifat kontinu: sehingga $O_n = F^{-1}(0)$ tertutup; sedangkan kolom sebuah matriks ortogonal berupa vektor satuan, sehingga norma Euclidnya (yakni Frobenius) tepat $\sqrt n$ : jadi terbatas. Sehingga kompak menurut Heine–Borel di $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$ .

(b) Himpunan $O_n$ adalah himpunan aras $F = 0$ yang dipelajari pada babnya: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ , yang surjektif ke matriks setangkupnya di setiap $A \in O_n$ (sebab diberikan $S$ yang setangkup, ambillah $H = \frac12AS$ ), sehingga $O_n$ merupakan submanifold berdimensi $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ dengan

T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{ antisetangkup}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;

dan di $A = I$ semuanya berupa matriks antisetangkup.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T}) \exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (sebab kedua matriks $\pm tK$ komutatif, sehingga hasil kali eksponensialnya adalah eksponensial jumlahnya): jadi $\exp(tK) \in O_n$ , dan $\gamma(t) = A\exp(tK)$ merupakan kurva di $O_n$ dengan $\gamma(0) = A$ dan $\gamma'(0) = AK$ . Lalu saat $K$ menjelajah matriks antisetangkupnya, $AK$ menyapu $T_AO_n$ : sehingga eksponensialnya mewujudkan seluruh ruang singgungnya lewat kurva yang eksplisit — yakni jalan pintas grup Lie yang dimanfaatkan Soal 20.1 bagi $SO(3)$ .

Latihan 20.12 ★★

(Titik kritis jaraknya) Misalkan $M \subseteq \R^n$ sebuah submanifold dan $p \notin M$ . Tunjukkan bahwa jika $x_0 \in M$ meminimumkan jaraknya ke $p$ (dan titik semacam itu ada bila $M$ tertutup dan tak kosong — mengapa?), maka

p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M

(turunkanlah $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ sepanjang kurva di $M$ ). Lalu turunkan: bahwa titik terdekat pada sebuah bola terletak pada sinar yang melalui pusatnya; lalu pakailah syaratnya untuk menghitung jarak dari $p = (2, 0)$ ke parabola $y = x^2$ (susutkanlah ke sebuah kubik lalu selesaikan secara numerik sampai tiga angka).

Solusi

Solusi Latihan 20.12.

Untuk keberadaannya: iriskan $M$ dengan sebuah bola tertutup besar di sekitar $p$ untuk memperoleh sebuah kompak tak kosong; lalu jaraknya yang kontinu mencapai minimumnya di sana, sedangkan titik di luar bolanya lebih jauh. Untuk syarat orde pertamanya: bagi sebuah kurva $\gamma$ di $M$ dengan $\gamma(0) = x_0$ , fungsi $h(t) = \norm{\gamma(t) - p}^2$ dapat diturunkan dengan minimum di $0$ :

0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,

dan $\gamma'(0)$ menyapu $T_{x_0}M$ : sehingga $p - x_0 \perp T_{x_0}M$ . Untuk bolanya $S(c, r)$ : ruang singgungnya di $x_0$ adalah $(x_0 - c)^\perp$ , sehingga $p - x_0 \parallel x_0 - c$ : jadi $x_0$ terletak pada garis yang melalui $c$ dan $p$ , berjarak $r$ dari $c$ — yakni titik sinarnya, seperti yang didesak geometrinya. Untuk parabolanya: di $x_0 = (x, x^2)$ singgungnya direntang $(1, 2x)$ ; sehingga keortogonalannya terhadap $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ berbunyi

(2 - x) - 2x^3 = 0, \qquad\text{yakni}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,

dengan akar real tunggalnya (sebab $x \mapsto 2x^3 + x$ naik sejati) $x \approx 0.835$ ; lalu $x_0 \approx (0.835, 0.698)$ dan $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2} \approx 1.358$ .

20.5 Soal: $SO(3)$ dan kuaternion

Soal 20.1

Soal akhir pekan — rotasi, grup $S^3$ , dan selimut gandanya

Kuaternion $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ — yakni aljabar yang grup satuannya memuat $Q_8$ Soal 1.1 — memparametrikan rotasi tiga dimensi dua kali lipat: sebab pemetaan “konjugatkan dengan sebuah kuaternion satuan” merupakan morfisma surjektif $S^3 \to SO(3)$ berkernel $\{\pm1\}$ . Kita membangun segalanya. Ingat kembali atau definisikan: perkaliannya bilinear- $\R$ dengan $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ ; sedangkan konjugat $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k$ adalah $\bar q = t - x\mathrm i - y\mathrm j - z\mathrm k$ ; dan $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$ .

Bagian I — Aljabar $\mathbb H$ dan grup $S^3$ .

Periksalah bahwa $\mathbb H$ merupakan aljabar- $\R$ yang asosiatif berpusat $\R$ , bahwa $\overline{pq} = \bar q\,\bar p$ , dan bahwa $N(pq) = N(p)N(q)$ (salah satu jalur yang bersih: sajikanlah $q$ sebagai matriks kompleks $2\times2$ $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ dengan $q = \alpha + \beta\mathrm j$ , lalu pakailah $\det$ ).
Turunkan bahwa setiap $q \neq 0$ bersifat terbalikkan (sebab $q^{-1} = \bar q/N(q)$ ): sehingga $\mathbb H$ merupakan lapangan (yang tak komutatif), dan $S^3 = \{N(q) = 1\}$ merupakan grup — sekaligus submanifold- $3$ $\R^4$ yang kompak (Contoh 20.4).

