Wat is alternerende vorm? — Wiskunde

Definitie 2.13 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 2 — Lineaire algebra

Een afbeelding $f \colon E^n \to K$ heet $n$ -lineair wanneer zij in elke variabele lineair is, en alternerend wanneer zij verdwijnt zodra twee argumenten gelijk zijn. Alternerend impliceert antisymmetrisch: twee argumenten verwisselen verandert het teken (werk $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ uit); algemener geldt voor $\sigma \in \mathfrak{S}_n$

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

door $\sigma$ in transposities te ontbinden (Stelling 1.21).

Voorbeelden

Voorbeeld 2.15 (Sarrus, afgeleid en afgebroken)

Voor $n = 3$ telt de permutatieformule precies $3! = 6$ termen. Als we $\mathfrak{S}_3$ naar signatuur opsommen — $\mathrm{id}$ , $(1\,2\,3)$ , $(1\,3\,2)$ even; $(1\,2)$ , $(1\,3)$ , $(2\,3)$ oneven — krijgen we

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

precies de “diagonalenregel” van Sarrus die op school wordt onderwezen — nu een stelling, met de raadselachtige tekens herkend als signaturen. En dan de afbraak: voor $n = 4$ zijn er $24$ permutaties, waarvan elk schema van getekende diagonalen er slechts $8$ oppikt; Sarrus heeft geen versie in graad $4$ , en de ontwikkeling naar cofactoren (Stelling 2.17 (4)) neemt het over. Het aantal termen is ook een waarschuwing: de permutatieformule heeft $n!$ termen en is dus een definitie, geen algoritme — rijherleiding berekent $\det$ in $O(n^3)$ bewerkingen.

Lees in het hoofdstuk →

Definitie 21.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 21 — Differentiaalvormen en de stelling van Stokes

Zij $E$ een reële vectorruimte van dimensie $n$ . Een $k$ -lineaire alternerende vorm op $E$ is een afbeelding $\alpha\colon E^k \to \R$ , lineair in elke veranderlijke, met $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ zodra twee argumenten gelijk zijn. Hun ruimte noteren we $\Lambda^k E^*$ ; per afspraak is $\Lambda^0E^* = \R$ . De alternantie dwingt de antisymmetrie af: twee argumenten verwisselen verandert het teken (ontwikkel $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$ ), en algemener is $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ voor elke permutatie $\sigma$ .

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen