Qu'est-ce que « forme alternée » ? — Mathématiques

Définition 2.13 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 2 — Algèbre linéaire

Une application $f \colon E^n \to K$ est $n$ -linéaire quand elle est linéaire en chaque variable, et alternée quand elle s’annule dès que deux arguments sont égaux. Le caractère alterné implique le caractère antisymétrique : échanger deux arguments change le signe (développer $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ ) ; plus généralement, pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ ,

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

en décomposant $\sigma$ en transpositions (Théorème 1.21).

Exemples

Exemple 2.15 (Sarrus, dérivé et démoli)

Pour $n = 3$ la formule des permutations a exactement $3! = 6$ termes. Lister $\mathfrak{S}_3$ par signature — $\mathrm{id}$ , $(1\,2\,3)$ , $(1\,3\,2)$ paires ; $(1\,2)$ , $(1\,3)$ , $(2\,3)$ impaires — donne

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

précisément la règle des « diagonales » de Sarrus enseignée à l’école — désormais un théorème, avec les signes mystérieux identifiés comme des signatures. La démolition : pour $n = 4$ il y a $24$ permutations, dont seulement $8$ sont ramassées par un quelconque schéma de tracé de diagonales ; Sarrus n’a pas de version de degré $4$ , et le développement par cofacteurs (Théorème 2.17 (4)) prend le relais. Compter les termes est aussi un avertissement : la formule des permutations a $n!$ sommands, c’est donc une définition, pas un algorithme — le pivot de Gauss calcule $\det$ en $O(n^3)$ opérations à la place.

Lire dans le chapitre →

Définition 21.1 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 21 — Formes différentielles et théorème de Stokes

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ . Une forme $k$ -linéaire alternée sur $E$ est une application $\alpha\colon E^k \to \R$ , linéaire en chaque variable, avec $\alpha(v_1, \dots, v_k) = 0$ dès que deux arguments sont égaux. Leur espace s’écrit $\Lambda^k E^*$ ; par convention $\Lambda^0E^* = \R$ . L’alternance force l’antisymétrie : échanger deux arguments change le signe (développer $\alpha(\dots, v + w, \dots, v + w, \dots) = 0$ ), et plus généralement $\alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)}) = \varepsilon(\sigma)\,\alpha(v_1, \dots, v_k)$ pour toute permutation $\sigma$ .

Lire dans le chapitre →

Exemples

Termes liés