Bagian II — Morfisma rotasinya. Kenalilah $\R^3$ dengan kuaternion murni $P = \{x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ , lalu untuk $q \in S^3$ definisikan $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$ .

Tunjukkan bahwa $\rho_q$ memetakan $P$ ke $P$ (sebab kuaternion murni adalah yang $\bar v = -v$ ), bersifat linear- $\R$ , mengawetkan normanya, dan bahwa $\rho \colon q \mapsto \rho_q$ merupakan morfisma grup $S^3 \to O(3)$ .
Hitunglah kernelnya: $\rho_q = \mathrm{id}$ jika dan hanya jika $q$ komutatif dengan $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ jika dan hanya jika $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
Tulislah $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ dengan $u \in P$ dan $N(u) = 1$ (mengapa ini selalu mungkin untuk $q \in S^3$ ?). Lalu tunjukkan bahwa $\rho_q$ menetapkan $u$ dan, pada bidang $u^\perp\cap P$ , bekerja sebagai rotasi bersudut $\theta$ (hitunglah $\rho_q(w)$ untuk $w \perp u$ dengan memakai $uw = -wu$ bagi satuan murni yang ortogonal — buktikanlah identitas ini dari tabel perkaliannya, atau dari $uw + wu = -2\langle u, w\rangle$ ).
Simpulkan: bahwa $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (sebab setiap $\rho_q$ merupakan rotasi bersumbu dan bersudut seperti yang dihitung — dengan determinan $+1$ lewat kekontinuan $q \mapsto \det\rho_q$ pada $S^3$ yang terhubung, atau secara langsung), dan bahwa $\rho$ bersifat pada $SO(3)$ : sebab setiap rotasi $\R^3$ bersumbu (buktikanlah: bahwa matriks ortogonal real $3\times3$ dengan $\det = 1$ bernilai eigen $1$ — tinjaulah polinomial karakteristiknya) sehingga berupa suatu $\rho_q$ . Ringkasnya:

$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$

Bagian III — $SO(3)$ sebagai submanifold; Rodrigues.

Tunjukkan bahwa $SO(3)$ merupakan submanifold kompak berdimensi $3$ di $M_3(\R)$ dengan $T_ISO(3) =$ matriks antisetangkupnya (Latihan 20.5; sebab syarat determinannya memilih sebuah gabungan komponennya).
Untuk matriks antisetangkup $A_u$ yang berkaitan dengan $u \in \R^3$ (yakni $A_uv = u\wedge v$ , hasil kali silangnya), buktikanlah rumus Rodrigues:

$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$

(dari $A_u^3 = -A_u$ : pisahkanlah deret eksponensialnya menurut pangkat $A_u$ ), lalu kenalilah ia sebagai rotasi bersumbu $u$ dan bersudut $\theta$ . Lalu turunkan bahwa $\exp$ memetakan matriks antisetangkupnya ke seluruh $SO(3)$ .
Kaitkanlah kedua parametrisasinya: tunjukkan bahwa $t \mapsto \rho_{q(t)}$ dengan $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ merupakan grup satu parameter berisi rotasi yang turunannya di $t = 0$ adalah $A_u$ — sehingga eksponensial kuaternion dan matriksnya menuturkan cerita yang sama pada laju separuh dan penuh berturut-turut.

Bagian IV — Selimut gandanya, yang terasa.

Tunjukkan bahwa lintasan $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,\mathrm k$ dengan $t \in \intcc0{2\pi}$ merupakan gelung di $SO(3)$ (sebab petanya $\rho_{q(t)}$ kembali ke identitasnya) yang angkatan kuaternioniknya bukan gelung: sebab $q(2\pi) = -q(0)$ . Sedangkan melanjutkannya ke $t = 4\pi$ menutup angkatannya. Lalu terangkanlah dalam sebuah paragraf pendek apa yang dikatakannya: bahwa rotasi $2\pi$ tak dapat dibatalkan secara kontinu sedangkan rotasi $4\pi$ dapat (yakni kiat sabuknya), sebab gelung $SO(3)$ terdeteksi pada selimut gandanya $S^3$ .
Turunkan pula buah hasil praktisnya: bahwa komposisi rotasi = perkalian kuaternion (yakni data senilai $4$ perkalian alih-alih $9$ , tanpa hanyutan dari keortogonalannya) — lalu periksalah pada komposisi dua seperempat putaran terhadap $\mathrm i$ dan $\mathrm j$ : hitunglah sumbu dan sudut hasil kalinya.

Bagian V — Matriks eksplisitnya: Euler–Rodrigues. Tulislah $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j + d\mathrm k \in S^3$ , sehingga $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$ .

Hitunglah $\rho_q(\mathrm i)$ selengkapnya dari tabel perkaliannya; lalu perolehlah $\rho_q(\mathrm j)$ dan $\rho_q(\mathrm k)$ lewat substitusi siklik $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ dan $(b, c, d) \to (c, d, b)$ (benarkanlah: sebab menyiklikkan $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ diperluas menjadi automorfisma $\mathbb H$ , karena relasi pendefinisinya setangkup secara siklik). Lalu simpulkan bahwa matriks $\rho_q$ pada basis $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ adalah matriks Euler–Rodrigues

$R_q = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\ 2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\ 2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2 \end{pmatrix}.$
(Membaca sebuah rotasi secara mundur) Tunjukkan bahwa

$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta, \qquad \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) = \sin\theta\,A_u,$

dalam notasi pertanyaan 5 dan 8. Lalu turunkan sebuah algoritma yang memulihkan $\pm q$ dari sebuah matriks rotasi $R$ : yakni sudutnya dari tracenya; sumbunya dari bagian antisetangkupnya bila $0 < \theta < \pi$ ; dan, bila $\theta = \pi$ , buktikan lalu pakailah identitas $R + I = 2\,uu^{\mathsf T}$ .
Nilaikan $R_q$ untuk hasil kali pertanyaan 11 $q = \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ : sebuah matriks permutasi muncul. Lalu kenali rotasinya lalu damaikan dengan sumbu dan sudut yang ditemukan pada pertanyaan 11.

