Qu'est-ce que « Barycentre » ? — Mathématiques

Définition 17.3 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 17 — Espaces affines

Soit $(A_i, \lambda_i)_{i \leq k}$ des points pondérés avec $\sum\lambda_i \neq 0$ . Le barycentre $G = \operatorname{bar}\bigl((A_i, \lambda_i)\bigr)$ est l’unique point tel que

\sum_i \lambda_i\, \vect{GA_i} = 0 \qquad\text{de manière équivalente}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{\sum\lambda_i}\sum_i \lambda_i\,\vect{OA_i} \quad (\text{pour tout } O).

Les barycentres sont associatifs (des sous-groupes de points peuvent être remplacés par leur barycentre partiel affecté du poids total) et invariants par changement d’échelle de tous les poids.

Exemples

Exemple 17.7 (Géométrie barycentrique classique)

Le centre de gravité d’un triangle $ABC$ est le barycentre $G = \operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$ . L’associativité avec le milieu $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ montre

G = \operatorname{bar}(A, 1;\ A', 2) :

$G$ est sur la médiane $AA'$ aux deux tiers de celle-ci — et de même pour les deux autres médianes : les trois médianes sont concourantes, en une ligne de calcul barycentrique.

Exemple 17.8 (Les bimédianes d’un quadrilatère)

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque (plan ou non !) et considérons ses bimédianes : les segments joignant les milieux des côtés opposés, $M_{AB}M_{CD}$ et $M_{BC}M_{DA}$ . Introduisons le barycentre $G$ de $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ et regroupons les poids de deux façons :

G = \operatorname{bar}\bigl(M_{AB}, 2;\ M_{CD}, 2\bigr) = \operatorname{bar}\bigl(M_{BC}, 2;\ M_{DA}, 2\bigr) :

$G$ est le milieu des deux bimédianes — de sorte que les deux bimédianes se coupent toujours en leur milieu, et le quadrilatère des quatre milieux est un parallélogramme (ses diagonales sont les bimédianes). Pas d’analyse de cas, pas de coordonnées, et l’argument survit inchangé pour un quadrilatère gauche de $\R^3$ , où une démonstration fondée sur une figure serait déjà délicate : l’associativité se moque de la dimension.

Exemple 17.12 (Les épigraphes sont des ensembles convexes)

La région $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ au-dessus de la parabole est convexe : pour $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ et $t \in \intcc01$ , l’inégalité de convexité de la fonction carré donne

\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2 \leq (1-t)y_1 + ty_2 ,

donc le barycentre reste au-dessus de la parabole. Le calcul est général : $\{y \geq f(x)\}$ est convexe exactement lorsque $f$ est une fonction convexe — les ensembles convexes et les fonctions convexes (Chapitre 8) sont deux faces d’une même notion, les épigraphes en étant le dictionnaire. C’est la raison géométrique de l’existence des droites d’appui pour les fonctions convexes, le fait qui démontrera l’inégalité de Jensen au Chapitre 22.

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