ما معنى مركز الثقل؟ — الرياضيات

تعريف 17.3 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 17 — الفضاءات الأفينية

لتكن $(A_i, \lambda_i)_{i \leq k}$ نقطا موزونة تحقق $\sum\lambda_i \neq 0$ . مركز الثقل $G = \operatorname{bar}\bigl((A_i, \lambda_i)\bigr)$ هو النقطة الوحيدة التي تحقق

\sum_i \lambda_i\, \vect{GA_i} = 0 \qquad\text{وبصورة مكافئة}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{\sum\lambda_i}\sum_i \lambda_i\,\vect{OA_i} \quad (\text{من أجل أي } O).

ومراكز الثقل تجميعية (إذ يمكن استبدال أي مجموعة جزئية من النقط بمركز ثقلها الجزئي مع مجموع أوزانها)، وثابتة عند ضرب جميع الأوزان في عدد.

أمثلة

مثال 17.7 (هندسة مراكز الثقل الكلاسيكية)

مركز ثقل المثلث $ABC$ هو مركز الثقل $G = \operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$ . والتجميعية مع منتصف $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ تبين أن

G = \operatorname{bar}(A, 1;\ A', 2) :

فالنقطة $G$ تقع على المتوسط $AA'$ عند ثلثيه — والأمر نفسه للمتوسطين الآخرين: فالمتوسطات الثلاثة متلاقية، في سطر واحد من حساب مراكز الثقل.

مثال 17.8 (متوسطا الرباعي الثنائيان)

ليكن $ABCD$ رباعيا كيفما كان (مستويا أو غير مستوي!) ولننظر في متوسطيه الثنائيين: أي القطعتين الواصلتين بين منتصفي الضلعين المتقابلين، $M_{AB}M_{CD}$ و $M_{BC}M_{DA}$ . نُدخل مركز الثقل $G$ للنقط $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ ونجمّع الأوزان بطريقتين:

G = \operatorname{bar}\bigl(M_{AB}, 2;\ M_{CD}, 2\bigr) = \operatorname{bar}\bigl(M_{BC}, 2;\ M_{DA}, 2\bigr) :

فالنقطة $G$ هي منتصف كلا المتوسطين الثنائيين — ومنه فإن المتوسطين الثنائيين ينصف كل منهما الآخر دائما، وإن الرباعي المكوّن من المنتصفات الأربعة متوازي أضلاع (وقطراه هما المتوسطان الثنائيان). ولا مناقشة حالات ولا إحداثيات، وتصمد الحجة دون تغيير من أجل رباعي غير مستوي في $\R^3$ ، حيث يكون البرهان القائم على الشكل دقيقا أصلا: فالتجميعية لا تأبه بالبعد.

مثال 17.12 (المناطق الواقعة فوق المنحنيات مجموعات محدبة)

المنطقة $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ الواقعة فوق القطع المكافئ محدبة: فمن أجل $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ ومن أجل $t \in \intcc01$ ، تعطي متراجحة تحدب دالة المربع

\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2 \leq (1-t)y_1 + ty_2 ,

ومنه يبقى مركز الثقل فوق القطع المكافئ. والحساب عام: فالمجموعة $\{y \geq f(x)\}$ محدبة إذا وفقط إذا كانت $f$ دالة محدبة — فالمجموعات المحدبة والدوال المحدبة (الفصل 8) وجهان لمفهوم واحد، والمناطق الواقعة فوق المنحنيات هي المعجم بينهما. وهذا هو السبب الهندسي في وجود مستقيمات مساندة للدوال المحدبة، وهي الحقيقة التي ستبرهن على متراجحة جنسن في الفصل 22.

اقرأ في الفصل ←