Bagian VI — Di dalam $S^3$ : $SU(2)$ , kelas konjugasi, eksponensial.

Tunjukkan bahwa penyajian matriks pertanyaan 1 (sebutlah $\Phi$ ) terbatas menjadi isomorfisma grup dari $S^3$ ke grup uniter khusus

$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U = 1\bigr\}$

(untuk kesurjektifannya, tuliskanlah persamaan $U^{-1} = U^*$ dan $\det U = 1$ bagi sebuah matriks kompleks $2\times2$ yang umum).
Tunjukkan bahwa bagian realnya merupakan invarian konjugasi pada $S^3$ — yakni $\operatorname{Re}(pq\bar p) = \operatorname{Re}q$ untuk setiap $p \in S^3$ — dan, sebaliknya, bahwa dua kuaternion satuan yang berbagian real sama bersifat konjugat di $S^3$ (susutkanlah ke pemindahan satu sumbu murni satuan ke sumbu lainnya, yang disediakan Bagian II). Lalu perikanlah kelas konjugasi $S^3$ secara geometri; terjemahkan ke $SU(2)$ (yakni himpunan aras tracenya); lalu proyeksikan lewat $\rho$ : bahwa dua rotasi bersifat konjugat di $SO(3)$ jika dan hanya jika keduanya bersudut $\theta \in \intcc0\pi$ sama.
Definisikan $\exp$ pada $\mathbb H$ lewat deret eksponensialnya; periksalah kekonvergenan mutlaknya dengan memakai $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ untuk $\abs q = \sqrt{N(q)}$ . Lalu tunjukkan, untuk $u$ murni satuan dan $\theta \in \R$ ,

$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$

lalu turunkan bahwa $\exp$ memetakan hiperbidang $P$ ke $S^3$ , lalu periksalah bahwa $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ : yakni gejala setengah sudut pertanyaan 9 lagi.
Untuk kuaternion murni $v, w$ buktikan aturan hasil kalinya $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ , sehingga identitas komutatornya $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; lalu buktikan pula $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ bagi matriks pertanyaan 8. Lalu simpulkan bahwa turunan $\rho$ di $1$ sepanjang kurva $t \mapsto \exp(tv)$ adalah isomorfisma linear $v \mapsto 2A_v$ dari $P$ ke matriks antisetangkupnya, dan bahwa ia mengangkut komutator kuaternionnya ke komutator matriksnya.

Bagian VII — Struktur globalnya.

(Tak ada seksi kontinu) Andaikan $s \colon SO(3) \to S^3$ kontinu dengan $\rho \circ s = \operatorname{id}$ . Lalu untuk gelung $R(t) = \rho_{q(t)}$ pada pertanyaan 10, tetapkan $\varepsilon(t) = s(R(t))\,q(t)^{-1}$ untuk $t \in \intcc0{2\pi}$ . Tunjukkan bahwa $\varepsilon$ kontinu dengan nilai di $\{\pm1\}$ , lalu turunkan sebuah pertentangan: sehingga tak ada pemilihan global yang kontinu atas kuaternion satuan yang mewakili setiap rotasinya.
(Model bolanya) Misalkan $\bar B \subseteq \R^3$ bola tertutup berjari-jari $\pi$ dan $E(v) = \eu^{A_v}$ , dengan $E(0) = I$ . Tunjukkan bahwa $E$ memetakan $\bar B$ ke $SO(3)$ , bersifat injektif pada bola terbukanya, dan pada bola batasnya mengenali tepat antipodenya: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , tanpa kebetulan lainnya. Jadi $SO(3)$ adalah bolanya dengan titik batas antipodalnya direkatkan — yakni ruang proyektif $\mathbb{RP}^3$ — dan sebuah diameternya menjadi gelung tak terkontraksikan pertanyaan 10.
Tunjukkan bahwa $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; bahwa involusi $SO(3)$ (yakni $R \neq I$ dengan $R^2 = I$ ) tepat berupa setengah putaran $\rho_w$ dengan $w$ sebuah kuaternion murni satuan; dan bahwa pusat $SO(3)$ bersifat trivial.
Tunjukkan bahwa setiap rotasi merupakan hasil kali dua setengah putaran: untuk $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ , pilihlah sebuah murni satuan $w \perp u$ , periksalah bahwa $w' = qw$ kembali merupakan kuaternion murni satuan, lalu periksalah $\rho_q = \rho_{w'}\rho_w$ . Lalu di manakah kedua sumbunya terletak, dan bersudut berapa keduanya?
Simpulkan ringkasan topologinya: bahwa $SO(3)$ bersifat kompak dan terhubung lintasan (berikan dua bukti: yakni peta kontinu $S^3$ di bawah $\rho$ ; dan peta $\exp$ ), sedangkan $O(3)$ tepat berkomponen terhubung dua, yang masing-masingnya homeomorfik dengan $SO(3)$ .
(Sebuah komposisi, tiga cara) Misalkan $R_1$ rotasi sebesar $\frac\pi2$ terhadap sumbu- $z$ dan $R_2$ rotasi sebesar $\frac\pi2$ terhadap sumbu- $x$ . Hitunglah sumbu dan sudut $R_2R_1$ : (i) dengan mengalikan kedua matriks $3\times3$ -nya lalu memakai trace dan bagian antisetangkupnya (Bagian V); (ii) dengan mengalikan kuaternion satuan yang bersesuaian $q_2q_1$ . Lalu periksalah bahwa kedua jawabannya bersesuaian: sudutnya $\frac{2\pi}3$ dan sumbunya $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
(Transformasi Cayley) Untuk $K$ yang antisetangkup, tunjukkan bahwa $I + K$ terbalikkan dan

