Apa itu bentuk alternating? — Matematika

Definisi 2.13 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 2 — Aljabar Linear

Pemetaan $f \colon E^n \to K$ disebut $n$ -linear bila ia linear pada tiap peubahnya, dan disebut alternating bila ia nol setiap kali dua argumennya sama. Sifat alternating mengakibatkan antisetangkup: menukar dua argumen mengubah tandanya (uraikan $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ ); lebih umum lagi, untuk $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ ,

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

dengan menguraikan $\sigma$ atas transposisi (Teorema 1.21).

Contoh

Contoh 2.15 (Sarrus, diturunkan lalu dirobohkan)

Untuk $n = 3$ rumus permutasinya tepat punya $3! = 6$ suku. Mendaftar $\mathfrak{S}_3$ menurut tandanya — $\mathrm{id}$ , $(1\,2\,3)$ , $(1\,3\,2)$ genap; $(1\,2)$ , $(1\,3)$ , $(2\,3)$ ganjil — memberi

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

persis aturan “diagonal” Sarrus yang diajarkan di sekolah — kini menjadi teorema, dengan tanda-tandanya yang misterius dikenali sebagai tanda permutasi. Perobohannya: untuk $n = 4$ ada $24$ permutasi, dan hanya $8$ di antaranya yang terjaring oleh skema penarikan diagonal mana pun; Sarrus tidak punya versi berderajat $4$ , dan penguraian kofaktor (Teorema 2.17 (4)) mengambil alih. Mencacah sukunya sekaligus menjadi peringatan: rumus permutasi punya $n!$ suku, jadi ia sebuah definisi, bukan algoritme — penyederhanaan baris menghitung $\det$ dengan $O(n^3)$ operasi saja.

Baca dalam konteks →

Definisi 21.1 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 21 — Bentuk Diferensial dan Teorema Stokes

Misalkan $E$ ruang vektor real berdimensi $n$ . Sebuah bentuk berselang-seling $k$ -linear pada $E$ adalah pemetaan $\alpha\colon E^k \to \R$ yang linear pada setiap variabelnya, dengan $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ setiap kali dua argumennya sama. Ruangnya ditulis $\Lambda^k E^*$ ; dan secara konvensi $\Lambda^0E^* = \R$ . Sifat berselang-seling itu memaksa keantisetangkupan: menukar dua argumen mengubah tandanya (uraikanlah $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$ ), dan lebih umum $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ bagi setiap permutasi $\sigma$ .

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait