طول القوس কী?

مثال 18.8 (أرخميدس والمضلعات الداخلية)

من أجل دائرة الوحدة، يكون طول المضلع المنتظم الداخلي ذي $n$ ضلعا هو $L_n = 2n\sin\frac\pi n$، ويعطي النشر $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$

فأطوال المضلعات في المبرهنة 18.7 تتقارب تقاربا تربيعيا. وعدديا: $L_6 = 6$ (المسدس، وهو يعطي القيمة الفجة $\pi > 3$)، بينما $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ مقابل $2\pi \approx 6.28319$ — والخطأ $0.00113$ يوافق القيمة المتنبأ بها $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$. ولهذا استطاع أرخميدس، بمضاعفة المسدس خمس مرات إلى $96$ ضلعا، أن يحصر $\pi$ بثلاثة أرقام يدويا: فكل مضاعفة تقسم الخطأ على أربعة. فالحد الأعلى في التوصيف بالمضلعات ليس مبلوغا في النهاية فحسب؛ بل هو مبلوغ بسرعة، لأن المنحنى الأملس لا ينفصل عن أوتاره إلا من الرتبة الثانية.

مثال 18.11 (الدائرة واللولب)

من أجل الدائرة $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$، $\norm{\gamma'} = R$، ومنه $s = Rt$، وطول دورة كاملة هو $2\pi R$. ومن أجل اللولب $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ مع $a > 0$، يكون $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ ثابتا: فاللولب يُقطع بسرعة ثابتة، و$s = t\sqrt{a^2 + b^2}$.

مثال 18.12 (طول القوس بالإحداثيات القطبية)

المنحنى القطبي $r = r(\theta)$ هو القوس $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$، مع

(فالحدود المختلطة تتلاشى): ومنه فإن عنصر الطول القطبي هو $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$. ومن أجل القلبية $r = 1 + \cos\theta$:

وعلى $\intcc{-\pi}{\pi}$ يكون جيب تمام نصف الزاوية موجبا، ومنه

وكما في قوس الدويري في التمرين 18.1، فإن منحنى مبنيا من دوائر طوله ناطق، دون أي $\pi$ في أي موضع. وتفكيك نصف الزاوية هو الحيلة المعتادة لأطوال المنحنيات المولَّدة بالدوائر؛ وعندما يفشل (كما في الأهليلج)، يكون الطول دالة جديدة حقا — تكاملا إهليلجيا، خارج الصيغ المغلقة الأولية.