ما معنى صيغة متناوبة؟ — الرياضيات

تعريف 2.13 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 2 — الجبر الخطي

يكون التطبيق $f \colon E^n \to K$ $n$ -خطي إذا كان خطيًا في كل متغيّر، ومتناوبًا إذا انعدم كلما تساوى وسيطان. ويستلزم التناوبُ ضدّ التماثل: فتبديل وسيطين يغيّر الإشارة (بنشر $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ )؛ وبعبارة أعمّ، من أجل $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ ،

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

وذلك بتفكيك $\sigma$ إلى مبادلات (المبرهنة 1.21).

أمثلة

مثال 2.15 (قاعدة ساروس، مستنبطةً ومهدومة)

من أجل $n = 3$ يكون في صيغة التبديلات $3! = 6$ حدود بالضبط. وبسرد $\mathfrak{S}_3$ حسب الإشارة — $\mathrm{id}$ و $(1\,2\,3)$ و $(1\,3\,2)$ زوجية؛ و $(1\,2)$ و $(1\,3)$ و $(2\,3)$ فردية — نجد

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

وهي بالضبط قاعدة “الأقطار” عند ساروس التي تُدرَّس في المدرسة — وقد صارت الآن مبرهنة، بإشارات غامضة تبيّن أنها إشارات التبديلات. وأما الهدم: فمن أجل $n = 4$ هناك $24$ تبديلة، لا يلتقط منها أي مخطط أقطار سوى $8$ ؛ فليس لقاعدة ساروس نسخة من الدرجة $4$ ، ويحلّ محلها النشر بالعوامل المرافقة (المبرهنة 2.17 (4)). وعدّ الحدود تحذير أيضًا: ففي صيغة التبديلات $n!$ حدًّا، ومن ثم فهي تعريف لا خوارزمية — إذ يحسب اختزال الأسطر المحدد $\det$ في $O(n^3)$ عملية بدلًا من ذلك.

اقرأ في الفصل ←

تعريف 21.1 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 21 — الصيغ التفاضلية ومبرهنة ستوكس

ليكن $E$ فضاءً متجهيًّا حقيقيًّا بُعده $n$ . الصيغة المتناوبة $k$ -الخطية على $E$ هي تطبيق $\alpha\colon E^k \to \R$ ، خطي في كل متغيّر، يحقق $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ كلما تساوى وسيطان. ويُكتب فضاؤها $\Lambda^k E^*$ ؛ وباصطلاحٍ $\Lambda^0E^* = \R$ . ويفرض التناوبُ التخالفَ: فتبديل وسيطين يغيّر الإشارة (بنشر $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$ )، وعمومًا $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ من أجل كل تبديلة $\sigma$ .

اقرأ في الفصل ←