$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$

dengan $-1$ yang tak pernah menjadi nilai eigen $C(K)$ ; lalu tunjukkan bahwa $K \mapsto C(K)$ merupakan bijeksi dari matriks antisetangkup ke $\{R \in SO(n) : -1 \notin \operatorname{Sp}R\}$ , dengan balikan $R \mapsto (I - R)(I + R)^{-1}$ . (Yakni sebuah peta rasional $SO(n)$ , yang mendampingi $\exp$ transenden pada Latihan 20.11.)

Solusi

Solusi Soal 20.1.

1. Petakan $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ dengan $\alpha = t + \iu x$ dan $\beta = y + \iu z$ : lalu diperiksa bahwa $1, \mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ berpindah ke $I$ , $\bigl(\begin{smallmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , dan $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & \iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , yang hasil kalinya menghasilkan kembali tabel kuaternionnya: sehingga pemetaannya merupakan morfisma aljabar yang injektif, jadi $\mathbb H$ mewarisi keasosiatifannya; lalu $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ bersifat multiplikatif, dan pengonjugatannya bersesuaian dengan transpos adjugatnya, yang memberikan $\overline{pq} = \bar q\bar p$ . Untuk pusatnya: komutatif dengan $\mathrm i$ memaksa $y = z = 0$ , dan dengan $\mathrm j$ memaksa $x = 0$ : jadi $\R$ .

2. Karena $q\bar q = N(q)$ : maka untuk $q \neq 0$ , $q^{-1} = \bar q/N(q)$ : jadi sebuah aljabar pembagian. Sedangkan pada $S^3$ : $N(pq) = 1$ dan $N(q^{-1}) = 1$ : jadi sebuah grup; dan $S^3 \subseteq \R^4$ adalah bola satuannya: jadi submanifold- $3$ yang kompak.

3. Sebuah $v$ bersifat murni jika dan hanya jika $\bar v = -v$ ; lalu $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$ : sehingga $\rho_q$ mengawetkan $P$ . Kelinearannya jelas; sedangkan $N(qv\bar q) = N(q)N(v)N(q) = N(v)$ : jadi sebuah isometri $(P, N) \cong (\R^3, \norm\cdot^2)$ : sehingga $\rho_q \in O(3)$ . Dan $\rho_{pq}(v) = pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p = \rho_p(\rho_q(v))$ : jadi sebuah morfisma.

4. Berlaku $\rho_q = \mathrm{id}$ jika dan hanya jika $qv = vq$ untuk setiap $v$ yang murni, jika dan hanya jika $q$ komutatif dengan $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ , jika dan hanya jika $q$ bersifat pusat (pertanyaan 1): jadi $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .

5. Tulis $q = t + p$ (dengan $t \in \R$ dan $p$ murni): maka $1 = N(q) = t^2 + N(p)$ , sehingga $t = \cos\frac\theta2$ dan $p = \sin\frac\theta2\,u$ dengan $N(u) = 1$ untuk suatu $\theta$ (dan jika $p = 0$ , maka $q = \pm1$ bekerja secara trivial). Lalu karena $u^2 = -N(u) = -1$ , $q$ dan $u$ komutatif, sehingga $\rho_q(u) = qu\bar q = uq\bar q = u$ : yakni sumbunya. Sedangkan untuk satuan murni $w \perp u$ : aturan hasil kalinya $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (uraikanlah dalam koordinatnya dari tabelnya) memberikan $uw = u\wedge w = -wu$ . Maka

\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 + \sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2u\bigr) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),

dengan memakai $uwu = -u^2w = w$ dan rumus sudut gandanya: yakni rotasi bersudut $\theta$ pada bidang berarah $(w, u\wedge w)$ .

6. Setiap $\rho_q$ merupakan rotasi terhadap $u$ sebesar $\theta$ : sebab pada basis ortonormal $(u, w, u\wedge w)$ matriksnya berdeterminan $+1$ : jadi $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ . Untuk kesurjektifannya: sebuah matriks $R \in SO(3)$ bernilai eigen $1$ , sebab

\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R) = (-1)^3\det(R - I),

sehingga $\det(R - I) = 0$ . Lalu ambillah sebuah vektor eigen satuan $u$ ; maka $R$ mengawetkan $u^\perp$ dan terbatas di sana menjadi sebuah rotasi bersudut suatu $\theta$ (sebab ortogonal bidang berdeterminan $1$ ): sehingga $R = \rho_q$ untuk $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ . Lalu dengan pertanyaan 4 dan teorema isomorfisma pertamanya (Teorema 1.3): $SO(3) \cong S^3/\{\pm1\}$ .

