O que é Baricentro? — Matemática

Definição 17.3 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 17 — Espaços afins

Sejam $(A_i, \lambda_i)_{i \leq k}$ pontos ponderados com $\sum\lambda_i \neq 0$ . O baricentro $G = \operatorname{bar}\bigl((A_i, \lambda_i)\bigr)$ é o único ponto com

\sum_i \lambda_i\, \vect{GA_i} = 0 \qquad\text{equivalentemente}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{\sum\lambda_i}\sum_i \lambda_i\,\vect{OA_i} \quad (\text{quaisquer } O).

Os baricentros são associativos (subgrupos de pontos podem ser substituídos por seu baricentro parcial com o peso somado) e invariantes por reescalamento de todos os pesos.

Exemplos

Exemplo 17.7 (Geometria baricêntrica clássica)

O centroide de um triângulo $ABC$ é o baricentro $G = \operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$ . A associatividade com o ponto médio $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ mostra que

G = \operatorname{bar}(A, 1;\ A', 2) :

$G$ está na mediana $AA'$ a dois terços dela — e o mesmo para as outras duas medianas: as três medianas são concorrentes, em uma linha de cálculo baricêntrico.

Exemplo 17.8 (As bimedianas de um quadrilátero)

Seja $ABCD$ um quadrilátero qualquer (plano ou não!) e considere suas bimedianas: os segmentos que unem os pontos médios de lados opostos, $M_{AB}M_{CD}$ e $M_{BC}M_{DA}$ . Introduza o baricentro $G$ de $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ e agrupe os pesos de duas maneiras:

G = \operatorname{bar}\bigl(M_{AB}, 2;\ M_{CD}, 2\bigr) = \operatorname{bar}\bigl(M_{BC}, 2;\ M_{DA}, 2\bigr) :

$G$ é o ponto médio de ambas as bimedianas — de modo que as duas bimedianas sempre se bissectam, e o quadrilátero dos quatro pontos médios é um paralelogramo (suas diagonais são as bimedianas). Sem análise de casos, sem coordenadas, e o argumento sobrevive intacto para um quadrilátero reverso em $\R^3$ , em que uma demonstração baseada em figura já seria delicada: a associatividade não se importa com a dimensão.

Exemplo 17.12 (Os epígrafos são conjuntos convexos)

A região $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ acima da parábola é convexa: para $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ e $t \in \intcc01$ , a desigualdade de convexidade da função quadrado dá

\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2 \leq (1-t)y_1 + ty_2 ,

de modo que o baricentro permanece acima da parábola. O cálculo é geral: $\{y \geq f(x)\}$ é convexo exatamente quando $f$ é uma função convexa — os conjuntos convexos e as funções convexas (Capítulo 8) são duas faces de uma só noção, sendo os epígrafos o dicionário. Essa é a razão geométrica pela qual existem retas de suporte para funções convexas, fato que demonstrará a desigualdade de Jensen no Capítulo 22.

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