एकांतर फलनिक क्या है? — गणित

परिभाषा 2.13 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 2 — रैखिक बीजगणित

कोई प्रतिचित्रण $f \colon E^n \to K$ $n$ -रैखिक कहलाता है जब वह प्रत्येक चर में रैखिक हो, और एकांतर तब जब दो कोटियाँ बराबर होते ही वह लुप्त हो जाए। एकांतर होने से प्रतिसममित होना निकलता है: दो कोटियाँ आपस में बदलने पर चिह्न बदल जाता है ( $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ को खोलिए); और अधिक सामान्य रूप में, $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ के लिए

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

जो $\sigma$ को पार्ययों में अपघटित करने से मिलता है (प्रमेय 1.21)।

उदाहरण

उदाहरण 2.15 (सारुस, व्युत्पन्न और ध्वस्त)

$n = 3$ के लिए क्रमचय सूत्र में ठीक $3! = 6$ पद होते हैं। $\mathfrak{S}_3$ को चिह्न के अनुसार सूचीबद्ध करने पर — $\mathrm{id}$ , $(1\,2\,3)$ , $(1\,3\,2)$ सम; $(1\,2)$ , $(1\,3)$ , $(2\,3)$ विषम — मिलता है

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

अर्थात् ठीक वही “विकर्णों” वाला सारुस नियम जो विद्यालय में पढ़ाया जाता है — अब एक प्रमेय, जिसमें रहस्यमय चिह्न चिह्न-फलन के रूप में पहचान लिए गए हैं। और ध्वंस: $n = 4$ के लिए $24$ क्रमचय होते हैं, जिनमें से किसी भी विकर्ण-खींचने वाली योजना से केवल $8$ ही पकड़ में आते हैं; सारुस का घात- $4$ वाला कोई रूप नहीं है, और वहाँ सहगुणनखंड प्रसार (प्रमेय 2.17 (4)) मोर्चा सँभाल लेता है। पदों की गिनती एक चेतावनी भी है: क्रमचय सूत्र में $n!$ पद होते हैं, अतः वह एक परिभाषा है, कलनविधि नहीं — पंक्ति समानयन $\det$ को $O(n^3)$ संक्रियाओं में परिकलित कर देता है।

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परिभाषा 21.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 21 — अवकल रूप और स्टोक्स की प्रमेय

मान लीजिए $E$ विमा $n$ की कोई वास्तविक सदिश समष्टि है। $E$ पर $k$ -रैखिक एकांतर रूप ऐसा प्रतिचित्रण $\alpha\colon E^k \to \R$ है जो प्रत्येक चर में रैखिक हो और जिसके लिए दो कोटियाँ बराबर होने पर $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ हो। उनकी समष्टि $\Lambda^k E^*$ लिखी जाती है; और परिपाटी से $\Lambda^0E^* = \R$ । एकांतरता प्रतिसममिति अनिवार्य कर देती है: दो कोटियों की अदला-बदली चिह्न बदल देती है ( $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$ का प्रसार कीजिए), और अधिक व्यापक रूप से प्रत्येक क्रमचय $\sigma$ के लिए $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ ।

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