¿Qué es forma alternada? — Matemáticas

Definición 2.13 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 2 — Álgebra lineal

Una aplicación $f \colon E^n \to K$ es $n$ -lineal cuando es lineal en cada variable, y alternada cuando se anula siempre que dos argumentos son iguales. Ser alternada implica ser antisimétrica: intercambiar dos argumentos cambia el signo (desarróllese $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ ); más en general, para $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ ,

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

descomponiendo $\sigma$ en transposiciones (Teorema 1.21).

Ejemplos

Ejemplo 2.15 (Sarrus, deducida y demolida)

Para $n = 3$ , la fórmula de las permutaciones tiene exactamente $3! = 6$ términos. Listando $\mathfrak{S}_3$ por signatura — $\mathrm{id}$ , $(1\,2\,3)$ , $(1\,3\,2)$ pares; $(1\,2)$ , $(1\,3)$ , $(2\,3)$ impares— se obtiene

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

precisamente la regla de las “diagonales” de Sarrus que se enseña en secundaria, ahora un teorema y con los signos misteriosos identificados como signaturas. La demolición: para $n = 4$ hay $24$ permutaciones, de las cuales cualquier esquema de diagonales solo recoge $8$ ; Sarrus no tiene versión en grado $4$ , y el desarrollo por cofactores (Teorema 2.17 (4)) toma el relevo. Contar términos es además una advertencia: la fórmula de las permutaciones tiene $n!$ sumandos, así que es una definición, no un algoritmo; el método de eliminación calcula $\det$ en $O(n^3)$ operaciones.

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Definición 21.1 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 21 — Formas diferenciales y teorema de Stokes

Sea $E$ un espacio vectorial real de dimensión $n$ . Una forma $k$ -lineal alternada en $E$ es una aplicación $\alpha\colon E^k \to \R$ , lineal en cada variable, con $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ siempre que dos argumentos sean iguales. Su espacio se denota $\Lambda^k E^*$ ; por convenio, $\Lambda^0E^* = \R$ . La alternancia fuerza la antisimetría: intercambiar dos argumentos cambia el signo (desarróllese $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$ ) y, más en general, $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ para toda permutación $\sigma$ .

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Ejemplos

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