7. Himpunan $O_3$ merupakan submanifold kompak berdimensi $3$ (Latihan 20.5); sedangkan $\det$ kontinu padanya dengan nilai di $\{\pm1\}$ , sehingga $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ bersifat terbuka sekaligus tertutup di $O_3$ : jadi sebuah gabungan komponen terhubungnya, sehingga ia sendiri submanifold- $3$ yang kompak, dengan ruang singgung yang sama di $I$ : yakni matriks antisetangkupnya.

8. Berlaku $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u, v\rangle u - v$ (untuk $u$ yang satuan), sehingga $A_u^3v = u\wedge(\langle u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$ : jadi $A_u^3 = -A_u$ . Lalu dengan memisahkan deret eksponensialnya menurut sisa pangkatnya modulo relasi $A^3 = -A$ :

\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2 = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .

Pada $u$ : $A_uu = 0$ : jadi tetap. Sedangkan pada $w \perp u$ : $\eu^{\theta A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$ : yakni rotasi bersumbu $u$ dan bersudut $\theta$ — yaitu Rodrigues. Dan setiap rotasi berbentuk demikian (pertanyaan 6): sehingga $\exp$ bersifat pada $SO(3)$ dari matriks antisetangkupnya.

9. Dengan $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ : pertanyaan 5 menunjukkan bahwa $\rho_{q(t)}$ adalah rotasi bersumbu $u$ dan bersudut $t$ , yakni $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ , yang turunannya di $t = 0$ adalah $A_u$ . Jadi kuaternionnya berjalan pada separuh sudutnya — yakni jejak analitis selimut gandanya.

10. Pemetaan $\rho_{q(t)}$ adalah rotasi terhadap $\mathrm k$ sebesar sudut $t$ : sehingga di $t = 2\pi$ ia kembali ke identitasnya — yakni sebuah gelung di $SO(3)$ . Sedangkan angkatannya memenuhi $q(2\pi) = \cos\pi = -1 = -q(0)$ : jadi lintasan terangkatnya tak tertutup; dan hanya di $t = 4\pi$ $q$ kembali ke $1$ . Tafsirannya: bahwa gelung rotasi penuhnya tak terkontraksikan di $SO(3)$ — sebab angkatannya berakhir di lembar lain selimutnya — sedangkan gelung gandanya terkontraksikan; sehingga sebuah benda yang terikat ke sekitarnya oleh tali (yakni kiat sabuknya) kembali ke keadaan tak terpilin setelah $4\pi$ tetapi tidak setelah $2\pi$ . Jadi grup rotasinya mengingat paritas putaran penuhnya; dan $S^3$ , yang terhubung sederhana, adalah tempat ingatan itu tinggal.

11. Untuk seperempat putarannya: $q_{\mathrm i} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$ dan $q_{\mathrm j} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$ . Lalu hasil kalinya (dengan putaran- $\mathrm j$ diterapkan lebih dahulu):

q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 + \mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k\bigr),

yang bernorma $1$ , dengan $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : sehingga $\theta = \frac{2\pi}3$ , dan sumbunya $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j + \mathrm k}{\sqrt3}$ (yakni bagian murninya yang dinormalkan). Jadi dua seperempat putaran berurutan terhadap sumbu yang ortogonal menghasilkan rotasi $120^\circ$ terhadap diagonal utama kubusnya — yakni pembukuan senilai empat perkalian real, dengan keortogonalannya terawetkan secara persis: itulah mengapa perangkat lunak penerbangan dan mesin grafis mengomposisikan rotasinya lewat kuaternion.

12. Dari tabelnya, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ dan $\mathrm{ki} = \mathrm j$ , sehingga

q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) + d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .

Lalu mengalikannya dengan $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j - d\mathrm k$ memakai aturan skalar dan vektornya $(t_1 + p_1)(t_2 + p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 + p_1\wedge p_2$ , dengan $p_1 = (a, d, -c)$ dan $p_2 = (-b, -c, -d)$ : bagian skalarnya adalah $-ab - (-ab) = 0$ (jadi murni, seperti yang seharusnya), dan bagian vektornya adalah

b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac) = \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd - ac)\bigr):

yakni kolom pertama $R_q$ . Sedangkan pemetaan siklik $\sigma(\mathrm i) = \mathrm j$ , $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$ , dan $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ mengawetkan relasi $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ (sebab kata $\mathrm{ijk}$ invarian secara siklik sampai relasi $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$ , yang berlaku di ring mana pun: dengan mengonjugatkan $\mathrm{ijk} = -1$ oleh $\mathrm i$ yang terbalikkan), sehingga $\sigma$ diperluas menjadi automorfisma aljabar- $\R$ , dan $\sigma(\rho_q(v)) = \rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$ . Lalu dengan menguraikannya, peta $\mathrm j$ adalah rumus kolom pertamanya setelah substitusi $(b, c, d) \to (c, d, b)$ dengan basisnya dilabeli ulang $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , yang tepat merupakan kolom kedua yang ditampilkan; dan satu putaran lagi memberikan yang ketiga.

