बैरिकेंद्र क्या है?

उदाहरण 17.7 (क्लासिक बैरिकेंद्रीय ज्यामिति)

त्रिभुज $ABC$ का गुरुत्व केंद्र बैरिकेंद्र $G = \operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$ है। मध्यबिंदु $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ के साथ साहचर्यता दिखाती है

अर्थात् $G$ माध्यिका $AA'$ पर उसके दो-तिहाई भाग पर पड़ता है — और शेष दोनों माध्यिकाओं के लिए भी वैसा ही: इस प्रकार तीनों माध्यिकाएँ संगामी हैं, और वह भी बैरिकेंद्रीय कलन की एक ही पंक्ति में।

उदाहरण 17.8 (किसी चतुर्भुज की द्वि-माध्यिकाएँ)

मान लीजिए $ABCD$ कोई भी चतुर्भुज है (समतलीय हो या न हो!) और उसकी द्वि-माध्यिकाएँ लीजिए: अर्थात् आमने-सामने की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले खंड $M_{AB}M_{CD}$ और $M_{BC}M_{DA}$। $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ का बैरिकेंद्र $G$ लीजिए और भारों को दो तरह से समूहबद्ध कीजिए:

अर्थात् $G$ दोनों द्वि-माध्यिकाओं का मध्यबिंदु है — इसलिए दोनों द्वि-माध्यिकाएँ सदा एक-दूसरे को समद्विभाजित करती हैं, और चारों मध्यबिंदुओं का चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है (उसके विकर्ण वही द्वि-माध्यिकाएँ हैं)। न कोई स्थिति-विश्लेषण, न निर्देशांक, और यह तर्क $\R^3$ में किसी विषमतलीय चतुर्भुज के लिए भी ज्यों का त्यों चलता है, जहाँ चित्र पर आधारित उपपत्ति पहले ही नाज़ुक हो जाती: साहचर्यता को विमा से कोई मतलब नहीं।

उदाहरण 17.12 (अधिआलेख उत्तल समुच्चय होते हैं)

परवलय के ऊपर का क्षेत्र $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ उत्तल है: $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ और $t \in \intcc01$ के लिए वर्ग फलन की उत्तलता असमिका देती है

अतः बैरिकेंद्र परवलय के ऊपर ही रहता है। यह परिकलन सामान्य है: $\{y \geq f(x)\}$ ठीक तब उत्तल है जब $f$ उत्तल फलन हो — अर्थात् उत्तल समुच्चय और उत्तल फलन (अध्याय 8) एक ही धारणा के दो चेहरे हैं, और अधिआलेख उनका शब्दकोश। और यही वह ज्यामितीय कारण है कि उत्तल फलनों की अवलंब रेखाएँ विद्यमान होती हैं — वही तथ्य जो अध्याय 22 में जेनसन की असमिका सिद्ध करेगा।