O que é forma alternada? — Matemática

Definição 2.13 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 2 — Álgebra linear

Uma aplicação $f \colon E^n \to K$ é $n$ -linear quando é linear em cada variável, e alternada quando se anula sempre que dois argumentos são iguais. Ser alternada implica ser antissimétrica: trocar dois argumentos muda o sinal (desenvolva $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ ); mais geralmente, para $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ ,

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

decompondo $\sigma$ em transposições (Teorema 1.21).

Exemplos

Exemplo 2.15 (Sarrus, deduzido e demolido)

Para $n = 3$ a fórmula das permutações tem exatamente $3! = 6$ termos. Listando $\mathfrak{S}_3$ por assinatura — $\mathrm{id}$ , $(1\,2\,3)$ , $(1\,3\,2)$ pares; $(1\,2)$ , $(1\,3)$ , $(2\,3)$ ímpares — obtém-se

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

precisamente a regra das “diagonais” de Sarrus ensinada na escola — agora um teorema, com os sinais misteriosos identificados como assinaturas. A demolição: para $n = 4$ há $24$ permutações, das quais apenas $8$ são capturadas por qualquer esquema de diagonais; Sarrus não tem versão em grau $4$ , e o desenvolvimento por cofatores (Teorema 2.17 (4)) assume o comando. Contar termos também é um aviso: a fórmula das permutações tem $n!$ parcelas, de modo que ela é uma definição, e não um algoritmo — o escalonamento calcula $\det$ em $O(n^3)$ operações.

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Definição 21.1 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 21 — Formas diferenciais e o teorema de Stokes

Seja $E$ um espaço vetorial real de dimensão $n$ . Uma forma $k$ -linear alternada em $E$ é uma aplicação $\alpha\colon E^k \to \R$ , linear em cada variável, com $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ sempre que dois argumentos são iguais. Seu espaço é escrito $\Lambda^k E^*$ ; por convenção, $\Lambda^0E^* = \R$ . A alternância força a antissimetria: trocar dois argumentos muda o sinal (expanda $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$ ) e, mais geralmente, $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ para toda permutação $\sigma$ .

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Exemplos

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