13. Dengan menjumlahkan diagonalnya, $\operatorname{tr}R_q = 3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (menurut norma satuannya), dan dengan $a = \cos\frac\theta2$ : $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 + 2\cos\theta$ . Untuk bagian antisetangkupnya: ketiga entri bebas $R_q - R_q^{\mathsf T}$ adalah $4ab, 4ac, 4ad$ (pada posisi $(3,2), (1,3), (2,1)$ ), sehingga $\frac12(R_q - R_q^{\mathsf T}) = A_m$ dengan $m = 2a\,(b, c, d) = 2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$ . Algoritmanya: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R - 1}{2} \in \intcc0\pi$ ; lalu jika $0 < \theta < \pi$ , bacalah $u$ dari $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ lalu tetapkan $q = \pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$ ; sedangkan jika $\theta = 0$ , maka $q = \pm1$ . Untuk $\theta = \pi$ : $a = 0$ , dan Rodrigues (pertanyaan 8) memberikan $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} - I) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , yakni $R + I = 2uu^{\mathsf T}$ ; sehingga sembarang kolom tak nol $R + I$ , yang dinormalkan, adalah $\pm u$ , dan $q = \pm u$ .

14. Dengan $a = b = c = d = \frac12$ : semua entri diagonalnya lenyap, $2(bc - ad) = 0$ , $2(bd + ac) = 1$ , $2(bc + ad) = 1$ , $2(cd - ab) = 0$ , $2(bd - ac) = 0$ , dan $2(cd + ab) = 1$ :

R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

yakni permutasi siklik $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$ . Sedangkan tracenya $0 = 1 + 2\cos\theta$ , sehingga $\theta = \frac{2\pi}3$ , dan ia menetapkan $(1,1,1)$ : yakni rotasi sebesar $120^\circ$ terhadap diagonal utamanya — tepat jawaban pertanyaan 11, yang kini terlihat sebagai matriks yang menyiklikkan sumbu koordinatnya.

15. Pada basisnya diperiksa bahwa $\Phi(\bar q) = \Phi(q)^*$ (sebab matriks $\bar q$ mempunyai $\alpha' = \bar\alpha$ dan $\beta' = -\beta$ , yang merupakan transpos konjugat $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ ). Karena itu $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ dan $\det\Phi(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$ : sehingga untuk $q \in S^3$ , $\Phi(q) \in SU(2)$ , dan $\Phi$ merupakan morfisma yang injektif (pertanyaan 1). Untuk kesurjektifannya: misalkan $U = \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{smallmatrix}\bigr)$ dengan $\det U = 1$ ; maka $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\ -\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ , dan $U^{-1} = U^* = \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\ \bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ memaksa $\delta = \bar\alpha$ dan $\gamma = -\bar\beta$ , lalu $1 = \det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$ : sehingga $U = \Phi(q)$ untuk kuaternion satuan $q$ berkoordinat $\alpha = a + \iu b$ dan $\beta = c + \iu d$ . Jadi $S^3 \cong SU(2)$ .

16. Skalar realnya bersifat pusat dan $N(p) = 1$ memberikan $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$ , sehingga $pq\bar p + \overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$ : jadi bagian realnya invarian. Sebaliknya misalkan $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$ ; maka bagian murninya bernorma sama $\sqrt{1 - a^2} = s$ . Jika $s = 0$ , maka $q = q' = \pm1$ . Sedangkan jika $s > 0$ , tulislah $q = a + su$ dan $q' = a + su'$ dengan $u, u'$ murni satuan; lalu pertanyaan 6 menyediakan sebuah rotasi yang membawa $u'$ ke $u$ , yakni $p \in S^3$ dengan $\rho_p(u') = u$ , sehingga $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') = q$ . Jadi kelas $S^3$ -nya adalah $\{1\}$ , $\{-1\}$ , dan untuk setiap $a \in \intoo{-1}1$ bola- $2$ $\{a + su : u \text{ murni satuan}\}$ berjari-jari $s$ . Lalu di bawah $\Phi$ , $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha = 2\operatorname{Re}q$ : sehingga kelas $SU(2)$ -nya adalah himpunan aras tracenya. Lalu dengan memproyeksikannya: jika $q' = pq\bar p$ maka $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$ ; sebaliknya $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ memaksa $q' = \pm pq\bar p$ (lewat kernelnya), sehingga $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$ , yakni $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} = \abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ bagi sudutnya di $\intcc0\pi$ : jadi rotasi yang konjugat bersudut sama. Sebaliknya, sudut yang sama mengizinkan wakil yang berbagian real tak negatif sama, yang konjugat lewat cara di atas: jadi di $SO(3)$ , kelas konjugasi sebuah rotasi tepat berupa sudutnya.

17. Karena $N$ multiplikatif, $\abs\cdot$ merupakan norma multiplikatif pada $\mathbb H \cong \R^4$ dan $\abs{q^k} = \abs q^k$ : sehingga deret $\sum q^k/k!$ konvergen mutlak pada ruang berdimensi berhingga (jadi lengkap) itu, yang terdominasi $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$ . Lalu untuk $u$ yang murni satuan: $u^2 = -1$ , sehingga $(\theta u)^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$ dan $(\theta u)^{2m+1} = (-1)^m\theta^{2m+1}u$ ; lalu dengan memisahkan deretnya,

\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} + u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta + \sin\theta\,u .

Sedangkan setiap $q \in S^3$ berupa $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ dengan $\alpha \in \intcc0\pi$ (pertanyaan 5): jadi $q = \exp(\alpha u)$ , sehingga $\exp(P) = S^3$ . Akhirnya $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u = q(2s)$ dalam notasi pertanyaan 9, dan $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ di sana: sehingga $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ .

18. Dengan menguraikan $vw$ koordinat demi koordinat lewat tabelnya: hasil kali $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$ , … memberikan skalar $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$ , sedangkan hasil kali campurannya ( $\mathrm{ij} = \mathrm k$ , $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ , …) memberikan vektor $(v_2w_3 - v_3w_2,\ v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$ : jadi $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ . Lalu dengan mengurangkan hasil kali terbaliknya: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (sebab bagian skalarnya meniadakan diri, sedangkan hasil kali silangnya menjumlah). Untuk matriksnya, dengan $a\wedge(b\wedge c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$ :

[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x) = w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle = (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .

