Apa itu ukuran Lebesgue pada ℝᵈ?

Ukuran Lebesgue pada $\R^d$ adalah $\lambda_d = \lambda\otimes\cdots\otimes\lambda$ (dengan $d$ faktor; sedangkan keasosiatifan konstruksinya diperiksa pada kotak lalu dirambatkan lewat ketunggalannya). Ia satu-satunya ukuran Borel yang memberi setiap kotak $\prod\intoc{a_i}{b_i}$ volumenya $\prod(b_i - a_i)$; ia invarian terhadap translasi (sebab translasinya bersesuaian pada kotak), berhingga-$\sigma$, dan lengkap setelah pelengkapan Carathéodory — lalu kita menulis $\lambda_d$ untuk ukuran yang telah dilengkapkan itu dan mengintegralkan seturut itu.