Wat is Barycentrum? — Wiskunde

Definitie 17.3 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 17 — Affiene ruimten

Zij $(A_i, \lambda_i)_{i \leq k}$ een familie gewogen punten met $\sum\lambda_i \neq 0$ . Het barycentrum $G = \operatorname{bar}\bigl((A_i, \lambda_i)\bigr)$ is het unieke punt met

\sum_i \lambda_i\, \vect{GA_i} = 0 \qquad\text{gelijkwaardig}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{\sum\lambda_i}\sum_i \lambda_i\,\vect{OA_i} \quad (\text{voor elke } O).

Barycentra zijn associatief (deelgroepen van punten mogen worden vervangen door hun deelbarycentrum met het gesommeerde gewicht) en invariant onder het herschalen van alle gewichten.

Voorbeelden

Voorbeeld 17.7 (Klassieke barycentrische meetkunde)

Het zwaartepunt van een driehoek $ABC$ is het barycentrum $G = \operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$ . De associativiteit met het middelpunt $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ toont dat

G = \operatorname{bar}(A, 1;\ A', 2) :

$G$ ligt op de zwaartelijn $AA'$ op twee derde ervan — en evenzo voor de twee andere zwaartelijnen: de drie zwaartelijnen gaan door één punt, in één regel barycentrische rekenkunde.

Voorbeeld 17.8 (De bimediaan van een vierhoek)

Zij $ABCD$ een willekeurige vierhoek (vlak of niet!) en beschouw haar bimedianen: de segmenten die de middelpunten van overstaande zijden verbinden, $M_{AB}M_{CD}$ en $M_{BC}M_{DA}$ . Voer het barycentrum $G$ van $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ in en groepeer de gewichten op twee manieren:

G = \operatorname{bar}\bigl(M_{AB}, 2;\ M_{CD}, 2\bigr) = \operatorname{bar}\bigl(M_{BC}, 2;\ M_{DA}, 2\bigr) :

$G$ is het middelpunt van beide bimedianen — de twee bimedianen delen elkaar dus altijd middendoor, en de vierhoek van de vier middelpunten is een parallellogram (haar diagonalen zijn de bimedianen). Geen gevalsonderscheid, geen coördinaten, en het argument blijft woordelijk overeind voor een scheve vierhoek in $\R^3$ , waar een bewijs op een tekening al kies zou zijn: de associativiteit trekt zich niets van de dimensie aan.

Voorbeeld 17.12 (Epigrafen zijn convexe verzamelingen)

Het gebied $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ boven de parabool is convex: voor $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ en $t \in \intcc01$ geeft de convexiteitsongelijkheid van de kwadraatfunctie

\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2 \leq (1-t)y_1 + ty_2 ,

zodat het barycentrum boven de parabool blijft. De berekening is algemeen: $\{y \geq f(x)\}$ is convex precies wanneer $f$ een convexe functie is — convexe verzamelingen en convexe functies (Hoofdstuk 8) zijn twee gezichten van één begrip, met de epigrafen als woordenboek. Dit is de meetkundige reden waarom convexe functies steunrechten hebben, het feit dat in Hoofdstuk 22 de ongelijkheid van Jensen zal bewijzen.

Lees in het hoofdstuk →