Untuk turunannya: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (sebab pengonjugatannya kontinu dan menegasikan kuaternion murni), sehingga

\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx - xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :

sehingga diferensialnya adalah $v \mapsto 2A_v$ , yakni bijeksi linear dari $P$ ke matriks antisetangkupnya, dan $[2A_v, 2A_w] = 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ menunjukkan bahwa ia membawa komutator kuaternionnya ke komutator matriksnya.

19. Dengan menerapkan $\rho$ : $\rho(\varepsilon(t)) = \rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} = \operatorname{id}$ , sehingga $\varepsilon(t) \in \ker\rho = \{\pm1\}$ (pertanyaan 4). Lalu sebagai hasil kali pemetaan kontinu $t \mapsto s(R(t))$ dan $t \mapsto q(t)^{-1} = \bar{q(t)}$ , $\varepsilon$ bersifat kontinu pada selang terhubung $\intcc0{2\pi}$ dengan nilai pada pasangan diskret $\{\pm1\}$ : sehingga ia konstan, katakanlah $\varepsilon(t) \equiv \varepsilon$ . Padahal $R(0) = R(2\pi) = I$ , sehingga $s(R(0)) = s(R(2\pi))$ , sedangkan $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) = \varepsilon$ dan $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) = -\varepsilon$ : jadi bertentangan. Sehingga tak ada seksi kontinu yang ada: jadi ketaktentuan tanda $\pm q$ bersifat global, bukan cacat sebuah rumus tertentu.

20. Untuk kesurjektifannya: setiap $R \in SO(3)$ berupa $\eu^{\theta A_u}$ untuk suatu $u$ satuan dan $\theta \in \intcc0{2\pi}$ (pertanyaan 6 dan 8); lalu jika $\theta > \pi$ , Rodrigues memberikan $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi - \theta)A_{-u}}$ (sebab keduanya sama dengan $I + \sin\theta A_u + (1 - \cos\theta)A_u^2$ , dan $A_{-u} = -A_u$ dengan $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ serta $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ ), sehingga $R = E(v)$ dengan $\norm v \leq \pi$ . Untuk keinjektifannya di dalam: jika $E(v) = E(v') \neq I$ dengan $\norm v, \norm{v'} < \pi$ , maka pertanyaan 13 memulihkan sudut $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ yang sama dari tracenya dan, karena $\sin\theta \neq 0$ , sumbu yang sama dari bagian antisetangkupnya: jadi $v = v'$ ; sedangkan $E(v) = I$ memaksa $\theta \in \{0\}$ pada bola terbukanya. Untuk batasnya: $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ bergantung pada $u$ hanya lewat $uu^{\mathsf T}$ , sehingga $E(\pi u) = E(-\pi u)$ ; dan sebaliknya $2uu^{\mathsf T} - I = 2u'u'^{\mathsf T} - I$ yang diterapkan pada $u$ memberikan $u = \langle u', u\rangle u'$ , sehingga $u' = \pm u$ . Sedangkan interior dan batasnya tak pernah bertumbukan (sebab tracenya $> -1$ lawan $= -1$ ). Jadi $E$ menginduksi bijeksi kontinu dari bola-dengan-perekatan-antipodalnya — yang kompak — ke $SO(3)$ : yakni sebuah homeomorfisma, sehingga $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$ . Dan sebuah diameter dari $\pi u$ ke $-\pi u$ berujung terekat: jadi ia sebuah gelung di $SO(3)$ , dan pemerian- $E$ -nya cocok dengan keluarga rotasi pertanyaan 10 terhadap $u$ yang menyapu satu putaran penuh.

21. Karena $\rho$ merupakan morfisma dan $\rho_p^{-1} = \rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$ , maka $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; lalu menurut pertanyaan 16, mengonjugatkan sebuah rotasi mengawetkan sudutnya dan memutar sumbunya oleh $\rho_p$ . Untuk involusinya: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ jika dan hanya jika $q^2 = \pm1$ . Jika $q^2 = 1$ maka $(q - 1)(q + 1) = q^2 - 1 = 0$ (sebab skalar pusatnya, sehingga pemfaktoran ini sahih) dan $q = \pm1$ pada ring pembagi $\mathbb H$ , yang memberikan $\rho_q = I$ , jadi terkecualikan; sedangkan $q^2 = -1$ dengan $q = a + su$ memberikan $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$ , sehingga $a = 0$ dan $s = 1$ : jadi $q$ berupa murni satuan $w$ , dan $\rho_w$ adalah setengah putaran terhadap $w$ (bersudut $\pi$ , pertanyaan 5). Untuk pusatnya: jika $\rho_q$ komutatif dengan setiap $\rho_p$ , maka $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$ , sehingga $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ dengan $\varepsilon(p) \in \{\pm1\}$ ; lalu $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ bersifat kontinu pada $S^3$ yang terhubung dan bernilai $1$ di $p = 1$ , sehingga $\equiv 1$ : jadi $q$ komutatif dengan seluruh $S^3$ , sehingga dengan seluruh $\mathbb H$ (lewat penskalaannya), jadi $q \in \R \cap S^3 = \{\pm1\}$ (pertanyaan 1) dan $\rho_q = I$ : sehingga pusatnya trivial.

