全部书籍

专业

应用 关于 Coach 登录 开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 العربية 版。

الرياضيات · 术语表

什么是 الدوال التحليلية？

又称： دالة تحليلية

تعريف 11.13 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · 第 11 章 — متسلسلات القوى

تكون ff تحليلية عند x0x_0 إذا كانت مجموع متسلسلة قوى في (x−x0)(x - x_0) على جوار؛ وعلى فترة، إذا كانت كذلك عند كل نقطة. ومجاميع متسلسلات القوى تحليلية داخل قرصها (بإعادة ترتيب النشر — ونقبل ذلك دون برهان في هذا المستوى من أجل إعادة التمركز، والحالة x0=0x_0 = 0 هي المبرهنة 11.7). والتحليلية تستلزم الصنف C∞C^\infty؛ والعكس يفشل: كالدالة المسطحة e−1/x2\eu^{-1/x^2} (التمرين 11.7).

示例

مثال 11.14 (إعادة التمركز، ونصف القطر بوصفه مسافة)

لننشر f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1-x} حول x0=12x_0 = \frac12: فبكتابة x=12+hx = \frac12 + h،

11−x=112−h=21−2h=∑n≥02n+1 hn=∑n≥02n+1(x−12) ⁣n,\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{\frac12 - h} = \frac{2}{1 - 2h} = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\,h^n = \sum_{n\geq0} 2^{n+1}\Bigl(x - \frac12\Bigr)^{\!n},

وهو صالح من أجل ∣2h∣<1\abs{2h} < 1، أي ∣x−12∣<12\abs{x - \frac12} < \frac12. ونصف القطر الجديد هو بالضبط المسافة من المركز الجديد إلى الشذوذ x=1x = 1: فإعادة التمركز تقلّص (أو توسّع) القرص ليلائم أقرب عائق. والفكرة الختامية: هذه هي الصورة وراء تعريف التحليلية — دالة واحدة، ومتسلسلات قوى محلية كثيرة، تعيش كلٌّ منها على أكبر قرص يتجنب المشكلة؛ ويحوّل مجلد السنة الثالثة الحدسَ “نصف القطر == المسافة إلى أقرب شذوذ عقدي” إلى مبرهنة.

在原文中阅读 ←