22. Karena $u \perp w$ berupa murni satuan, $uw = u\wedge w$ bersifat murni (pertanyaan 18), sehingga

w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge w

bersifat murni, bernorma $\abs q\abs w = 1$ . Lalu $w'w = qw\cdot w = qw^2 = -q$ , dan

\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .

Sedangkan kedua sumbunya $w$ dan $w' = \cos\frac\theta2 w + \sin\frac\theta2(u\wedge w)$ terletak pada bidang $u^\perp$ yang ortogonal terhadap sumbu rotasinya, dan $\langle w', w\rangle = \cos\frac\theta2$ : sehingga keduanya bersudut separuh $\frac\theta2$ . Inilah pembangkitan klasiknya: bahwa dua setengah putaran terhadap sumbu yang bersudut $\frac\theta2$ berkomposisi menjadi rotasi bersudut $\theta$ terhadap tegak lurus bersamanya.

23. Kekompakannya adalah pertanyaan 7. Untuk keterhubungan lintasannya: $SO(3) = \rho(S^3)$ merupakan peta kontinu bola yang terhubung lintasan; sedangkan sebagai alternatif, untuk $R = \eu^{A}$ dengan $A$ yang antisetangkup (pertanyaan 8), $t \mapsto \eu^{tA}$ merupakan lintasan di $SO(3)$ dari $I$ ke $R$ (yang ortogonal sebab $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$ , dengan determinan $1$ lewat kekontinuannya dari $t = 0$ ). Untuk $O(3)$ : $\det$ bersifat kontinu ke $\{\pm1\}$ , sehingga $O(3)$ tak terhubung, $O(3) = SO(3) \sqcup D\,SO(3)$ untuk sembarang $D$ yang tetap dengan $\det D = -1$ (misalnya $D = -I$ ), dan perkalian kiri oleh $D$ merupakan homeomorfisma: jadi tepat dua komponen, yang masing-masingnya salinan $SO(3)$ . Jadi $\rho$ yang dua-ke-satu, yang bebas seksi menurut pertanyaan 19, merupakan selimut ganda yang jujur atas sebuah grup kompak terhubung oleh $S^3$ yang terhubung sederhana — yakni geometri di balik kiat sabuknya.

24. (i) Untuk matriksnya:

R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.

Jejaknya $0 = 1 + 2\cos\theta$ memberikan $\cos\theta = -\frac12$ : sehingga $\theta = \frac{2\pi}3$ . Sedangkan bagian antisetangkupnya $\frac{R - R^{\mathsf T}}2$ berentri yang menyandikan sumbunya secara $\sin\theta\,(v_3, -v_2, v_1)$ : di sini $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 = \frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , yang terbaca (lewat kamus $A_v$ Bagian V) sebagai $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$ ; lalu dengan $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$ : $v = \frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ . (ii) Untuk kuaternionnya: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k = \frac{\sqrt2}2(1 + k)$ , $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$ , dan

q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik) = \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)

(sebab $ik = -j$ ). Jadi $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : sehingga $\theta = \frac{2\pi}3$ , dan bagian vektornya $\frac12(i - j + k)$ berarah $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — yakni jawaban yang sama, dengan jalur kuaternionnya hanya memerlukan satu baris perkalian alih-alih sebuah hasil kali matriks: yakni alasan praktis perangkat lunak penerbangan mengomposisikan sikapnya di $S^3$ .

25. Untuk keterbalikan $I + K$ : $(I + K)v = 0$ memberikan $0 = \langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (sebab keantisetangkupannya membunuh suku keduanya): jadi $v = 0$ . Untuk keortogonalan $C = C(K)$ : dengan memakai $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ dan fakta bahwa keempat matriks $I \pm K$ dan $(I \pm K)^{-1}$ komutatif (sebab ungkapan polinomial dalam $K$ , ditambah limitnya):

C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T} (I - K)(I + K)^{-1} = (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .

Untuk determinannya: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf T}\bigr) = \det(I + K)$ , sehingga $\det C = 1$ : jadi $C \in SO(n)$ . Tak ada nilai eigen $-1$ : sebab $Cv = -v$ berarti $(I - K)w = -(I + K)w$ untuk $w = (I + K)^{-1}v$ , yakni $2w = 0$ : jadi $v = 0$ . Untuk pembalikannya: dari $C(I + K) = I - K$ , selesaikanlah $K(I + C) = I - C$ ; lalu karena $-1 \notin \operatorname{Sp}C$ , $I + C$ bersifat terbalikkan dan $K = (I - C)(I + C)^{-1}$ , yang bersifat antisetangkup setiap kali $C$ ortogonal tanpa nilai eigen $-1$ (transposkanlah ungkapannya lalu pakai $C^{\mathsf T} = C^{-1}$ : $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} = (C - I)(C + I)^{-1} = -K$ ). Jadi kedua pemetaannya saling berbalikan menurut konstruksinya: yakni sebuah parametrisasi rasional global atas kepingan terbuka padat $SO(n)$ yang menghindari nilai eigen $-1$ — tanpa deret, tanpa trigonometri, dan dalam dimensi $3$ ia merupakan substitusi setengah sudut $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ yang menyamar.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

ruang singgung

Lihat semua 395 istilah di glosarium

20.1 Teorema fungsi invers

20.2 Submanifold: empat definisi

20.3 Ruang singgung

20.4 Latihan

20.5 Soal: SO(3)SO(3)SO(3) dan kuaternion

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

20.5 Soal: $SO(3)$ dan kuaternion